第 1 頁（共 24 頁） 2016 年河南省高考數(shù)學(xué)沖刺試卷（理科）（四） 一、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分 有一項是符合題目要求的 . 1已知集合 A= ， B= ，則集合 A（ 真子集的個數(shù)為（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 2復(fù)數(shù) z= +i 為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為（ ） A 1+2i B i 1 C 1 i D 1 2i 3 “a 0”是 “函數(shù) f（ x） =|（ 1） x|在區(qū)間（ 0， +）內(nèi)單調(diào)遞增 ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 4已知定義在區(qū)間 a 1， 2a+4的偶函數(shù) f（ x） = a b） x+1，則不等式 f（ x） f（ b）的解集為（ ） A 1， 2 B 2， 1 C（ 1， 2 D 2， 1） （ 1， 2 5已知圓 O： x2+ 上到直線 l： x+y=a 的距離等于 1 的點(diǎn)至少有 2 個，則 a 的取值范圍為（ ） A（ 3 ， 3 ） B（ ， 3 ） （ 3 ， +） C（ 2 ， 2 ）D 3 ， 3 6一個幾何體的三視圖如圖所示，那么這個幾何體的表面積是（ ） A B C D 7執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的 S=88，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（ ） 第 2 頁（共 24 頁） A k 7 B k 6 C k 5 D k 4 8設(shè) x， y 滿足約束條件 ，若 z=x+3y 的最大值與最小值的差為 7，則實(shí)數(shù) m=（ ） A B C D 9已知正項等比數(shù)列 足： a3=存在兩項 得 ，則的最小值為（ ） A B C D不存在 10已知三棱錐 O A， B， C 三點(diǎn)均在球心為 O 的球表面上， C=1， 20，三棱錐 O 體積為 ，則球 O 的表面積是（ ） A 544 B 16 C D 64 11已知圓 O： x2+，圓 M：（ x 8） 2+（ y 6） 2=4，在圓 M 上任取一點(diǎn) P，向圓 O 作切線 點(diǎn)為 A， B，則 的最大值為（ ） A B C D 12對于函數(shù) f（ x），若 a， b， c R， f（ a）， f（ b）， f（ c）為某一三角形的三邊長，則稱f（ x）為 “可構(gòu)造三角形函數(shù) ”，已知函數(shù) f（ x） = 是 “可構(gòu)造三角形函數(shù) ”，則實(shí)數(shù) t 的取值范圍是（ ） A 0， +） B 0， 1 C 1， 2 D 第 3 頁（共 24 頁） 二、填空題（每題 5 分，滿分 20 分 ，將答案填在答題紙上） 13已知 a= 2 二項式（ ） 5 的展開式中 x 的系數(shù)為 14已知向量 =（ 1， ）， =（ 3， m）若向量 在 方向上的投影為 3，則實(shí)數(shù)m= 15現(xiàn)有 5 名教師要帶 3 個興趣小組外出學(xué)習(xí)考察，要求每個興趣小組的帶隊教師至多 2人，但其中甲教師和乙教師均不能單獨(dú)帶隊，則不同的帶隊方案有 種（用數(shù)字作答） 16規(guī)定記號 “*”表示一種運(yùn)算， a*b=a2+函數(shù) f（ x） =x*2，且關(guān)于 x 的方程 f（ x） =ln|x+1|（ x 1）恰有 4 個互不相等的實(shí)數(shù)根 x1+x2+x3+ 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分 明過程或演算步驟 .） 17如圖所示，在四邊形 ， D=2 B，且 ， ， B= （ 1）求 面積； （ 2）若 ，求 長 18如圖，矩形 在的平面和正方形 在的平面互相垂直， ，點(diǎn) E 在棱 移動 （ 1）當(dāng) E 為 中點(diǎn)時，求 點(diǎn) E 到平面 距離； （ 2）當(dāng) 于何值時，二面角 D 的大小為 ？ 19某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天晝夜溫差與實(shí)驗室每天每 100 顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料： 日 期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 溫差 x（ C） 10 11 13 12 8 發(fā)芽 數(shù) y（顆） 23 25 30 26 16 該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取 2 組，用剩下的 3 組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的 2 組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗 （ 1）求選取的 2 組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰 2 天數(shù)據(jù)的概率； （ 2）若選取的是 12 月 1 日與 12 月 5 日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù) 12 月 2 日至 12 月 4 日的數(shù)據(jù)，求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 ； 第 4 頁（共 24 頁） （ 3）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過 2 顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（ 2）中所得的線 性回歸方程是否可靠？ 20已知橢圓 C： 的離心率為 ，點(diǎn) 在橢圓 C 上 （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）設(shè)動直線 l 與橢圓 C 有且僅有一個公共點(diǎn)，判斷是否存在以原點(diǎn) O 為圓心的圓，滿足此圓與 l 相交兩點(diǎn) 點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上），且使得直線 斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程；若不存在，說明理由 21已知函數(shù) f（ x） = + 1， +）上為增函數(shù)，且 （ 0， ）， g（ x） = t R （ ）求 的值； （ ）當(dāng) t=0 時，求函數(shù) g（ x）的單調(diào)區(qū)間和極大值； （ ）若在 1， e上至少存在一個 得 g（ f（ 立，求 t 的取值范圍 請考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 .選修 4何證明選講 22如圖，點(diǎn) A 是以線段 直徑的圓 O 上一點(diǎn)， 點(diǎn) D，過點(diǎn) B 作圓 O 的切線，與 延長線相交于點(diǎn) E，點(diǎn) G 是 中點(diǎn)，連接 延長與 交于點(diǎn) F，延長 延長線相交于點(diǎn) P （ 1）求證： F； （ 2）求證： 圓 O 的切線 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23在直角坐標(biāo)系 ，圓 C 的參數(shù)方程 （ 為參數(shù)），以 O 為極點(diǎn)， x 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 （ 1）求圓 C 的極坐標(biāo)方程； （ 2）直線 l 的極坐標(biāo)方程 是 2+ ） =3 ，射線 = 與圓 C 的交點(diǎn)為 O、 P，與直線 l 的交點(diǎn)為 Q，求線段 長 選修 4等式選講 24選修 4 5：不等式選講 第 5 頁（共 24 頁） 已知 f（ x） =|（ a R），不等式 f（ x） 3 的解集為 x| 2 x 1 （ ）求 a 的值； （ ）若 恒成立，求 k 的取值范圍 第 6 頁（共 24 頁） 2016 年河南省高考數(shù)學(xué)沖刺試卷（理科）（四） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分 有一項是符合題目要求的 . 1已知集合 A= ， B= ，則集合 A（ 真子集的個數(shù)為（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考點(diǎn)】 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算 【分析】 根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合不等式的關(guān)系化簡集合 A， B，然后確定 集合 A（ 元素個數(shù)即可 【解答】 解：當(dāng) x 16 時， 1 4， 則 A= =0， 1， 2， 3， 4， B= =x|x 2 或 x 1， 則 x| 1 x 2， 則 A（ =0， 1， 2， 即集合 A（ 真 子集的個數(shù)為 23 1=8 1=7， 故選： D 2復(fù)數(shù) z= +i 為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為（ ） A 1+2i B i 1 C 1 i D 1 2i 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出 【解答】 解： z= + i=（ i 1） i=1 2i， 其共軛復(fù)數(shù)為 1+2i， 故選： A 3 “a 0”是 “函數(shù) f（ x） =|（ 1） x|在區(qū)間（ 0， +）內(nèi)單調(diào)遞增 ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 對 a 分類討論，利用二次函數(shù)的圖象與單調(diào)性、充要條件即可判斷出 【解答】 解：當(dāng) a=0 時， f（ x） =|x|，在區(qū)間（ 0， +）內(nèi)單調(diào)遞增 當(dāng) a 0 時， ， 結(jié)合二次函數(shù)圖象可知函數(shù) f（ x） =|（ 1） x|在區(qū)間（ 0， +）內(nèi)單調(diào)遞增 第 7 頁（共 24 頁） 若 a 0，則函數(shù) f（ x） =|（ 1） x|，其圖象如圖 它在區(qū)間（ 0， +）內(nèi)有增有減， 從而若函數(shù) f（ x） =|（ 1） x|在區(qū)間（ 0， +）內(nèi)單調(diào)遞增則 a 0 a 0 是 ”函數(shù) f（ x） =|（ 1） x|在區(qū)間（ 0， +）內(nèi)單調(diào)遞增 ”的充要條件 故選： C 4已知定義在區(qū)間 a 1， 2a+4的偶函數(shù) f（ x） = a b） x+1，則不等式 f（ x） f（ b）的解集為（ ） A 1， 2 B 2， 1 C（ 1， 2 D 2， 1） （ 1， 2 【考點(diǎn)】 函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 【分析】 由偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱可知 a 1+2a+4=0 可求 a，結(jié)合 f（ x） = a b）x+1 為偶函數(shù)可求 b，即可求解 【解答】 解：由偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱可知 a 1+2a+4=0 a= 1，函數(shù)的定義域為 2， 2， f（ x） = a b） x+1 為偶函數(shù) f（ x） =f（ x）， a b） x+1= a b） x+1， a b=0， b= 1， f（ x） = f（ x） f（ b）， |x| 1， 函數(shù)的定義域為 2， 2， 不等式 f（ x） f（ b）的解集為 2， 1） （ 1， 2 故選： D 5已知圓 O： x2+ 上到直線 l： x+y=a 的距離等于 1 的點(diǎn)至少有 2 個，則 a 的取值范圍為（ ） A（ 3 ， 3 ） B（ ， 3 ） （ 3 ， +） C（ 2 ， 2 ）D 3 ， 3 【考點(diǎn)】 直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 由題意可得圓心（ 0， 0）到直線 l： x+y=a 的距離 d 滿足 d r+1，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出 d，再解絕對值不等式求得實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【解答】 解：由圓的方程可知圓心為（ 0， 0），半徑為 2 第 8 頁（共 24 頁） 因為圓上的點(diǎn)到直線 l 的距離等于 1 的點(diǎn)至少有 2 個，所以圓心到直線 l 的距離 d r+1=3， 即 d= 3，解得 3 a 3 故選： A 6一個幾何體的三視圖如圖所示，那么這個幾何體的表面積是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以主視圖為底面的四棱柱，結(jié)合柱體表面積公式，可得答案 【解答】 解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以主視圖為底面的四棱柱， 其底面面積為： （ 1+2） 2=3， 底面周長為： 2+2+1+ =5+ ， 高為： 2， 故四棱柱的表面積 S=2 3+（ 5+ ） 2= ， 故選： B 7執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的 S=88，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（ ） 第 9 頁（共 24 頁） A k 7 B k 6 C k 5 D k 4 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示 的順序，可知：該程序的作用是累加并輸入 S 的值，條件框內(nèi)的語句是決定是否結(jié)束循環(huán)，模擬執(zhí)行程序即可得到答案 【解答】 解：程序在運(yùn)行過程中各變量值變化如下表： K S 是否繼續(xù)循環(huán) 循環(huán)前 1 0 第一圈 2 2 是 第二圈 3 7 是 第三圈 4 18 是 第四圈 5 41 是 第五圈 6 88 否 故退出循環(huán)的條件應(yīng)為 k 5？ 故答案選 C 8設(shè) x， y 滿足約束條件 ，若 z=x+3y 的最大值與最小值的差為 7，則實(shí)數(shù) m=（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 由約束條件畫出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出最值，結(jié)合最大值與最 小值的差為 7 求得實(shí)數(shù) 【解答】 解：由約束條件 作出可行域如圖， 第 10 頁（共 24 頁） 聯(lián)立 ，解得 A（ 1， 2）， 聯(lián)立 ，解得 B（ m 1， m）， 化 z=x+3y，得 由圖可知，當(dāng)直線 過 A 時， z 有最大值為 7， 當(dāng)直線 過 B 時， z 有最大值為 4m 1， 由題意， 7（ 4m 1） =7，解得： m= 故選： C 9已知正項等比數(shù)列 足： a3=存在兩項 得 ，則的最小值為（ ） A B C D不存在 【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的通項公式；基本不等式 【分析】 由正項等比數(shù)列 足： a3= q=2，由存在兩項 得 ，知 m+n=6，由此能求出 的最小值 【解答】 解： 正項等比數(shù)列 足： a3= ， 即： q2=q+2，解得 q= 1（舍），或 q=2， 存在兩項 得 ， ， ， 第 11 頁（共 24 頁） ， 所以， m+n=6， =（ ） （ m+n） = （ 5+ + ） （ 5+2 ） = ， 所以， 的最小值是 10已知三棱錐 O A， B， C 三點(diǎn)均在球心為 O 的球表面上， C=1， 20，三棱錐 O 體積為 ，則球 O 的表面積是（ ） A 544 B 16 C D 64 【考點(diǎn)】 球的體積和表面積 【分析】 求出底面三角形的面積，利用三棱錐的體積求出 O 到底面的距離，求出底面三角形的所在平面圓的半徑，通過勾股定理求出球的半徑，即可求解球的 體積 【解答】 解：三棱錐 O A、 B、 C 三點(diǎn)均在球心 O 的表面上，且 C=1， 20， ， S 1 1 ， 三棱錐 O 體積為 ， 外接圓的圓心為 G， G， 外接圓的半徑為： =1， S G= ，即 ， ， 球的半徑為： =4 球的表面積： 442=64 故選： D 11已知圓 O： x2+，圓 M：（ x 8） 2+（ y 6） 2=4，在圓 M 上任取一點(diǎn) P，向圓 O 作切線 點(diǎn)為 A， B，則 的最大值為（ ） 第 12 頁（共 24 頁） A B C D 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 設(shè) ，則可求 1，利用 =| | | 4，結(jié)合 |OP|0 2=8，即可計算得解 的最大值 【解答】 解：設(shè) ， 則 ， 1= 1， =| | | 4， |OP|0 2=8， （ ） 故選： D 12對于函數(shù) f（ x），若 a， b， c R， f（ a）， f（ b）， f（ c）為某一三角形的三邊長，則稱f（ x）為 “可構(gòu)造三角形函數(shù) ”，已知函數(shù) f（ x） = 是 “可構(gòu)造三角形函數(shù) ”，則實(shí)數(shù) t 的取值范圍是（ ） A 0， +） B 0， 1 C 1， 2 D 【考點(diǎn)】 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【分析】 因?qū)θ我鈱?shí)數(shù) a、 b、 c，都存在以 f（ a）、 f（ b）、 f（ c）為三邊長的三角形，則 f（ a） +f（ b） f（ c）恒成立，將 f（ x）解析式用分離常數(shù)法變形，由均值不等式可得分母的取值范圍，整個式子的取值范圍由 t 1 的符號決定，故分為三類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，然后討論 k 轉(zhuǎn)化為 f（ a） +f（ b）的最小值與 f（ c）的最大值的不等式，進(jìn)而求出實(shí)數(shù) t 的取值范圍 【解答】 解：由題意可得 f（ a） +f（ b） f（ c）對于 a， b， c R 都恒成立， 第 13 頁（共 24 頁） 由于 f（ x） = =1+ ， 當(dāng) t 1=0， f（ x） =1，此時， f（ a）， f（ b）， f（ c）都為 1，構(gòu)成一個等邊三角形的三邊長， 滿足條件 當(dāng) t 1 0， f（ x）在 R 上是減函數(shù)， 1 f（ a） 1+t 1=t， 同理 1 f（ b） t， 1 f（ c） t， 由 f（ a） +f（ b） f（ c），可得 2 t，解得 1 t 2 當(dāng) t 1 0， f（ x）在 R 上是增函 數(shù)， t f（ a） 1， 同理 t f（ b） 1， t f（ c） 1， 由 f（ a） +f（ b） f（ c），可得 2t 1，解得 1 t 綜上可得， t 2， 故實(shí)數(shù) t 的取值范圍是 ， 2， 故選 D 二、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上） 13已知 a= 2 二項式（ ） 5 的展開式中 x 的系數(shù)為 640 【考點(diǎn)】 二項式系數(shù)的性質(zhì)；定積分 【分析】 先求出 a 的值，再利用二項式的展開式通項公式求出 x 的系數(shù) 【解答】 解： a= 2 =2（ = 4， 二項式（ ） 5 的展開式中通項公式為 = 5 r） =（ 4） r 3r， 令 10 3r=1， 解得 r=3， 展開式中 x 的系數(shù)為（ 4） 3 = 640 故答案為： 640 14已知向量 =（ 1， ）， =（ 3， m）若向量 在 方向上的投影為 3，則實(shí)數(shù) m= 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 由投影的定義即得 ，所以得到 ，解出 m 即可 【解答】 解：根據(jù)投影的概念： 第 14 頁（共 24 頁） ； 故答案為： 15現(xiàn)有 5 名教師要帶 3 個興趣小組外出學(xué)習(xí)考察，要求每個興趣小組的帶隊教師至多 2人，但其中甲教師和乙教師均不能單獨(dú)帶隊，則不同的帶隊方案有 54 種（用數(shù)字作答） 【考點(diǎn)】 排列、組合的實(shí)際應(yīng)用 【分析】 第一類，把甲乙看做一個復(fù)合元素，和另外的 3 人分配到 3 個小組中，第二類，先把另外的 3 人分配到 3 個小組，再把甲乙分配到其 中 2 個小組，根據(jù)分類計數(shù)原理可得 【解答】 解：第一類，把甲乙看做一個復(fù)合元素，和另外的 3 人分配到 3 個小組中（ 2， 1，1）， 6 種， 第二類，先把另外的 3 人分配到 3 個小組，再把甲乙分配到其中 2 個小組， 8 種， 根據(jù)分類計數(shù)原理可得，共有 36+18=54 種， 故答案為： 54 16規(guī)定記號 “*”表示一種運(yùn)算， a*b=a2+函數(shù) f（ x） =x*2，且關(guān)于 x 的方程 f（ x） =ln|x+1|（ x 1）恰有 4 個互不相等的實(shí)數(shù)根 x1+x2+x3+ 4 【考點(diǎn)】 根的存在性及根的個數(shù)判斷 【分析】 由題意可得 f（ x） =x，可得圖象關(guān)于 x= 1 對稱，由函數(shù)圖象的變換可得函數(shù) y=ln|x+1|（ x 1）的圖象關(guān)于直線 x= 1 對稱，進(jìn)而可得四個根關(guān)于直線 x= 1 對稱，由此可得其和 【解答】 解：由題意可得 f（ x） =x*2=x， 其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為 x= 1， 函數(shù) y=ln|x+1|可由 y=ln|x|向左平移 1 個單位得到， 而函數(shù)函數(shù) y=ln|x|為偶函數(shù)，圖象關(guān)于 y 軸對稱， 故函數(shù) y=ln|x+1|的圖象關(guān)于直線 x= 1 對稱 ， 故方程為 f（ x） =ln|x+1|（ x 1）四個互不相等的實(shí)數(shù)根 也關(guān)于直線 x= 1 對稱，不妨設(shè) 稱， 稱， 必有 x1+ 2， x3+ 2， 故 x1+x2+x3+ 4， 故答案為： 4 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分 明過程或演算步驟 .） 第 15 頁（共 24 頁） 17如圖所示，在四邊形 ， D=2 B，且 ， ， B= （ 1）求 面積； （ 2）若 ，求 長 【考點(diǎn)】 解三角形 【分析】 （ 1）利用已知條件求出 D 角的正弦函數(shù)值，然后求 面積； （ 2）利用余弦定理求出 過 ，利用正弦定理求解 長 【解答】 解：（ 1）因為 D=2 B， B= ， 所以 1= 因為 D （ 0， ）， 所以 因為 ， ， 所以 面積 S= = = （ 2）在 ， 2C2 所以 因為 ， ， 所以 = 所以 18如圖，矩形 在的平面和正方形 在的平面互相垂直， ，點(diǎn) E 在棱 移動 （ 1）當(dāng) E 為 中點(diǎn)時 ，求點(diǎn) E 到平面 距離； （ 2）當(dāng) 于何值時，二面角 D 的大小為 ？ 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；點(diǎn)、線、面間的距離計算 第 16 頁（共 24 頁） 【分析】 （ 1）分別以 x 軸， y 軸， z 軸建立空間坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn) E 到平面 距離 （ 2）求出平面 法向量和平面 一個法向量，利用向量法能求出當(dāng) 時，二面角 D 的大小為 【解答】 解：（ 1）分別以 x 軸， y 軸， z 軸建立空間坐標(biāo)系， 則 E（ 1， 1， 0）， A（ 1， 0， 0）， C（ 0， 2， 0）， 0， 0， 1） ， ， 設(shè)點(diǎn) E 到平面 距離為 d， 是平面 法向量， 由 ，得 ，取 而 ， 所以 （ 2）設(shè) AE=l（ 0 l 2），由（ 1）知 E（ 1， l， 0）， 設(shè) 是平面 法向量 ， 由 ，得 ，取 ， 又平面 一個法向量為 由 ，即 ， 解得 ，即 第 17 頁（共 24 頁） 19某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天晝夜溫差與實(shí)驗室每天每 100 顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料： 日 期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 溫差 x（ C） 10 11 13 12 8 發(fā)芽數(shù) y（顆） 23 25 30 26 16 該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取 2 組，用剩下的 3 組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的 2 組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗 （ 1）求選取的 2 組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰 2 天數(shù)據(jù)的概率； （ 2）若選取的是 12 月 1 日與 12 月 5 日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù) 12 月 2 日至 12 月 4 日的數(shù)據(jù)，求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 ； （ 3）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過 2 顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（ 2）中所得的線性回歸方程是否可靠？ 【考點(diǎn)】 回歸分析的初步應(yīng)用；等可能事件的概率 【分析】 （ 1）根據(jù)題意列舉出從 5 組 數(shù)據(jù)中選取 2 組數(shù)據(jù)共有 10 種情況，每種情況都是可能出現(xiàn)的，滿足條件的事件包括的基本事件有 6 種根據(jù)等可能事件的概率做出結(jié)果 （ 2）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，先做出 x， y 的平均數(shù)，即做出本組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，根據(jù)最小二乘法求出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程 （ 3）根據(jù)估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過 2 顆，就認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，根據(jù)求得的結(jié)果和所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，得到所求的方程是可靠的 【解答】 解：（ 1）設(shè)抽到不相鄰的兩組數(shù)據(jù)為事件 A， 從 5 組數(shù)據(jù)中選取 2 組數(shù) 據(jù)共有 10 種情況：（ 1， 2） （ 1， 3）（ 1， 4）（ 1， 5）（ 2， 3）（ 2， 4）（ 2， 5） （ 3， 4）（ 3， 5）（ 4， 5）， 其中數(shù)據(jù)為 12 月份的日期數(shù) 每種情況都是可能出現(xiàn)的，事件 A 包括的基本事件有 6 種 P（ A） = 選取的 2 組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰 2 天數(shù)據(jù)的概率是 （ 2）由數(shù)據(jù)，求得 由公式，求得 b= y 關(guān)于 x 的線性回歸方程為 x 3 （ 3）當(dāng) x=10 時， 10 3=22， |22 23| 2； 同樣當(dāng) x=8 時， 8 3=17， |17 16| 2； 該研究所得到的回歸方程是可靠的 第 18 頁（共 24 頁） 20已知橢圓 C： 的離心率為 ，點(diǎn) 在橢圓 C 上 （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）設(shè)動直線 l 與橢圓 C 有且僅有一個公共點(diǎn)，判斷是否存在以原點(diǎn) O 為圓心的圓，滿足此圓與 l 相交兩點(diǎn) 點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上），且使得直線 斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程；若不存在，說明理由 【考點(diǎn)】 圓錐曲線的定值問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【分析】 （ ）利用離心率列出方程，通過點(diǎn)在橢圓上列出方程，求出 a， b 然后求出橢圓的方程 （ ）當(dāng)直線 l 的斜率不存 在時，驗證直線 斜率之積 當(dāng)直線 l 的斜率存在時，設(shè) l 的方程為 y=kx+m 與橢圓聯(lián)立，利用直線 l 與橢圓 C 有且只有一個公共點(diǎn)，推出 ，通過直線與圓的方程的方程組，設(shè) 結(jié)合韋達(dá)定理，求解直線的斜率乘積，推出 k1定值即可 【解答】 （本小題滿分 14 分） （ ）解：由題意，得 ， a2=b2+ 又因為點(diǎn) 在橢圓 C 上， 所以 ， 解得 a=2， b=1， ， 所以橢圓 C 的方程為 （ ）結(jié)論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為 x2+ 證明如下： 假設(shè)存在符合條件的圓，并設(shè)此圓的方程為 x2+y2=r 0） 當(dāng)直線 l 的斜率存在時，設(shè) l 的方程為 y=kx+m 由方程組 得（ 4） 4=0， 因為直線 l 與橢圓 C 有且僅有一個公共點(diǎn)， 所以 ，即 由方程組 得（ ） ， 則 設(shè) 則 ， ， 設(shè)直線 斜率分別為 第 19 頁（共 24 頁） 所以 = ， 將 代入上式，得 要使得 定值，則 ，即 ，驗證符合題意 所以當(dāng)圓的方程為 x2+ 時，圓與 l 的交點(diǎn) 足 定值 當(dāng)直線 l 的斜率不存在時，由題意知 l 的 方程為 x= 2， 此時，圓 x2+ 與 l 的交點(diǎn) 滿足 綜上，當(dāng)圓的方程為 x2+ 時，圓與 l 的交點(diǎn) 足斜率之積 定值 21已知函數(shù) f（ x） = + 1， +）上為增函數(shù)，且 （ 0， ）， g（ x） = t R （ ）求 的 值； （ ）當(dāng) t=0 時，求函數(shù) g（ x）的單調(diào)區(qū)間和極大值； （ ）若在 1， e上至少存在一個 得 g（ f（ 立，求 t 的取值范圍 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【分析】 （ 1）由 f（ x）在 1， +）上是增函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)在 1， +）上是恒大于等于 0的，由此得出 a 的范圍 （ 2）當(dāng) t=0 時，對 g（ x）求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可以得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及極值 （ 3）由不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為求最值問題只需最大值大于 0 即可 【解 答】 解：（ 1） 函數(shù) f（ x） = + 1， +）上為增函數(shù)， f（ x） = + = 0 在 1， +）上恒成立 即 x 0 在 1， +）上恒成立， 在 1， +）上恒成立， 第 20 頁（共 24 頁） y= 在 1， +）上的最大值為 1， 1， （ 0， ）， = （ 2） g（ x） = t R，定義域為（ 0， +）， 當(dāng) t=0 時， g（ x） = g（ x） = ， 令 g（ x） =0，得 x=2e 1， x （ 0， 2e 1）時， g（ x）單調(diào)遞增， x （ 2e 1， +）時， g（ x）單調(diào)遞減 g（ x）的極大值為 g（ 2e 1） = 1 2e 1）， g（ x）的遞增區(qū)間是（ 0， 2e 1），遞減區(qū)間是（ 2e 1， +）， （ 3）若在 1， e上至少存在一個 得 g（ f（ 立， 令 F（ x） =g（ x） f（ x） =） = 2當(dāng) t 0 時，由 x 1， e有 0，且 2 0， 此時不存在 x 1， e使得 g（ f（ 立 當(dāng) t 0 時， F（ x） =t+ = 又 x 1， e 2e 2x 0，又 t 0 F（ x）在 1， e上恒成立， 故 F（ x）在 1， e上單調(diào)遞增 F（ x） （ e） = 4 令 4 0 則 t 故所求 t 的取值范圍為（ ，