第 1 頁（共 22 頁） 2016 年湖南省高考數(shù)學(xué)沖刺卷（文科）（ 3） 一、選擇題：本大題共 12 個(gè)小題，每小題 5 分，共 60 分 有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1復(fù)數(shù) z 滿足（ z i）（ 2 i） =5則 z=（ ） A 2 2i B 2+2i C 2 2i D 2+2i 2集合 U=0， 1， 2， 3， 4， A=1， 2， B=x Z|5x+4 0，則 U（ A B） =（ ） A 0， 1， 3， 4 B 1， 2， 3 C 0， 4 D 0 3閱讀如圖所示的程序框圖，若輸出的數(shù)據(jù)為 58，則 判斷框中應(yīng)填入的條件為（ ） A k 3 B k 4 C k 5 D k 6 4設(shè) 等比數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，若 =3，則 =（ ） A 2 B C D l 或 2 5有四個(gè)關(guān)于三角函數(shù)的命題： x+y= 或 x=y； x R， 1； x， y R， x y） = x 0， ， = 其中真命題是（ ） A 若實(shí)數(shù) x， y 滿足不等式組 ，且 z=y 2x 的最小值等于 2，則實(shí)數(shù) m 的值等于（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 7如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體外接球的表面積為（ ） 第 2 頁（共 22 頁） A 8 B 16 C 32 D 64 8若 （ ， ），則 3 ），則 值為（ ） A B C D 9如圖，有四個(gè)平面圖形分別是三角形、平行四邊形、直角梯形、圓垂直于 x 軸的直線l： x=t（ 0 t a）經(jīng)過原點(diǎn) O 向右平行移動(dòng)， l 在移動(dòng)過程中掃過平面圖形的面積為 y（圖中陰影部分），若函數(shù) y=f（ t）的大致圖象如圖，那么平面圖形的形狀不可能是（ ） A B C D 10在直角坐標(biāo)系 ，設(shè) P 是曲線 C： （ x 0）上任意一點(diǎn)， l 是曲線 C 在點(diǎn) l 交坐標(biāo)軸于 A， B 兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ） A 面積為定值 2 B 面積有最小值為 3 C 面積有最大值為 4 D 面積的取值范圍是 3， 4 11已知 別是雙曲線 =1（ a 0， b 0）的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn) p 在雙曲線的右支上，且 （ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），若 |，則該雙曲線的離心率為（ ） A + B C + D 第 3 頁（共 22 頁） 12設(shè)函數(shù) f（ x）是定義在 R 上的偶函數(shù)，對任意 x R，都有 f（ x） =f（ x+4），且當(dāng) x 2， 0時(shí)， f（ x） =（ ） x 1，若在區(qū)間（ 2， 6）內(nèi)關(guān)于 x 的方程 f（ x） x+2） =0（ a 1）恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則 a 的取值范圍是（ ） A（ ， 0） B（ ， 2 C ， 2） D ， 2 二、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上） 13已知函 f（ x） = ，則 f（ f（ ） = 14已知 | |=1， | |=2， ， = + ，則 = 15某種飲料每箱裝 5 聽，其中有 3 聽合格， 2 聽不合格，現(xiàn)質(zhì)檢人員從中隨機(jī)抽取 2 聽進(jìn)行檢測，則檢測出至少有一聽不合格飲料的概率是 16如圖，在 ， ， ， 點(diǎn) D 在線段 ，且 ，則 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分 明過程或演算步驟 .） 17已知數(shù)列 ， ， = （ n N*） （ 1）求證： 是等比數(shù)列，并求 通項(xiàng)公式 （ 2）數(shù)列 足 3n 1） ，數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 不等式（ 1）對一切 n N*恒成立，求 的取值范圍 18某城市隨機(jī)抽取一個(gè)月（ 30 天）的空氣質(zhì)量指數(shù) 測數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下： 0，50 （ 50，100 （ 100，150 （ 150，200 （ 200，250 （ 250，300 （ 300，350 空氣質(zhì)量 優(yōu) 良 輕微污染 輕度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天數(shù) 2 4 5 9 4 3 3 （ ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該城市這 30 天空氣質(zhì)量指數(shù) 平均值； （ ）若該城市某企業(yè)因空氣污染每天造成的經(jīng)濟(jì)損失 S（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù) 為 w）的關(guān)系式為： 第 4 頁（共 22 頁） S= 若在本月 30 天中隨機(jī)抽取一天，試估計(jì)該天經(jīng)濟(jì)損失 S 大于 200 元且不超過 600 元的概率 19在三棱錐 S ， 底面 0，且 B，點(diǎn) M 是 中點(diǎn)，交 點(diǎn) N （ 1）求證： 平面 （ 2）當(dāng) C=1 時(shí)，求三棱錐 M 體積 20已知雙曲線 C 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，離心率 e= ，虛軸長為 2 （ ）求雙曲線 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ ）若直線 l： y=kx+m 與雙曲線 C 相交于 A， B 兩點(diǎn)（ A， B 均異于左、右頂點(diǎn)），且以直徑的圓過雙曲線 C 的左頂點(diǎn) D，求證：直線 l 過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo) 21設(shè)函數(shù) f（ x） =（ 1+x） 2 21+x） （ 1）若關(guān)于 x 的不等式 f（ x） m 0 在 0， e 1（ e 為自然對數(shù)的底數(shù)） 上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍； （ 2）設(shè) g（ x） =f（ x） 1，若關(guān)于 x 的方程 g（ x） =p 至少有一個(gè)解，求 p 的 最小值 請考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 .選修 4何證明選講 22（幾何證明選講選做題）已知 外角 平分線，交 延長線于點(diǎn) D，延長 外接圓于點(diǎn) F，連接 （ 1）求證： C； （ 2）若 接 圓的直徑， 20， ，求 長 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 第 5 頁（共 22 頁） 23已知直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)）曲線 C 的極坐標(biāo)方程為=2 直線 l 與曲線 C 交于 A， B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) P （ 1）求曲線 C 的直角坐標(biāo)方程； （ 2）求 的值 選修 4等式選講 24設(shè) f（ x） =|x 1| |x+3| （ 1）解不等式 f（ x） 2； （ 2）若不等式 f（ x） 在 x 3， 1上恒成立，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍 第 6 頁（共 22 頁） 2016 年湖南省高考數(shù)學(xué)沖刺卷（文科）（ 3） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 個(gè)小題，每小題 5 分，共 60 分 有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1復(fù)數(shù) z 滿足（ z i）（ 2 i） =5則 z=（ ） A 2 2i B 2+2i C 2 2i D 2+2i 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算 【分析】 復(fù)數(shù)的乘法轉(zhuǎn)化為除法，化簡復(fù)數(shù)方程，利用復(fù)數(shù)的分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，然后整理即可 【解答】 解：（ z i）（ 2 i） =5z i= z= +i= +i= +i=2+2i 故選 D 2集合 U=0， 1， 2， 3， 4， A=1， 2， B=x Z|5x+4 0，則 U（ A B） =（ ） A 0， 1， 3， 4 B 1， 2， 3 C 0， 4 D 0 【考點(diǎn)】 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算 【分析】 求出集合 B 中不等式的解集，找出解集中的整數(shù)解確定出 B，求出 A 與 B 的并集，找出全集中不屬于并集的元素，即可求出所求 【解答】 解：集合 B 中的不等式 5x+4 0， 變形得：（ x 1）（ x 4） 0， 解得： 1 x 4， B=2， 3， A=1， 2， A B=1， 2， 3， 集合 U=0， 1， 2， 3， 4， （ A B） =0， 4 故選： C 3閱讀如圖所示的程序框圖，若輸出的數(shù)據(jù)為 58，則判斷框中應(yīng)填入的條件為（ ） A k 3 B k 4 C k 5 D k 6 【考點(diǎn)】 程序框圖 第 7 頁（共 22 頁） 【分析】 由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量 S 的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案 【解答】 解：當(dāng) S=0， k=1 時(shí)，不滿足輸出條件，故進(jìn)行循環(huán)，執(zhí)行完循環(huán)體后， S=1， k=2， 當(dāng) S=1， k=2 時(shí)，不滿足輸出 條件，故進(jìn)行循環(huán)，執(zhí)行完循環(huán)體后， S=6， k=3， 當(dāng) S=6， k=9 時(shí)，不滿足輸出條件，故進(jìn)行循環(huán)，執(zhí)行完循環(huán)體后， S=21， k=4， 當(dāng) S=21， k=4 時(shí)，不滿足輸出條件，故進(jìn)行循環(huán)，執(zhí)行完循環(huán)體后， S=58， k=5， 當(dāng) S=58， k=5 時(shí)，滿足輸出條件， 故判斷框中應(yīng)填入的條件為 k 4， 故選： B 4設(shè) 等比數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，若 =3，則 =（ ） A 2 B C D l 或 2 【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 【分析】 利用等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式求解 【解答】 解： 等比數(shù)列 前 n 項(xiàng)和， =3， =1+， ， = = = = 故選： B 5有四個(gè)關(guān)于三角函數(shù)的命題： x+y= 或 x=y； x R， 1； x， y R， x y） = x 0， ， = 其中真命題是（ ） A 考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用 第 8 頁（共 22 頁） 【分析】 根據(jù)三角函數(shù)的定義及周期性，可判斷 據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的平方關(guān)系，可判斷 據(jù)兩角差的余弦公式，可判斷 據(jù)二倍解的余弦公式，及根式的運(yùn)算性質(zhì)，可判斷 【解答】 解： x+y=+2 x=y+2k Z，故錯(cuò)誤； 據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的平方關(guān)系，可得： x R， 1，故正確； x， y R， x y） = 一定相等，故錯(cuò)誤； x 0， ， = =|正確 故選： D 6若實(shí)數(shù) x， y 滿足不等式組 ，且 z=y 2x 的最小值等于 2，則實(shí)數(shù) m 的值等于（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用 z=y 2x 的最小值等于 2，結(jié)合數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論 【解答】 解：由 z=y 2x，得 y=2x+z， 作出不等式對應(yīng)的可行域， 平移直線 y=2x+z， 由平移可知當(dāng)直線 y=2x+z 經(jīng)過點(diǎn) A 時(shí)， 直線 y=2x+z 的 截距最小，此時(shí) z 取得最小值為 2，即 y 2x= 2， 由 ，解得 ， 即 A（ 1， 0）， 點(diǎn) A 也在直線 x+y+m=0 上， 則 m= 1， 故選： A 第 9 頁（共 22 頁） 7如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體外接球的表面積為（ ） A 8 B 16 C 32 D 64 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積 、體積 【分析】 由已知中的三視圖可得，該幾何體是一個(gè)以正視圖為底面的四棱錐，其外接球，與以俯視圖為底面，以 4 為高的直三棱柱的外接球相同，進(jìn)而可得該幾何體外接球的表面積 【解答】 解：由已知中的三視圖可得，該幾何體是一個(gè)以正視圖為底面的四棱錐， 其外接球，與以俯視圖為底面，以 4 為高的直三棱柱的外接球相同， 如圖所示： 由底面底邊長為 4，高為 2，故底面為等腰直角三角形， 可得底面外接圓的半徑為： r=2， 由棱柱高為 4，可得球心距為 2， 故外接球半徑為： R= =2 ， 故外接球的表面積 S=42， 故選： C 8若 （ ， ），則 3 ），則 值為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)的化簡求值；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用；兩角和與差的余弦函數(shù)；兩角和與差的正弦函數(shù) 【分析】 直接利用兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角的余弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式，利用平方關(guān)系式求出結(jié)果即可 【解答】 解： 3 ）， 第 10 頁（共 22 頁） 可得 3（ ， 3（ = （ （ ， ）， 0， 上式化為： ， 兩邊平方可得 1+ 故選： D 9如圖，有四個(gè)平面圖形分別 是三角形、平行四邊形、直角梯形、圓垂直于 x 軸的直線l： x=t（ 0 t a）經(jīng)過原點(diǎn) O 向右平行移動(dòng)， l 在移動(dòng)過程中掃過平面圖形的面積為 y（圖中陰影部分），若函數(shù) y=f（ t）的大致圖象如圖，那么平面圖形的形狀不可能是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 函數(shù)的圖象 【分析】 直接利用圖形的形狀，結(jié)合圖象，判斷不滿足的圖形即可 【解答】 解：由函數(shù)的圖象可知，幾何體具有對稱性， 選項(xiàng) A、 B、 D， l 在移動(dòng)過程中掃過平面圖形的面積為 y，在中線位置前，都是先慢后快，然后相反 選項(xiàng) C，后面是直線增加，不滿足題意； 故選： C、 10在直角坐標(biāo)系 ，設(shè) P 是曲線 C： （ x 0）上任意一點(diǎn)， l 是曲線 C 在點(diǎn) l 交坐標(biāo)軸于 A， B 兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ） A 面積為定值 2 B 面積有最小值為 3 C 面積有最大值為 4 D 面積的取值范圍是 3， 4 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 【分析】 設(shè) P（ a， ），求出曲線 C 在點(diǎn) P 處的切線方程，再計(jì)算面積，即可得出結(jié)論 第 11 頁（共 22 頁） 【解答】 解：由題意， y= （ x 0），則 y= 設(shè) P（ a， ），則曲線 C 在點(diǎn) P 處的切線方程為 y = （ x a）， x=0 可得 y= ； y=0 可得 x=2a， 面積為 =2，即定值 2， 故選： A 11已知 別是雙曲線 =1（ a 0， b 0）的左，右 焦點(diǎn)，點(diǎn) p 在雙曲線的右支上，且 （ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），若 |，則該雙曲線的離心率為（ ） A + B C + D 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 利用 ，可得 ，設(shè) =x，則 = ，利用勾股定理，求出 x= c，由雙曲線的定義可得 x x=2a，代入即可得出結(jié)論 【解答】 解： （ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）， ， ， 設(shè) =x，則 = ， x= c， 由雙曲線的定義可得 x x=2a， （ 1） c=2a， e= = + 故選： A 第 12 頁（共 22 頁） 12設(shè)函數(shù) f（ x）是定義在 R 上的偶 函數(shù)，對任意 x R，都有 f（ x） =f（ x+4），且當(dāng) x 2， 0時(shí)， f（ x） =（ ） x 1，若在區(qū)間（ 2， 6）內(nèi)關(guān)于 x 的方程 f（ x） x+2） =0（ a 1）恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則 a 的取值范圍是（ ） A（ ， 0） B（ ， 2 C ， 2） D ， 2 【考點(diǎn)】 根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷 【分析】 由 f（ x） =f（ x+4），推出函數(shù)的周期是 4，根據(jù)函數(shù) f（ x）是偶函數(shù)，得到函數(shù) f（ x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合確定滿足的條件即可得到結(jié)論 【解答】 解：由 f（ x） =f（ x+4），得函數(shù) f（ x）的周期為 4， 當(dāng) x 2， 0時(shí)， f（ x） =（ ） x 1， 若 x 0， 2，則 x 2， 0， 則 f（ x） =（ ） x 1=2x 1， f（ x）是偶函數(shù)， f（ x） =（ ） x 1=2x 1=f（ x）， 即 f（ x） =2x 1， x 0， 2， 由 f（ x） x+2） =0 得 f（ x） =x+2）， 作出函數(shù) f（ x）的圖象如圖：當(dāng) a 1 時(shí)，在區(qū)間（ 2， 6）要使方程 f（ x） x+2）=0 恰有 3 個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， 則等價(jià)為函數(shù) f（ x）與 g（ x） =x+2）有 3 個(gè)不同的交 點(diǎn)， 則滿足 ，即 ，即 ， 解得 a 2， 故 a 的取值范圍是（ ， 2， 故選： B 二、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上） 第 13 頁（共 22 頁） 13已知函 f（ x） = ，則 f（ f（ ） = 【考點(diǎn)】 分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的值；對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 【分析】 利用分段函數(shù)直接進(jìn)行求值即可 【解答】 解：由分段函數(shù)可知 f（ ） = ， f（ f（ ） =f（ 2） = 故答案為： 14已知 | |=1， | |=2， ， = + ，則 = 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，進(jìn)行計(jì)算即可 【解答】 解：因?yàn)?| |=1， | |=2， ， 且 = + ， 所以 = （ + ） = + = 12+ 1 2 = 故答案為： 15某種飲料每箱裝 5 聽，其中有 3 聽合格， 2 聽不合格，現(xiàn)質(zhì)檢人員從中隨機(jī)抽取 2 聽進(jìn)行檢測，則檢測出至少有一聽不合格飲料的概率是 【考點(diǎn)】 古典概型及其概率計(jì)算公式 【分析】 至少有一聽不合格的對立事件是兩聽都合格，由此利用對立事件的概率公式能求出檢測出至少有一聽不合格飲料的概率 【解答】 解： 至少有一聽不合格的對立事件是兩聽都合格， 檢測出至少有一聽不合格飲料的概率： p=1 = 故答案為： 第 14 頁（共 22 頁） 16如圖，在 ， ， ， 點(diǎn) D 在線段 ，且 ，則 【考點(diǎn)】 余弦定理；正弦定理 【分析】 利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可求出 值，設(shè) BC=a， b，由 D=2b， DC=b，在三角形 ，利用余弦定理得到關(guān)于 a 與 b 的關(guān)系式，在三角形 三角形 ，利用余弦定理分別表示出 于兩角互補(bǔ)，得到 于 個(gè)關(guān)系式互為相反數(shù)，得到 a 與 b 的另一個(gè)關(guān)系式，求出 a， b 即可得到結(jié)論 【解答】 解：因?yàn)?，所以 21 2 （ ） 2=1 2 = ， 在 ，設(shè) BC=a， b， 由余弦定理可得 ： 在 ，由余弦定理可得： ， ， 因?yàn)?以有 = ， 所以 3 6 由 可得 a=3， b=1，即 ， 則 = ， 故答案為： 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分 明過程或演算步驟 .） 17已知數(shù)列 ， ， = （ n N*） 第 15 頁（共 22 頁） （ 1）求證： 是等比數(shù)列，并求 通項(xiàng)公式 （ 2）數(shù)列 足 3n 1） ，數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 不等式（ 1）對一切 n N*恒成立，求 的取值范圍 【考點(diǎn)】 數(shù)列與不等式的綜合；等比關(guān)系的確定 【分析】 （ 1）由數(shù)列 ， ， = （ n N*），可得 =1+ 變形為 ，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出 （ 2）由（ 1）可知： 用 “錯(cuò)位相減法 ”即可得出 用不等式（ 1） ，通過對 n 分為偶數(shù)與奇數(shù)討論即可 【解答】 解：（ 1）由數(shù)列 ， ， = （ n N*），可得 =1+ ， 是首項(xiàng)為 ，公比為 3 的等比數(shù)列， ，化為 （ 2）由（ 1）可知： = ， + + + ， 兩式相減得 = = （ 1） n + =4 若 n 為偶數(shù)，則 ， 3 第 16 頁（共 22 頁） 若 n 為奇數(shù)，則 ， 2，解得 2 綜上可得 2 3 18某城市隨機(jī)抽取一個(gè)月（ 30 天）的空氣質(zhì)量指數(shù) 測數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下： 0，50 （ 50，100 （ 100，150 （ 150，200 （ 200，250 （ 250，300 （ 300，350 空氣質(zhì)量 優(yōu) 良 輕微污染 輕度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天數(shù) 2 4 5 9 4 3 3 （ ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該城市這 30 天空氣質(zhì)量指數(shù) 平均值； （ ）若該城市某企業(yè)因空氣污染每天造成的經(jīng)濟(jì)損失 S（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù) 為 w）的關(guān)系式為： S= 若在本月 30 天中隨機(jī)抽取一天，試估計(jì)該天經(jīng)濟(jì)損失 S 大于 200 元且不超過 600 元的概率 【考點(diǎn)】 古典概型及其概率計(jì)算公式；分段函數(shù)的應(yīng)用 【分析】 （ ）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可估計(jì)該城市這 30 天空氣質(zhì)量指數(shù) 平均值； （ ）根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，求出滿足經(jīng)濟(jì)損失 S 大于 200 元且不超過 600 元對應(yīng)的天數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式即可得到結(jié)論 【解答】 解：（ ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該城市這 30 天空氣質(zhì)量指數(shù) 平均值為 25 2+75 4+125 5+175 9+225 4+275 3+325 3= ； （ ）由分段函數(shù)的表達(dá)式可知，若經(jīng)濟(jì)損失 S 大于 200 元且不超過 600 元， 則得 200 4w 400 600，即 600 4w 1000， 解得 150 w 250，此時(shí)對應(yīng)的天數(shù)為 9+4=13， 則對應(yīng)的概率 P= 19在三棱錐 S ， 底面 0，且 B，點(diǎn) M 是 中點(diǎn)，交 點(diǎn) N （ 1）求證： 平面 （ 2）當(dāng) C=1 時(shí)，求三棱錐 M 體積 第 17 頁（共 22 頁） 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 【分析】 （ 1）依題意，可證得 平面 而可證 B，點(diǎn) M 是中點(diǎn)可證得 B=B，從而 平面 M 一步可證平面 用面面垂直的判斷定理即可證得結(jié)論 （ 2）利用（ 1）的結(jié)果，通過數(shù)據(jù)關(guān)系，求出 后求出棱錐的體積 【解答】 解：（ 1）證明： 平面 角三角形， B=A， 平面 B， M 為 中點(diǎn)， B=B， 平面 M=A， 平面 （ 2）由（ 1）可知 0， B=， M=， ， = = 平面 三棱錐 M 體積： = = 20已知雙曲線 C 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，離心率 e= ，虛軸長為 2 （ ）求雙曲線 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ ）若直線 l： y=kx+m 與雙曲線 C 相交于 A， B 兩點(diǎn)（ A， B 均異于左、右頂點(diǎn)），且以直徑的圓過雙曲線 C 的左頂點(diǎn) D，求證 ：直線 l 過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo) 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的綜合問題 【分析】 （ ）由已知得： ， 2b=2，易得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程； 第 18 頁（共 22 頁） （ ）設(shè) A（ B（ 聯(lián)立 ，得（ 1 484（ ）=0，以 直徑的圓過雙曲線 C 的左頂點(diǎn) D（ 2， 0）， 1，即，代入即可求解 【解答】 解：（ ）由題設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ， 由已知得： ， 2b=2，又 a2+b2=得 a=2， b=1， 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （ ）設(shè) A（ B（ 聯(lián)立 ，得（ 1 484（ ）=0， 有 ， ， 以 直徑的圓過雙曲線 C 的左頂點(diǎn) D（ 2， 0）， 1，即 ， （ x1+4=0， ， 3160 解得 m=2k 或 m= 當(dāng) m=2k 時(shí)， l 的方程為 y=k（ x+2），直線過定點(diǎn)（ 2， 0），過雙曲線的左頂點(diǎn)，與已知矛盾 ； 第 19 頁（共 22 頁） 當(dāng) m= 時(shí)， l 的方程為 y=k（ x+ ），直線過定點(diǎn)（ ， 0），經(jīng)檢驗(yàn)符合已知條件 故直線 l 過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， 0） 21設(shè)函數(shù) f（ x） =（ 1+x） 2 21+x） （ 1）若關(guān)于 x 的不等式 f（ x） m 0 在 0， e 1（ e 為自然對數(shù)的底數(shù)） 上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) m 的取值 范圍； （ 2）設(shè) g（ x） =f（ x） 1，若關(guān)于 x 的方程 g（ x） =p 至少有一個(gè)解，求 p 的 最小值 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 （ 1）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù) f（ x）的最大值，由 f（ x） m，即可求得 m 的取值范圍； （ 2）求得 g（ x）的導(dǎo)函數(shù) g（ x），求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，從而求得 p 的最小值 【解答】 解：（ 1） ，且當(dāng) x 0 時(shí)， ， 在 0， e 1上有 f（ x） 0， f（ x） =（ 1+x） 2 21+x）在 0， e 1上單調(diào)遞增， 得 ， 因?yàn)殛P(guān)于 x 的不等式 f（ x） m 0 在 0， e 1（ e 為自然對數(shù)的底數(shù)） 上有實(shí)數(shù)解， f（ x） m，即 m 2， 所以實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（ ， 2 （ 2） g（ x） =f（ x） 1=2x 21+x）， ， ，在（ 1， 0）上 g（ x） 0，在（ 0， +）， g（ x） 0， g（ x） g（ 0） =0， x 的方程 g（ x） =p 至少有一個(gè)解， p 0， p 最小值為 0 請考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 .選修 4何證明選講 22（幾何證明選講選做題）已知 外角 平分線，交 延長線于點(diǎn) D，延長 外接圓于點(diǎn) F，連接 （ 1）求證： C； （ 2）若 接圓的直徑， 20， ，求 長 【考點(diǎn)】 圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定；圓周角定理 第 20 頁（共 22 頁） 【分析】 （ 1）證明 C，即證 用 分 邊形 接于圓，可證得； （ 2）先計(jì)算得 0， 0， D=30，在 ，求 長，在