分類號(hào) 密級(jí) U D C 編號(hào) 士學(xué)位論文 論 文 題 目 大地電磁二維有限元 正演數(shù)值模擬 學(xué)科、專業(yè) 地球探測與信息技術(shù) 研究生姓名 曾 國 導(dǎo)師姓名及 專業(yè)技術(shù)職務(wù) 何繼善 （院士） 要 大地電磁測深法（以巖石的電性差異為基礎(chǔ)和前提，利用天然交變電磁場研究地球電性結(jié)構(gòu)的勘探方法。當(dāng)前 據(jù)使用最多的還是一維和二維反演解譯，而正演是反演的基礎(chǔ)，本文研究起伏地形條件下正演，為反演的實(shí)現(xiàn)提供更加充分的正演支持。 本文將有限單元法用于二維大地電磁場起伏地形正演計(jì)算。 文中首先從麥克斯韋方程組出發(fā)， 對(duì)二維介質(zhì)大地電磁邊值問題和變分問題滿足的微分方程進(jìn)行推導(dǎo)，用矩形單元對(duì)研究區(qū)域進(jìn)行剖分，每個(gè)剖分單元分別采用雙線性插值和雙二次插值進(jìn)行插值， 然后把求解二維大地電磁變分問題轉(zhuǎn)化為求解一組多元線性代數(shù)方程組。 用矩形單元剖分來研究帶地形條件下大地電磁場有限元數(shù)值模擬計(jì)算， 編寫出實(shí)用的正演程序，通過計(jì)算各種模型斷面大地電磁場的分布，研究不同地形地質(zhì)條件下大地電磁場響應(yīng)特征的分布規(guī)律。 為了檢驗(yàn)程序的正確性，本文設(shè)計(jì)了 均勻?qū)訝钅Ｐ汀⒕鶆虬肟臻g中含有電性異常體模型、有地表起伏的均勻半空間模型，并給出了這些模型由本文程序、解析解得到的結(jié)果和圖件，驗(yàn)證了本程序的正確性。 通過 2 個(gè)典型起伏地形模型討論了地形起伏對(duì) 電阻率的影響， 證實(shí)了復(fù)雜地表下2種極化模式的且以式尤為嚴(yán)重。 關(guān)鍵字： 大地電磁測深法，有限單元法，正演，數(shù)值模擬 T) is a of of of of on MT is in of is of in is of is by in In of is s, is by is is is by By is by A is is of is is by of a of We in by in in 錄 摘 要. . 錄. 一章 緒論. 1 言.地電磁測深正演問題的研究現(xiàn)狀.究的目的與意義.文的主要工作及結(jié)構(gòu).第二章 二維大地電磁正演模擬的基本原理.值問題.分問題.限單元法.限單元法插值理論基礎(chǔ).形單元、雙線性插值.形單元、雙二次插值.算視電阻率和相位.第三章 程序?qū)崿F(xiàn).序流程圖.伏地形模擬的實(shí)現(xiàn).序中應(yīng)用技巧.用文件形式讀取模型參數(shù).邊界條件.線性代數(shù)解方程組.第四章 模型計(jì)算與分析.第五章 結(jié)論與建議.文的主要研究成果.足及需要改進(jìn)之處.參考文獻(xiàn). 57 附 錄. . 謝. .讀碩士學(xué)位期間主要研究成果.中南大學(xué)碩士學(xué)位論文 第一章 緒論 1第一章 緒論 言 大地電磁測深法(稱 )是地球物理學(xué)中重要的方法，由蘇聯(lián)學(xué)者 (1950)和 (1953)于上世紀(jì) 50 年代提出來的。它以巖石的電性差異為基礎(chǔ)和前提，在實(shí)際應(yīng)用中，它屬于頻率域電磁法中的一種方法，是一種利用天然交變電磁場研究地球電性結(jié)構(gòu)的有效方法。由于它不用人工供電，成本低，工作方便，不受高阻層屏蔽，對(duì)低阻層分辨率高，而且勘探深度僅與電磁場的頻率有關(guān)，淺可以幾十米，深可達(dá)數(shù)百公里，因此在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。 該法在國內(nèi)外的地?zé)崽锏恼{(diào)查、礦產(chǎn)普查和勘探、地殼和上地慢電性結(jié)構(gòu)的研究、海洋地球物理、環(huán)境地球物理和地質(zhì)工程中都發(fā)揮著重要的作用，在關(guān)系國計(jì)民生的能源尤其是在石油天然氣勘探方面，發(fā)揮著舉足輕重的作用3。 地電磁測深正演問題的研究現(xiàn)狀 大地電磁測深法提出之初，假定源是垂直入射的平面電磁波，并且地球是水平均勻?qū)訝罱橘|(zhì)。 這時(shí)的正演問題是垂直入射的均勻平面電磁波源下的一維介質(zhì)模型的邊值問題，一維大地電磁正反演，相對(duì)成熟。隨著理論研究的深入，研究的重點(diǎn)逐步轉(zhuǎn)向二維、三維問題。對(duì)于二維、三維正演問題，一般情況下不存在解釋解，需要采用物理模擬或數(shù)值模擬技術(shù)來求解。在計(jì)算機(jī)如此發(fā)達(dá)的今天，數(shù)字模擬比物理模擬更容易實(shí)現(xiàn)，對(duì)于實(shí)際資料的處理解釋，數(shù)值模擬方法更顯示出巨大的優(yōu)勢。 大地電磁測深模擬的數(shù)值方法主要分為三種：有限差分法、積分方程法和有限單元法，這三種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)。 (1)、有限差分法(簡稱為 。這是一種經(jīng)典的數(shù)值模擬計(jì)算方法，其基本原理就是用差商代替微商，將待求解的連續(xù)微分方程變換為離散的差分方程，并通過求解差分方程得到原微分方程的近似解。 (2)、積分方程法(從場參數(shù)(場強(qiáng)或場位)所滿足的微分方程邊值問題出發(fā)，通過某些變換導(dǎo)出有關(guān)參數(shù)(場強(qiáng)、位、積累電荷密度或散射電流密度)所滿足的積分方程。 然后用近似計(jì)算方法求此積分方程的數(shù)值解。 (3)、有限單元法(有限單元法是將要分析的連續(xù)場分割為很多較小的區(qū)域，它們的集合代表原來的場，然后建立每個(gè)單元上待求場量的近似式， 再結(jié)合起來進(jìn)而求得連續(xù)場的解。 從數(shù)學(xué)角度上來講，中南大學(xué)碩士學(xué)位論文 第一章 緒論 2它是從變分原理出發(fā)，通過區(qū)域剖分和分片插值，把二次泛函的極值問題化為多元二次函數(shù)的極值問題，后者等價(jià)為求解一組多元線性代數(shù)方程組，是一種從部分到整體的方法，可使分析過程大為簡化。 (1971)首先將有限單元法應(yīng)用在電磁法正演模擬中，他從電磁場能量最小原理出發(fā)，實(shí)現(xiàn)了二維地電斷面有限單元法正演計(jì)算，不過由于有限單元法網(wǎng)格缺乏通用性，計(jì)算精度和速度未能達(dá)到實(shí)用水平；5(1976)發(fā)展了有限單元法的剖分方法，采用矩形網(wǎng)格剖分，以解決二維大地電磁測深正演問題，使有限單元法向前發(fā)展了一步；(1977)引入了一個(gè)通用性網(wǎng)格剖分方法，使有限單元法正演的精度和速度得到大幅度提高，成為計(jì)算二維地電條件下大地電磁正演模擬的有效工具，使有限單元法正式進(jìn)入實(shí)用階段；(1986)用有限單元法模擬大地電磁測深中的 二維地形響應(yīng)；緊接著(1987)采用矩形單元中的三角形剖分， 形成了二維大地電磁測深正演模擬的經(jīng)典程序后，(1996)和 10(2004)進(jìn)一步研究了大地電磁的二維正演模擬。1(1977)首先探討了有限單元法的三維大地電磁正演問題; 2(1996)，13(2000)，14(2003)和 15(2004)用不同形式的有限單元法在三維大地電磁的正演模擬中取得了成功。 70年代末，朱伯芳16(1979)將有限單元法引入國內(nèi)，80年代初，陳樂壽等171981，1982)和胡建德等191982，1984)將有限單元法應(yīng)用到二維大地電磁正演計(jì)算中；此后徐世浙等211983，1994，1995，1996)對(duì)有限單元法進(jìn)行了深入研究， 發(fā)表了一系列有關(guān)有限單元法在大地電磁測深正演計(jì)算的論文或?qū)Ｖ?，網(wǎng)格剖分也由原來的簡單剖分發(fā)展到三角單元和三角高了計(jì)算精度和速度；陳小斌等251999，2000)提出有限法直接迭代算法；劉小軍等27(2007)用有 限單元法模擬了基于二次場的二維大地電磁。對(duì)于三維大地電磁正演，國內(nèi)采用有限單元法模擬的較少，戴世坤等28(2002)提出有限單元法的三維大地電磁模擬；王若等29(2007)用有 限單元法正演模擬了三維總的來說， 三種數(shù)值模擬方法在電阻率正演計(jì)算方面都有一定的優(yōu)勢和不足;有限差分法的優(yōu)點(diǎn)是方法簡便易算，其缺點(diǎn)是，當(dāng)物性參數(shù)復(fù)雜分布或場域的幾何特征不規(guī)則時(shí)，適應(yīng)性比較差。而邊界單元法的優(yōu)勢是正演速度快，內(nèi)存需求少，主要用于地形改正和地下少量地質(zhì)體的正演模擬。有限單元法與前述方法相比，在電阻率法正演方面有獨(dú)到的優(yōu)勢: (1)、在變分問題中，自然邊界條件己經(jīng) 隱含地得到滿足，只需考慮加強(qiáng)邊界條件(第一類邊界條件)，推導(dǎo)過程簡單； 中南大學(xué)碩士學(xué)位論文 第一章 緒論 3(2)、在處理復(fù)雜的幾何形狀時(shí)，其靈活性和適應(yīng)性比其他方法要好； (3)、適用于多種介質(zhì)和非均勻連續(xù)介質(zhì) 問題。由于多種介質(zhì)和非均勻介質(zhì)是地球物理場域的基本特征，這是其他數(shù)值模擬難以勝任之處； (4)、有限單元法方程的系數(shù)矩陣是正定的，保證了解的存在唯一性； (5)、對(duì)于二階偏微分方程，其變分問題 只含有一階導(dǎo)數(shù)，大大降低了偏微分的處理難度。 當(dāng)然，有限單元法缺點(diǎn)是計(jì)算量比較大，計(jì)算時(shí)間長，但目前計(jì)算機(jī)的內(nèi)存容量和使有限單元法在解決許多工程領(lǐng)域的數(shù)學(xué)物理問題中， 成為一種高效、 通用的計(jì)算方法。 將有限單元法引入地球物理計(jì)算方法中，解決了許多無法計(jì)算的地球物理問題。 究的目的與意義 大地電磁法廣泛應(yīng)用于油氣勘探、海洋及地球深部探測，現(xiàn)在已成為深部地球物理探測的一種重要方法和必不可少的手段;在石油和天然氣普查與勘探中，該方法是其他地球物理勘探方法，特別是地震法的一種重要的補(bǔ)充。 雖然大地電磁法是一種成熟的地球物理方法， 但同樣面臨著如何在復(fù)雜地質(zhì)條件下提高資料處理精度和解釋準(zhǔn)確性方面的問題。 在經(jīng)典的大地電磁場理論中是將入射場視為垂直入射的平面電磁波場，然而在起伏地形條件下，如山區(qū)，大地電磁場的分布會(huì)受地形影響將發(fā)生畸變， 特別是在地形起伏的幅度可以與趨膚深度比擬時(shí)會(huì)嚴(yán)重影響資料處理、解釋的結(jié)果。在地形變化地區(qū)，進(jìn)行大地電磁探測時(shí)如何減少地形影響， 準(zhǔn)確的處理解釋資料就成了改善大地電磁測深應(yīng)用效果的重要問題。 正演計(jì)算是我們認(rèn)識(shí)各種地電條件下大地電磁場響應(yīng)特征的良好途徑， 通過對(duì)不同地質(zhì)模型的正演研究， 我們能總結(jié)出在不同地質(zhì)條件下大地電磁場的分布規(guī)律。同樣，通過正演，我們也能準(zhǔn)確了解在不同的地形起伏情況下，大地電磁場的分布特點(diǎn)。這些由正演得到的結(jié)論，對(duì)于資料處理、反演、解釋具有積極的指導(dǎo)作用，能為準(zhǔn)確的處理解釋資料提供幫助。 目前實(shí)際工作中所涉及的問題可近似看成二維問題的占很大比例。 對(duì)于大地電磁場二維問題的正演，用到的數(shù)值模擬方法主要有微分法和積分法兩種。本人欲采用微分法中的有限元法進(jìn)行數(shù)值模擬， 此方法在處理內(nèi)邊界條件時(shí)帶來的便利是有限差分法和積分方程法所不具備的， 而且在模擬起伏地形時(shí)要優(yōu)于有限差分法和積分方程法。 中南大學(xué)碩士學(xué)位論文 第一章 緒論 文的主要工作及結(jié)構(gòu) 本文的主要工作由以下組成： 首先對(duì)二維介質(zhì)大地電磁邊值問題和變分問題滿足的微分方程進(jìn)行推導(dǎo)，用矩形單元對(duì)研究區(qū)域進(jìn)行剖分，每個(gè)剖分單元分別采用雙線性插值和雙二次插值進(jìn)行插值， 然后把求解二維大地電磁變分問題轉(zhuǎn)化為求解一組多元線性代數(shù)方程組。 用矩形單元剖分來研究帶地形條件下大地電磁場有限元數(shù)值模擬計(jì)算，編寫出實(shí)用的正演程序，通過計(jì)算各種模型斷面大地電磁場的分布，研究不同地形地質(zhì)條件下大地電磁場響應(yīng)特征的分布規(guī)律。 論文共分五章，各章內(nèi)容如下: 第一章 緒論： 介紹了大地電磁法有限元數(shù)值模擬的國內(nèi)外發(fā)展現(xiàn)狀，介紹了論文題目的意義及研究目的，最后給出了本論文的主要工作及結(jié)構(gòu)。 第二章 二維大地電磁正演模擬的基本原 理：從麥克斯韋方程組出發(fā)，推出二維大地電磁場邊值問題和變分問題滿足的方程。 用矩形單元對(duì)研究區(qū)域進(jìn)行剖分，每個(gè)剖分單元分別采用雙線性插值和雙二次插值進(jìn)行插值，然后把求解二維大地電磁變分問題轉(zhuǎn)化為求解一組多元線性代數(shù)方程組。 第三章 程序?qū)崿F(xiàn)：介紹了本論文中所用 的程序。包括主程序、計(jì)算總體系數(shù)矩陣和右側(cè)列向量子程序的流程圖，以及程序中的應(yīng)用技巧。 第四章 模型計(jì)算與分析：通過對(duì)水平均 勻?qū)訝钅Ｐ?、均勻半空間中含異常體模型和典型起伏地形理論計(jì)算，檢驗(yàn)程序的正確性和精確性。對(duì)各個(gè)模型結(jié)果進(jìn)行分析。 第五章 結(jié)論與建議：通過對(duì)幾個(gè)典型模 型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，得出一些結(jié)論。 中南大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章 二維大地電磁正演模擬的基本原理 5第二章 二維大地電磁正演模擬的基本原理 值問題22 30 31 麥克斯韋方程組 0 = = = = + 取其中的兩個(gè)方程 = = + 由關(guān)系式：j E= H=ur E= 定態(tài)電磁場的方程是： () = = (2其中 是介質(zhì)的磁導(dǎo)率， 是電導(dǎo)率， 是介電常數(shù)。 假定地下電性結(jié)構(gòu)是二維的，取走向?yàn)?z 軸， 持水平， 當(dāng)平面電磁波以任意角度入射地面時(shí)，地下介質(zhì)中的電磁波總以平面波形式，幾乎垂直地向下傳播。將（2中兩式按分量展開，并考慮到 0z = ，得兩個(gè)獨(dú)立的方程組，并以 z 分量為準(zhǔn)，分別命名為()= =中南大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章 二維大地電磁正演模擬的基本原理 6()()= =從（2（2中的第二、三式解出分別代入第一式，得()110x yi +=110+= （2（2可統(tǒng)一表示成： ()0 + = (2其中是二維哈密頓算子，x y= +于1, =對(duì)于1, =1 圖 二維電性結(jié)構(gòu)和坐標(biāo)系 2x 南大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章 二維大地電磁正演模擬的基本原理 7為了求解方程 (2還必須給出邊界條件（987）22。 (1) 外邊界條件 ）上邊界異常場在該處的 1 (22） 下邊界部不均勻體的異常場在磁波在 (2其中0u 是常數(shù)， ， 是 下巖石的電導(dǎo)率。對(duì) ，因?yàn)閚=，所以0=(23） 取左右邊界磁場在上的邊界條件是： 0(2氣 地下 D C B A x 1 圖 式的研究區(qū)域 中南大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章 二維大地電磁正演模擬的基本原理 8取圖(示的研究區(qū)域 1) 上邊界以該處的 1 (2這是因?yàn)閷?duì)大地電磁波來說，有 1 ，從（2有 在巖石中，在空氣中， 0 = ， 0 0所以不管地下介質(zhì)電性如何分布，空氣中的樣，可取地面的1u = 。 2） 下邊界3） 左右界（2） 內(nèi)邊界條件 于據(jù)電場切向分量連續(xù) 性可知，在兩種介質(zhì)的分界面1 上，有： 12 (2由圖(磁場的切向分量 空氣 地下 D C B A x t 1 圖 式的研究區(qū)域 中南大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章 二維大地電磁正演模擬的基本原理 91iy =+= =根據(jù)介質(zhì)分界面上磁場切向分量的連續(xù)性可知，介質(zhì)兩側(cè)的1： 1212=(2于據(jù)磁場切向分量連續(xù)性可知，在兩種介質(zhì)的分界面1 上，有： 12 (2由圖(電場的切向分量 = =根據(jù)介質(zhì)分界面上電場切向分量的連續(xù)性可知，介質(zhì)兩側(cè)的1有： 1212=(2綜合以上討論，邊值問題歸納為： ()12 11212 1010,0 + = =+= = (2中南大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章 二維大地電磁正演模擬的基本原理 分問題 為簡單起見，假定在區(qū)域中只有一個(gè)不均勻體，如圖(示，構(gòu)造泛函 () ()()()12222211 112222 2211222211Iu u u = + (2變分為： ()()()()()1122112211 1 11122 2 22211111 1 122222 2 2Iu u ud = + = + + + (2根據(jù)(216)式中的微分方程，上式右側(cè)的第二和第四項(xiàng)的被積函數(shù)為零，所以： () ( ) ( )1211111 2 22122 2I + = + =+(2式中， 是區(qū)域的外邊界，1 是內(nèi)邊界，1n ，2n 分別是1 和2 的外法向，方向正好相反，根據(jù)內(nèi)邊界條件（2（2，有 1211 2 20 + =(2即內(nèi)邊界條件不出現(xiàn)在()I u 的變分中，在泛函取極值的過程中，內(nèi)邊界條件將自動(dòng)滿足，屬自然邊界條件。當(dāng)介質(zhì)中存在多個(gè)不均勻體時(shí)，上述結(jié)論也成立，將（2中的外邊界條件代入（2中，有 ()212= (2中南大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章 二維大地電磁正演模擬的基本原理 11移項(xiàng)后，得 ()2102+=(2所以，邊值問題（2下列變分問題等價(jià) () ()()22211 122 210u u d =+ =(2限單元法 限單元法插值理論基礎(chǔ) 線性插值 取圖 2.4(a)所示的正方形單元（母單元） ，四個(gè)頂點(diǎn)的編號(hào)及其坐標(biāo)，如圖上所示，構(gòu)造如下的形函數(shù) ()() ()()()() ()()12341111, 114411, 11 = + = =+ =+ +(2或統(tǒng)一寫成： ()()1114 =+ + (2其中點(diǎn) ()1, , 4L 的坐標(biāo)。 形函數(shù)(2滿足 ()1,0,=(2的要求，其中 將形函數(shù)展開： 1234a a =+ (2其中14,常數(shù)，有 , 和常數(shù)項(xiàng)。 中南大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章 二維大地電磁正演模擬的基本原理 12圖 b )上任意四邊形單元(子單元)的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是()( )11 4 4,x 函數(shù)值是14,子單元上的 u， x和 11 22 33 4411 22 33 4411 2 2 33 4 4u x x y y +=+ +=+ +(2將形函數(shù)(2代入上式，整理后，得 1 2341 2341234 A C =+=+=+(2其中14,常數(shù)。 令 ，這在 平面上是一條水平線，代入(2，得： 1 2 12 12,ua a xb b yc =+ =+ (2其中12,常數(shù)，所以 u， x和 的線形函數(shù)，當(dāng) 從1變到1時(shí)， 樣，令 時(shí)， u， x和 的線形函數(shù)， 所以(2成為雙線性函數(shù)， (2是雙線性插值，與母單元的四條邊對(duì)應(yīng)的子單元的四條邊都是直線。 二次插值 取圖 2.5（a）所示的正方形單元（母單元） ，八個(gè)節(jié)點(diǎn)的編號(hào)及其坐標(biāo)如圖所示，構(gòu)造如下的形函數(shù)： （ 1,1）（ 1, 1） （ a） 圖 線性插值的母單元與子單元 （a）為母單元 （b）為子單元 （ b）x 1u 4u 2()44,x y ()11,x y()22,x y ()33,x y y （ 1, 1） （ 1,1） 中南大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章 二維大地電磁正演模擬的基本原理 13()()( )()()( )()()( )()()( )()()()()()()()()123425262728111 14111 14111 14111 141112111211121112 += =+ =+ + += + = = += (2易驗(yàn)證，形函數(shù)(2滿足： ()1,0,=(2的要求，將形函數(shù)展開 22221 2 345 678a a a a a a =+ (2上式共含8個(gè)系數(shù)。 圖2.5（b）上曲邊四邊形（子單元）的8個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 ()( )11 8 8,x 函數(shù)值是18,子單元上的 u， x和 888111,ii ii =(2將形函數(shù)(2代入上式，整理后，得 22221 2 345 678222212 45678222212 345678 A A A A A B B B B B =+=+=+(2其中18,常數(shù)。 令 ， 212321232123ua a ax +=+=+(2中南大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章 二維大地電磁正演模擬的基本原理 14其中13,常數(shù)，所以 u， x和 的二次函數(shù)，當(dāng) 從1變到1時(shí)， 同理， 令 時(shí)， u，x和 的二次函數(shù)，所以(2成為雙二次函數(shù)，(2是雙二次插值，與母單元的正方形對(duì)應(yīng)的子單元的形狀，將是曲邊四邊形。 形單元、雙線性插值 域剖分 用矩形單元對(duì)區(qū)域進(jìn)行剖分（，每個(gè)單元的是個(gè)角點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)，并給每個(gè)單元的電阻率 1 = 賦值，矩形單元的寬度為 a，高度為 b，單元內(nèi)進(jìn)行雙線性插值。 線性插值 圖2.8(a)是母單元，(b)是子單元，兩個(gè)單元間的坐標(biāo)變換關(guān)系為 （ a） 圖 二次插值的母單元與子單元 （a）為母單元 （b）為子單元 （ b）x 1 1間隔 3 4 5 9106 7 8 12111,2,代表節(jié)點(diǎn) , ,代表單元 圖 節(jié)點(diǎn)和單元的排列次序（雙線性插值）y 中南大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章 二維大地電磁正演模擬的基本原理 1500,22=+ =+ ， (2其中0x ，0y 是子單元中點(diǎn)的坐標(biāo)， a， 分關(guān)系為 ,22 4ab d dy d d = = (2雙線性插值的形函數(shù)為： ()() ()()()() ()()12341111, 114411, 11 = + = =+ =+ +(2統(tǒng)一寫成： ()()1114 =+ + (2其中點(diǎn) ()1, , 4L 的坐標(biāo)，單元中 1(2其中()1, , 4 是單元四個(gè)頂點(diǎn)的待定 （2表示的插值函數(shù)分別是 x， 1 2 4 3 （ 0,1） （ 1,0） （ a） 圖 形單元剖分、雙線性插值的母單元與子單元 （ a） 為母單元 （ b） 為子單元x 1 2 43 單元中的節(jié)點(diǎn)號(hào)次序（雙線性插值） 124 3 （ b）()00,x y y 中南大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章 二維大地電磁正演模擬的基本原理 元分析 將（2中的區(qū)域積分分解為各單元積分之和； () ()()22222211 122 2112212u u d =+ = +(2上式右側(cè)最后一項(xiàng)積分只對(duì) 單元中的和是常數(shù)時(shí)，單元積分 ()中 ()221122d = +(2u對(duì) 1xx x= = = (2其中 ()14L ，14= L ，所以 2 = (2同理 2 = (2積分 ()()2211221122= +=(2其中()，ij 4dx d dx d dy d =+ (2對(duì)(2 或 的微商，代入上式積分后，即可得若單元內(nèi) 為常數(shù)，具中南大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章 二維大地電磁正演模擬的基本原理 17體計(jì)算公式如下： 1121314122222226 =+= = += +=32 4141 3133 1143 2144 116=(2單元積分 22112212u =(2其中()14L ，14,雙線性插值的形函數(shù)， 見計(jì)算公式見(2，()2， 4ij ij =(2將（2中的形函數(shù) N 代入上式，積分后，可得2具體計(jì)算公式是 211 2 4=對(duì)稱(2其中 (2側(cè) 最后一項(xiàng)線積分只對(duì)邊界單元進(jìn)行，當(dāng)單元的 23邊落在無窮遠(yuǎn)邊界上時(shí)見圖2.6(a)，線積分 ()322311 122 2e d u k u u K = =(2其中()3，具體計(jì)算公式是 300 0 0=對(duì)稱(2其中6 ， 。 中南大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章 二維大地電磁正演模擬的基本原理 18123是 44 的矩陣， 將它們擴(kuò)展成全體節(jié)點(diǎn)的矩陣123然后將各單元的擴(kuò)展矩陣相加，(2變成 () ()2221e 2e 3ud +=+=(2其中1e 2e 3+是總體系數(shù)矩陣。 對(duì)(2求變分，得 ()0 (2由 任意性，得 0 (2解線形代數(shù)方程組前，將線性代數(shù)方程組后，得各節(jié)點(diǎn)的 u，它代表各節(jié)點(diǎn)的對(duì)式）或?qū)κ剑?。至此，有限元求解 形單元、雙二次插值 域剖分 用矩形單元對(duì)區(qū)域進(jìn)行剖分， 每個(gè)單元的四個(gè)角點(diǎn)和四邊形中點(diǎn)， 共8 個(gè)點(diǎn)，取為節(jié)點(diǎn)，在單元內(nèi)進(jìn)行雙二次插值見(2。 給每個(gè)單元的電阻率 1 = 賦值，矩形單元的寬度為 a，高度為 b。 1 2 3 4 9 1410 11 13 12 1,2,代表節(jié)點(diǎn) , ,代表單元 圖 節(jié)點(diǎn)和單元的排列次序（雙二次插值）5 6 7 8 1516中南大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章 二維大地電磁正演模擬的基本原理 二次插值 圖 a)是母單元，(b)是子單元