多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗 一、擬合優(yōu)度檢驗 二、方程的顯著性檢驗 ( 三、變量的顯著性檢驗（ 四、參數(shù)的置信區(qū)間 一、擬合優(yōu)度檢驗 1、可決系數(shù)與調整的可決系數(shù) 則 2222)()(2)()()()( 總離差平方和的分解 由于 )()( 110 =0 所以有： E S S 22 )()(注意： 一個有趣的現(xiàn)象 222222見正規(guī)方程，Y 可決系數(shù) T S 12該統(tǒng)計量越接近于 1，模型的擬合優(yōu)度越高。 問題： 在應用過程中發(fā)現(xiàn)，如果在模型中增加一個解釋變量， (殘差的平方減 ,相當于約束的最小 !) 這就給人 一個錯覺 ： 要使得模型擬合得好，只要增加解釋變量即可 。 但是，現(xiàn)實情況往往是，由增加解釋變量個數(shù)引起的 調整的可決系數(shù) （ of 在樣本容量一定的情況下， 增加解釋變量必定使得自由度減少 ，所以 調整的思路是 :將殘差平方和與總離差平方和分別除以各自的自由度，以剔除變量個數(shù)對擬合優(yōu)度的影響 : )1/()1/(12 11)1(1 22沒有絕對的答案 ! *2、赤池信息準則和施瓦茨準則 為了比較所含解釋變量個數(shù)不同的多元回歸模型的擬合優(yōu)度，常用的標準還有 : 赤池信息準則 （ C )1(2 當所增加的解釋變量能夠 減少 盡量使得 中國居民消費一元例中： 中國居民消費二元例中： 從這點看，可以說前期人均居民消費 1)應包括在模型中。 二、方程的顯著性檢驗 ( 方程的顯著性檢驗，旨在對模型中被解釋變量與解釋變量之間的線性關系 在總體上 是否顯著成立作出推斷。 1、方程顯著性的 即檢驗模型 0+12 +i i=1,2, ,n 中的參數(shù) 。 可提出如下原假設與備擇假設： 1=2= =k=0 ,j=1,2,k 自于總離差平方和的分解式： 于 回 歸 平 方 和 2 S 是 解 釋 變 量 X 的 聯(lián) 合 體 對 被 解釋變量 Y 的 線 性 作 用 的 結 果 ， 考 慮 比 值22/ 如果這個比值較大，則 的解釋程度高，可認為總體存在線性關系，反之總體上可能不存在線性關系。 因此 ,可通過該比值的大小對總體線性關系進行推斷 。 根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學中的知識 (見陳希孺、王松桂等，1987)，在原假設 計量 )1/(/ k , 給定顯著性水平 ，可得到臨界值 F(k,由樣本求出統(tǒng)計量 過 F F(k, 或 FF(k,來拒絕或接受原假設 判定原方程 總體上 的線性關系是否顯著成立。 12 如果 (小概率事件發(fā)生了 ) 則拒絕 ， 說明回歸模型有顯著意義 ， 即所有解釋變量聯(lián)合起來對 有顯著影響 。 如果 (大概率事件發(fā)生了 ) 則接受 ， 說明回歸模型沒有顯著意義 ， 即所有解釋變量聯(lián)合起來對 沒有顯著影響 。 ( - 1 , - )F F k n k( - 1 , - )F F k n k0 2 3H : 0 = . . . = = 3H : 0 = . . . = =對于中國居民人均消費支出的例子： 一元模型： F=元模型： F=定顯著性水平 =查分布表 ， 得到臨界值： 一元例： F(1,21)=元例 ： F(2,19)=然有 F F(k, 即二個模型的線性關系在 95%的水平下顯著成立。 2、 關于擬合優(yōu)度檢驗與方程顯著性檢驗關系的討論 由 )1/()1/(12 (/ 1112與 或 )1/()1(/22 中國居民人均收入 元模型 中， 在 中國居民人均收入 元模型 中 ， 等價于F=0, 三、變量的顯著性檢驗（ 方程的 總體線性 關系顯著 每個解釋變量 對被解釋變量的影響都是顯著的 因此，必須對每個解釋變量進行顯著性檢驗，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。 這一檢驗是由對變量的 t 檢驗完成的 。 1、 由于 12 )()( C o v以 XX)對角線上的第 是參數(shù)估計量的方差為： cV a ( 其中 2為隨機誤差項的方差，在實際計算時，用它的估計量代替 : 1122i ,( 2 因此，可構造如下 )1(1 2、 設計原假設與備擇假設： i0 給定顯著性水平 ，可得到臨界值 t/2(由樣本求出統(tǒng)計量 過 |t| t/2( 或 |t|t/2(來拒絕或接受原假設 而 判定對應的解釋變量是否應包括在模型中。 i=0 （ i=1,2k ） 注意： 一元線性回歸中， 檢驗一致 一方面 ， 檢驗都是對相同的原假設1=0 進行 檢驗 ; 另一方面 ，兩個統(tǒng)計量之間有如下關系： 222212221222122212212)2()2()2()2(在 中國居民人均收入 元模型 例中 ，由應用軟件計算出參數(shù)的 10 =得相應臨界值： 9) = 可見 ， 計算的所有 所以拒絕原假設 。 即 : 包括常數(shù)項在內的 3個解釋變量都在 95%的水平下顯著 ， 都通過了變量顯著性檢驗 。 四、參數(shù)的置信區(qū)間 參數(shù)的 置信區(qū)間 用來考察： 在一次抽樣中所估計的參數(shù)值離參數(shù)的真實值有多 “ 近 ” 。 在變量的顯著性檢驗中已經知道： )1(1 容易推出 ：在 (1-)的置信水平下 ( , ) i it s t si i 2 2其中， t/2為顯著性水平為 、自由度為 在 中國居民人均收入 元模型 例中 , 給定 =查表得臨界值： 9)=算得參數(shù)的置信區(qū)間： 0 ： ( 1 ： ( 2 ： ( 1 1 如何才能縮小置信區(qū)間？ 增大樣本容量 n，因為在同樣的樣本容量下， 時，增大樣本容量，還可