- 1 - 目錄 （基礎(chǔ)復(fù)習(xí)部分） 第 3 章 不等式 . 2 第 16 課 不等關(guān)系與不等式 . 2 第 17 課 一元二次不等式 . 2 第 18 課 二元一次不等式組與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃 . 2 第 19 課 基本不等式及其應(yīng)用 . 4 第 20 課 綜合應(yīng)用（） . 6 第 21 課 綜合應(yīng)用（） . 7 - 2 - 第 3章 不等式 第 16課 不等關(guān)系與不等式 (南通調(diào)研一） 在等差數(shù)列 知首項(xiàng)1 0a ，公差 0d 若1260，23100，則155最大值為 已知 a=t,b=t2,c=t3,tN*,若 整數(shù)部分分別為 m,2,則 t 的 最大 值 . 答案： 21 第 17課 一元二次不等式 若關(guān)于 x 的不等式 x 2a 0 的解集中僅有 4 個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 23 , )77（淮安宿遷摸底） 設(shè)函數(shù) () 上的奇 函數(shù)，當(dāng) 0x 時(shí)， 2()f x x x，則關(guān)于 x 的不等式( ) 2 的解集是 (2, ) （淮安宿遷摸底） 已知函數(shù) 22( ) 2 1f x x a x a ，若關(guān)于 x 的不等式 ( ( ) 0f f x 的解集為空集， 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍 是 ,2 第 18課 二元一次不等式組與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃 若實(shí)數(shù) x ， y 滿足約束條件 2 2,1,1, 則目標(biāo)函數(shù) 2z x y的最小值為 1 若點(diǎn) ( , )Px y 滿足約束條件 0,2,2,xx y 且點(diǎn) ( , )Px y 所形成區(qū)域的面積為 12 ，則實(shí)數(shù) a 的值為 16a （南京鹽城模擬一） 若變量 x ， y 滿足 2 0 ,2 3 0 ,0, 則 2的最大值為 . 答案： 8 （揚(yáng)州期末） x ， y 滿足 2 4 0 ,1,1, 則 2z x y 的最小值為 . 2 （蘇北四市期末） 若實(shí)數(shù) x ， y 滿足 40 ，則 22 6 2 1 0z x y x y= + + - +的最小值為 18 （泰州二模） 已知實(shí)數(shù) ,02 1 04 4 0 ，則 3z x y 的 取值范圍 是 1,7 （南通調(diào)研三） 已知實(shí)數(shù) x， y 滿足條件 | | 1| | 1,則 z2x+y 的 最小值是 【 答案 】 3 （南京三模） 若變量 x， y 滿足約束條件x y 2，x 1，y 0，則 z 2x y 的最大值是 4 - 3 - （鹽城三模） 若 , 2 0020 , 則目標(biāo)函數(shù) z 2x y的最大值為 6 （金海南三校聯(lián)考） 已知實(shí)數(shù) x， y 滿足 1 0 ,3 0 ,3 3 0 ，則當(dāng) 2x y 取得最小值時(shí)， 值為 南通四模 )在一個(gè)邊 長(zhǎng) 為 1000 m 的正方形野生麋 鹿 保護(hù)區(qū) 的正 中央 ， 有一個(gè) 半 徑為 30 m 的圓形 水塘，里 面 飼養(yǎng)著 鱷 魚，以 提 高麋鹿 的 抗天敵 能 力 （ 1） 剛 投放進(jìn) 去 的麋鹿 都 是在水 塘 以外的 任 意區(qū)域 自 由活動(dòng) 若岸上 距 離 水 塘 邊 1 m 以內(nèi)的范 圍 都是鱷 魚 的攻擊 區(qū) 域，請(qǐng) 判 斷麋鹿 受 到 鱷 魚攻擊的 可 能性是 否 會(huì)超 過(guò) 1 ， 并 說(shuō)明理 由 ； （ 2）現(xiàn)有 甲 、乙兩 種 類型的 麋 鹿，按 野 生麋 鹿 活 動(dòng) 的規(guī)律， 它 們活動(dòng) 的 適 宜范 圍 平 均每只分 別 不小于 8000 4500 （ 水塘的面積忽略不計(jì) ） 它們每 只 每 年對(duì)食物 的 需求量 分 別是 4 個(gè) 單 位和 5 個(gè)單 位 ，岸 上 植物每年 提 供的食 物 總量是 720 個(gè) 單 位 若 甲 、 乙兩 種 麋鹿每 只 的科研 價(jià) 值 比 為 3 : 2， 要 使 得兩種 麋 鹿的 科研總價(jià) 值 最大， 保 護(hù)區(qū)應(yīng) 投 放兩種 麋 鹿各多 少 只？ - 4 - 第 19課 基本不等式及其應(yīng)用 已知實(shí)數(shù) 0 ，若以 22,x y x y x為三邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，則實(shí)數(shù) 的范圍為 1 2 2 已知正實(shí)數(shù) ,4，則 14最小值為 1 已知實(shí)數(shù) , ， 且 2 ，則 213x y x y的最小值為 3 2 24已知正實(shí)數(shù) a ， b 滿足 2291，則3最大值為 . 212 （南通調(diào)研一） 已知函數(shù) ( 0 )xy a b b 的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn) (1,3)P ，如下圖所示，則411 的最小值為 南京鹽城模擬一） 若實(shí)數(shù) x ， y 滿足 0，且22lo g lo g 1，則 22的最小值為 4： （蘇州期末） 已知 a ， b 為正實(shí)數(shù)，且 2 ，則 2221 的最小值為 . 6 2 23 （揚(yáng)州期末） 設(shè)實(shí)數(shù) x ， y 滿足 2 2 1 0x x y ，則 22的最小值是 . 512（鎮(zhèn)江期末） 已知正數(shù) x ， y 滿足 111 1914 y yx . 25 （淮安宿遷摸底） 若 221a ab b ， a ， b 是實(shí)數(shù)，則 的最大值是 2 （南通調(diào)研 二） 設(shè) x ， y ， z 均為大于 1 的實(shí)數(shù)，且 z 為 x 和 y 的等比中項(xiàng)，則 lg 最小值為 【答案】 98（南京三模） 已知 x， y 為正實(shí)數(shù)，則 4y 43 （蘇錫常鎮(zhèn)二模） 已知常數(shù) 0a ，函數(shù) ( 1 )1af x x 的最小值為 3，則 a 的值為 1 3 y O x - 5 - （前黃姜堰四校聯(lián)考） 若 0, 0，且 11121a b b +，則 5的 最小值為 72某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物生長(zhǎng)，計(jì)劃利用學(xué)校空地建造一間室內(nèi)面積為 900矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔 1m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留 1m 寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左右內(nèi)墻保留 3m 寬的通道，如圖設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長(zhǎng)為 x （ m），三塊種植植物的矩形區(qū)域的 總面積 為 S （ （ 1）求 S 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān) 系式； （ 2）求 S 的最大值 17解： （ 1）由題設(shè)，得 9 0 0 7 2 0 08 2 2 9 1 6S x ， 8, 450x 6 分 （ 2）因?yàn)?8 450x ，所以27 2 0 0 7 2 0 02 2 2 4 0 ， 8 分 當(dāng)且僅當(dāng) 60x 時(shí)等號(hào)成立 10 分 從而 676S 12 分 答：當(dāng)矩形溫室的室內(nèi)長(zhǎng)為 60m 時(shí)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積最大，最大為676 14 分 （無(wú)錫期末） 某公司生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的銷售量 P 萬(wàn)件（生產(chǎn)量與銷售量相等）與促銷費(fèi)用 x 萬(wàn)元滿足24= （其中 0 ， a 為正常數(shù)） 6( )P P+ 萬(wàn)元（不包含促銷費(fèi)用），產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為 20(4 )P+元 /件 . （ 1）將該產(chǎn)品的利潤(rùn) y 萬(wàn)元表示為促銷費(fèi)用 x 萬(wàn)元的函數(shù)； （ 2）當(dāng)促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大？ 17 )第 題3 11 - 6 - 0課 綜合應(yīng)用（） 若不等式 222 ( )x y c x y x 對(duì)任意滿足 0 的實(shí)數(shù) x ， y 恒成立，則實(shí)數(shù) c 的最大值為 2 2 4 已知 x,yR+，滿足 4x 1y 1，不等式 (x y)a+230 恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 答案： 3( , 2已知三個(gè)實(shí)數(shù) ，當(dāng) 0c 時(shí)滿足： ,32 且 ,2則ca 取值范圍是 . , 0 9 , 2 已知正數(shù) a， b， c 滿足 ： a b c 3a， 3a(a c) 5則 b2 最小值 是 _ 答案 ： 185 已知實(shí)數(shù) a b c、 、 滿足 2 2 2a b c ， 0c ，則2取值范圍為 答案 ： 33 , ； 提示 ：類比猜想： “直角三角形”型；于是三角換元；令 ， ，因 0c ，為了確保能 夠一一對(duì)應(yīng)，取 0, 2 ，則 s i n s i n2 c o s 2 c o s 2c c c ； - 7 - 明眼人一看，構(gòu)造斜率即可； 取點(diǎn) ( P ， (2, 0)A ， 設(shè)直線的方程為： ( 2 ) 2 0y k x k x y k ； 2 2 2222 131 4 133( 1 )kd r k k k ； 讓點(diǎn) P 繞圓轉(zhuǎn)一周，即可知： 33 , k 在 中，角 A B C、 、 所對(duì)的邊分別為 a b c、 、 ，若 且 2 2 27 4 3 ，則 面積的 最大值為 答案 ： 55； （南通調(diào)研三） 已知 正實(shí)數(shù) x， y 滿足 243 1 0 ，則 取值范圍為 【 答案 】 1， 83 （蘇北三市調(diào)研三） 已知實(shí)數(shù) ,件 0,53 0, 0,- 若不等式 2 2 2( ) ( )m x y x y 恒成立，則實(shí)數(shù) 2513第 21課 綜合應(yīng)用（） （南京鹽城模擬一） 某地?cái)M模仿圖甲建造一座大型體育館，其設(shè)計(jì)方案?jìng)?cè)面的外輪廓線如圖乙所示：曲線以點(diǎn) E 為圓心的圓的一部分，其中 (0, )0 25t ，單位：米）；曲線 拋物線2 5 0 ( 0 )y a x a 的一部分； D ，且 好等于圓 E 的半徑 米 （ 1）若要求 30米， 24 5 米，求與 a 的值； （ 2）若要求體育館側(cè)面的最大寬度 超過(guò) 75 米，求 a 的取值范圍； （ 3）若 125a，求 最大值 （參考公式：若 ()f x a x，則 1()2fx ） 解：（ 1）因?yàn)?5 0 3 0C D t ，解得 20t 2 分 此時(shí)圓 2 2 2: ( 2 0 ) 3 0E x y ，令 0y ，得 10 5， 第 18 題 x y O A B C D 第 18 題 E F - 8 - 所以 2 4 5 1 0 5 1 4 5O D A D A O 將點(diǎn) (14 5 , 30)C 代入 2 5 0 ( 0 )y a x a 中，解得 149a 4 分 （ 2）因?yàn)閳A E 的半徑為 50t ，所以 50CD t，在 2 50y a x 中令 50，得 則由題意知 5 0 7 5 對(duì) (0,25t 恒成立， 8 分 所以 1 2 5ta t恒成立，而當(dāng) 25即 25t 時(shí)， 25最小值 10， 故 1 10a ，解得 1100a. 10 分 （ 3）當(dāng) 125a時(shí)， 5OD t ，又圓 E 的方程為 2 2 2( ) ( 5 0 )x y t t ， 令 0y ，得 1 0 2 5 ，所以 1 0 2 5A O t， 從而 ( ) 1 0 2 5 5 ( 0 2 5 )A D f t t t t 12 分 又因?yàn)?1 1 5 ( 2 5 2 )( ) 5 ( )2 5 2 2 2 5t t t ，令 ( ) 0 ，得 5t ， 14 分 當(dāng) (0,5)t 時(shí)， ( ) 0 ， ()調(diào)遞增；當(dāng) (5,25)t 時(shí)， ( ) 0 ， ()調(diào)遞減， 從而當(dāng) 5t 時(shí)， ()最大值為 25 5 . 答：當(dāng) 5t 米時(shí)， 最大值為 25 5 米 . 16 分 （說(shuō)明：本題還可以運(yùn)用三角換元，或線性規(guī)劃等方法解決，類似給分） （蘇州期末） 如圖，某生態(tài)園將一三角形地塊 一角 辟為水果園種植桃樹，已知角 A 為 120 ， 長(zhǎng)度均大于 200 米，現(xiàn)在邊界 建圍墻，在 圍竹籬笆 （ 1）若圍墻 長(zhǎng)度為 200 米，如何圍可使得三角形地塊 面積最大？ （ 2）已知 圍墻高 1 米， 圍墻高 ，造價(jià)均為每平方米 100 元 0000 元，問(wèn)如何圍可使竹籬笆用料最?。?解 ： 設(shè) AP x 米， AQ y 米 （ 1） 200 ， 的面積 13s i n 1 2 024S x y x y 3 分 )42 2500 3 當(dāng)且僅當(dāng) 100 時(shí)取“=” 6 分 （注：不寫 “ ”成立條件扣 1 分） A P Q B C - 9 - （ 2）由題意得 1 0 0 ( 1 1 . 5 ) 2 0 0 0 0 ，即 1 0 0 8 分 要使竹籬笆用料最省，只需其長(zhǎng)度 短，所以 2 2 2 2 c o s 1 2 0P Q x y x y 22y 22( 2 0 0 1 . 5 ) ( 2 0 0 1 . 5 )y y y y 21 . 7 5 4 0 0 4 0 0 0 0 （ 4000 3y ） 11 分 當(dāng) 8007y時(shí)， 最小值 200 217，此時(shí) 2007x 13 分 答：（ 1）當(dāng) 100A P A Q米時(shí)，三角形地塊 面積最大為 2500 3 平方米； （ 2）當(dāng) 2007米 ， 8007米時(shí)，可使竹籬笆用料最省 14 分 如圖（示意），公路 成的是一塊頂角為 的角形耕地，其中 2在該塊土地中 測(cè)量，它到公路 距離分別為 35要 過(guò)點(diǎn) P 修建一條直線公路三條公路圍成的區(qū)域 成一個(gè)工業(yè)園為盡量減少耕地占用，問(wèn)如何確定 B 點(diǎn)的位置，使得該工業(yè)園區(qū)的面積最小？并求最小面積 解 ：（方 法一 ） 如圖 1，以 A 為原點(diǎn)， x 軸，建立平面直 角坐標(biāo)系 因?yàn)?2，故 直線 方程是 y 2x 設(shè)點(diǎn) P( 因?yàn)辄c(diǎn) P 到 距離為 3，故 3 由 P 到直線 距離為 5， 得 2 5，解得 1 或 4(舍去 )， 所以點(diǎn) P(1， 3) 4 分 顯然直線 斜率存在設(shè)直線 方程為 y 3 k(x 1)， k ( 2， 0) A M N P （第 19 題圖） C B (A) x N P y O B C （ 第 19題圖 1） - 10 - 令 y 0 得 1 3k 6 分 由 y 3 k(x 1)，y 2x 解得 6 22 8 分 設(shè) 面積為 S，則 S 12xB 6k 92k 18k 92k 10 分 由 S 2(4k 3)(k 3)(2k)2 0 得 k 34或 k 3 當(dāng) 2 k 34時(shí)， S 0， S 單調(diào)遞減；當(dāng) 34 k 0 時(shí)， S 0， S 單調(diào)遞增 13 分 所以當(dāng) k 34時(shí)，即 5 時(shí)， S 取極小值，也為最小值 15 答： 當(dāng) 5 ，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積 為 15 16 分 （方法二） 如圖 1，以 A 為原點(diǎn)， x 軸，建立平面直角坐標(biāo)系 因?yàn)?2，故 直線 方程是 y 2x 設(shè)點(diǎn) P( 因?yàn)辄c(diǎn) P 到 距離為 3，故 3 由 P 到直線 距離為 5， 得 2 5，解得 1 或 4(舍去 )， 所以點(diǎn) P(1， 3) 4 分 顯然直線 斜率存在設(shè)直線 方程為 y 3 k(x 1)， k ( 2， 0) 令 y 0 得 1 3k 6 分 由 y 3 k(x 1)，y 2x 解得 6 22 8 分 設(shè) 面積為 S，則 S 12xB 6k 92k 18k 92k 10 分 令 8k 9 t，則 t ( 25， 9)，從而 k t 98 因此 S 1 t(t 98 )2 2 t 98 1 6434t 225 1 6434 t 225t 13 分 因?yàn)楫?dāng) t ( 25， 9)時(shí)， t 225t ( 34， 30， 當(dāng)且僅當(dāng) t 15 時(shí)，此時(shí) 5， 34 t 225t 的最大值為 4從而 S 有最小值為 15 答： 當(dāng) 5 ，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積 為 15 16 分 （方法三） - 11 - N ，過(guò)點(diǎn) P 作 足為 E、 F，連接 x， y 因?yàn)?P 到 距離分別為 3， 5， 即 3， 5 由 S S S 12x3 12y 5 12(3x 5y) 4 分 因?yàn)?2， 所以 25 所以 S 12xy 25 8 分 由 可得 12xy 25 12(3x 5y) 即 3 5x 5y 2 10 分 因?yàn)?3 5x 5y 2 15 5所以 22 15 5 解得 15 5 13 分 當(dāng)且僅當(dāng) 3 5x 5y 取“”，結(jié)合解得 x 5， y 3 5 所以 S 12xy 25有最小值 15 答： 當(dāng) 5 ，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積 為 15 16 分 如圖，我市有一個(gè)健身公園，由一個(gè)直徑為 2 半圓和一個(gè)以 斜邊的等腰直角 構(gòu)成， 其中 O 為 中點(diǎn)；現(xiàn)準(zhǔn)備在公園里建設(shè) 一條四邊形健康跑道 按實(shí)際需要，四邊形 兩 個(gè)頂點(diǎn) 分別在線段 R、 上，另外兩