關鍵詞：數(shù)學期望方差協(xié)方差相關系數(shù),第四章隨機變量的數(shù)字特征,問題的提出：在一些實際問題中，我們需要了解隨機變量的分布函數(shù)外，更關心的是隨機變量的某些特征。例：在評定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時，最關心的是平均產(chǎn)量；在檢查一批棉花的質(zhì)量時，既需要注意纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的偏離程度；考察臨沂市區(qū)居民的家庭收入情況，我們既知家庭的年平均收入，又要研究貧富之間的差異程度；,1數(shù)學期望,例1：甲、乙兩人射擊比賽，各射擊100次，其中甲、乙的成績?nèi)缦拢涸u定他們的成績好壞。,解：計算甲的平均成績：,計算乙的平均成績：,所以甲的成績好于乙的成績。,定義：定義：,數(shù)學期望簡稱期望，又稱均值。,例2：有2個相互獨立工作的電子裝置，它們的壽命服從同一指數(shù)分布，其概率密度為：若將這2個電子裝置串聯(lián)聯(lián)接組成整機，求整機壽命N(以小時計)的數(shù)學期望。解：,問題：將2個電子裝置并聯(lián)聯(lián)接組成整機，整機的平均壽命又該如何計算？,根據(jù)N的概率密度fmin(x),可得到E(N).,例3：設有10個同種電子元件，其中2個廢品。裝配儀器時，從這10個中任取1個，若是廢品，扔掉后重取1只，求在取到正品之前已取出的廢品數(shù)X的期望。,解：X的分布律為：,例4：設一臺機器一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機器發(fā)生故障時全天停工。若一周5個工作日里無故障，可獲利10萬元；發(fā)生一次故障獲利5萬元；發(fā)生2次故障獲利0元，發(fā)生3次或以上故障虧損2萬元，求一周內(nèi)期望利潤是多少？,解：設X表示一周5天內(nèi)機器發(fā)生故障天數(shù)，,設Y表示一周內(nèi)所獲利潤，則,例5：,例6：,.,10,幾種重要分布的數(shù)學期望,例7：已知某零件的橫截面是個圓，對橫截面的直徑X進行測量，其值在區(qū)間（1，2）上均勻分布，求橫截面面積S的數(shù)學期望。,例8：,例9：設隨機變量(X,Y)的概率密度為：,數(shù)學期望的特性：,這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個隨機變量線性組合的情況,證明：,下面僅對連續(xù)型隨機變量給予證明：,.,19,.,20,例11：一民航送客車載有20位旅客自機場出發(fā)，旅客有10個車站可以下車，如到達一個車站沒有旅客下車就不停車，以X表示停車的次數(shù)，求(設每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設各旅客是否下車相互獨立),本題是將X分解成數(shù)個隨機變量之和，然后利用隨機變量和的數(shù)學期望等于隨機變量數(shù)學期望之和來求數(shù)學期望，這種處理方法具有一定的普遍意義。,解：引入隨機變量：,例12：,.,23,總結(jié)數(shù)學期望的計算方法,數(shù)學期望的定義數(shù)學期望的性質(zhì)隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望例11的方法：“X分解成數(shù)個隨機變量之和，利用E(X)=E(X1+X2+Xn)=E(X1)+E(X2)+E(Xn)”根據(jù)題型，以上方法可能獨立使用，也可能結(jié)合使用。,.,24,定義：定義：,數(shù)學期望簡稱期望，又稱均值。,.,25,.,26,.,27,幾種重要分布的數(shù)學期望,.,28,數(shù)學期望的特性：,這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個隨機變量線性組合的情況,2方差,設有一批燈泡壽命為：一半約950小時，另一半約1050小時平均壽命為1000小時；另一批燈泡壽命為：一半約1300小時，另一半約700小時平均壽命為1000小時；問題：哪批燈泡的質(zhì)量更好？(質(zhì)量更穩(wěn)定),單從平均壽命這一指標無法判斷，進一步考察燈泡壽命X與均值1000小時的偏離程度。,.,30,我們需要引進一個量來描述r.v.X的取值分散程度，即X的取值與E(X)的偏離程度,偏離的度量：,平均偏離：,絕對值（不好研究）,.,31,定義設X是一隨機變量，,為標準差或均方差。,存在，則稱之為X的方差。記為D(X)或Var(X)，即,方差實際上是一個特殊的函數(shù)g(X)=(X-E(X)2的期望,對于離散型隨機變量X，,對于連續(xù)型隨機變量X，,此外，利用數(shù)學期望的性質(zhì)，可得方差得計算公式(常用)：,例1：設隨機變量X具有數(shù)學期望,例2：設隨機變量X具有0-1分布，其分布律為：解：,例3：解：,例4：,解：X的概率密度為：,例5：設隨機變量X服從指數(shù)分布，其概率密度為：,即對指數(shù)分布而言，方差是均值的平方，而均值恰為參數(shù),方差的性質(zhì)：,證明：,.,40,X與Y相互獨立：已知EX=3；DX=1；EY=2；DY=3。E(X-2Y)；D(X-2Y)。,解：由數(shù)學期望和方差的性質(zhì),例6：,例7：解：,例8：設活塞的直徑(以cm計)汽缸的直徑X,Y相互獨立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活塞能裝入汽缸的概率。,表1幾種常見分布的均值與方差,數(shù)學期望方差,分布率或密度函數(shù),分布,.,46,幾個與期望及方差有關的練習題,1、設X的數(shù)學期望E(X)=2,方差D(X)=4,則E(X2)=；,2、設XB(n,p),已知E(X)=1.6,D(X)=1.28,則n=;P=;,3、設XP()，且P(X=1)=P(X=2),則E(X)=,D(X)=;,.,47,總結(jié)方差的計算方法,定義法：函數(shù)的數(shù)學期望方差的性質(zhì)常用公式：D(X)=E(X2)-E(X)2X分解成數(shù)個相互獨立的隨機變量之和，利用D(X)=D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn)”根據(jù)題型，以上方法可能獨立使用，也可能結(jié)合使用。,.,48,作業(yè)題,P94：1，7,3協(xié)方差及相關系數(shù),對于二維隨機變量(X,Y)，除了討論X與Y的數(shù)學期望和方差外，還需討論描述X與Y之間相互關系的數(shù)字特征。這就是本節(jié)的內(nèi)容。定義：,.,50,協(xié)方差的計算,證(2):,注:X,Y相互獨立,協(xié)方差的性質(zhì)：,.,52,證明4)：利用,.,53,例1、設(X,Y)的分布律為：,求COV(X,Y).,.,54,.,55,易知:,E(X)=PE(Y)=P,.,56,例2：設(X,Y)的概率密度為：,.,57,X,Y,1,1,D,0,.,58,.,59,相關系數(shù)的性質(zhì),線性關系,.,60,證明（1）,.,61,.,62,相關系數(shù)的意義相關系數(shù)是描述了X與Y線性相關程度,X,Y不相關(弱),X,Y相互獨立(強),(沒有線性關系）,(沒有任何關系）,可能會有別的關系，如二次關系。,.,63,復習公式,.,64,實用的相關系數(shù)計算公式,.,65,.,66,Variable1,Variable2,DataCorrelations,.,67,Variable1,Variable2,DataCorrelations,.,68,Variable1,Variable2,DataCorrelations,%Computesamplecorrelationr=corrcoef(var1,var2),.,69,Variable1,Variable2,DataCorrelations,%Computesamplecorrelationr=corrcoef(var1,var2)r=1.00000.70510.70511.0000,.,70,練習題,計算文檔testdata2.txt中數(shù)據(jù)的相關系數(shù)步驟：1、用textread函數(shù)讀取文檔testdata2.txt中的數(shù)據(jù)2、用corrcoef函數(shù)計算讀取的兩個隨機變量數(shù)據(jù)的相關系數(shù),.,71,Solution,%readdatavar1,var2=textread(testdata2.txt,%f%f,headerlines,1)%Computesamplecorrelationr=corrcoef(var1,var2)%Plotdatapointsfigure(1)plot(var1,var2,ro),Variable2,Variable1,.,72,程序運行結(jié)果,r=1.000000000000000.594792457879950.594792457879951.00000000000000所以相關系數(shù)等于：0.59479245787995,.,73,相關系數(shù)等于：0.59479245787995,.,74,應用1：缺陷檢測,例1：設X,Y服從同一分布，其分布律為：X-101P1/41/21/4已知P(|X|=