第 1 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 2016 年內(nèi)蒙古呼和浩特市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5分，滿分 60分） 1已知復(fù)數(shù) z 滿足 =i，則 z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 A=y|y=2x+1， B=x|x2+x 0， AB=（ ） A x|x 0 B x| 1 x 1 C x|x 1 D x|x 0 或 x 1 3函數(shù) f（ x） =x+1） 的零點(diǎn)所在區(qū)間是（ ） A（ ， 1） B（ 1， e 1） C（ e 1， 2） D（ 2， e） 4閱讀程序框圖，若輸出 S 的值為 14，則判斷框內(nèi)可填寫（ ） A i 6？ B i 8？ C i 5？ D i 7？ 5已知正項(xiàng)等比數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 a2+ 等于（ ） A 5 B 6 C 8 D 9 6不等式組 表示的平面區(qū)域的整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的總數(shù)是（ ） A 23 B 21 C 19 D 18 7某幾何體的三視圖如圖所示，則其側(cè)面積為（ ） 第 2 頁(yè)（共 21 頁(yè)） A B C D 8 | |=1， | |=2， =0，點(diǎn) D 在 ，且 0，設(shè) = + （ ，R），則 等于（ ） A 3 B C D 2 9已知函數(shù) f（ x） =x+）的圖象如圖所示， f（ ） = ，則 f（ ） =（ ）A B C D 10已知點(diǎn) A（ 0， 2），拋物線 C： y2=m 0）的焦點(diǎn)為 F，射線 拋物線 C 相交于點(diǎn) M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn) N，若 | |1： ，則三角形 面積為（ ） A 2 B 2 C 4 D 2 11已知平面 截一球面得圓 M，過圓心 M 與 成 60二面角的平面 截該球面得圓 N，若該球的表面積為 64，圓 M 的面積為 4，則圓 N 的半徑為（ ） A B 3 C D 12已知 a 0，則 x 的方程 ax=b 的充要條件是（ ） A xR， xR， xR， xR， 、填空題（共 4小題，每小題 5分，滿分 20分） 13雙曲線 4 的虛軸長(zhǎng)是 14從 5 臺(tái)甲型和 4 臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出 3 臺(tái)，其中至少要有甲型與乙型電視機(jī)各 1臺(tái)，則不同的取法共有 種 第 3 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 15孫子算經(jīng)卷下第二十六題：今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？ （只需寫出一個(gè)答案即可） 16已知數(shù)列 各項(xiàng)均為正整數(shù)，對(duì)于 nN*有 = （ 其中 k 為使 為奇數(shù)的正整數(shù)） 1 時(shí)， 三、解答 題（共 5小題，滿分 60分） 17已知函數(shù) f（ x） = （ ）若 f（ a） = ，求 a+ ）的值； （ ）在 ，角 A， B， C 的對(duì)邊分別是 a， b， c，且滿足（ 2a c） f（ A） = ，試證明： a2+b2+c2=ab+bc+ 18如圖，在四棱錐 P ，底面 菱形， 0， 平面 D=，點(diǎn) E， F 分別為 點(diǎn) （ ）求證：直線 平面 （ ）求 平面 成角的正弦值 19某地位于甲、乙兩條河流的交匯處，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料預(yù)測(cè)，今年汛期甲河流發(fā)生洪水的概率為 河流發(fā)生洪水的概率為 假設(shè)兩河流發(fā)生洪水與否互不影響）現(xiàn)有一臺(tái)大型設(shè)備正在該地工作，為了保護(hù)設(shè)備，施工部門提出以下兩種方案： 方案 1：建一保護(hù)圍墻，需花費(fèi) 1000 元，但圍墻只能抵御一個(gè)河流發(fā)生的洪水，當(dāng)兩河流同時(shí)發(fā)生洪水時(shí)，設(shè)備仍將受損，損失約 56000 元； 方案 2：不采取措施，此時(shí)，當(dāng)兩條河流都發(fā)生洪水時(shí)損失為 60000 元，只有一條河流發(fā)生洪水時(shí)，損失為 10000 元 （ ）試求方案 2 中損失費(fèi) （隨機(jī)變量）的分布列及期望； （ ）試比較哪一種方案好 20在直角坐標(biāo)系 ，已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓 E 的離心率為 ，且過點(diǎn) M（ 2， 3） （ ）求橢圓 E 的方程； （ ）設(shè) P 是橢圓 E 上一點(diǎn)，過 P 作 兩條斜率之積 的直線 橢圓 E 的右焦點(diǎn) C 為圓心 為半徑作圓，當(dāng)直線 與圓 C 相切時(shí)，求 P 的坐標(biāo) 第 4 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 21已知函數(shù) f（ x） = a 1） x，其中 aR （ ）當(dāng) a0 時(shí)，討論函數(shù) f（ x）的單調(diào)性； （ ）若對(duì)任意 1， ），且 x1 1 恒成 立，求 a 的取值范圍 請(qǐng)考生在 22、 23、 24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分 選修 4何證明選講 22已知 ， C， D 為 接圓劣弧 上的點(diǎn)（不與點(diǎn) A， C 重合），延長(zhǎng) E，延長(zhǎng) 延長(zhǎng)線于 F （ 1）求證： （ 2）求證： CDB 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23在直角坐標(biāo)系 ，射線 參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)， t0），以 O 為極點(diǎn)， x 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 =2 （ ）求射線 極坐標(biāo)方程； （ ）已知直線 l 的極坐標(biāo)方程是 2+ ） =3 ，射線 曲線 C 的交點(diǎn)為 O、P，與直線 l 的交點(diǎn)為 Q，求線段 長(zhǎng) 選修 4等式選講 24已知函數(shù) f（ x） =|x 2a|+|x a|， xR， a0 （ 1）當(dāng) a=1 時(shí)，解不等式： f（ x） 2 （ 2）若 bR，證明： f（ b） f（ a），并求在等號(hào)成立時(shí) 的范圍 第 5 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 2016 年內(nèi)蒙古呼和浩特市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5分，滿分 60分） 1已知復(fù)數(shù) z 滿足 =i，則 z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四 象限 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 把已知等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算求得 z，則答案可求 【解答】 解：由 =i，得 z i=（ 1 i） z=i， z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ），位于第二象限 故選： B 2已知集合 A=y|y=2x+1， B=x|x2+x 0， AB=（ ） A x|x 0 B x| 1 x 1 C x|x 1 D x|x 0 或 x 1 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 求出 A 中 y 的范圍確定出 A，求出 B 中 x 的范圍確定出 B，找出 A 與 B 的交集即可 【解答】 解：由 A 中 y=2x+1 1，得到 A=y|y 1， 由 B 中不等式變形得： x（ x+1） 0， 解得： x 1 或 x 0，即 B=x|x 1 或 x 0， 則 AB=x|x 1， 故選： C 3函數(shù) f（ x） =x+1） 的零點(diǎn)所在區(qū)間是（ ） A （ ， 1） B（ 1， e 1） C（ e 1， 2） D（ 2， e） 【考點(diǎn)】 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理 【分析】 函數(shù) f（ x） =x+1） 的零點(diǎn)所在區(qū)間需滿足的條件是函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反 【解答】 解： f（ e 1） =1 = 0， f（ 2） =1 1=0， 函數(shù) f（ x） =x+1） 的零點(diǎn)所在區(qū)間是 （ e 1， 2）， 故選 C 第 6 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 4閱讀程序框圖，若輸出 S 的值為 14，則判斷框內(nèi)可填寫（ ） A i 6？ B i 8？ C i 5？ D i 7？ 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 設(shè)計(jì)循環(huán)語句的問題通常可以采用一次執(zhí)行循環(huán)體的方式解決 【解答】 解：第一次執(zhí)行循環(huán)體時(shí)， S=1， i=3；第二 次執(zhí)行循環(huán)時(shí)， S= 2， i=5；第三次執(zhí)行循環(huán)體時(shí)， S= 7， i=7，第四次執(zhí)行循環(huán)體時(shí)， S= 14， i=8， 所以判斷框內(nèi)可填寫 “i 8？ ”， 故選 B 5已知正項(xiàng)等比數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 a2+ 等于（ ） A 5 B 6 C 8 D 9 【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 【分析】 利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前 n 項(xiàng)和公式即可得出 【解答】 解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列 公比為 q 0， a2+ ，化為 q2+q 6=0， 解得 q=2 則 = = =9 故選： D 6不等式組 表示的平面區(qū)域的整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的總數(shù)是（ ） A 23 B 21 C 19 D 18 第 7 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，分 別令 x=0， 1， 2， 3， 4 解不等式組即可得到結(jié)論 【解答】 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖； 當(dāng) x=0 時(shí)，不等式組等價(jià)為 ，即 0y6，此時(shí) y=0， 1， 2， 3， 4， 5， 6，有 7 個(gè)整點(diǎn)， 當(dāng) x=1 時(shí)，不等式組等價(jià)為 ，即 1y ，此時(shí) y=1， 2， 3， 4， 5，有 5 個(gè)整點(diǎn)， 當(dāng) x=2 時(shí)，不等式組等價(jià)為 ，即 2y5，此時(shí) y=2， 3， 4， 5，有 4 個(gè)整點(diǎn)， 當(dāng) x=3 時(shí)，不等式組等價(jià)為 ，即 3y ，此時(shí) y=3， 4，有 2 個(gè)整點(diǎn)， 當(dāng) x=4 時(shí)，不等式組等價(jià) ，即 y=4，此時(shí) y 有 1 個(gè)整點(diǎn)， 當(dāng) x5 時(shí)，不等式組無解， 綜上共有 7+5+4+2+1=19 個(gè)， 故選： C 7某幾何體的三 視圖如圖所示，則其側(cè)面積為（ ） A B C D 第 8 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 從三視圖可以推知，幾何體是四棱錐，底面是一個(gè)直角梯形，一條側(cè)棱垂直底面，易求側(cè)面積 【解答】 解：幾何體是四棱錐，底面是一個(gè)直角梯 形，一條側(cè)棱垂直底面 且底面直角梯形的上底為 1，下底為 2，高為 1，四棱錐的高為 1 四個(gè)側(cè)面都是直角三角形， 其中 高 = = 故其側(cè)面積是S=S 故選 A 8 | |=1， | |=2， =0，點(diǎn) D 在 ，且 0，設(shè) = + （ ，R），則 等于（ ） A 3 B C D 2 【考點(diǎn)】 平面向量的基本定理及其意義 【分析】 =0， ， ，建立平面直角坐標(biāo)系，分別寫出 B、 C 點(diǎn)坐標(biāo)，由于 0，設(shè) D 點(diǎn)坐標(biāo)為（ y， y），由平面向量坐標(biāo)表示，可求出 和 【解答】 解：由 =0， ， ， 以 A 為原點(diǎn)，以 所在的直線為 x 軸正半軸，以 所在的直線為 y 軸的正半軸， 則 B 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1， 0）， C 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0， 2）， 0設(shè) D 點(diǎn)坐標(biāo)為（ y， y）， = + （ ， R）， 即（ y， y） =（ ， 2）， ， ， =2 故選： D 9已知函數(shù) f（ x） =x+）的圖象如圖所示， f（ ） = ，則 f（ ） =（ ）A B C D 【考點(diǎn)】 余弦函數(shù)的圖象 第 9 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 【分析】 由周期求出 ，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出 的值，可得 f（ x）的解析式，再利用誘導(dǎo)公式求得 f（ ）的 值 【解答】 解：由函數(shù) f（ x） =x+）的圖象，可得 = = ， =3， f（ ） =3 +） = ， f（ ） =+） = ， 故選： C 10已知點(diǎn) A（ 0， 2），拋物線 C： y2=m 0）的焦點(diǎn)為 F，射線 拋物線 C 相交于點(diǎn) M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn) N，若 | |1： ，則三角形 面積為（ ） A 2 B 2 C 4 D 2 【考點(diǎn)】 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 作出 M 在準(zhǔn)線上的射影 K，根據(jù) | |定 | |值，進(jìn)而列方程求得 m，再由三角形的面積公式，計(jì)算即可得到所求值 【解答】 解：拋物線 C： y2=焦點(diǎn) F（ ， 0）， 設(shè) M 在準(zhǔn)線上的射影為 K， 由拋物線的定義知 | 由 | |1： ，可得 | |1： ， 則 | |2： 1， = ， 又 = 2 即有 =2，求得 m=4， 則三角形 面積為 41=2 故選： A 第 10 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 11已知平面 截一球面得圓 M，過圓心 M 與 成 60二面角的平面 截該球面得圓 N，若該球的表面積為 64，圓 M 的面積為 4，則圓 N 的半徑為（ ） A B 3 C D 【考點(diǎn)】 球的體積和表面積 【分析】 先求出圓 M 的半徑，球面的半徑，然后根據(jù)勾股定理求出求出 長(zhǎng)，找出二面角的平面角，從而求出 長(zhǎng)，最后利用垂徑定理即可求出圓 N 的半徑 【解答】 解：球的表面積為 64，可得球面的半徑為 4 圓 M 的面積為 4 圓 M 的半徑為 2 根據(jù)勾股定理可知 過圓心 M 且與 成 60二面角的平面 截該球面得圓 N 0， 在直角三角形 ， ， 圓 N 的 半徑為 故選： D 12已知 a 0，則 x 的方程 ax=b 的充要條件是（ ） A xR， xR， xR， xR， 考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 a 0， 足關(guān)于 x 的方程 ax=b，則 配方 = 利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論 【解答】 解： a 0， x 的方程 ax=b，則 = a 0， 當(dāng) x= 時(shí)， 有最大值， a 0，則 x 的方程 ax=b 的充要條件是 故選： D 第 11 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 二、填空題（共 4小題，每小題 5分，滿分 20分） 13雙曲線 4 的虛軸長(zhǎng)是 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出 b，即可求出雙曲線的虛軸長(zhǎng)為 2b 【解答 】 解：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1， 則 ，則 b= ，即虛軸長(zhǎng) 2b=2 = ， 故答案為： ， 14從 5 臺(tái)甲型和 4 臺(tái)乙型電視 機(jī)中任意取出 3 臺(tái)，其中至少要有甲型與乙型電視機(jī)各 1臺(tái)，則不同的取法共有 70 種 【考點(diǎn)】 計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 【分析】 任意取出三臺(tái)，其中至少要有甲型和乙型電視機(jī)各 1 臺(tái)，有兩種方法，一是甲型電視機(jī) 2 臺(tái)和乙型電視機(jī) 1 臺(tái)；二是甲型電視機(jī) 1 臺(tái)和乙型電視機(jī) 2 臺(tái)，分別求出取電視機(jī)的方法，即可求出所有的方法數(shù) 【解答】 解：甲型 2 臺(tái)與乙型電視機(jī) 1 臺(tái)共有 40；甲型 1 臺(tái)與乙型電視機(jī) 2 臺(tái)共有=30；不同的取法共有 70 種 故答案為： 70 15孫子算經(jīng)卷下第二十六題：今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二 ，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？ 23，或 105k+23（ k 為正整數(shù)） （只需寫出一個(gè)答案即可） 【考點(diǎn)】 進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理 【分析】 根據(jù) “三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二 ”找到三個(gè)數(shù)：第一個(gè)數(shù)能同時(shí)被 3 和 5 整除；第二個(gè)數(shù)能同時(shí)被 3 和 7 整除；第三個(gè)數(shù)能同時(shí)被 5 和 7 整除，將這三個(gè)數(shù)分別乘以被 7、 5、 3 除的余數(shù)再相加即可求出答案 【解答】 解：我們首先需要先求出三個(gè)數(shù)： 第一個(gè)數(shù)能同時(shí)被 3 和 5 整除，但除以 7 余 1，即 15； 第二個(gè)數(shù)能同時(shí)被 3 和 7 整除，但除以 5 余 1，即 21； 第三個(gè)數(shù)能同時(shí)被 5 和 7 整除，但除以 3 余 1，即 70； 然后將這三個(gè)數(shù)分別乘以被 7、 5、 3 除的余數(shù)再相加，即： 152+213+702=233 最后，再減去 3、 5、 7 最小公倍數(shù)的整數(shù)倍，可得： 233 1052=23或 105k+23（ k 為正整數(shù)） 故答案為： 23，或 105k+23（ k 為正整數(shù)） 16已知數(shù)列 各項(xiàng)均為正整數(shù)，對(duì)于 nN*有 = （ 其中 k 為使 為奇數(shù)的正整數(shù)） 1 時(shí)， 31 【考點(diǎn)】 數(shù)列遞推式 第 12 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 【分析 】 由已知數(shù)列遞推式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)數(shù)列從第三項(xiàng)開始是周期為 6 的周期數(shù)列，故 610+2） =1 【解答】 解：由 = ，且 1， 得 11+5=38， ， 19+5=62， ， 31+5=98， ， 49+5=152， ， 數(shù)列 第三項(xiàng)開始是周期為 6 的周期數(shù)列 則 610+2） =1 答案為： 31 三、解答題（共 5小題，滿分 60分） 17已知函數(shù) f（ x） = （ ）若 f（ a） = ，求 a+ ）的值； （ ）在 ，角 A， B， C 的對(duì)邊分別是 a， b， c，且滿足 （ 2a c） f（ A） = ，試證明： a2+b2+c2=ab+bc+ 【考點(diǎn)】 正弦定理；兩角和與差的正弦函數(shù) 【分析】 （ ）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得 f（ x） =+ ） + ，由 f（ a） = ， 解得： + ） =1，進(jìn)而可求 ， 兩角和的正切函數(shù)公式即可得解 a+ ）的值 （ ）結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式可得 C+B） =對(duì)已知（ 2a c）用正弦定理化簡(jiǎn)可求 B，由 f（ A） = ，及 A 的范圍可得 A，進(jìn)而解得C=A=B，即 a=b=c，即可證明得解 a2+b2+c2=ab+bc+ 【解答】 解：（ ） f（ x） = = =+ ）+ ， f（ a） = =+ ） + ，解得： + ） =1， + =2， kZ，解得： =4， kZ， 4） = ， 第 13 頁(yè)（共 21 頁(yè)） a+ ） = =0 （ ）證明： A+B+C=，即 C+B= A， C+B） = A） = 將（ 2a c） 用正弦定理化簡(jiǎn)得：（ 2 2C+B） = 在 ， 0 A ， 0， ，又 0 B ，則 B= ， f（ A） = =+ ） + ，解得： + ） = ， 0 A ， + ， + = ，解得： A= ， C= A B= ， a=b=c， a2+b2+c2=ab+bc+證 18如圖，在四棱錐 P ，底面 菱形， 0， 平面 D=，點(diǎn) E， F 分別為 點(diǎn) （ ）求證：直線 平面 （ ）求 平面 成角的正弦值 【考點(diǎn)】 直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定 【分析】 （ ）首先利用中點(diǎn)引 出中位線，進(jìn)一步得到線線平行，再利用線面平行的判定定理得到結(jié)論 （ ）根據(jù)直線間的兩兩垂直，盡力空間直角坐標(biāo)系，再求出平面 法向量，最后利用向量的數(shù)量積求出線面的夾角的正弦值 【解答】 解：（ ）證明：作 M 點(diǎn) F 為 點(diǎn)， 點(diǎn) E 為 中點(diǎn) ， 第 14 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 又 四邊形 平行四邊形， 面 面 直線 平面 （ ）已知 0， 進(jìn)一步求得： 則：建立空間直角坐標(biāo)系， 則 P（ 0， 0， 1）， C（ 0， 1， 0）， E（ ， 0， 0）， A（ ， ， 0）， B（ ， ， 0） 所以： ， 設(shè)平面 一個(gè)法向量為： ， ， 則： ， 解得： ， 所以平面 法向量為： ， 設(shè)向量 和 的夾角為 ， ， 面 成角的正弦值為 第 15 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 19某地位于甲、乙兩條河流的交匯處，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料預(yù)測(cè)，今年汛期甲河流發(fā)生洪水的概率為 河流發(fā)生洪水的概率為 假設(shè)兩河流發(fā)生洪水與否互不影響）現(xiàn)有一臺(tái)大型設(shè)備正在該地工作，為了保護(hù)設(shè)備，施工部門提出以下兩種方案： 方案 1：建一保護(hù)圍墻，需花費(fèi) 1000 元，但圍墻只能抵御一個(gè)河流發(fā)生的洪水，當(dāng)兩河流同時(shí)發(fā)生洪水時(shí)，設(shè)備仍將受損，損失約 56000 元； 方案 2：不采取措施，此時(shí)，當(dāng)兩條河流都發(fā)生洪水時(shí)損失為 60000 元，只有一條河流發(fā)生洪水時(shí)，損失為 10000 元 （ ）試求方案 2 中損失費(fèi) （隨機(jī)變量）的分布列及期望； （ ）試比較哪一種方案好 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差； 概率的意義；離散型隨機(jī)變量及其分布列 【分析】 （ ）在方案 2 中，記 “甲河流發(fā)生洪水 “為事件 A， “乙河流發(fā)生洪水 “為事件 B，則 P（ A） =P（ B） =此能求出方案 2 中損失費(fèi) （隨機(jī)變量）的分布列及期望（ ）對(duì)方案 1 來說，建圍墻需花費(fèi) 1000 元，它只能抵御一條河流的洪水，求出該方案中可能的花費(fèi)，從而得到方案 1 最好 【解答】 解：（ ）在方案 2 中，記 “甲河流發(fā)生洪水 “為事件 A， “乙河流發(fā)生洪水 “為事件 B， 則 P（ A） =P（ B） = 有且只有一條河流發(fā)生洪水的概率為： P（ A + B） =P（ A） P（ ） +P（ ） P（ B） = 1 +（ 1 兩河流同時(shí)發(fā)生洪水的概率為 P（ = 都不發(fā)生洪水的概率為 P（ ） =（ 1 1 = 設(shè)損失費(fèi)為隨同變量 ，則 的分布列為： 10000 60000 0 P （ ） =100000000100（元） （ ）對(duì)方案 1 來說，建圍墻需花費(fèi) 1000 元，它只能抵御一條河流的洪水， 但當(dāng)兩河流都有發(fā)生洪水時(shí)，損失約 56000 元， 而兩河流同時(shí)發(fā)生洪水的概率為 p= 該方案中可能的花費(fèi)為 1000+56000520 對(duì)于方案 2， 由（ 1）知損失費(fèi)的數(shù)學(xué)期望為 6100 元， 比較知方案 1 最好 第 16 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 20在直角坐標(biāo)系 ，已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓 E 的離心率為 ，且過點(diǎn) M（ 2， 3） （ ）求橢圓 E 的方程； （ ）設(shè) P 是橢圓 E 上一點(diǎn)，過 P 作兩條斜率之積 的直線 橢圓 E 的右焦點(diǎn) C 為圓心 為半徑作圓，當(dāng)直線 與圓 C 相切時(shí)，求 P 的坐標(biāo) 【考點(diǎn)】 橢圓 的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 （ I）設(shè)橢圓 E 的方程為： + =1（ a b 0），由題意可得： = ， =1，又 a2=b2+立解出即可得出 （ （ I）可知：圓心 C（ 2， 0），半徑為 設(shè) P（ 直線 斜率分別為 y y0=x 方程為： y y0=x 利用直線 相切的充要條件可得： +2（ 2 =0，同理可得：+2（ 2 =0，因此 方程： （ 2 =0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根可得 = ，又 + =1聯(lián)立解出即可得出 【解答】 解：（ I）設(shè)橢 圓 E 的方程為： + =1（ a b 0）， 由題意可得： = ， =1，又 a2=b2+ 聯(lián)立解得 c=2， a=4， 2 橢圓 E 的方程為 + =1 （ （ I）可知：圓心 C（ 2， 0），半徑為 設(shè) P（ 直線 斜率分別為 則 y y0=x 方程為： y y0=x 由直線 相切時(shí)， = ， +2（ 2 =0，同理可得： +2（ 2=0， （ 2 =0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 第 17 頁(yè)（共 21 頁(yè)） ，且 = ， + =1 836=0，解得 2 或 由 2，解得 3；由 ， 解得 ，滿足條件 點(diǎn) P 的坐標(biāo)分別為：（ 2， 3）， 21已知函數(shù) f（ x） = a 1） x，其中 aR （ ）當(dāng) a0 時(shí)，討論函數(shù) f（ x）的單調(diào)性； （ ）若對(duì)任意 1， ），且 x1 1 恒成立，求 a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū) 間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 （ ）求出函數(shù) f（ x）的導(dǎo)函數(shù) f（ x），再分類討論，當(dāng) 1 a0 時(shí)， x（ 0， a）時(shí)， f（ x） 0， f（ x）為增函數(shù)， x（ a， 1）時(shí)， f（ x） 0， f（ x）為減函數(shù)， x（ 1，+）時(shí)， f（ x） 0， f（ x）為增函數(shù)，當(dāng) a 1 時(shí)， x（ 0， 1）時(shí)， f（ x） 0， f（ x）為增函數(shù)， x（ 1， a）時(shí)， f（ x） 0， f（ x）為減函數(shù)， x（ a， +）時(shí)， f（ x） 0，f（ x）為增函數(shù)； （ ）由已知條件不妨設(shè) 上式等價(jià)于 f（ +f（ + 0 在 x（ 1， ）恒成立，構(gòu)造輔助函數(shù) g（ x） =f（ x） +x，則 y=g（ x）在 x（ 1， ）單調(diào)遞增，由 g（ x）求導(dǎo)得 ，則 在 x（ 1， ）恒成立，即 在 x（ 1，）恒成立，令 ，由 x（ 1， ），則 （ 0， 1）得到 h（ x） 4，從而可求出 a 的取值范圍 【解答】 解：（ ） f（ x） = = ， 當(dāng) 1 a0 時(shí)， x（ 0， a）時(shí)， f（ x） 0， f（ x）為增函數(shù)， x（ a， 1）時(shí)， f（ x） 0， f（ x）為減函數(shù)， x（ 1， +）時(shí)， f（ x） 0， f（ x）為增函數(shù) 當(dāng) a 1 時(shí)， x（ 0， 1）時(shí)， f（ x） 0， f（ x）為增函數(shù)， 第 18 頁(yè)（共 21 頁(yè)） x（ 1， a）時(shí)， f（ x） 0， f（ x）為減函數(shù)， x（ a， +）時(shí)， f（ x） 0， f（ x）為增函數(shù)； （ ） 1 對(duì)任意 1， ），且 x1成立， 不妨設(shè) 上式等價(jià)于 f（ +f（ + 0 在 x（ 1， ）恒成立， 構(gòu)造輔助函數(shù) g（ x） =f（ x） +x，則 y=g（ x）在 x（ 1， ）單調(diào)遞增 ， 則 在 x（ 1， ）恒 成立， 在 x（ 1， ）恒成立， 令 ， x（ 1， ）， （ 0， 1） h（ x） 4 a 4 請(qǐng)考生在 22、 23、 24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分 選修 4何證明選講 22已知 ， C， D 為 接圓劣弧 上的 點(diǎn)（不與點(diǎn) A， C 重合），延長(zhǎng) E，延長(zhǎng) 延長(zhǎng)線于 F （ 1）求證： （ 2）求證： CDB 【考點(diǎn)】 與圓有關(guān)的比例線段 【分析】 （ I）根據(jù) A， B， C， D 四點(diǎn)共圓，可得 C 可得 而得解 （ 明 得 D為 C，所以 C=F，再根據(jù)割線定理即可得到結(jié)論 【解答】 證明：（