第 1 頁（共 19 頁） 2015年北京市石景山區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng) 1下列命題中，真命題是（ ） A若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直 B若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的平行線，那么這兩個(gè)平面相互平行 C若一條直線平行于一個(gè)平面，則這條直線平行于平面內(nèi)的任意直線 D若一條直線同時(shí)平行于兩個(gè)不重合的平面，則這兩個(gè)平面平行 2直線 y= 2x+b 一定通過（ ） A第一、三象限 B第 二、四象限 C第一、二、四象限 D第二、三、四象限 3某建筑由相同的若干個(gè)房間組成，該樓的三視圖如圖所示，最高一層的房間在什么位置（ ） A左前 B右前 C左后 D右后 4雙曲線 的一條漸近線方程為 ，則雙曲線的離心率為（ ） A B C D 5已知命題 p， q，那么 “p q 為真命題 ”是 “p q 為真命題 ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 6棱長為 2 的正方體的內(nèi)切球的表面積為（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 7拋物線 x 上到其焦點(diǎn) F 距離為 4 的點(diǎn)有（ ）個(gè) A 1 B 2 C 3 D 4 8將正方體的紙盒展開如圖 ，直線 原正方體的位置關(guān)系是（ ） 第 2 頁（共 19 頁） A平行 B垂直 C相交成 60角 D異面且成 60角 9如圖，在正方體 ， E 是 中點(diǎn)，則直線 平面 ） A B C D 10某化工廠有 8 種產(chǎn)品，由于安全原因，有些產(chǎn)品不允許存放在同一倉庫具體情況由下表給出（ “ ”表示該兩種產(chǎn)品不能存放在同一倉庫） 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 則該廠至少需要幾個(gè)產(chǎn)品 倉庫來存放這 8 種產(chǎn)品？（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 二、填空題共 4 小題，每小題 3 分，共 12 分 11命題 p： “ x R， x+1 0”，則 p 為 12過點(diǎn)（ 0， 2）且與兩坐標(biāo)軸相切的圓的方程為 13已知拋物線、橢圓和雙曲線都經(jīng)過點(diǎn) M（ 1， 2），它們在 x 軸上有共同焦點(diǎn)，橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)則橢圓的長軸長為 14在平面直角坐標(biāo)系 ，對于 O： x2+ 來說， P 是坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn) P 到 O 的距離 定義如 下：若 P 與 O 重合， SP=r；若 P 不與 O 重合，射線 O 的交點(diǎn)為 A， P 的長度（如圖） 第 3 頁（共 19 頁） （ 1）直線 2x+2y+1=0 在圓內(nèi)部分的點(diǎn)到 O 的最長距離為 ； （ 2）若線段 存在點(diǎn) T，使得： 點(diǎn) T 在 O 內(nèi)； 點(diǎn) P 線段 有 立則線段 最大長度為 三、解答題共 6 小題，共 48 分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程 15已知直線 l 經(jīng)過直線 2x+y 5=0 與 x 2y=0 的交點(diǎn) P （ ） 若直線 l 平行于直線 4x y+1=0，求 l 的方程； （ ）若直線 l 垂直于直線 4x y+1=0，求 l 的方程 16如圖，長方體 ，底面 正方形， ， E 是 滿足 平面 （ ）求證： （ ）求二面角 D C 的平面角的余弦值 17如圖，有一個(gè)正方體的木塊， E 為棱 中點(diǎn)現(xiàn)因?qū)嶋H需要，需要將其沿平面 你畫出前面 截面 交線，并說明理由 第 4 頁（共 19 頁） 18如圖，在四棱錐 P ，四邊形 正方形， 平面 B=2，E 為 點(diǎn) （ ）證明： 平面 （ ）求二面角 B D 的大小 19課本上的探索與研究中有這樣一個(gè)問題： 已知 面積為 S，外接圓的半徑為 R， A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，用解析幾何的方法證明： 小東根據(jù)學(xué)習(xí)解析幾何的經(jīng)驗(yàn)，按以下步驟進(jìn)行了探究： （ 1）在 在的平面內(nèi)，建立直角坐標(biāo)系，使得 個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的表示形式較為簡單，并設(shè)出表示它們坐標(biāo)的字母； （ 2）用表示 個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的字母來表示 外接圓半徑、 三邊和面積； （ 3）根據(jù)上面得到的表達(dá)式，消去表示 三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的字母，得出關(guān)系式 在探究過程中，小東遇到了以下問題，請你幫助完成： （ ）為了 三邊和面積表達(dá)式及外接圓方程盡量簡單，小東考慮了如下兩種建系方式；你 選擇第 種建系方式 （ ）根據(jù)你選擇的建系方式，完成以下部分探究過程： （ 1）設(shè) 外接圓的一般式方程為 x2+x+ =0； （ 2）在求解圓的方程的系數(shù)時(shí)，小東觀察圖形發(fā)現(xiàn)，由圓的幾何性質(zhì)，可以求出圓心的橫坐標(biāo)為 ，進(jìn)而可以求出 D= ； （ 3）外接圓的方程為 第 5 頁（共 19 頁） 20已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，離心率為 ，且經(jīng)過點(diǎn) M（ 4， 1），直線 l：y=x+m 交橢圓于不同的兩點(diǎn) A， B （ ）求橢圓的方程； （ ）求 m 的取值范圍； （ ）若直線 l 不過點(diǎn) M，求證：直線 x 軸圍成一個(gè)等腰三角形 第 6 頁（共 19 頁） 2015年北京市石景山區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng) 1下列命題中，真命題是（ ） A若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直 B若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的平行線，那么這兩個(gè)平面相 互平行 C若一條直線平行于一個(gè)平面，則這條直線平行于平面內(nèi)的任意直線 D若一條直線同時(shí)平行于兩個(gè)不重合的平面，則這兩個(gè)平面平行 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 利用平面與平面垂直的判定定理判斷 A 的正誤；利用特例判斷 B 的正誤；直線與平面平行的性質(zhì)定理判斷 C 的正誤，直線與平面的位置關(guān)系判斷即可 【解答】 解：一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直，滿足平面與平面垂直的判定定理，所以 A 正確 若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的平行線，那么這兩個(gè)平面相互平行，例如正方體的上面的來與底面是平行的側(cè) 面與底面是垂直的，所以 B 不正確 若一條直線平行于一個(gè)平面，則這條直線平行于平面內(nèi)的任意直線，也有異面直線，所以 若一條直線同時(shí)平行于兩個(gè)不重合的平面，則這兩個(gè)平面平行，不滿足平面與平面平行的判定定理 所以不正確 故選： A 2直線 y= 2x+b 一定通過（ ） A第一、三象限 B第二、四象限 C第一、二、四象限 D第二、三、四象限 【考點(diǎn)】 確定直線位置的幾何要素 【分析】 利用直線的斜率即可判斷出結(jié)論 【解答】 解： 斜率 k 0， 直線 y= 2x+b 一定通過第二、四象限 故 選： B 3某建筑由相同的若干個(gè)房間組成，該樓的三視圖如圖所示，最高一層的房間在什么位置（ ） 第 7 頁（共 19 頁） A左前 B右前 C左后 D右后 【考點(diǎn)】 簡單空間圖形的三視圖 【分析】 根據(jù)主視圖和側(cè)視圖，結(jié)合三視力長對正，寬相等的原則，可得最高一層的房間的位置 【解答】 解：由已知中的三視圖可得： 主視圖的左邊是三層的，可得最高一層的房間在左邊； 側(cè)視圖的左邊是三層的，可得最高一層的房間在后面， 故最高一層的房間在左后面， 故選： C 4雙曲線 的一條漸近線方程為 ，則雙曲線的離心率為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 利用雙曲線的漸近線方程，轉(zhuǎn)化求出雙曲線的離心率即可 【解答】 解：雙 曲線 的一條漸近線方程為 ， 可得 = ，即 ，解得 ， e= 故選： A 5已知命題 p， q，那么 “p q 為真命題 ”是 “p q 為真命題 ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)】 復(fù)合命題的真假 【分析】 根據(jù) p q， p q 的真假和 p， q 真假的關(guān)系便可判斷由 “p q 為真命題 ”能得到 “p q 為真命題 ”，而 “p q 為真命題 ”得不到 “p q 為真命題 ”，從而得出正確選項(xiàng)為 A 第 8 頁（共 19 頁） 【解答】 解：若 p q 為真命題，則 p， q 都為真命題， p q 為真命題； 若 p q 為真命題，則 p， q 中至少有一個(gè)為真命題，而如果 p， q 中只有一個(gè)為真命題，則得不到 p q 為真命題； “p q 為真命題 ”是 “p q 為真命題 ”的充分不必要條件 故選： A 6棱長為 2 的正方體的內(nèi)切球的表面積為（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積 【分析】 棱長為 2 的正方體的內(nèi)切球的半徑 r=1，由此能求出其表面積 【解答】 解：棱長為 2 的正方體的內(nèi)切球的半徑 r= =1， 表面積 =4 故選 B 7拋物線 x 上到其焦點(diǎn) F 距離為 4 的點(diǎn)有（ ）個(gè) A 1 B 2 C 3 D 4 【考點(diǎn)】 拋物線的簡單 性質(zhì) 【分析】 求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，判斷焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，然后推出結(jié)果 【解答】 解：拋物線 x 的焦點(diǎn)坐標(biāo)（ 2， 0），焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為 2，所以拋物線上到其焦點(diǎn) F 距離為 4 的點(diǎn)有 2 個(gè) 故選： B 8將正方體的紙盒展開如圖，直線 原正方體的位置關(guān)系是（ ） A平行 B垂直 C相交成 60角 D異面且成 60角 【考點(diǎn)】 異面直線的判定 【分析】 以 在平面為底面，將右側(cè)正方形折起為右邊的平面，因?yàn)?以 為直線 成的角，在 求解即可 【解答】 解：如圖，直線 面因?yàn)?所以 為直線 成的角， 因?yàn)?等邊三角形，故 0 故選 D 第 9 頁（共 19 頁） 9如圖，在正方體 ， E 是 中點(diǎn)，則直線 平面 ） A B C D 【考點(diǎn)】 直線與平面所成的角 【分析】 連接 到 直線 平面 成的角，然后再在三角形 【解答】 解：連接 為幾何體是正方體，可知 平面 得到 直線 平面 成的角， 設(shè)棱長為 2， = ， 直線 平面 成角的正切值為： = 故選： C 10某化工廠有 8 種產(chǎn)品，由于安全原因，有些產(chǎn)品不允許存放在同一倉庫具體情況由下表給出（ “ ”表示該兩種產(chǎn)品不能存放在同一倉庫） 1 2 3 4 5 6 7 8 1 第 10 頁（共 19 頁） 2 3 4 5 6 7 8 則該廠至少需要幾個(gè)產(chǎn)品倉庫來存放這 8 種產(chǎn)品？（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考點(diǎn)】 排列、組合的實(shí)際應(yīng)用 【分析】 作圖：以產(chǎn)品為頂點(diǎn)，能夠允許存放在同一倉庫的產(chǎn)品用邊相連畫圖，找完全子圖的頂點(diǎn)集，即可判斷答案 【解答】 解：作圖：以產(chǎn)品為頂點(diǎn)，能夠允許存放在同一倉庫的產(chǎn)品用邊相連畫圖， 找完全 子圖的頂點(diǎn)集：例如： 1， 4， 7， 3， 6， 8， 2， 5， 2， 4， 6， 8， 1，7， 3， 5， 每個(gè)頂點(diǎn)集中元素可以放在同一倉庫，需要 3 間倉庫， 故選： B 二、填空題共 4 小題，每小題 3 分，共 12 分 11命題 p： “ x R， x+1 0”，則 p 為 x R， x+10 【考點(diǎn)】 命題的否定 【分析】 利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可 【解答】 解：因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題， 所以命題 p： “ x R， x+1 0”，則 p 為： x R， x+1 0 故答案為： x R， x+1 0 12過點(diǎn)（ 0， 2）且與兩坐標(biāo)軸相切的圓的方程為 （ x 2） 2+（ y 2） 2=4 【考點(diǎn)】 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【分析】 求出圓的圓心與半徑，即可寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， 【解答】 解：過點(diǎn)（ 0， 2）且與兩坐標(biāo)軸相切的圓的圓心（ 2， 2），半徑為： 2 第 11 頁（共 19 頁） 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（ x 2） 2+（ y 2） 2=4 故答案為：（ x 2） 2+（ y 2） 2=4 13 已知拋物線、橢圓和雙曲線都經(jīng)過點(diǎn) M（ 1， 2），它們在 x 軸上有共同焦點(diǎn)，橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)則橢圓的長軸長為 2+2 【考點(diǎn)】 圓錐曲線的綜合 【分析】 設(shè)拋物線方程為 p 0），將 M（ 1， 2）代入方程解得 p 即可由題意知橢圓的焦點(diǎn)為 1， 0）， 1， 0），可得 c對于橢圓， 2a=|可得結(jié)論 【解答】 解：設(shè)拋物線方程為 p 0），將 M（ 1， 2）代入方程得 p=2 拋物 線的方程為 x 由題意知橢圓的焦點(diǎn)為 1， 0）， 1， 0） c=1 對于橢圓， 2a=| + =2+2 故答案為： 2+2 14在平面直角坐標(biāo)系 ，對于 O： x2+ 來說， P 是坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn) P 到 O 的距離 定義如下：若 P 與 O 重合， SP=r；若 P 不與 O 重合，射線 O 的交點(diǎn)為 A， P 的長度（如圖） （ 1）直線 2x+2y+1=0 在圓內(nèi)部分的點(diǎn)到 O 的最長距離為 1 ； （ 2）若線段 存在點(diǎn) T，使得： 點(diǎn) T 在 O 內(nèi)； 點(diǎn) P 線段 有 立則線段 最大長度為 4 【考點(diǎn)】 直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 （ 1）根據(jù)點(diǎn)到的坐標(biāo)和新定義進(jìn)行求解即可 （ 2）根據(jù)點(diǎn) T 在 O 內(nèi)，得 到 1，然后根據(jù)不等式 立，的 1，即可得到結(jié)論 【解答】 解：（ 1）作出對應(yīng)的圖象如圖： 由圖象可知當(dāng)直線與 2x+2y+1=0 垂直時(shí)對應(yīng)的交點(diǎn) P，此時(shí) P 到 O 的距離最長， 此時(shí) = ，則 （ 2） 點(diǎn) T 在 O 內(nèi)， 1， 第 12 頁（共 19 頁） 立， 1， 當(dāng)線段 原點(diǎn)時(shí)， 最大長度為 1+2+1=4， 故答案為： 4 三、解答題共 6 小題，共 48 分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程 15已知直線 l 經(jīng)過直線 2x+y 5=0 與 x 2y=0 的交點(diǎn) P （ ）若直線 l 平行于直線 4x y+1=0，求 l 的方程； （ ）若直線 l 垂直于直線 4x y+1=0，求 l 的方程 【考點(diǎn)】 直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系；直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系 【分析】 聯(lián)立 ，解得交點(diǎn) P （ ）設(shè)直線 l： 4x y+m=0，把（ 2， 1）代入可得 m，即可得出； （ ）設(shè)直線 l 的方程為： x+4y+n=0，把點(diǎn) P（ 2， 1）代入上述方程 n，即可得出 【解答】 解：聯(lián)立 ，解得 P（ 2， 1） （ ）設(shè)直線 l： 4x y+m=0，把（ 2， 1）代入可得： 4 2 1+m=0， m= 7 l 的方程為： 4x y 7=0； （ ）設(shè)直線 l 的方程為： x+4y+n=0， 把點(diǎn) P（ 2， 1）代入上述方程可得： 2+4+n=0，解得 n= 6 x+4y 6=0 16如圖，長方體 ，底面 正方形， ， E 是 滿足 平面 第 13 頁（共 19 頁） （ ）求證： （ ）求二面角 D C 的平面角的余弦值 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定 【分析】 （ ）以 D 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由 平面 出 ，由此利用向量法能證明 （ ）求出平面 法向量和平面 法向量，利用向量法能求出二面角 D 【解答】 證明：（ ） 長方體 ，底面 正方形， ， E 是 的一點(diǎn)，且滿足 平面 以 D 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 1， 0， 2）， D（ 0， 0， 0）， A（ 1， 0， 0）， 1， 1， 2）， C（ 0， 1， 0）， 設(shè) E（ 0， 0， t）， 0 t 2， =（ 1， 1， 2）， =（ 1， 1， 0）， =（ 1， 0， t）， 平面 =1 2t=0，解得 t= ， =（ 1， 0， 2）， =（ 1， 0， ）， ， 解：（ ） =（ 1， 0， ）， =（ 1， 1， 0）， 設(shè)平面 法向量 =（ x， y， z） ， 則 ，取 x=1，得 =（ 1， 1， 2）， 又平面 法向量 =（ 0， 1， 0）， 設(shè)二面角 D C 的平面角為 ， 則 = = 第 14 頁（共 19 頁） 二面角 D C 的平面角的余弦值為 17如圖，有一個(gè)正方體的木塊， E 為棱 中點(diǎn)現(xiàn)因?qū)嶋H需要，需要將其沿平面 你畫出前面 截面 交線，并說明理由 【考點(diǎn)】 平面的基本性質(zhì)及推論 【分析】 取 點(diǎn) F，連結(jié) 為所求的面 截面 交線 【解答】 解：取 點(diǎn) F，連結(jié) 為所求的面 截面 交線 理由如下： 連結(jié) E 為棱 中點(diǎn)， F 是 點(diǎn)， 又 直線 直線 定一個(gè)平面 ， 直線 直線外一點(diǎn) E 都在平面 內(nèi)， 平面 與平面 合， 為所求的面 截面 交線 第 15 頁（共 19 頁） 18如圖，在四棱錐 P ，四邊形 正方形， 平面 B=2，E 為 點(diǎn) （ ）證明： 平面 （ ）求二面角 B D 的大小 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定 【分析】 （ ）連結(jié) 于點(diǎn) O，連結(jié) 此能證明 平面 （ ）以 A 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角 B D 的大小 【解答】 證明：（ ）連結(jié) 于點(diǎn) O，連結(jié) 四邊形 正方形， E 為 點(diǎn)， 面 面 平面 解：（ ） 平面 以 A 為原點(diǎn)， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， B=2， E 為 點(diǎn) B（ 2， 0， 0）， C（ 2， 2， 0）， D（ 0， 2， 0）， P（ 0， 0， 2）， =（ 2， 0， 2）， =（ 2， 2， 2）， =（ 0， 2， 2）， 設(shè)平面 法向量 =（ x， y， z）， 則 ，取 z=1，得 =（ 1， 1， 1）， 設(shè)平面 法向量 =（ a， b， c）， 則 ，取 b=1， =（ 0， 1， 1）， 第 16 頁（共 19 頁） 設(shè)二面角 B D 的平面角為 ， 則 = = 二面角 B D 的大小為 19課本上的探索與研究中有這樣一個(gè)問題： 已知 面積為 S，外接圓的半徑為 R， A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，用解析幾何的方法證明： 小東根據(jù)學(xué)習(xí)解析幾何的經(jīng)驗(yàn)，按以下步驟進(jìn)行了探究： （ 1）在 在的平面內(nèi)，建立直角坐標(biāo)系，使得 個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的表示形式較為簡單，并設(shè)出表示它們坐標(biāo)的字母； （ 2）用表示 個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的字母來表示 外接圓半徑、 三邊和面積； （ 3）根據(jù)上面得到的表達(dá)式，消去表示 三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的字母，得出關(guān)系式 在探究過程中，小東遇到了以下問題，請你幫助完成： （ ）為了 三邊和面積表達(dá)式及外接圓方程盡量簡單，小東考慮了如下兩種建系方式 ；你選擇第 種建系方式 （ ）根據(jù)你選擇的建系方式，完成以下部分探究過程： （ 1）設(shè) 外接圓的一般式方程為 x2+x+ =0； （ 2）在求解圓的方程的系數(shù)時(shí)，小東觀察圖形發(fā)現(xiàn)，由圓的幾何性質(zhì)，可以求出圓心的橫坐標(biāo)為 ，進(jìn)而可以求出 D= m n ； （ 3）外接圓的方程為 x2+ m n） x+（ p ） y+ 第 17 頁（共 19 頁） 【考點(diǎn)】 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓的一般方程 【分析】 選擇坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法，即可得出結(jié)論 【解