基于構造函數(shù)的放縮法證數(shù)列型不等式問題的教學設計 教學內容分析證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結構，深入剖析其特征，抓住其內在的函數(shù)規(guī)律進行恰當?shù)胤趴s.一、 學生學習情況分析任教的學生在年段屬中上程度，學生學習興趣較高，已經掌握了基本的數(shù)列求解問題的技巧，對于構造函數(shù)這方法，知道大致思路，但是不明確如何有效合理的構造能幫助解題，計算能力不是太過硬.二、 設計思想建構主義學習理論認為，建構就是認知結構的組建，其過程一般是引導學生從身邊的、生活中的實際問題出發(fā)，發(fā)現(xiàn)問題，思考如何解決問題，進而聯(lián)系所學的舊知識，首先明確問題的實質，然后總結出新知識的有關概念和規(guī)律，形成知識點，把知識點按照邏輯線索和內在聯(lián)系，串成知識線，再由若干條知識線形成知識面，最后由知識面按照其內容、性質、作用、因果等關系組成綜合的知識體。也就是以學生為主體，強調學生對知識的主動探索、主動發(fā)現(xiàn)以及學生對所學知識意義的主動建構。基于以上理論，本節(jié)課遵循引導發(fā)現(xiàn)，循序漸進的思路，采用問題探究式教學，運用多媒體，投影儀輔助，倡導“自主、合作、探究”的學習方式。具體流程如下：創(chuàng)設情景（課前準備、引入實例）授新設疑質疑問難、論爭辯難（進一步加深理解突破難點）溝通發(fā)展（反饋練習歸納小結）布置作業(yè)四、教學目標理解構造函數(shù)的功能，通過模仿、操作、探索，學習構造函數(shù)達到放縮的目的，以此來解決問題，發(fā)展有條理的思考與表達的能力，提高邏輯思維能力；能運用構造函數(shù)的放縮法解決數(shù)列型不等式問題，增強學生的創(chuàng)新能力和應用數(shù)學的意識.五、教學重點與難點重點：理解構造函數(shù)的目的，厘清構造函數(shù)與問題所需放縮的方向，最終完成合理構造難點：如何構造出符合題情的函數(shù)，如何放縮六、教學過程設計第一部分問題引入求證：.【師生互動】：師生一起觀察本例，試圖確定本題所考查的知識點(數(shù)列、不等式、函數(shù)等)，所考查的數(shù)學思想方法（化歸與轉化的思想、函數(shù)的思想、特殊與一般的思想等），所考查的具體解題方法（放縮法等）；還有引導學生能不能把問題簡化，或者換一種方式方法來表達，我以為理解題目不應只局限于“未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？”，而應體現(xiàn)在學生是否能用自己的語言復述題目，或者能用一幅圖、一條線段圖、一些符號來表示對題意的理解。【設計意圖】：高三學生已經具有相當?shù)臄?shù)列和函數(shù)知識，因此選擇這個中檔問題為例，以期能喚起學生解答題目的欲望，應該有助于學生對本節(jié)知識的發(fā)生發(fā)展的理解，以期揭示此類問題的解法本質.第二部分回顧放縮法【師生互動】：根據(jù)此前師生一起探討出來的此題可能要用到的放縮法，教師讓學生按分組自行探討回憶，竟可能的梳理出平時有涉及到的放縮的一些結論，或者方法技巧，或者相關的典型例題等，經過師生努力后得到如下常用結論或者是已證過的例子：（1）； （2） ；（3）；（4） ； （5） 等. 例（1）求的值; （2）求證:.附：解:（1）因為,所以 （2）因為,所以【設計意圖】：通過對放縮法的回顧與整理，讓學生盡量找到解題的“題感”，數(shù)學題的“數(shù)感”，盡量引導學生把已有的知識，解題思路跟現(xiàn)在所需求解的問題掛鉤，由已知想未知，由未知想需知，為突破本節(jié)教學重難點埋下伏筆.第三部分回顧如何建模構造函數(shù)【師生互動】：根據(jù)上述回顧，觀察到不等式左側結構齊整，聯(lián)想到某個函數(shù)的模型，因此，老師引導學生回顧如何構造函數(shù)，如何構造跟不等式有關的函數(shù)模型，經過師生努力后得到如下常用結論：（1）；（2）或其變形 ；（3）當時，等.【設計意圖】：通過對放縮法進一步整理，讓學生找到跟函數(shù)有關的放縮方向，盡量引導學生努力地把握此題的方向，向最后的解題方案擬定而努力.第四部分擬定方案【師生互動】：（1）由需證不等式左側有得結構，再結合第三部分所回顧的常用結論，故可先構造函數(shù)有,（2）根據(jù)以上構造的函數(shù)以及所證問題的左邊，可得：（3）尋找與右邊式子的關系，故只需證出即可.（4）結合第二部分所回顧的常見結論及例子聯(lián)想可知需將左側式子分解，然后求和，然后繼續(xù)放縮：【設計意圖】：方案的核心就是構造了函數(shù)模型，突破了本節(jié)的重難點，從理解題目到構思解題方案是一個漫長而曲折的過程.因為對于本題，學生即使做到了理解，但仍會感到無從下手.波利亞啟發(fā)我們說“好的思路大多來源于過去的經驗和以前獲得的知識.”因此我們不妨引導學生思考“你知道一道與它有關的題目嗎？”我想，這個有關，并不一定就是一個曾經求解過的與當前題目緊密相關的題，而更可能是通過變化、轉換或修改敘述方式，找到與某個題目的聯(lián)系點，從而“重新敘述這道題目”擬定一個有可能解決問題的方案.第五部分執(zhí)行方案【師生互動】：教師根據(jù)第四部分的分析，按照所你定的方案邊講解邊板書呈現(xiàn)出完整的解題過程：解:先構造函數(shù)有,從而將2,3,4代入、相加可得：由于所以.【設計意圖】：假如這個方案是學生主動獲得的，則不容易遺忘，反之，學生則很容易找不到來時的路了.因此，教師必須堅持讓學生檢查每一個步驟，以使學生真正確信每一步的正確性,而且通過教師的板書示范，使學生能更好的模仿訓練，以至鞏固.第六部分回顧、反思【師生互動】：教師根據(jù)第五部分的解答，提醒學生再次回顧之前所擬定的方案，檢查是否都按既定的方案徹底的執(zhí)行了，或者在執(zhí)行的過程中是否有需要進一步做合理調整的，或者有沒需要驗證的；最后反思整理，一起努力總結出本題的解題思路、策略：理解題意回顧相關知識點或者方法擬定方案執(zhí)行方案回顧、反思.【設計意圖】：讓學生養(yǎng)成自我檢查、反思的好習慣，達到對問題的舉一反三,提高學生的分析問題，解決問題的能力.第七部分鞏固、整理【師生互動】：教師給出以下例子，讓學生分組限時練習（考慮到時間關系，一組一題），答案在學生解題過程用投影儀呈現(xiàn)出來后板書出，或者時間不夠，就借用PPT呈現(xiàn)，然后點評學生的作業(yè)的優(yōu)缺點.練習1.證明: 證明:構造函數(shù),求導,可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有, 所以,所以練習2.已知證明.證明: ,然后兩邊取自然對數(shù),可以得到然后運用和裂項可以得到答案：放縮思路： 于是， 即練習3.求證: 證明:提示: 函數(shù)構造形式: 當然本題的證明還可以運用積分放縮如圖,取函數(shù),首先: ,從而, 取有, ,所以有, , , ,相加后可以得到: 另一方面,從而有取有, ,所以有,所以綜上有練習4.已知函數(shù)若證明:設函數(shù) 函數(shù)）上單調遞增，在上單調遞減.的最小值為，即總有而即令則 【設計意圖】：自己解決問題，提高學生學習的熱情和動力，使學生體驗到成功的愉悅感，變“要我學”為“我要學”，“我要研究”的主動學習,點評時的師生互動，增強了師生感情，一起構造了和諧、智慧的課堂.七、教學反思怎樣解題是美國著名數(shù)學家波利亞所著的一本關于數(shù)學解題方法的書籍，雖然這本書編寫的年代距今已很久遠了,但書中所講述的數(shù)學思維的新方法卻具有極強的現(xiàn)實意義.首先看他對教師教學目的的解讀.他認為教師最重要的任務之一是幫助學生，以使學生獲得盡可能多的獨立工作的經驗.如今課改所提倡的動手實踐、自主探究的學習方式不正暗合了這一思想嗎？但是波利亞也提出了有關幫助的度的問題，即不能少，學生完全沒有方向，就根本不會有提高;也不宜多，學生沒有思考的空間，同樣不會有進步.最好的辦法是教師把自己放在學生的位置上，根據(jù)學生的情況，努力去理解學生的想法，然后提出一個問題或指出一個步驟.看到這里，我不禁想起了課標對于數(shù)學活動的詮釋-教師應激發(fā)學生的學習積極性，向學生提供充分從事數(shù)學活動的機會，幫助他們在