第 1 頁（共 16 頁） 2015年山東省臨沂市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1已知 =（ 2， x， 5）， =（ 4， 6， y），若 ，則（ ） A x=3， y=10 B x=6， y=10 C x=3， y=15 D x=6， y=15 2已知 a， b， c 為非零常數(shù)，則下列命題正確的是（ ） A若 a b，則 若 a b，則 若 a b，則 若 a b，則 3設(shè)等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 ， 2，則 ） A 49 B 51 C 53 D 55 4 “x， y R， x2+”是 “”的（ ） A充分不必要條 件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 5若不等式 x2+m 0，的解集為 R，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（ ） A m 4 或 m 0 B m 0 或 m 4 C 4 m 0 D 0 m 4 6命題 p： x R， 2x+2 x 2， q： R， =0，則（ ） A p q 為真命題 B p q 為真命題 C p 為真命題 D（ p） （ q）為真命題 7若雙曲線 =1（ a 0， b 0）的一條漸近線方程為 2x y=0，則它的離心率為（ ） A B 2 C D 8在 ， a， b， c 分別為 A， B， C 的對(duì)邊，若 a+b+c=10， S ， A=60，則 a=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 9若正實(shí)數(shù) a， b 滿足 a+2b=1，則下列說法正確的是（ ） A 最大值 B + 有最小值 5 C + 有最大值 1+ D 最小值 10已知橢圓 + =1（ a b 0）與雙曲線 =1（ m 0， n 0）有相同的焦點(diǎn)（c， 0）和（ c， 0），若 c 是 a， m 的等比中項(xiàng)， 2 等差中項(xiàng)，則橢圓的離心率是（ ） A B C D 二、填空題：本大題共 5 個(gè)小題，每小題 5 分，共 25 分。把正確答案填寫在答題卡給定的橫線上 第 2 頁（共 16 頁） 11在等比數(shù)列 ， a1+， a2+，則 a4+ 12已知 A， B， C 三點(diǎn)不共線， O 為平面 一點(diǎn)，若由向量 = + + 確定的點(diǎn) P 與 A， B， C 共面，那么 = 13若 x， y 滿足 ，則 z=x+y 的最大值為 14如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到 A 處時(shí)測(cè)的公路北側(cè)一山頂 D 在西偏北 30的方向上，行駛 1200m 后到達(dá) B 處 ，測(cè)得此山頂 D 在西偏北 75的方向上，仰角為 60，則此山的高度 m 15已知 F 是雙曲線 C： 的右焦點(diǎn)， P 是 C 的左支上一點(diǎn)，點(diǎn) A（ 0， ），則 長的最小值為 三、解答題 :本大題共 6 小題，共 75 分。解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 16已知 p： 34ax+0（ a 0）， q： ，若 p 是 q 的必要條件，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 17在 a， b， c 分別為角 A， B， C 的對(duì)邊，且 ）求角 A （ ）若 a=2 ，求 最大值 18已知數(shù)列 足： ，公差 d 0，該數(shù)列的前三項(xiàng)分別加上 1， 1， 3 后順次成為等比數(shù)列 前三項(xiàng) （ ）求數(shù)列 通項(xiàng)公式 （ ）設(shè) ，求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 19已知過拋物線 p 0）的焦點(diǎn)，斜率為 2 的直線交拋物線于 A（ B（ 點(diǎn)，且 | （ ）求該拋物線的方程 （ ） O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， C 為拋物線上一點(diǎn)，若 = + ，求 的值 20試通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決下列問題： 如圖，已知四邊形 為直角梯形， 0，平面 平面 D= （ ）證明： 平面 ）求銳二面角 A B 的余弦值 第 3 頁（共 16 頁） 21已知拋物線 x 的焦點(diǎn) F 也是橢圓 + =1（ a b 0）的一個(gè)焦點(diǎn)， 公共弦長為 （ ）求橢圓 方程； （ ）過橢圓 右焦點(diǎn) F 作斜率為 k（ k 0）的直線 l 與橢圓 交于 A， B 兩點(diǎn)，線段 中點(diǎn)為 P，過點(diǎn) P 做垂直于 直線交 x 軸于點(diǎn) D，試求 的取值范圍 第 4 頁（共 16 頁） 2015年山東省臨沂市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本 大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1已知 =（ 2， x， 5）， =（ 4， 6， y），若 ，則（ ） A x=3， y=10 B x=6， y=10 C x=3， y=15 D x=6， y=15 【考點(diǎn)】 向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直 【分 析】 根據(jù)平面向量的共線定理，列出方程組，求出 x、 y 的值 【解答】 解： =（ 2， x， 5）， =（ 4， 6， y），且 ， 設(shè) = ， R， 則 ， 解得 ， 即 x=3， y=10 故選： A 2已知 a， b， c 為非零常數(shù)，則下列命題正確的是（ ） A若 a b，則 若 a b，則 若 a b，則 若 a b，則 【考點(diǎn)】 不等式的基本性質(zhì) 【分析】 取特殊值，判斷 A；若 c 0， B 不成立，通過討論 符號(hào)， D 不成立，從而求出 答案 【解答】 解： a， b， c 為非零常數(shù)， 對(duì)于 A：令 a= 2， b=0，不成立，故 A 錯(cuò)誤； 對(duì)于 B：若 c 0，不成立，故 B 錯(cuò)誤； 對(duì)于 C： 0，若 a b，則 立，故 C 正確； 對(duì)于 D：若 號(hào)，成立，若 號(hào)，不成立，故 D 錯(cuò)誤； 故選 C 3設(shè)等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 ， 2，則 ） A 49 B 51 C 53 D 55 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 【分析】 利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前 n 項(xiàng)和公式即可得出 【解答】 解：設(shè)等差數(shù)列 公差為 d， ， 2， 第 5 頁（共 16 頁） d=22，解得 d=3 則 1+ =51 故選： B 4 “x， y R， x2+”是 “”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可 【解答】 解：由 x2+ 得 x=y=0，則 成立， 若 x=1， y=0，滿足 ，但 x2+ 不成立， 故 “x， y R， x2+”是 “”的充分不必要條件， 故選： A 5若不等式 x2+m 0，的解集為 R，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（ ） A m 4 或 m 0 B m 0 或 m 4 C 4 m 0 D 0 m 4 【考點(diǎn)】 一元二次不等式的解法 【分析】 不等式 x2+m 0 的解集為 R，需 0，解出即可 【解答】 解： x2+m 0 的解集為 R， =m 0， 解得： 4 m 0 故選： C 6命題 p： x R， 2x+2 x 2， q： R， =0，則（ ） A p q 為真命題 B p q 為真命題 C p 為真命題 D（ p） （ q）為真命題 【考點(diǎn)】 復(fù)合命題的真假 【分析】 分別判斷出 p， q 的真假，從而判斷出復(fù)合命題的真假 【解答】 解：命題 p： x R， 2x+2 x 2，是真命題， x R， x+1 0，故 q： R， =0，是假命題， 故 p q 是真命題， p q 是假命題， p 是假命題， 故選： A 7若雙曲線 =1（ a 0， b 0）的一條漸近線方程為 2x y=0，則它的離心率為（ ） A B 2 C D 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 求得雙曲線的漸近線方程，由題意可得 b=2a，求得 c，由離心率公式計(jì)算即可得到所求值 第 6 頁（共 16 頁） 【解答】 解：雙曲線 =1 的漸近線方程為 y= x， 由題意可得 =2，即 b=2a， c= = a， 可得 e= = 故選： C 8在 ， a， b， c 分別為 A， B， C 的對(duì)邊，若 a+b+c=10， S ， A=60，則 a=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考點(diǎn)】 余弦定理；正弦定理 【分析】 由已知及三角形的面積公式可求 后由 a+b+c=10 以及余弦定理，即可求 a 【解答】 解：在 ， S 5 ， 5 ， 0， a+b+c=10， 10 a=b+c 由余弦定理可得， a2=b2+2（ b+c） 2 3 10 a） 2 60， 解得 a=2 故選： B 9若正實(shí)數(shù) a， b 滿足 a+2b=1，則下列說法正確的是（ ） A 最大值 B + 有最小值 5 C + 有最大值 1+ D 最小值 【考點(diǎn)】 基本不等式 【分析】 由基本不等式求最值和二次函數(shù)求最值，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得 【解答】 解 ： 正實(shí)數(shù) a， b 滿足 a+2b=1， 1=a+2b 2 ， ， 當(dāng)且僅當(dāng) a=2b 即 a= 且 b= 時(shí)取等號(hào)，故 最大值 ， A 錯(cuò)誤； 由正實(shí)數(shù) a， b 滿足 a+2b=1 可得 + =（ + ）（ a+2b） =3+ + 3+2 ，故 B 錯(cuò)誤； （ + ） 2=a+2b+2 =1+2 1+2 =2，故 C 錯(cuò)誤； 第 7 頁（共 16 頁） 由 a+2b=1 可得 a=1 2b，由 1 2b 0 可得 b ，故 0 b ， 1 2b） 2+44b+1，故當(dāng) b= = 時(shí)，式子取最小值 ， D 正確 故選： D 10已知橢圓 + =1（ a b 0）與雙曲線 =1（ m 0， n 0）有相同的焦點(diǎn)（c， 0）和（ c， 0），若 c 是 a， m 的等比中項(xiàng)， 2 等差中項(xiàng)，則橢圓的離心率是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 根據(jù)是 a、 m 的等比中項(xiàng)可得 c2=據(jù)橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)可得 a2b2=m2+n2=據(jù) 2 等差中項(xiàng)可得 2m2+立方程即可求得 a 和 而求得離心率 e 【解答】 解：由橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)， 可得 b2=m2+n2= 由 c 是 a， m 的等比中項(xiàng)，可得 c2= 由 2 等差中項(xiàng)，可得 2m2+ 可得 m= ， + 即有 + c2= 化簡可得， 即有 e= = 故選： B 二、填空題：本大題共 5 個(gè)小題，每小題 5 分，共 25 分。把正確答案填寫在答題卡給定的橫線上 11在等比數(shù)列 ， a1+， a2+，則 a4+ 【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 【分析】 設(shè)等比數(shù)列 公比為 q，由于 a1+， a2+，可得 a2+=q（ a1+解得 q利用 a4+a6=a2+即可得出 【解答】 解：設(shè)等比數(shù)列 公比為 q， a1+， a2+， a2+=q（ a1+=9q，解得 q= 則 a4+a6=a2+= 6= 第 8 頁（共 16 頁） 故答案為： 12已知 A， B， C 三點(diǎn)不共線， O 為平面 一點(diǎn)，若由向量 = + + 確定的點(diǎn) P 與 A， B， C 共面，那么 = 【考點(diǎn)】 空間向量的基本定理及其意義 【分析】 利用向量共面定理即可得出 【解答】 解：因?yàn)?A， B， C 三點(diǎn)不共線， O 為平面 一點(diǎn)，若由向量 = + 確定的點(diǎn) P 與 A， B， C，共面 ， 所以 =1，解得 = ； 故答案為： 13若 x， y 滿足 ，則 z=x+y 的最大值為 3 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案 【解答】 解：由約束條件 作出可行域如圖， 聯(lián)立 ，解得 A（ 2， 1）， 化 z=x+y 為 y= x+z， 由圖可知，當(dāng)直線 y= x+z 過點(diǎn) A 時(shí)，直線在 y 軸上的截距最大， z 有最大值為 3 故答案為： 3 第 9 頁（共 16 頁） 14如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到 A 處時(shí)測(cè)的公路北側(cè)一山頂 D 在西偏北 30的方向上，行駛 1200m 后到達(dá) B 處，測(cè)得此山頂 D 在西偏北 75的方向上，仰角為 60，則此山 的高度 600 m 【考點(diǎn)】 解三角形的實(shí)際應(yīng)用 【分析】 在 由正弦定理解出 由正切的定義求出 【解答】 解：在 ， 0， 200， 80 75=105， 5， 由正弦定理可得 =600 又在 ， 0， C00 =600 ， 即山高 600 m 故答案為： 600 15已知 F 是雙曲線 C： 的右焦點(diǎn)， P 是 C 的左支上一點(diǎn)，點(diǎn) A（ 0， ），則 長的最小值為 6 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為 F，求出雙曲線的 a， b， c，運(yùn)用雙曲線的定義可得|+2，考慮 P 在左支上運(yùn)動(dòng)到與 A， F共線時(shí)，取得最小值，即可得到所求值 【解答】 解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為 F， 由雙曲線 C： 可得 a=1， b=1， c= ， 即有 F（ ， 0）， F（ ， 0）， 長為 |2， 由雙曲線的定義可得 | |=2a=2， 即有 |+2， 當(dāng) P 在左支上運(yùn)動(dòng)到 A， P， F共線時(shí)， |取得最小值 |=2， 則有 長的最小值為 2+2+2=6 故答案為： 6 三、解答題 :本大題共 6 小題，共 75 分。解答須寫 出文字說明、證明過程或演算步驟 . 第 10 頁（共 16 頁） 16已知 p： 34ax+0（ a 0）， q： ，若 p 是 q 的必要條件，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 根據(jù)命題充分條件和必要條件的定義和關(guān)系，即可求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【解答】 解：由 34ax+0（ a 0），得（ x a）（ 3x a） 0，得 x a， 由 ，得 ，即 1 x 2， 若 p 是 q 的必要條件， 則 即 2 a 3，即實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ 2， 3 17在 a， b， c 分別為角 A， B， C 的對(duì)邊，且 ）求角 A （ ）若 a=2 ，求 最大值 【考點(diǎn)】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ ）由正弦定理化簡 已知可得： 合 0，解得，結(jié)合范圍 0 A ，即可得解 A 的值 （ ）由余弦定理可得 12=b2+用基本不等式 b2+2可解得 12 【解答】 （本題滿分為 12 分） 解：（ ） 由正弦定理可得： 0 B ， 0， ， 又 0 A ， A= 6 分 （ ）由余弦定理可得： a2=b2+2 a=2 ， A= 12=b ，即： 12=b2+ b2+2 12，當(dāng)且僅當(dāng) b=c=2 時(shí)， 到最大值 1212 分 18已知數(shù)列 足： ，公差 d 0，該數(shù)列的前三項(xiàng)分別加上 1， 1， 3 后順次成為等比數(shù)列 前三項(xiàng) （ ）求數(shù)列 通項(xiàng)公式 第 11 頁（共 16 頁） （ ）設(shè) ，求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 【分析】 （ I）設(shè)等比數(shù)列 公比為 q，從而可得（ 2+d） 2=2（ 4+2d），從而解得； （ （ I）知 =（ 2n 1） ，從而利用錯(cuò)位相減法求其前 n 項(xiàng)和即可 【解答】 解：（ I）設(shè)等比數(shù)列 公比為 q，則 b1=2， b2=2+d， b3=4+2d， 故（ 2+d） 2=2（ 4+2d）， d 0，解得， d=2， q=2， 故 n 1， n； （ （ I）知 =（ 2n 1） ， 故 +3 （ ） 2+5 （ ） 3+（ 2n 1） ， 2+3 （ ） +5 （ ） 2+（ 2n 1） （ ） n 1， +1+ +（ ） n 2（ 2n 1） =1+ （ 2n 1） ， =3 19已知過拋物線 p 0）的焦點(diǎn)，斜率為 2 的直線交拋物線于 A（ B（ 點(diǎn)，且 | （ ）求該拋物線的方程 （ ） O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， C 為拋物線上一點(diǎn)，若 = + ，求 的值 【考點(diǎn)】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 （ ）求得拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)出直線 方程，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和拋物線的定義，可得 p+p= ，解方程可得 p，進(jìn)而得到拋物線的方程； （ ）求得交點(diǎn) A， B 的坐標(biāo)，由向量的加減運(yùn)算，可得 C 的坐標(biāo)，代入拋物線的方程，即可得到所求值 【解答】 解：（ ）拋 物線 p 0）的焦點(diǎn)為（ ， 0）， 則直線 方程為 y=2 （ x ），代入拋物線的方程， 第 12 頁（共 16 頁） 可得 45px+，可得 x1+p， 由拋物線的定義可得 |x1+x2+p， 由已知，得 p+p= ， 解得 p=2， 即拋物線的方程為 x； （ ）由 p=2 可得 25x+2=0， 可得 x=2 或 ， 即有 A（ ， ）， B（ 2， 2 ）， 設(shè) =（ =（ ， ） +（ 2， 2 ） =（ +2， +2 ）， 即有 +2， +2 ， 由 得 （ 2 1） 2=4（ +2）， 即（ 2 1） 2=1+4， 解得 =0 或 2 20試通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決下列問題： 如圖，已知四邊形 為直角梯形， 0，平面 平面 D= （ ）證明： 平面 ）求銳二面角 A B 的余弦值 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定 【分析】 （ ）以 C 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明 平面 （ ）求出平面 法向量和平面 法向量，利用向量法能求出銳二面角 A B 的余弦值 【解答】 證明：（ ） 平面 平面 面 面 C， 面 平面 兩垂直， 以 C 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則 B（ 0， 2， 0）， D（ 2， 0， 0）， E（ 0， 0， 2）， A（ 2， 1， 0）， F（ 0， 2， 1）， 第 13 頁（共 16 頁） 設(shè)平面 法向量 =（ x， y， z）， =（ 0， 2， 2）， =（ 2， 0， 2）， 則 ，取 x=1，得 =（ 1， 1， 1）， =（ 2， 1， 1）， =0， ， 面 平面 （ ）設(shè)平面 法向量