第 1 頁（共 14 頁） 2015年湖南省婁底市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本題共 10 小題，共計 40 分） 1若角 765的終邊上有一點（ 4， m），則 m 的值是（ ） A 1 B 4 C 4 D 4 2現(xiàn)要完成下列 3 項抽樣調(diào)查： 從 15 件產(chǎn)品中抽取 3 件進行檢查； 某公司共有 160 名員工，其中管理人員 16 名，技術(shù)人員 120 名，后勤人員 24 名，為了了解員工對公司的意見，擬抽取一個容量為 20 的樣本； 電影院有 28 排，每排有 32 個座位，某天放映電影英雄時恰好坐滿了觀眾，電影放完后，為了聽取意見，需要請 28 名觀眾進行座談 較為合理的抽樣方法是（ ） A 簡單隨機抽樣， 系統(tǒng)抽樣， 分層抽樣 B 分層抽樣， 系統(tǒng)抽樣， 簡單隨機抽樣 C 系統(tǒng)抽樣， 簡單隨機抽樣， 分層抽樣 D 簡單隨機抽樣， 分層抽樣， 系統(tǒng)抽樣 3已知函數(shù) f（ x） =且 f（ 1） =1，則 f（ 1） =（ ） A 3 B 3 C 0 D 4 1 4將八進制數(shù) 1001（ 8） 轉(zhuǎn)化為六進 制數(shù)為（ ） A 2121（ 6） B 2212（ 6） C 2213（ 6） D 3122（ 6） 5一艘向正東航行的船，看見正北方向有兩個相距 10 海里的燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的北偏西 30，另一燈塔在船的北偏西 15，則這艘船的速度是每小時（ ） A 5 海里 B 海里 C 10 海里 D 海里 6將一顆骰子先后拋擲 2次，觀察向上的點數(shù)，則所得的兩個點數(shù)和不小于 9的概率為（ ） A B C D 7已知函數(shù) f（ x） =n（ m， n R）的值域是 1， 3，則實數(shù) m 的值 =（ ） A 2 B 2 C 2 D 1 8將函數(shù) y=22x 2）圖象上所有的點向左平移 個單位長度后，得到的函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式是（ ） A y=22x+1） B y=22x 1） C y=21 D y=2 9邊長為 4 的等邊 ， 的值為（ ） A 8 B 8 C 4 D 4 10已知一組數(shù)據(jù) 平均數(shù)是 2，方差是 ，那么另一組數(shù)據(jù) 21，21， 21， 21， 21 的平均數(shù)，方差分別是（ ） A 3， B 3， C 4， D 4， 二、填空題（本題 5 個小題，共計 20 分） 第 2 頁（共 14 頁） 11已知 A（ 2， 4）， B（ 5， 3），則 = 12若某程 序框圖如圖所示，當(dāng)輸入 100 時，則該程序運行后輸出的結(jié)果是 13某校對全校 900 名男女學(xué)生進行健康調(diào)查，選用分層抽樣法抽取一個容量為 100 的樣本已知女生抽了 25 人，則該校的男生數(shù)應(yīng)是 人 14銳角三角形的三邊分別為 3， 5， x，則 x 的范圍是 15已知 、 都是銳角，且 ， +） = ，則 三、解答題（本題 5 個小題，共計 60 分 明過程或演算步驟 16從高三抽出 50 名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，由成績得到如圖的頻率分布直方圖 試利用頻率分布直方圖求： （ 1）這 50 名學(xué)生成績的眾數(shù)與中位數(shù) （ 2）這 50 名學(xué)生的平均成績（答案精確到 17已知 ，且 為鈍角 （ 1）求 （ 2）求 + 的值 18（ 1）已知 ，且 是 一個內(nèi)角，求 + ）的值 （ 2）已知 + ） = ，且 （ ， ），求 第 3 頁（共 14 頁） 19已知點 P（ x、 y）滿足 （ 1）若 x 0， 1， 2， 3， 4， 5， y 0， 1， 2， 3， 4，則求 y x 的概率 （ 2）若 x 0， 5， y 0， 4，則求 x y 的概率 20在平面直角坐標系 ，已知向量 =（ 2， 0）， =（ 0， 1）設(shè)向量 +（ 1+ = k + （ 1）若 ，且 = 求實數(shù) k 的值； （ 2）若 ，且 = ，求實數(shù) k 的值 21某公司有一批專業(yè)技術(shù)人員，對他們進行年齡狀況和接受教育程度（學(xué)歷）的調(diào)查，其結(jié)果（人數(shù)分布）如表： 學(xué)歷 35 歲以下 35 50 歲 50 歲以上 本科 80 30 20 研究生 x 20 y （ ）用分層抽樣的方法在 35 50 歲年齡段的專業(yè)技術(shù)人員中抽取一個容量為 10 的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取 3 人，求至少有 1 人的學(xué)歷為研究生的概率； （ ）在這個公司的專業(yè)技術(shù)人員中按年齡狀況用分層抽樣的方法抽取 N 個人，其中 35 歲以下 48 人， 50 歲以上 10 人，再從這 N 個人中隨機抽取出 1 人，此人的年齡為 50 歲以上的概率為 ，求 x、 y 的值 第 4 頁（共 14 頁） 2015年湖南省婁底市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題（本題共 10 小題，共計 40 分） 1若角 765的終邊上有一點（ 4， m），則 m 的值是（ ） A 1 B 4 C 4 D 4 【考點】 任意角的三角函數(shù)的定義 【分析】 直接利用三角函數(shù)的定義，即可求出 m 的值 【解答】 解：因為角 765的終邊 上有一點（ 4， m）， 所以 =1， 所以 m=4 故選： C 2現(xiàn)要完成下列 3 項抽樣調(diào)查： 從 15 件產(chǎn)品中抽取 3 件進行檢查； 某公司共有 160 名員工，其中管理人員 16 名，技術(shù)人員 120 名，后勤人員 24 名，為了了解員工對公司的意見，擬抽取一個容量為 20 的樣本； 電影院有 28 排，每排有 32 個座位，某天放映電影英雄時恰好坐滿了觀眾，電影放完后，為了聽取意見，需要請 28 名觀眾進行座談 較為合理的抽樣方法是（ ） A 簡單隨機抽樣， 系統(tǒng)抽樣， 分層抽樣 B 分層抽樣， 系統(tǒng)抽樣， 簡單隨機抽樣 C 系統(tǒng)抽樣， 簡單隨機抽樣， 分層抽樣 D 簡單隨機抽樣， 分層抽樣， 系統(tǒng)抽樣 【考點】 收集數(shù)據(jù)的方法 【分析】 觀察所給的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)三組數(shù)據(jù)的特點，把所用的抽樣選出來 簡單隨機抽樣， 分層抽樣， 系統(tǒng)抽樣 【解答】 解；觀察所給的三組數(shù)據(jù)， 個體沒有差異且總數(shù)不多可用隨機抽樣法，簡單隨機抽樣， 個體有了明顯了差異，所以選用分層抽樣法，分層抽樣， 將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段， 在第 1 段內(nèi)采 用簡單隨機抽樣確定一個起始編號， 在此編號的基礎(chǔ)上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號，系統(tǒng)抽樣， 故選 D 3已知函數(shù) f（ x） =且 f（ 1） =1，則 f（ 1） =（ ） A 3 B 3 C 0 D 4 1 【考點】 函數(shù)的值 【分析】 由已知利用函數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出 ，由此能求出 f（ 1）的值 第 5 頁（共 14 頁） 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） =且 f（ 1） =1， f（ 1） = 1） 1） +4 = =1， ， f（ 1） = =1+2=3 故選： A 4將八進制數(shù) 1001（ 8） 轉(zhuǎn)化為六進制數(shù)為（ ） A 2121（ 6） B 2212（ 6） C 2213（ 6） D 3122（ 6） 【考點】 進位制 【分析】 首先把 8 進制數(shù)字轉(zhuǎn)化成十進制數(shù)字，用所給的數(shù)字最后一個數(shù)乘以 8 的 0 次方，依次向前類推，相加得到十進制數(shù)字，再用這個數(shù)字除以 6，倒序取余即得 6 進制數(shù) 【解答】 解：由于： 1001（ 8） =1 83+0 82+0 81+1 80=513（ 10） ， 513 6=853 85 6=141 14 6=22 2 6=02 故： 513（ 10） =2213（ 6） 故選： C 5一艘向正東航行的船，看見正北方向有兩個相距 10 海里的燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后 ，看見一燈塔在船的北偏西 30，另一燈塔在船的北偏西 15，則這艘船的速度是每小時（ ） A 5 海里 B 海里 C 10 海里 D 海里 【考點】 解三角形的實際應(yīng)用 【分析】 根據(jù)題意，作出對應(yīng)的三角形，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系即可得到結(jié)論 【解答】 解：設(shè)兩個燈塔分別為 C， D，則 0， 由題意，當(dāng)船在 B 處時， 0， 5， 即 C=10 在直角三角形 ， 10 =5， 則這艘船的速度是 =10 海里 /小時， 故選： C 第 6 頁（共 14 頁） 6將一顆骰子先后拋擲 2次，觀察向上的點數(shù)，則所得的兩個點數(shù)和不小于 9的概率為（ ） A B C D 【考點】 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 先求出基本事件總數(shù)，再利用列舉法求出所得的兩個點數(shù)和不小于 9 包含的基本事件個數(shù)，由此能求出所得的兩個點數(shù)中不小于 9 的概率 【解答】 解：將一顆骰子先后拋擲 2 次，觀察向上的點數(shù)， 基本事件總數(shù) n=6 6=36， 所得的兩個點數(shù)和不小于 9 包含的基本事件有： （ 3， 6），（ 6， 3），（ 4， 5），（ 5， 4），（ 4， 6），（ 6， 4），（ 5， 5），（ 5， 6），（ 6， 5），（ 6， 6）， 其有 m=10 個， 所得的兩個點數(shù)中不小于 9 的概率 p= = 故選： B 7已知函數(shù) f（ x） =n（ m， n R）的值域是 1， 3，則實數(shù) m 的值 =（ ） A 2 B 2 C 2 D 1 【考點】 正弦函數(shù)的圖象 【分析】 根據(jù)題意可得 |m|+n= 1， |m|+n=3，由此求得實數(shù) m 的值 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） =n（ m， n R）的值域是 1， 3， |m|+n= 1， |m|+n=3， 求得 n=1， |m|=2， m= 2， 故選： C 8將函數(shù) y=22x 2）圖象上所有的點向左平移 個單位長度后，得到的函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式是（ ） A y=22x+1） B y=22x 1） C y=21 D y=2 【考點】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【分析】 根據(jù)函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論 【解答】 解：將函數(shù) y=22x 2）圖象上所有的點向左平移 個單位長度后， 得到的函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式是： y=2（ x+ ） 2=22x 1） 故選： B 第 7 頁（共 14 頁） 9邊長為 4 的等邊 ， 的值為（ ） A 8 B 8 C 4 D 4 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 可 畫出圖形，根據(jù)條件及向量數(shù)量積的計算公式便可得出 的值 【解答】 解：如圖， 根據(jù)條件， = 故選： B 10已知一組數(shù)據(jù) 平均數(shù)是 2，方差是 ，那么另一組數(shù)據(jù) 21，21， 21， 21， 21 的平均數(shù)，方差分別是（ ） A 3， B 3， C 4， D 4， 【考點】 極差、方差與標準差 【分析】 由已知條件利用一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的性質(zhì)求解 【解答】 解： 一組數(shù)據(jù) 平均數(shù)是 2，方差是 ， 另一組數(shù)據(jù) 21， 21， 21， 21， 21 的平均數(shù)為： 2 2 1=3， 方差為： = 故選： A 二、填空題（本題 5 個小題，共計 20 分） 11已知 A（ 2， 4）， B（ 5， 3），則 = （ 3， 1） 【考點】 平面向量的坐標運算 【分析】 利用 = 即可得出 【解答】 解： =（ 5， 3）（ 2， 4） =（ 3， 1）， 故答案為：（ 3， 1） 12若某程序框圖如圖所示，當(dāng)輸入 100 時，則該程序運行后輸出的結(jié)果是 7 第 8 頁（共 14 頁） 【考點】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的 S， i 的值，當(dāng) S=120 時，滿足條件S n，退出循環(huán)，輸出 i 的值為 7 【解答】 解：模 擬執(zhí)行程序框圖，可得 n=100， S=0， i=1 執(zhí)行循環(huán)體， S=1， i=2， 不滿足條件 S n，執(zhí)行循環(huán)體， S=4， i=3 不滿足條件 S n，執(zhí)行循環(huán)體， S=11， i=4 不滿足條件 S n，執(zhí)行循環(huán)體， S=26， i=5 不滿足條件 S n，執(zhí)行循環(huán)體， S=57， i=6 不滿足條件 S n，執(zhí)行循環(huán)體， S=120， i=7 此時，滿足條件 S n，退出循環(huán)，輸出 i 的值為 7， 故答案為： 7 13某校對全校 900 名男女學(xué)生進行健康調(diào)查，選用分層抽樣法抽取一個容量為 100 的樣本已知女生抽了 25 人，則該校的男生數(shù) 應(yīng)是 675 人 【考點】 分層抽樣方法 【分析】 先求出男生抽取到的人數(shù)，由此能求出該校的男生數(shù) 【解答】 解： 某校對全校 900 名男女學(xué)生進行健康調(diào)查，選用分層抽樣法抽取一個容量為100 的樣本 已知女生抽了 25 人， 男生抽了 75 人， 該校的男生數(shù)應(yīng)是 900 =675 人 故答案為： 675 14銳角三角形的三邊分別為 3， 5， x，則 x 的范圍是 （ 4， ） 【考點】 余弦定理 【分析 】 通過余弦定理分別表示出 其大于 0 求得 x 的范圍 第 9 頁（共 14 頁） 【解答】 解：根據(jù)題意知 ， 解不等式得 4 x ， 故答案為：（ 4， ） 15已知 、 都是銳角，且 ， +） = ，則 【考點】 兩角和與差的余弦函數(shù) 【分析】 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得 +）的值，可得 +） 的值，再利用二倍角的余弦公式求得 值 【解答】 解： 、 都是銳角，且 ， +） = ， = ， +） = = ， 則 +） =+） +） + = ， 1= ， 故答案為： 三、解答題（本題 5 個小題，共計 60 分 明過程或演算步驟 16從高三抽出 50 名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，由成績得到如圖的頻率分布直方圖 試利用頻率分布直方圖求： （ 1）這 50 名學(xué)生成績的眾數(shù)與中位數(shù) （ 2）這 50 名學(xué)生的平均成績（答案精確到 【考點】 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；頻率分布直方圖 【分析】 （ 1）由眾數(shù)的概念可知，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)在直方圖中高度最高的小長方形框的中間值的橫坐標即為所求；由于中位數(shù)是所有數(shù)據(jù)中的中間值，故在頻率分布直方圖中體現(xiàn)的是中位數(shù)的左右兩邊頻數(shù)應(yīng)相等，即頻率也相等，從而就是小矩形的面積和相等因此在頻率分布直方圖中將頻率分布直方圖中所有小矩形的面積一分為二的直線所對應(yīng)的成績即為所求 第 10 頁（共 14 頁） （ 2）樣本平均值應(yīng)是頻率分布直方圖的 “重心 ”，即所有數(shù)據(jù)的平均值，取每個小矩形底邊的中點 值乘以每個小矩形的面積即可 【解答】 解：（ 1）由眾數(shù)的概念可知，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù) 在直方圖中高度最高的小長方形框的中間值的橫坐標即為所求， 所以由頻率分布直方圖得眾數(shù)應(yīng)為 75 由于中位數(shù)是所有數(shù)據(jù)中的中間值， 故在頻率分布直方圖中體現(xiàn)的是中位數(shù)的左右兩邊頻數(shù)應(yīng)相等，即頻率也相等，從而就是小矩形的面積和相等 因此在頻率分布直方圖中將頻率分布直方圖中所有小矩形的面積一分為二的直線所對應(yīng)的成績即為所求 10+10+10= 前三個小矩形面積的和為 第四個小矩形面積為 10= 中位數(shù)應(yīng)位于第四個小矩形內(nèi)設(shè)其底邊為 x，高為 令 x 中位數(shù)約為 70+ （ 2）樣本平均值應(yīng)是頻率分布直方圖的 “重心 ”， 即所有數(shù)據(jù)的平均值，取每個小矩形底邊的中點值乘以每個小矩形的面積即可 平均成績?yōu)?45 （ 10） +55 （ 10） +65 （ 10） +75 （ 10）+85 （ 10） +95 （ 10） 17已知 ，且 為鈍角 （ 1）求 （ 2）求 + 的值 【考點】 同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用 【分析】 （ 1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，求得 得 值 （ 2）把要求的式子化簡后用 表示，再把 2 代入，可得結(jié)果 【解答】 解：（ 1） ， 又 為鈍角， ， （ 2）由（ 1）知 2， = = = 18（ 1）已知 ，且 是 一個內(nèi)角，求 + ）的值 （ 2）已知 + ） = ，且 （ ， ），求 【考點】 兩角和與差的余弦函數(shù)；兩角和與差的正弦函數(shù) 【分 析】 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的三角公式，求得要求式子的值 第 11 頁（共 14 頁） 【解答】 解（ 1） 是 一個內(nèi)角， （ 0， ）， ， ， + ） = （ 2） ， ， + ） =+ ） + ） （ ） = 19已知點 P（ x、 y）滿足 （ 1）若 x 0， 1， 2， 3， 4， 5， y 0， 1， 2， 3， 4，則求 y x 的概率 （ 2）若 x 0， 5， y 0， 4，則求 x y 的概率 【考點】 幾何概型；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 （ 1）根據(jù)古典概型的概率公式進行求解即可 （ 2）利用幾何概型的概率公式進行求解 【解答】 解： x 0， 1， 2， 3， 4， 5， y 0， 1， 2， 3， 4， p（ x， y）共有 30 個點， 滿足 y x 的有 15 個點， 故滿足 y x 的概率 （ 2） x 0， 5， y 0， 4，則 p（ x， y）在如圖所示的矩形區(qū)域內(nèi)， 又 y=x 的直線與 y=4 交于（ 4， 4）， 則滿足 x y 的點 p（ x， y）在圖中陰影部分內(nèi)（不包括直線 y=x）， 故 20在平面直角坐標系 ，已知向量 =（ 2， 0）， =（ 0， 1）設(shè)向量 +（ 1+ = k + （ 1）若 ，且 = 求實數(shù) k 的值； 第 12 頁（共 14 頁） （ 2）若 ，且 = ，求實數(shù) k 的值 【考點】 平面向量共線（平行）的坐標表示；平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 （ 1）求出向