摘 要不定方程是初等數(shù)論的一個重要內(nèi)容，在相關(guān)學科和實際生活中也有著廣泛的應用本文首先歸納了整數(shù)分離法、系數(shù)逐漸減小法和輾轉(zhuǎn)相除法等幾種常用的二元一次不定方程的解法；其次進一步討論了求n元一次不定方程和二次不定方程整數(shù)解的方法；最后論述了不定方程在中學數(shù)學競賽題、公務員行測試題和其他學科中的應用，并舉例說明關(guān)鍵詞：不定方程；二元一次不定方程；數(shù)學競賽；公務員試題AbstractThe integral solutions of indeterminate equation solving method is an important content of elementary number theory, has been widely used in related disciplines and in real life. This paper summarizes the integer separation method, coefficient decreases and the Euclidean algorithm and several commonly used two element indefinite equation solution, secondly is further discussed. For n linear indeterminate equation and the method of two time indefinite equation integer solution, and finally discusses the indeterminate equation applied in secondary school mathematics, civil servants for test and other subjects, and illustrated with examples.Key words: indeterminate equation; two element indefinite equation; Mathematics contest; civil service examination.目 錄1 引 言12 不定方程的若干解法12.1 二元一次不定方程的若干解法12.2 n元一次不定方程42.3 二次不定方程53 不定方程的應用73.1 在初高中競賽題中的應用73.2 在公務員考試題中的應用83.3 在其他學科中的應用94 結(jié) 論11致 謝12參 考 文 獻12不定方程的解法與應用1 引 言不定方程（組）指的是未知數(shù)的個數(shù)比方程的個數(shù)多，而且未知數(shù)受到某些限制（如正整數(shù)解，整數(shù)解或有理數(shù)解）的方程（組）不定方程（組）是數(shù)論中最古老的分支，也是一個具有探討性的課題我國古代就有對不定方程的研究，且研究的內(nèi)容豐富且廣泛，在世界數(shù)學史上具有舉足輕重的作用例如周髀算經(jīng)的商高定理，九章算術(shù)中的“五家共井”問題，張丘建算經(jīng)里提出的“百雞問題”;孫子算經(jīng)中的“物不知其數(shù)”問題等等1由于早在1700多年前，古希臘數(shù)學家丟番圖就曾系統(tǒng)研究了某些不定方程（組）的問題，因而英文著作中大部分都將不定方程（組）稱為丟番圖方程 在他的一部著作算術(shù)中，除了第一卷之外，其他卷章幾乎都是考慮不定方程（組）的問題下面將介紹幾類常見不定方程的解法，探討不定方程在各領域中的應用。2 不定方程的若干解法2.1 二元一次不定方程的若干解法定義2.1 形如 的方程稱為二元一次不定方程其有整數(shù)解的充分必要條件是， 若，且是其一個整數(shù)解(特解)，則其通解可表示成或例2.1 求不定方程的整數(shù)解解:原方程有整數(shù)解利用觀察法得到這個方程的特解是，則該方程的全部整數(shù)解是下面介紹幾種對于二元一次不定方程，無法直接利用觀察法看出特解，或者未知數(shù)的系數(shù)比較大時可以采用的解法1、整數(shù)分離法整數(shù)分離法指的是系數(shù)較大的未知數(shù)用來表示系數(shù)較小的未知數(shù)，并將結(jié)果中的整數(shù)部分分離出來，其剩下的部分也是整數(shù) 依此類推，直到能觀察到特解時為止，再求出原方程的通解例2.2 求不定方程解:原方程有整數(shù)解 將上式右邊未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項的整數(shù)部分分離出來，即因為都是整數(shù)，所以是整數(shù)，則也是一個整數(shù)，可觀察出時，為原方程的一個特解 則原方程的通解是2、系數(shù)逐漸減小法系數(shù)逐漸減小法指的是利用變量替換，使方程的未知數(shù)系數(shù)逐漸減小，直到有一個未知數(shù)的系數(shù)為為止，解此方程，再依次逆推，即可得到原方程的通解例2.3 求不定方程解: 原方程有整數(shù)解 將上式右邊未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項的整數(shù)部分分離出來 即，令，即又因為，則用來表示，得令，則將代入，則可得原方程的通解為3、輾轉(zhuǎn)相除法根據(jù)輾轉(zhuǎn)相除法的相除式逆推求出方程的特解例2.4 求不定方程的解解： 原方程有整數(shù)解 由 又由往回逆推，得到 又 則該方程的特解是，則該方程的通解4、同余法 主要是通過比較兩未知系數(shù)的絕對值大小，以較小的值作為另一未知系數(shù)和常數(shù)項的模，并將其轉(zhuǎn)換成較小的同余值，變成一個新的不定方程，依此類推，直到有不定方程的系數(shù)為止，再依次往回代入，即可得到原方程的通解例2.5 求不定方程的解解: 由，得， 改變其系數(shù)得， 又可得， 則，代入可得，則原方程的通解是5、參數(shù)法用參數(shù)法解不定方程主要是通過比較兩未知系數(shù)的絕對值大小，解出較小的未知數(shù)將其分成幾部分和的形式，然后引進新的參數(shù)，便得到一個新的不定方程，則可用觀察法得出該方程的特解，再將其解代入原方程，即可得到原方程的通解例2.6 解不定方程 解： 因為 所以原方程有整數(shù)解 ， 令，則得到一個新的不定方程， 由觀察法便知該新方程的特解是， 將代入得，所以該方程的通是2.2 n元一次不定方程定義2.2 設，元一次不定方程指的是，其中 都是給定的整數(shù)且其有解的充分必要條件是 定理2.1 設不定方程的全部解可表示成，其中是的一組解， 滿足，例2.7 解出所有的整數(shù)解解: 原方程有整數(shù)解， 又，則可把原方程變成 可知 的一個特解是則可得方程 的全部整數(shù)通解為 令，則原方程的所有整數(shù)通解為 可知是原方程的一個特解下面介紹下用矩陣求解元一次不定方程的整數(shù)解4不定方程用矩陣可寫成其中，可將經(jīng)過一系列行初等變化成，其中且 根據(jù)初等矩陣與初等變換的關(guān)系可知，存在階可逆矩陣，使得，即因此，所以又該方程有解的充要條件為，并且其所有整數(shù)解是，例2.8 求出整數(shù)解的通式解: 又，原方程有整數(shù)解，令，則方程的全部整數(shù)解為 ， 即 2.3 二次不定方程本節(jié)將介紹下最基本的二元二次不定方程，即貝爾方程其形式為且是非完全平方的正整數(shù)它的整數(shù)解為，其中是的最小解，為了求解方程的最小解，需將化成連分數(shù)的形式以下介紹下連分數(shù)的求法，進而用來求解二元二次不定方程的整數(shù)解3將化成循環(huán)連分數(shù)的定義如下: 設 ; ，; ，且表示循環(huán)節(jié)的項數(shù); (是自然數(shù)); 則 連分數(shù)漸近分數(shù)如下: ，例2.9 將化成連分數(shù)并且求出它的前3個漸近數(shù)解: ， ， ， ， ， 開始循環(huán)，循環(huán)節(jié)的項數(shù)是， ， 例2.10 求的整數(shù)解解: 先用連分數(shù)求最小解 ，取 得最小值， 故整數(shù)解的通式為: 下面介紹下利用奇偶分析法求出二次不定方程的整數(shù)解例2.11 求方程的正整數(shù)解解: 原方程中的指數(shù)為一次，得， 兩邊同時乘以，得， 可知為的因數(shù)，否則就不是整數(shù)了， 則有， 其分別對應的的值是， 又因為需為的倍數(shù)，顯然或時符合題意 此時有整數(shù)解與之對應，得正整數(shù)解二組為評注：奇偶分析法是以分析未知數(shù)的奇偶性為線索，從而用來判斷未知數(shù)的取值情況3 不定方程的應用3.1 在初高中競賽題中的應用不定方程出現(xiàn)在各級各類的數(shù)學競賽題中，且其類型和解法也多樣化，所以不定方程所出現(xiàn)的題目的種類也是各式各樣的例如，有些實際應用題最后轉(zhuǎn)化成不定方程的整數(shù)解等例3.1(1996年湖北省黃岡市初中數(shù)學競賽題) 求方程的整數(shù)解5解: 用來表示，可得 ， 將上式右邊未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項的整數(shù)部分分離出來， 得，因為是整數(shù)，所以也是整數(shù) 故是的因數(shù)，則 即 則其分別相對應的的值是 方程有四組整數(shù)解，即例3.2(2012年數(shù)學周報杯全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題) 小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣，小倩對小玲說：“你若給我2元，我的錢數(shù)將是你的倍”小玲對小倩說：“你若給我元，我的錢數(shù)將是你的2倍”其中為正整數(shù)，則的可能值的個數(shù)是( ) 解:設小倩的錢數(shù)是元，小玲的錢數(shù)是元，且均為非負整數(shù)，由已知題目可得，消掉得，則因為是正整數(shù)，所以也是正整數(shù)，則是的因數(shù)，的值分別是，則，從而的值分別是則的值分別是3.2 在公務員考試題中的應用不定方程在公務員考試行測數(shù)學運算中占有很高的地位，近5年的行測中經(jīng)常會考到不定方程的相關(guān)內(nèi)容例3.3（2012國考） 超市將99個蘋果裝進兩種包裝盒，大包裝盒每個裝 12個蘋果，小包裝盒每個裝5個蘋果，共用了十多個盒子剛好裝完問這種包裝盒相差多少個?（ ） 解: 設大盒的數(shù)量為，小盒的數(shù)量為根據(jù)已知題意，可得表達式為，因為，所以，改變其系數(shù)得，又可得，則代入，可得，則原方程的通解是.又因為,則的取值范圍是和.當時, ,則滿足題意.當時, ,則不滿足題意(舍去).又.所以答案選. 評注:此題采用的是同余法.例3.4（2012國考） 某兒童藝術(shù)培訓中心有5名鋼琴教師和6名拉丁舞教師，培訓中心將所有的鋼琴學員和拉丁舞學員共76人分別平均地分給各個老師帶領，剛好能夠分完，且每位老師所帶的學生數(shù)量都是質(zhì)數(shù)后來由于學生人數(shù)減少，培訓中心只保留了4名鋼琴教師和3名拉丁舞教師，但每名教師所帶的學生數(shù)量不變，那么目前培訓中心還剩下學員多少人? ( ) 解:設每位鋼琴老師帶人，每位拉丁舞老師帶人 根據(jù)已知題意，列方程得 ， 又因為為正整數(shù)，所以也是正整數(shù)則可知為方程的一個特解，則方程的通解是又因為為質(zhì)數(shù)且正整數(shù)，則時，符合題意，則，所以最后剩下的學員有人所以答案選評注:此題采用的是分離整數(shù)法,其優(yōu)點容易判斷未知數(shù)的取值并由已知條件得到滿足題意的值3.3 在其他學科中的應用不定方程的適用條件很廣，它在化學領域的物質(zhì)推斷和化學反應中也表現(xiàn)出來,還有物理學科領域也有所表現(xiàn)例3.5 3.25克某金屬元素R的單質(zhì)與過量稀硝酸反應時未觀察到有氣體放出，但測知生成物中有硝酸銨，當向反應后的溶液中加入過量熱燒堿溶液時，有氣體放出，其體積為280ml(標準)，則：若金屬R被氧化為，寫出反應的離子方程式；通過計算推導出是何種金屬？6解：設金屬的原子質(zhì)量是 根據(jù)題意 則 的取值范圍為：，若（舍去）是鋅 （舍去），所以是鋅例3.6 已知和按下式反應：，一段時間后，測得的轉(zhuǎn)化率%，同溫同壓下，反應前的氣體密度是反應后的，則和的值可能是（ ）6 解：建立平衡模式 起始量 轉(zhuǎn)化量 平衡量 因為氣體反應前的密度是反應后的，即氣體反應前的體積是反應后的，可得，化簡得（為整數(shù)），解不定方程，則當滿足題意；不滿足題意；滿足題意所以答案選例3.7 由甲，乙兩種物質(zhì)組成的物質(zhì)，質(zhì)量之比是，吸收熱量之比是，則它們升高的溫度之比和比熱容之比可能是（ ）7 解：設代表甲物質(zhì)，代表乙物質(zhì)已知由吸熱公式，得溫度變化量與比熱容的乘積的比值，以此得到和為變量的不定方程，即將四個選項中所提供數(shù)據(jù)代入進行檢驗，可得正確選項是4 結(jié) 論不定方程的解法很多，我們需要根據(jù)已知題目自身所提供的特點尋找一種適合解題的方式首先在求解題目之前，我們不能盲目求解,須先判斷題目是否有解；其次求解題目時，我們要認真觀察所要求解的方程的元的次數(shù)，再看它的元的個數(shù)，當其元的次數(shù)為一時，若是n元的話我們則可采用矩陣求解法，若是二元的話，我們則可采用整數(shù)分離法，系數(shù)逐漸減小法，輾轉(zhuǎn)相除法，同余法還有參數(shù)法，當然也可采用矩陣法求解，只是元的個數(shù)不多時，則可不必采用矩陣法最后，所求解的答案需驗證，篩選出符合題意的正確解我們經(jīng)?？梢砸姷讲欢ǚ匠淘跀?shù)學競賽中的應用近年來不定方程的應用領域延伸到公務員考試的試題中，求解問題時，首先我們需認真閱讀題目自身所提供的信息，然后根據(jù)題意設置未知量，列出符合題意的方程，采用合適的不定方程的解法進行求解，最后通過代入驗證找出其正確解參 考 文 獻1 李逢平 中國