第 1 頁（共 21 頁） 2016 年浙江省高考數(shù)學考前模擬試卷（理科）（ 5 月份） 一、選擇題：本大題共 8小題，每小題 5分，共 40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1已知全集 U=R，集合 P=x|， Q=y|y=x0， ，則 P Q 為（ ） A（ ， ） B ， C（ 0， D（ 0， 2對于數(shù)列 “ | n=1， 2， ） ”是 “遞減數(shù)列 ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C必要條件 D既不充分也不必要條件 3為了得到函數(shù)的圖象 y=需把函數(shù) y=3x+1）的圖象上所有的點（ ） A向左平移 1 個單位 長度 B向右平移 1 個單位長度 C向左平移 個單位長度 D向右平移 個單位長度 4已知某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積和表面積分別為（ ）A ， 6+2 +2 B 8， 6+2 +2 C 8， 6+2 +4 D ， 6+2 +4 5已知拋物線 y，過焦點 F 的直線 l 交拋物線于 A， B 兩點（點 A 在第 一象限），若直線 l 的傾斜角為 30，則 等于（ ） A 3 B C 2 D 6如圖，三棱錐 P 知 面 D， D=，設(shè) PD=x， ，記函數(shù) f（ x） =下列表述正確的是（ ） 第 2 頁（共 21 頁） A f（ x）是關(guān)于 x 的增函數(shù) B f（ x）是關(guān)于 x 的減函數(shù) C f（ x）關(guān)于 x 先遞增后遞減 D關(guān)于 x 先遞減后遞增 7已知函數(shù) x）的定義域為實數(shù)集 R，滿足 狄利克雷函數(shù) x） = （ M 是R 的非空真子集），在 R 上有兩個非空真子集 A， B，且 AB=，則 F（ x） =的值域為（ ） A（ 0， B 1 C ， ， 1 D ， 1 8已知實數(shù) a， b， c 滿足 b2+，則 取值范圍是（ ） A（ ， 4B 4， 4C 2， 4D 1， 4 二、填空題：本大題共 7小題，多空題每題 6分，單空題每題 4分，共 36分 9 “斐波那契數(shù)列 “是數(shù)學史上一個著名數(shù)列， 在斐波那契數(shù)列 ， ， ，=+nN*）則 ；若 m，則數(shù)列 前 2016 項和是 （用 0 表示） 10已知 ， ， ，則 ；= 11已知 雙曲線 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦點， |4，點 段 雙曲線左支相交于點 B， 內(nèi)切圓與邊 切于點 E若 |2| |2 ，則雙曲線 C 的離心率為 第 3 頁（共 21 頁） 12已知向量 的夾角為 ， | |=6，向量 ， 的夾角為 ， | |=2 ，則 與 的夾角為 ， 的最大值為 13已知函數(shù) f（ x） =2，對 1， 2， 3， 4，若 f（ +a|f（ |恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍是 14已知實數(shù) x， y 滿足 |2x+y 2|6 x 3y|且 |x|4，則 |3x 4y|的最大值為 15在邊長為 1 的正方體 ABCD中， E， F， G 分別在 ，并且滿足 ， ， 若平面 ，平面 面 B于一點 O，則 x+y+z= ， = 三、解答題：本大題共 5小題，共 74分解答應寫出文字說 明、證明過程或演算步驟 16在銳角 ，角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，已知 b= （ ）求 + 的值； （ ）求 最大值 17如圖所示，在四棱柱 面 梯形， 面 （ ）求證： （ ）若 B=2 0，點 D 在平面 的射影恰為線段 中點，求平面 18已知函數(shù) f（ x） =bx+c，當 |x|1 時， |f（ x） |1 恒成立 （ ）若 a=1， b=c，求實數(shù) b 的取值范圍； （ ）若 g（ x） =|bx+a|，當 |x|1 時，求 g（ x）的最大值 第 4 頁（共 21 頁） 19已知橢圓 E： ，不經(jīng)過原點 O 的直線 l： y=kx+m（ k 0）與橢圓 E 相交于不同的兩點 A、 B，直線 斜率依次構(gòu)成等比數(shù)列 （ ）求 a， b， k 的關(guān)系式； （ ）若離心率 且 ，當 m 為何值時，橢圓的焦距取得最小值？ 20已知數(shù)列中， ， ，且 = （ n=2， 3， 4， ） （ ）證明：求數(shù)列 通項公式； （ ）求證：（ i）對一切 nN*，都有 ； （ 一切 nN*，有 + 第 5 頁（共 21 頁） 2016年浙江省高考數(shù)學考前模擬試卷（理科）（ 5月份） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 8小題，每小題 5分，共 40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1已知全集 U=R，集合 P=x|， Q=y|y=x0， ，則 P Q 為（ ） A（ ， ） B ， C（ 0， D（ 0， 【考點】 并集及其運算 【分析】 先化簡集合 P， Q，再根據(jù)并集的定義即可求出 【解答】 解： = 0 x2e， x 0 或 0 x ， P= ， 0） （ 0， ， y= 0， 為增函數(shù)， y0， ， Q=0， ， P Q= ， ， 故選： B 2對于數(shù)列 “ | n=1， 2， ） ”是 “遞減數(shù)列 ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C必要條件 D既不充分也不必要條件 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 若 遞減數(shù)列，則 |一定成立，反之也不成立即可判斷出結(jié)論 【解答】 解：若 遞減數(shù)列，則 |一定成立，反之也不成立 “ | n=1， 2， ） ”是 “遞減數(shù)列 ”的既不充分也不必要條件 故選： D 3為了得到函數(shù)的圖象 y=需把函數(shù) y=3x+1）的圖象上所有的點（ ） A向左平移 1 個單位長度 B向右平移 1 個單位長度 C向左平移 個單位長度 D向右平移 個單位長度 【考點】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【分析】 根據(jù)三角函數(shù)圖象變換， “左加右減 ”只要將 y=3x+1）向右平移 個單位長度 第 6 頁（共 21 頁） 【解答】 解由 y=3x+1） =x+ ）， 要得到 y=圖象，只需將 y=x+ ）向右平移 個單位長度 故答案選： D 4已知某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積和表面積分別為（ ）A ， 6+2 +2 B 8， 6+2 +2 C 8， 6+2 +4 D ， 6+2 +4 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖可知該幾何體一個四棱錐 ，由三視圖求出幾何元素的長度，利用錐體體積公式計算出幾何體的體積，由面積公式求出幾何體的表面積 【解答】 解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個四棱錐， 底面是一個邊長為 2 的正方形， 面 ， 其中 E、 F 分別是 中點，連結(jié) 幾何體的體積 V= = ， 在 ， = ，同理可得 ， 面 E=E， 面 在 ， = =3， 同理可得 ，則 在 ， = = ， 此幾何體的表面積 S=22+ + + = 幾何體的體積是 ；表面積是 ， 故選： A 第 7 頁（共 21 頁） 5已知拋物線 y，過焦點 F 的直線 l 交拋物線于 A， B 兩點（點 A 在第一象限），若直線 l 的傾斜角為 30，則 等于（ ） A 3 B C 2 D 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 設(shè)出直線方程代入拋物線方程，求出 A、 B 兩點坐標，利用拋物線定義，即可得到結(jié)論 【解答】 解：設(shè) A（ B（ 直線 l 的方程為： x= （ y 1）則： 將直線方程代入拋物線方程，消去 x 可得 1240y+12=0， 點 A 在第一象限，解得： ， ， = = =3， 故選： A 6如圖，三棱錐 P 知 面 D， D=，設(shè) PD=x， ，記函數(shù) f（ x） =下列表述正確的是（ ） A f（ x）是關(guān)于 x 的增函數(shù) B f（ x）是關(guān)于 x 的減函數(shù) C f（ x）關(guān)于 x 先遞增后遞減 D關(guān)于 x 先遞減后遞增 【考點】 空間點、線、面的位置；棱錐的結(jié)構(gòu)特征 【分析】 由 平面 D， D=，利用 x 表示 余弦定理得到關(guān)于 x 的解析式，進一步利用 x 表示 用基本不等式求最值；然后判斷選項 第 8 頁（共 21 頁） 【解答】 解： 平面 D， D=， PD=x， ， 可求得： ， ， ， ， ， 在 ，由余弦定理知： = 1= 1= ， = = （當且僅當 x= 時取等號）； 所以 f（ x）關(guān)于 x 先遞增后遞減 故選： C 7已知函數(shù) x）的定義域為實數(shù)集 R，滿足 狄利克雷函數(shù) x） = （ M 是R 的非空真子集），在 R 上有兩個非空真子集 A， B，且 AB=，則 F（ x） =的值域為（ ） A（ 0， B 1 C ， ， 1 D ， 1 【考點】 函數(shù)的值域 【分析】 對 F（ x）中的 x 屬于什么集合進行分類討論，利用題中新定義的函數(shù)求出 f（ x）的函數(shù)值，從而得到 F（ x）的值域 【解答】 解：當 xA B）時， f（ A B） （ x） =0， x） =0， x） =0， F（ x） = ， 同理得：當 xB 時， F（ x） =1； 當 xA 時， F（ x） =1 故： F（ x） = ，值域為 1 故選： B 8已知實數(shù) a， b， c 滿足 b2+，則 取值范圍是（ ） A（ ， 4B 4， 4C 2， 4D 1， 4 【考點】 基本不等式 第 9 頁（共 21 頁） 【分析】 把已知的等式變形，得到 2，然后結(jié)合基本不等式 求得 ；再由（ a+ b+c） 20，結(jié)合已知的等式求得 2 【解答】 解：由 b2+，得 a2+，即 2 8=2 a2+（ +（ 2 （當且僅當 a=b=2c 時取等號）； 又 b2+（ =（ a+ b+c） 20， 1+ （ 0， 2 則 取值范圍是 2， 4 故選： C 二、填空題：本大題共 7小題，多空題每題 6分，單空題每題 4分，共 36分 9 “斐波那契數(shù)列 “是數(shù)學史上一個著名數(shù)列，在斐波那契數(shù)列 ， ， ，=+nN*）則 13 ；若 m，則數(shù)列 前 2016 項和是 m 1 （用 0 表示） 【考點】 數(shù)列的求和 【分析】 由 ， ， =+nN*）， +1=2，同理可得： 由于 ， ， an+=（ nN*），可得 a1+a2=a2+a3=a3+a4=，上累加求和即可得出 【解答】 解： ， ， =+nN*）， +1=2，同理可得： ， ，則 3 ， ， an+=（ nN*）， a1+a2= a2+a3= a3+a4= ， 以上累加得， a1+a2+a2+a3+a3+2a3+ a1+a2+a3+a2=m 1， 故答案分別為： 13； m 1 10已知 ， ， ，則 3 ；= 【考點】 三角函數(shù)的化簡求值 第 10 頁（共 21 頁） 【分析】 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求 利用兩角差的正切函數(shù)公式即可解得 用誘導公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡所求即可計算求值 【解答】 解： ， ， ， = ， = = ， 解得： ， = = = = 故答案為： 11已知 雙曲線 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦點， |4，點 段 雙曲線左支相交于點 B， 內(nèi)切圓與邊 切于點 E若 |2| |2 ，則雙曲線 C 的離心率為 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 設(shè) |m，則 |2m，由雙曲線的定義可得 |2a+2m， |m+2a， |m+2a 2 ，再由內(nèi)切圓的性質(zhì)，求得 a= ，結(jié)合離心率公式，可得所求 【解答】 解：設(shè) |m，則 |2m， 由雙曲線的定義有 |2a=2a+2m， |m+2a， |m+2a 2 ， 即有 2a+2m=2m（ m+2a 2 ） +2 +m， 第 11 頁（共 21 頁） 解得 a= ， 由 c=2，可得 e= = 故答案為： 12已知向量 的夾角為 ， | |=6，向量 ， 的夾角為 ， | |=2 ，則 與 的夾角為 ， 的最大值為 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 由題意畫出圖形，可得 A， O， B， C 四點共圓，求解三角形可得 ，即與 的夾角為 ，再設(shè) ，把 轉(zhuǎn)化為含有 的表達式，利用三角函數(shù)求得 的最大值 【解答】 解：如圖， 設(shè) ， 則 ， ， ， ， ， ， 又 ， A， O， B， C 四點共圓， 在 ，由正弦定理得 ，即 ， ，則 由同弧所對圓周角相等，可得 ， 即 與 的夾角為 ； 設(shè) ，則 ， 在 ，由正弦定理得： ， ， ， 第 12 頁（共 21 頁） = = = = = = = 當 ，即 時， 有最大值為 故答案為： ， 13已知函數(shù) f（ x） =2，對 1， 2， 3， 4，若 f（ +a|f（ |恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍是 12， +） 【考點】 函數(shù)恒成立問題 【分析】 由 f（ x） =2 在 3， 4遞增，求得最大值 14， y=|f（ x） |在 1， 2的最大值為 2，由題意可得 f（ a|f（ |不等式即可得到所求范圍 【解答】 解：由 f（ x） =2 在 3， 4遞增， 可得 f（ 4）取得最大值 14， y=|f（ x） |在 1， 2的最 大值為 22 2=2， 由 1， 2， 3， 4， 若 f（ +a|f（ |恒成立，可得 可得 14+a2，解得 a 12 故答案為： 12， +） 14已知實數(shù) x， y 滿足 |2x+y 2|6 x 3y|且 |x|4，則 |3x 4y|的最大值為 32 【考點】 絕對值不等式的解法 【分析】 根據(jù)條件畫出（ x， y）的范圍，求出可行域內(nèi)的點到直線 3x 4y=0 的距離的最大值，可得 |3x 4y|的最大值 【解答】 解：實數(shù) x， y 滿足 |2x+y 2|6 x 3y|， 即 |2x+y 2|x+3y 6|，且 |x|4， ，或 ， 第 13 頁（共 21 頁） 或 ，或 由 可得點（ x， y）的可行域如圖 （陰影部分）： 由于可行域內(nèi)的點 A（ 4， 5）到直線 3x 4y=0 的距離的最大值為 = ， 故 |3x 4y|的最大值為 32， 故答案為： 32 15在邊長為 1 的正方體 ABCD中， E， F， G 分別在 ，并且滿足 ， ， 若平面 ，平面 面 B于一點 O，則 x+y+z= ， = 【考點】 平面向量的基本定理及其意義 【分析】 根據(jù)四點共面列出方程組解出 x， y， z，用兩兩垂直的向量 表示出 ，計算 開方即為 | | 【解答】 解： = =x O， A， B， F 四點共面， O， A， C， E 四點共面， O， B， C， G 四點共面， 第 14 頁（共 21 頁） ，解得 ， x+y+z= = ， = ， =（ ） 2= = = | |= 故答案為： ， 三、解答題：本大題共 5小題，共 74分 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 16在銳角 ，角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，已知 b= （ ）求 + 的值； （ ）求 最大值 【考點】 兩角和與差的正切函數(shù)；基本不等式 【分析】 （ ）由條件利用正弦定理求得 2簡 + 為 ，從而求得結(jié)果 （ ）由（ ）可得 ，進一步化為 ，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得它的最大值 第 15 頁（共 21 頁） 【解答】 解：（ ） b= 2 + = + = = = = （ ） 由（ ）可得 2A+B） = 2 = = = 銳角 ， 0， 0，故當 = 時， 2得最大值為 = ， 故 最大值為 17如圖所示，在四棱柱 面 梯形， 面 （ ）求證： （ ）若 B=2 0，點 D 在平面 的射影恰為線段 中點，求平面 【考點】 二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的性質(zhì) 【分析】 （ ）通過已知條件易得 = 、 用 =0 即得 （ ）通過建立空間直角坐標系 O 面 法向量與平面 一個法向量的夾角的余弦值，計算即可 第 16 頁（共 21 頁） 【解答】 （ ）通過條件可知 = 、 用 =即得 （ ）解：設(shè) 線段 中點為 O，連接 由題意知 平面 因為側(cè)面 菱形，所以 故可分別以射線 線 線 x 軸、 y 軸、 z 軸 的正方向建立空間直角坐標系 O 圖所示 設(shè) B=2a，由 0可知 |0B|=a， ， 所以 =a，從而 A（ 0， a， 0）， B（ a， 0， 0）， 0， a， 0）， D（ 0， 0， a），所以 = =（ a， a， 0） 由 可得 C（ a， a， a），所以 =（ a， a， a）， 設(shè)平面 （ 由 = =0，得 ， 取 ，則 ， ，所以 =（ ， 1， ） 又平面 D（ 0， 0， a）， 所以 = = = ， 故平面 18已知函數(shù) f（ x） =bx+c，當 |x|1 時， |f（ x） |1 恒成 立 （ ）若 a=1， b=c，求實數(shù) b 的取值范圍； （ ）若 g（ x） =|bx+a|，當 |x|1 時，求 g（ x）的最大值 【考點】 二次函數(shù)的性質(zhì)；分段函數(shù)的應用 第 17 頁（共 21 頁） 【分析】 （ ）若 a=1， b=c，則 |f（ 1） |=|1+b+b|1， f（ x）的對稱軸 ，進而求得實數(shù) b 的取值范圍； （ ）由當 |x|1 時， |f（ x） |1 恒成立，可知 |f（ 1） |1， |f（ 0） |1， |f（ 1） |1，利用放縮法，可得當 x=0 時， g（ x） =| |取到最大值 2 【解答】 解：（ ）由 a=1 且 b=c，得 ， 當 x=1 時， |f（ 1） |=|1+b+b|1，得 1b0 故 f（ x）的對稱軸 ， 所以當 |x|1 時， ， 解得 綜上，實數(shù) b 的取值范圍為 （ ）由當 |x|1 時， |f（ x） |1 恒成立，可知 |f（ 1） |1， |f（ 0） |1， |f（ 1） |1， 且由 f（ 1） =a b+c， f（ 0） =c， f（ 1） =a+b+c， 解得 ， ， c=f（ 0） 故 1+1=2 且當 a=2， b=0， c= 1 時，若 |x|1，則 |f（ x） |=|21|1 恒成 立， 且當 x=0 時， g（ x） =| |取到最大值 2 所以， g（ x）的最大值為 2 19已知橢圓 E： ，不經(jīng)過原點 O 的直線 l： y=kx+m（ k 0）與橢圓 E 相交于不同的兩點 A、 B，直線 斜率依次構(gòu)成等比數(shù)列 （ ）