第 1 頁（共 11 頁） 2015年廣西南寧市馬山縣高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科） 一、選擇題：（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1復(fù)數(shù) z=i（ i+1）（ i 為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（ ） A 1 i B 1+i C 1 i D 1+i 2命題 “對任意 x R，都有 0”的否定為（ ） A對任意 x R，都有 0 B不存在 x R，都有 0 C存在 R，使得 0 D存在 R，使得 0 3 “（ 2x 1） x=0”是 “x=0”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 4設(shè) z 是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是（ ） A若 0，則 z 是實數(shù) B若 0，則 z 是虛數(shù) C若 z 是虛數(shù)，則 0 D若 z 是純虛數(shù)，則 0 5已知橢圓 上的一點 P 到橢圓一個焦點的距離為 3，則 P 到另一個焦點的距離（ ） A 2 B 3 C 5 D 7 6若 f（ x） = f（ x）在 x=1 處的導(dǎo)數(shù)為（ ） A 2x B 2 C 3 D 4 7已知雙曲線 =1 的右焦點為（ 3， 0），則該雙曲線的離心率等于（ ） A B C D 8曲線 y=2x+4 在點（ 1， 3）處的切線的傾斜角為（ ） A 30 B 45 C 60 D 120 9設(shè)拋物線 x 上一點 P 到 y 軸的距離是 4，則點 P 到該拋物線焦點的距離是（ ） A 4 B 6 C 8 D 12 10若雙曲線 的離心率為 ，則其漸近線方程為（ ） A y= 2x B C D 11已知函數(shù) y=2x3+6x 24 在 x=2 處有極值，則該函數(shù)的一個遞增區(qū)間是（ ） A（ 2， 3） B（ 3， +） C（ 2， +） D（ ， 3） 第 2 頁（共 11 頁） 12已知 橢圓 C： 的兩個焦點， P 為橢圓 C 上的一點，且 ，若 面積為 9，則 b 的值為（ ） A 3 B 2 C 4 D 9 二、填空題：（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 .） 13已知復(fù)數(shù) z=1+2i（ i 是虛數(shù)單位），則 |z|= 14曲線 y=（ 1， 1）處的切線方程是 15已知 頂點 B、 C 在橢圓 + 上，頂點 A 是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在 上，則 周長是 16已知橢圓 ，過左焦點 斜角為 的直線交橢圓于 A、 B 兩點求弦 三、解答題：（本大題共 6 小題，滿分 70 分解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 17計算： （ 1）（ 1+i）（ 1 i） +（ 1+2i） 2； （ 2） 18設(shè) 雙曲線 的兩個焦點，點 P 在雙曲線右支上，且滿足 0，求 面積為 S 19已知直線 x+y 1=0 與橢圓 x2+相交于兩個不同點，求實數(shù) b 的取值范圍 20設(shè) x= 2 與 x=4 是函數(shù) f（ x） =x3+兩個極值點 （ 1）求常數(shù) a、 b； （ 2）判斷 x= 2， x=4 是函數(shù) f（ x）的極大值點還是極小值點，并說明理由 21已知某廠生產(chǎn) x 件產(chǎn)品的總成本為 f（ x） =25000+200x+ （元） （ 1）要使生產(chǎn) x 件產(chǎn)品的平均成本最低，應(yīng)生 產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ （ 2）若產(chǎn)品以每件 500 元售出，要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ 22已知橢圓 +，橢圓 長軸為短軸，且與 相同的離心率 （ 1）求橢圓 方程； （ 2）設(shè) O 為坐標原點，點 A， B 分別在橢圓 ， =2 ，求直線 方程 第 3 頁（共 11 頁） 2015年廣西南寧市馬山縣高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1復(fù)數(shù) z=i（ i+1）（ i 為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（ ） A 1 i B 1+i C 1 i D 1+i 【考點】 復(fù)數(shù)的基本概念 【分析】 由 z=i（ i+1） =i2+i= 1+i，能求出復(fù)數(shù) z=i（ i+1）（ i 為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù) 【解答】 解： z=i（ i+1） =i2+i= 1+i， 復(fù)數(shù) z=i（ i+1）（ i 為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是 1 i 故選 A 2命題 “對任意 x R，都有 0”的否定為（ ） A對任意 x R，都有 0 B不存在 x R，都有 0 C存在 R，使得 0 D存在 R，使得 0 【考點】 命題的否定；全稱命題 【分析】 直接利用全稱命題的否定是特稱命題，寫出命題的否定命題即可 【解答】 解：因為全稱命題的否定是特稱命題， 所以命題 “對任意 x R，都有 0”的否定為存在 R，使得 0 故選 D 3 “（ 2x 1） x=0”是 “x=0”的（ ） A充分不必要條件 B必要不 充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 本題考查的判斷充要條件的方法，我們可以根據(jù)充要條件的定義進行判斷 【解答】 解：若（ 2x 1） x=0 則 x=0 或 x= 即（ 2x 1） x=0 推不出 x=0 反之，若 x=0，則（ 2x 1） x=0，即 x=0 推出（ 2x 1） x=0 所以 “（ 2x 1） x=0”是 “x=0”的 必要不充分條件 故選 B 4設(shè) z 是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是（ ） A 若 0，則 z 是實數(shù) B若 0，則 z 是虛數(shù) C若 z 是虛數(shù)，則 0 D若 z 是純虛數(shù)，則 0 【考點】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 設(shè)出復(fù)數(shù) z，求出 用 a， b 的值，判斷四個選項的正誤即可 【解答】 解：設(shè) z=a+a， b R， z2= 對于 A， 0，則 b=0，所以 z 是實數(shù)，真命題； 第 4 頁（共 11 頁） 對于 B， 0，則 a=0，且 b 0， z 是虛數(shù)；所以 B 為真命題； 對于 C， z 是虛數(shù)，則 b 0，所以 0 是假命題 對于 D， z 是純虛數(shù)，則 a=0， b 0，所以 0 是真命 題； 故選 C 5已知橢圓 上的一點 P 到橢圓一個焦點的距離為 3，則 P 到另一個焦點的距離（ ） A 2 B 3 C 5 D 7 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 先根據(jù)條件求出 a=5；再根據(jù)橢圓定義得到關(guān)于所求距離 d 的等式即可得到結(jié)論 【解答】 解：設(shè)所求距離為 d，由題得： a=5 根據(jù)橢圓的定義得： 2a=3+dd=2a 3=7 故選 D 6若 f（ x） = f（ x）在 x=1 處的導(dǎo)數(shù)為（ ） A 2x B 2 C 3 D 4 【考點】 導(dǎo)數(shù)的運算 【分析】 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令 x=1 即可 【解答】 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f（ x） =2x， 則 f（ 1） =2， 故選： B 7已知雙曲線 =1 的右焦點為（ 3， 0），則該雙曲線的離心率等于（ ） A B C D 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 根據(jù)雙曲線 =1 的右焦點為（ 3， 0），可得 a=2，進而可求雙曲線的離心率 【解答】 解： 雙曲線 =1 的右焦點為（ 3， 0）， =9 a=2 c=3 故選 C 第 5 頁（共 11 頁） 8曲線 y=2x+4 在點（ 1， 3）處的切線的傾斜角為（ ） A 30 B 45 C 60 D 120 【考點】 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 【分析】 欲求在點（ 1， 3）處的切線傾斜角，先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知 k=y|x=1，再結(jié)合正切函數(shù)的值求出角 的值即可 【解答】 解： y/=32，切線的斜率 k=3 12 2=1故傾斜角為 45 故選 B 9設(shè)拋物線 x 上一點 P 到 y 軸的距離是 4，則點 P 到該拋物線焦點的距離是（ ） A 4 B 6 C 8 D 12 【考點】 拋物線的定義 【分析】 先根據(jù)拋物線的方程求得拋物線的準線方程，根據(jù)點 P 到 y 軸的距離求得點到準線的距離進而利用拋物線的定義可知點到準線的距離與點到焦點的距離相等，進而求得答案 【解答】 解：拋物線 x 的準線為 x= 2， 點 P 到 y 軸的距離是 4， 到準線的距離是 4+2=6， 根據(jù)拋物線的定義可知點 P 到該拋物線焦點的距離是 6 故選 B 10若雙曲線 的離心率為 ，則其漸 近線方程為（ ） A y= 2x B C D 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 通過雙曲線的離心率，推出 a、 b 關(guān)系，然后直接求出雙曲線的漸近線方程 【解答】 解：由雙曲線的離心率 ，可知 c= a， 又 a2+b2=以 b= a， 所以雙曲線的漸近線方程為： y= = x 故選 B 11已知函數(shù) y=2x3+6x 24 在 x=2 處有極值，則該函數(shù)的一個遞增區(qū)間是（ ） A（ 2， 3） B（ 3， +） C（ 2， +） D（ ， 3） 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)極值求出參數(shù) a 的值，然后 在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式x） 0 的區(qū)間即可 【解答】 解： y=f（ x） =66 在 x=2 處有極值 f（ 2） =60+4a=0，解得 a= 15 令 f（ x） =630x+36 0 解得 x 2 或 x 3 故選 B 第 6 頁（共 11 頁） 12已知 橢圓 C： 的兩個焦點， P 為橢圓 C 上的一點，且 ，若 面積為 9，則 b 的值 為（ ） A 3 B 2 C 4 D 9 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì)；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系 【分析】 由橢圓的定義知 + =2a，依題意， + =4對 式兩端平方后與 聯(lián)立可得 ，再由 面積為 9，即可求得 【解答】 解： + =2a， + +2 =4 又 ， + = =4 得： 2 =4（ =4 = 面積為 9， = =， b 0， b=3 故選 A 二、填空題：（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 .） 13已知復(fù)數(shù) z=1+2i（ i 是虛數(shù)單位），則 |z|= 【考點】 復(fù)數(shù)求模 【分析】 直接利用復(fù)數(shù)的模的求法公式，求解即可 【解答】 解：復(fù)數(shù) z=1+2i（ i 是虛數(shù)單位），則 |z|= = 故答案為： 14曲線 y=（ 1， 1）處的切線方程是 2x y 1=0 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某 點切線方程 【分析】 求出導(dǎo)函數(shù)，令 x=1 求出切線的斜率；利用點斜式寫出直線的方程 【解答】 解： y=2x 當 x=1 得 f（ 1） =2 第 7 頁（共 11 頁） 所以切線方程為 y 1=2（ x 1） 即 2x y 1=0 故答案為 2x y 1=0 15已知 頂點 B、 C 在橢圓 + 上，頂點 A 是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在 上，則 周長是 8 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 設(shè)另一個焦點為 F，根據(jù)橢圓的定義可知 |2a， |2a 最后把這四段線段相加求得 周長 【解答】 解：橢圓 + 中 a=2 設(shè)另一個焦點為 F，則根據(jù)橢圓的定義可知： |2a=4， |2a=4 三角形的周長為： |8 故答案為： 8 16已知橢圓 ，過左焦點 斜角為 的直線交橢圓于 A、 B 兩點求弦 2 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 求出橢圓的左焦點 2 ， 0），根據(jù)點斜率式方程設(shè) y= （ x+2 ），與橢圓方程消去 y 得 42 +15=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系算出 A、 B 的橫坐標滿足 | ，最后根據(jù)弦長公式即可算出弦 長 【解答】 解： 橢圓方程為 ， 焦點分別為 2 ， 0）， 2 ， 0）， 直線 左焦點 斜角為 直線 方程為 y= （ x+2 ）， 將 程與橢圓方程消去 y，得 42 +15=0 設(shè) A（ B（ 可得 x1+ 3 ， | = 因此， | | =2 故答案為： 2 三、解答題：（本大題共 6 小題，滿分 70 分解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 17計算： 第 8 頁（共 11 頁） （ 1）（ 1+i）（ 1 i） +（ 1+2i） 2； （ 2） 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則計算即可 【解答】 解：（ 1）（ 1+i）（ 1 i） +（ 1+2i） 2 =1 +4i+41（ 1） +1+4i+（ 4） = 1+4i （ 2） = = = = = = = 1 4i 18設(shè) 雙曲線 的兩個焦點，點 P 在雙曲線右支上，且滿足 0，求 面積為 S 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合直角三角形的勾股定理以及三角形的面積公式進行求解即可 【解答】 解： 點 P 在雙曲線右支上，且滿足 0， 2 得 |2 面積 S= |1 19已知直線 x+y 1=0 與橢圓 x2+相交于兩個不同點，求實數(shù) b 的取值范圍 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 直線 x+y 1=0 與橢圓 x2+，聯(lián)立，利用直線與橢圓相交于不同的兩點，可得 ，又方程 x2+表示橢圓，即可 求實數(shù) b 的取值范圍 【解答】 解：由直線 x+y 1=0 與橢圓 x2+，聯(lián)立得（ 4b+4） 8y+1=0 因為直線與橢圓相交于不同的兩點， 第 9 頁（共 11 頁） 所以 ，解得 b 3，且 b 1 又方程 x2+表示橢圓，所以 b 0，且 b 1 綜上，實數(shù) b 的取值范圍是 b|0 b 3 且 b 1 20設(shè) x= 2 與 x=4 是函數(shù) f（ x） =x3+兩個極值點 （ 1）求常數(shù) a、 b； （ 2）判斷 x= 2， x=4 是函數(shù) f（ x）的極大值點還是極小值點，并說明理由 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【分析】 （ 1）先對函數(shù) f（ x）進行求導(dǎo)，根據(jù) f（ 2） =0， f（ 4） =0 可求出 a， b 的值 （ 2）將 a， b 的值代入導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的政府之間的關(guān)系可判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而確定是極大值還是極小值 【解答】 解：（ 1） f（ x） =3ax+b 由極值點的必要條件可知 x= 2 和 x=4 是方程 f（ x） =0 的兩根，則 a= 3， b= 24 （ 2） f（ x） =3（ x+2）（ x 4），得 當 x 2 時， f（ x） 0； 當 2 x 4 時， f（ x） 0 x= 2 是 f（ x）的極大值點 當 x 4 時， f（ x） 0，則 x=4 是 f（ x）的極小值點 21已知某廠生產(chǎn) x 件產(chǎn)品的總成本為 f（ x） =25000+200x+ （元） （ 1）要使生產(chǎn) x 件產(chǎn)品的平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ （ 2）若產(chǎn)品以每件 500 元售出，要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ 【考點】 函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用 【分析】 （ 1）先根據(jù)題意設(shè)生產(chǎn) x 件產(chǎn)品的平均成本為 y 元，再結(jié)合平均成本的含義得出函數(shù) y 的表達式，最后利用導(dǎo)數(shù)求出此函數(shù)的最小值即可； （ 2）先寫出利潤函數(shù)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求出此函數(shù)的極值，從而得出函數(shù)的最大值，即可解決問題：要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品 【解答】 解：（ 1）設(shè)生產(chǎn) x 件產(chǎn)品的平均成本為 y 元，則令 y=0，得