第 1 頁（共 13 頁） 2015年江西省南昌市高一（下）期中數(shù)學試卷 一、選擇題：本大題共 12小題，每小題 5分，共 60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1已知集合 A= 2， 1， 0， 1， B=x| 2x 1，則 AB=（ ） A 1， 0 B 1， 0， 1 C 2， 1， 0 D 2， 1， 1 2設函數(shù) f（ x） = ，則 ff（ 3） 等于（ ） A 1 B 1 C 5 D 5 3函數(shù) y= （ ） A最小正周期為 2的偶函數(shù) B最小正周期為 2的奇函數(shù) C最小正周期為 的偶函數(shù) D最小正周期為 的奇函數(shù) 4已知 b a c，則（ ） A a b c B c a b C b a c D b c a 5函數(shù) f（ x） =2x 1+x 5 的零點所在的區(qū)間為（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 6要得到函數(shù) y=x ）的圖象，只需將函數(shù) y=圖象（ ） A向左平移 個單位 B向右平移 個單位 C向左平移 個單位 D向右平移 個單位 7在數(shù)列 ， ， =， 前 n 項和，若 00，則 n 等于（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 8設 a， bR，且 a b，則下列結論中正確的是（ ） A l B C |a| |b| D 下列表達式中，正確的是（ ） A +） = +） = ） = ） =0函數(shù) f（ x） =3x+）的部分圖象如圖，則 f（ x）的單調遞增區(qū)間為（ ）A（ ， ）， k 2， 2）， kZ C（ 2k ， 2k ）， kZ D（ k ， k ）， kZ 第 2 頁（共 13 頁） 11已知等比數(shù)列 ， 3n 1，則由此數(shù)列的偶數(shù)項所組成的新數(shù)列的前 n 項和 ） A 3n 1 B 3（ 3n 1） C D 12菱形 長為 2， 20，點 E， F 分別別在 ， = ， = ，若 =1， = ，則 +=（ ） A B C D 二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5分，共 20分 13 8 = 14不等式 0 的解集是 15函數(shù) y=最大值為 16設 x 0， y 0，若 等差中項，則 + 的最小值為 三、解答題：本大題共 6個題，共 70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17向量 =（ 4， 3）， =（ 2x， y）， =（ x+ ， 2），已知 ， ，求 x， y 的值 18已知函數(shù) f（ x） = 的定義域是集合 A，函數(shù) g（ x） =x a）的定義域是集合 B （ 1）求集合 A、 B； （ 2）若 C=x|2 1，求 AC 19已知函數(shù) f（ x） =b中 a， b 為正實數(shù)且 a1）的圖象經過點 A（ 1， 27）， B（ 1，3） （ 1）試求 a、 b 的值； （ 2）若不等式 ax+bxm 在 x1， +）時恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍 20在 ，內角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，且 a （ 1）求角 B 的大??； （ 2）若 b=3， 別求 a 和 c 的值 21已知等比數(shù)列 滿足 a1+， a2 （ 1）求數(shù)列 通項公式； （ 2）求數(shù)列 （ 2n 1） 前 n 項和 22某漁業(yè)公司年初用 98 萬元 購買一艘捕魚船，第一年各種費用 12 萬元，以后每年都增加4 萬元，每年捕魚收益 50 萬元 （ 1）問第幾年開始獲利？ （ 2）若干年后，有兩種處理方案： 年平均獲利最大時，以 26 萬元出售該漁船； 第 3 頁（共 13 頁） 總純收入獲利最大時，以 8 萬元出售該漁船 問哪種方案更合算？ 第 4 頁（共 13 頁） 2015年江西省南昌市高一（下）期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12小題，每小題 5分，共 60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1已知集合 A= 2， 1， 0， 1， B=x| 2x 1，則 AB=（ ） A 1， 0 B 1， 0， 1 C 2， 1， 0 D 2， 1， 1 【考點】 交集及其運算 【分析】 由 A 與 B，求出兩集合的交集即可 【解答】 解： A= 2， 1， 0， 1， B=x| 2x 1， AB= 2， 1， 0， 故選： C 2設函數(shù) f（ x） = ，則 ff（ 3） 等于（ ） A 1 B 1 C 5 D 5 【考點】 函數(shù)的值 【分析】 根據(jù)分段函數(shù)的表達式，利用代入法進行求解即可 【解答】 解： f（ 3） =32 3 5=9 3 5=1， f（ 1） =1 2= 1， 即 ff（ 3） =f（ 1） = 1， 故選： A 3函數(shù) y=（ ） A最小正周期為 2的偶函數(shù) B最小正周期為 2的奇函數(shù) C最小正周期為 的偶函數(shù) D最小正周期為 的奇函數(shù) 【考點】 三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的奇偶性 【分析】 根據(jù)三角函數(shù)的周期公式算出最小正周期 T=，結合正弦函數(shù)的奇偶性即可得到本題答案 【解答】 解： 函數(shù) y= =2 最小正周期為 T= = 又 y=足 f（ x） = f（ x） 函數(shù) y=奇函數(shù) 因此，函數(shù) y=最小正周期為 的奇函數(shù) 故選： D 4已知 b a c，則（ ） A a b c B c a b C b a c D b c a 【考點】 對數(shù)值大小的比較 第 5 頁（共 13 頁） 【分析】 直接利用對數(shù)函數(shù)的單調性結合已 知得答案 【解答】 解： 函數(shù) y= 是減函數(shù)， 由 b a c， 得 c a b 故選： B 5函數(shù) f（ x） =2x 1+x 5 的零點所在的區(qū)間為（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 【考點】 函數(shù)零點的判定定理 【分析】 根據(jù)零點的判定定理，對選項 逐一驗證即可 【解答】 解： f（ 0） f（ 1） =（ ）（ 1+1 5） 0，排除 A f（ 1） f（ 2） =（ 1+1 5）（ 2+2 5） 0，排除 B f（ 2） f（ 3） =（ 2+2 5）（ 4+3 5） 0，一定有零點 故選 C 6要得到函數(shù) y=x ）的圖象，只需將函數(shù) y=圖象（ ） A向左平移 個單位 B向右平移 個單位 C向左平移 個單位 D向右平移 個單位 【考點】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【分析】 由條件利用 y=x+）的圖象變換規(guī)律，得出結論 【解答】 解：將函數(shù) y=圖象向右平移 個單位，可得函數(shù) y=x ） 的圖象， 故選： B 7在數(shù)列 ， ， =， 前 n 項和，若 00，則 n 等于（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 【考點】 數(shù)列的求和 【分析】 由已知可得數(shù)列 首項為 1，公差為 2 的等差數(shù)列，求出其前 n 項和后得答案 【解答】 解：由 ， =，得數(shù)列 首項為 1，公差為 2 的等差數(shù)列， 則 ， 由 00，得 n=10 故選： D 8設 a， bR，且 a b，則 下列結論中正確的是（ ） A l B C |a| |b| D 考點】 不等式的基本性質 第 6 頁（共 13 頁） 【分析】 對于 A， B， C，舉反例即可判斷，對于 D，根據(jù)冪函數(shù)的性質即可判斷 【解答】 解：對于 A，若 a=1， b= 1，則 1，故 A 不成立， 對于 B，若 a=1， b= 1，則 ，故 B 不成立， 對于 C，若 a=1， b= 1，則 |a|=|b|，故 C 不成立， 對于 D，對于冪函數(shù) y= D 成立， 故選： D 9下列表達式中，正確的是（ ） A +） = +） = ） = ） =考點】 兩角和與差的余弦函數(shù) 【分析】 由條件根據(jù)根據(jù)兩角和差的正弦、余弦公式，得出結論 【解答】 解：根據(jù)兩角和差的正弦、余弦公式可得， +） = 而 +） = ） = ） = 故選： A 10函數(shù) f（ x） =3x+）的部分圖象如圖，則 f（ x）的單調遞增區(qū)間為（ ）A（ ， ）， k 2， 2）， kZ C（ 2k ， 2k ）， kZ D（ k ， k ）， kZ 【考點】 正弦函數(shù)的圖象 【分析】 由周期求出 ，由五點法作圖求出 的值，再利用正弦函數(shù)的單調性，求得 f（ x）的增區(qū)間 【解答】 解：根據(jù)函數(shù) f（ x） =3x+）的部分圖象，可得 = ，求得 = 再根據(jù)五點法作圖可得 +=，求得 = ， （ x） =3x+ ） 令 2x+ 2，求得 2k x2k ，故函數(shù)的增區(qū)間為 2k ， 2k ），kZ， 故選： C 11已知等比數(shù)列 ， 3n 1，則由此數(shù)列的偶數(shù)項所組成的新數(shù)列的前 n 項和 ） 第 7 頁（共 13 頁） A 3n 1 B 3（ 3n 1） C D 【考點】 等比數(shù)列的前 n 項和 【分析】 求出等比數(shù)列 的第二項和第四項，求得新數(shù)列的公比，由等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求 【解答】 解：等比數(shù)列 ， 3n 1， 即有 ， 4， 則新數(shù)列的公比為 9， 即有 = 故選： D 12菱形 長為 2， 20，點 E， F 分別別在 ， = ， = ，若 =1， = ，則 +=（ ） A B C D 【考點】 平面向量的基本定理及其意義 【分析】 利用兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積的定義由若 =1，求得 4+4 2=3 ；再由 = ，得 2 2+2= ，結合 求得 +的值 【解答】 解：由題意可得 = = + + =22 + = 2+4+4+22=4+4 2 2=1， 4+4 2=3 = （ ） =（ 1 ） =（ 1 ） （ 1 ） （ 1 ）（ 1 ） 22（ 1 +）（ 2） = ， 即 2 2+2= ， 由 求得 += ， 故選： C 二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5分，共 20分 第 8 頁（共 13 頁） 13 8 = 2 【考點】 對數(shù)的運算性質 【分析】 利用對數(shù)的運算法則及有理數(shù)指數(shù)冪的運算法 則即可求得 【解答】 解：原式 =49） =2 22= 2 故答案為： 2 14不等式 0 的解集是 【考點】 其他不等式的解法 【分析】 解不等式轉化為不等式組，解出即可 【解答】 解：原不等式可化為： 或 ， 解得： x ， 故答案為： 15函數(shù) y=最大值為 2 【考點】 兩角和與差的正弦函數(shù) 【分析】 變形可得 y=2（ =2x ），易得最值 【解答】 解：化簡可得 y=2（ =2（ =2x ） 當 x ） =1 時，原函數(shù)取最大值 2 故答案為： 2 16設 x 0， y 0，若 等差中項，則 + 的最小值為 【考點】 基本不等式；對數(shù)的運算性質 【分析】 由已知結合等差中項的概念求得 ，再 利用不等式的性質求得 + 的最小值 【解答】 解： 等差中項， 則 第 9 頁（共 13 頁） 則 + 故答案為： 三、解答題：本大題共 6個題，共 70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17向量 =（ 4， 3）， =（ 2x， y）， =（ x+ ， 2），已知 ， ，求 x， y 的值 【考點】 平面向量共線（平行）的坐標表示；平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 由已知向量的坐標，結合向量共線與垂直的坐標表示列關于 x， y 的方程組，求解方程組得答案 【解答】 解： =（ 4， 3）， =（ 2x， y）， =（ x+ ， 2）， 由已知 a b， a c， 可得 ， 解得： x=6， y= 9 18已知函數(shù) f（ x） = 的定義域是集合 A，函數(shù) g（ x） =x a）的定義域是集合 B （ 1）求集合 A、 B； （ 2）若 C=x|2 1，求 AC 【考點】 交集及其運算；函數(shù)的定義域及其求法 【 分析】 根據(jù)函數(shù)的定義域的求法，求出集合 A， B， C，再根據(jù)交集的定義即可求出 【解答】 解：（ 1）因為（ 1+x）（ 2 x） 0 所以 1x2，集合 A=x| 1x2； 因為 x a 0，所以 x a，集合 B=x|x a （ 2）因為 ， 所以 2x 3 0 解得： x| 1 x 3， 則 AC=x| 1 x2 19已知函數(shù) f（ x） =b中 a， b 為正實數(shù)且 a1）的圖象經過點 A（ 1， 27）， B（ 1，3） （ 1）試 求 a、 b 的值； （ 2）若不等式 ax+bxm 在 x1， +）時恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍 【考點】 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質；函數(shù)恒成立問題 【分析】 （ 1）根據(jù)點 A、 B 在圖象列出方程組，求出 a、 b 的值； （ 2）由（ 1）可得 m3x+9x，令 u（ x） =3x+9x，由指數(shù)函數(shù)的單調性判斷出函數(shù) u（ x）在1， +）上單調性，求出 u（ x） 恒成立求出實數(shù) m 的取值范圍 第 10 頁（共 13 頁） 【解答】 解：（ 1）由已知可得， ， 解得 a=3， b=9 （ 2）由（ 1）可得 m3x+9x， x1， +）， 令 u=（ x） 3x+9x， x1， +），只需 m 因為函數(shù) u（ x） =3x+91， +）為單調增函數(shù)， 所以 u（ x） 2， 即實數(shù) m 的取值范圍是： m|m12 20在 ，內角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，且 a （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 b=3， 別求 a 和 c 的值 【考點】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）由 a正弦定理可得： 簡整理即可得出 （ 2）由 得 c=2a，由余弦定理可得： b2=a2+2入計算即可得出 【解答】 解：（ 1） a正弦定理可得： ， B（ 0， ）， 可知： ，否則矛盾 ， B= （ 2） c=2a， 由余弦定理可得： b2=a2+2 9=a2+ 把 c=2a 代入上式化為： ，解得 a= ， 21已知等比數(shù)列 滿足 a1+， a2 （ 1）求數(shù)列 通項公式； （ 2）求數(shù)列 （ 2n 1） 前 n 項和 【考點】 數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項公式 【分析】 （ 1）由已知求得 值，進一步求得公比，代入等比數(shù)列的通項公式得答案； （ 2）直接利用錯位相減法求數(shù)列 （ 2n 1） 前 n 項和 【解答】 解：（ 1）在等比數(shù)列 ， ， ， 解得： 或 （舍去）， ，得 q=2， 第 11 頁（共 13 頁） ； （ 2）設 ， 則 Tn=c1+c2+32+522+（ 2n 1） 2n 1， ， 由 得： =1+22+23+2n（ 2n 1） 2n =2+22+23+2n（ 2n 1） 2n 1 = ， 22某漁業(yè)公司年初用 98 萬元購買一艘捕魚船，第一年各種費用 12 萬元，以后每年都增加4 萬元，