習(xí)題解答1-3 如題1-3圖所示，汽車從A地出發(fā)，向北行駛60km到達(dá)B地，然后向東行駛60km到達(dá)C地，最后向東北行駛50km到達(dá)D地。求汽車行駛的總路程和總位移。解 汽車行駛的總路程為；汽車的總位移的大小為Dr = 位移的方向沿東北方向，與 方向一致。1-4 現(xiàn)有一矢量R是時(shí)間t的函數(shù)，問 與 在一般情況下是否相等？為什么？解 與 在一般情況下是不相等的。因?yàn)榍罢呤菍?duì)矢量R的絕對(duì)值(大小或長度)求導(dǎo)，表示矢量R的大小隨時(shí)間的變化率；而后者是對(duì)矢量R的大小和方向兩者同時(shí)求導(dǎo)，再取絕對(duì)值，表示矢量R大小隨時(shí)間的變化和矢量R方向隨時(shí)間的變化兩部分的絕對(duì)值。如果矢量R方向不變只是大小變化，那么這兩個(gè)表示式是相等的。1-5 一質(zhì)點(diǎn)沿直線L運(yùn)動(dòng)，其位置與時(shí)間的關(guān)系為r = 6t 2 -2t 3 ，r和t的單位分別是m和s。求：(1)第二秒內(nèi)的平均速度；(2)第三秒末和第四秒末的速度；(3)第三秒末和第四秒末的加速度。解 取直線L的正方向?yàn)閤軸，以下所求得的速度和加速度，若為正值，表示該速度或加速度沿x軸的正方向，若為負(fù)值表示，該速度或加速度沿x軸的反方向。(1)第二秒內(nèi)的平均速度ms-1；(2)第三秒末的速度因?yàn)?，將t = 3 s 代入，就求得第三秒末的速度，為v3 = - 18 ms-1；用同樣的方法可以求得第四秒末的速度，為v4 = - 48 ms-1；(3)第三秒末的加速度因?yàn)?，將t = 3 s 代入，就求得第三秒末的加速度，為a3 = - 24 ms-2；用同樣的方法可以求得第四秒末的加速度，為v4 = - 36 ms-2 .1-6 一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，速度和加速度的大小分別為 和 ，試證明：(1) vdv = ads；(2)當(dāng)a為常量時(shí)，式v 2 = v 02 + 2a (s -s0 )成立。解 (1)；(2)對(duì)上式積分，等號(hào)左邊為,等號(hào)右邊為,于是得,即.1-7 質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，在經(jīng)過時(shí)間t后它離該直線上某定點(diǎn)O的距離s滿足關(guān)系式：s = (t -1)2 (t -2)，s和t的單位分別是m和s。求：(1)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)的速度和加速度；(2)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的速度為零時(shí)它離開O點(diǎn)的距離；(3)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的加速度為零時(shí)它離開O點(diǎn)的距離；(4)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的速度為12 ms-1 時(shí)它的加速度。解 ：取質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，取坐標(biāo)原點(diǎn)為定點(diǎn)O。(1)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)，即s = 0，由式,可以解得t = 1.0 s，t = 2.0 s .當(dāng)t = 1 s時(shí)，. 當(dāng)t = 2 s時(shí)，v = 1.0 ms-2 ，a = 4.0 ms-2 .(2)質(zhì)點(diǎn)的速度為零，即上式可化為,解得t = 1.0 s和 t = 1.7 s .當(dāng)t = 1 s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)正好處于O點(diǎn)，即離開O點(diǎn)的距離為0 m；當(dāng)t = 5/3 s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)離開O點(diǎn)的距離為 -0.15 m 。(3)質(zhì)點(diǎn)的加速度為零，即,上式可化為3t-4=0,解得t = 1.3 s .這時(shí)離開O點(diǎn)的距離為 -0.074 m。(4)質(zhì)點(diǎn)的速度為12 ms-1，即,由此解得將t值代入加速度的表示式,求得的加速度分別為a = 12.4 ms-2和 a = - 12.2 ms-2 . 1-8 一質(zhì)點(diǎn)沿某直線作減速運(yùn)動(dòng)，其加速度為a = -Cv2，C是常量。若t = 0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為v0 ，并處于s0 的位置上，求任意時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的速度和位置。解 以t = 0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，取水平線為x軸，質(zhì)點(diǎn)就沿x軸運(yùn)動(dòng)。因?yàn)槭侵本€運(yùn)動(dòng)，矢量可以用帶有正負(fù)號(hào)的標(biāo)量來表示。,于是有.兩邊分別積分，得.因?yàn)閠0 = 0，所以上是變?yōu)?即, (1)上式就是任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度表達(dá)式。因?yàn)椋?dx= v dt ,將式(1)代入上式，得,兩邊分別積分，得.于是，任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置表達(dá)式為.1-9 質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，初速度為零，初始加速度為a0 ，質(zhì)點(diǎn)出發(fā)后每經(jīng)過t時(shí)間，加速度均勻增加b。求經(jīng)過t時(shí)間后質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。解 可以把質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所沿的直線定為直線L，并設(shè)初始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)處于固定點(diǎn)O上。根據(jù)題意，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度應(yīng)該表示為.由速度公式可以求得經(jīng)過t時(shí)間質(zhì)點(diǎn)的速度.另外，根據(jù)位移公式可以求得經(jīng)過t時(shí)間質(zhì)點(diǎn)的位移.1-10 質(zhì)點(diǎn)沿直線y = 2x + 1 m 運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻位于x1 = 1.51 m處，經(jīng)過了1.20 s到達(dá)x2 = 3.15 m處。求質(zhì)點(diǎn)在此過程中的平均速度。解 根據(jù)定義，平均速度應(yīng)表示為,其中.由已知條件找出Dx和Dy，就可以求得平均速度 。.根據(jù)直線方程y = 2x + 1，可求得y1 = 2x1 + 1 = 4.02 m， y2 = 2x2 + 1 = 7.31 m .所以.平均速度為.也可以用下面的方式表示；與x軸的夾角為.1-11 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位置與時(shí)間的關(guān)系為x = 5 + t 2 ，y = 3 + 5t - t 2 ，z = 1+ 2t 2, 求第二秒末質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度，長度和時(shí)間的單位分別是米和秒。解 已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道的參量方程為.質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻的速度和加速度分別為和.質(zhì)點(diǎn)在第二秒末的速度和加速度就是由以上兩式求得的。將t = 2 s代入上式，就得到質(zhì)點(diǎn)在第二秒末的速度和加速度，分別為和 .1-12 設(shè)質(zhì)點(diǎn)的位置與時(shí)間的關(guān)系為x = x(t)，y = y(t)，在計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度時(shí)，如果先求出 ，然后根據(jù) 和 求得結(jié)果；還可以用另一種方法計(jì)算：先算出速度和加速度分量，再合成，得到的結(jié)果為v = 和 。你認(rèn)為哪一組結(jié)果正確？為什么？解 第二組結(jié)果是正確的。而在一般情況下第一組結(jié)果不正確，這是因?yàn)樵谝话闱闆r下.速度和加速度中的r是質(zhì)點(diǎn)的位置矢量，不僅有大小而且有方向，微分時(shí)，既要對(duì)大小微分也要對(duì)方向微分。第一組結(jié)果的錯(cuò)誤就在于，只對(duì)位置矢量的大小微分，而沒有對(duì)位置矢量的方向微分。1-13 火車以勻加速運(yùn)動(dòng)駛離站臺(tái)。當(dāng)火車剛開動(dòng)時(shí)，站在第一節(jié)車廂前端相對(duì)應(yīng)的站臺(tái)位置上的靜止觀察者發(fā)現(xiàn)，第一節(jié)車廂從其身邊駛過的時(shí)間是5.0 s。問第九節(jié)車廂駛過此觀察者身邊需要多少時(shí)間？解 設(shè)火車的加速度為a，每節(jié)車廂的長度為l，第一節(jié)車廂從觀察者身邊通過所需時(shí)間為t1，t1滿足.(1)前八節(jié)車廂通過觀察者身邊所需時(shí)間為t2，前九節(jié)車廂通過觀察者身邊所需時(shí)間為t3，并可列出下面兩個(gè)方程式, (2) (3)由式(1)得.將上式代入式(2)和式(3)，分別得到,.第九節(jié)車廂通過觀察者身邊所需時(shí)間為Dt = t3 - t2 =15.00 s - 14.14 s = 0.86 s .1-14 一架開始靜止的升降機(jī)以加速度1.22 ms-2 上升，當(dāng)上升速度達(dá)到2.44 ms-1 時(shí)，有一螺帽自升降機(jī)的天花板上落下，天花板與升降機(jī)的底面相距2.74 m。計(jì)算：(1)螺帽從天花板落到升降機(jī)的底面所需要的時(shí)間；(2)螺帽相對(duì)升降機(jī)外固定柱子的下降距離。解 設(shè)螺帽落到升降機(jī)地面所需時(shí)間為t，在這段時(shí)間內(nèi)螺帽下落的距離為h1，同時(shí)升降機(jī)上升的距離為h2。(1)若以螺帽為研究對(duì)象， 可取y軸豎直向下，t = 0時(shí)，螺帽的速度為v0 = -2.24 ms-1，加速度為g，則有(1)若以升降機(jī)為研究對(duì)象， 可取y軸豎直向上，t = 0時(shí)，升降機(jī)的速度為v0 = 2.44 ms-1，加速度為a = 1.22 ms-2，這時(shí)應(yīng)有(2)顯然h = h1 + h2就是升降機(jī)的天花板與底面之間的距離，等于2.74 m。于是(3)有式(3)解得.(2)螺帽相對(duì)升降機(jī)外固定柱子的下降距離，就是上面所說的h1，將上面所求得的t代入式(1)，可以得到.1-15 設(shè)火箭引信的燃燒時(shí)間為6.0 s，今在與水平面成45角的方向?qū)⒒鸺l(fā)射出去，欲使火箭在彈道的最高點(diǎn)爆炸，問必須以多大的初速度發(fā)射火箭？解 以火箭發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)、水平向右為x軸、豎直向上為y軸，建立坐標(biāo)系。設(shè)發(fā)射火箭的初速度為v0 ，則其豎直向上的分量為,豎直向上的速度為.火箭到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，vy= 0，由此可以求得初速度為.1-16 傾斜上拋一小球，拋出時(shí)初速度與水平面成60角，1.00秒鐘后小球仍然斜向上升，但飛行方向與水平面成45角。試求：(1)小球到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間；(2)小球在最高點(diǎn)的速度。解 以拋設(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)、水平向右為x軸、豎直向上為y軸，建立坐標(biāo)系。(1)為求得小球到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間，必須先求出它的初速度v0 。因?yàn)関0與水平方向成60角，所以可列出下面的方程式.當(dāng)t = 1 s 時(shí)，速度v與水平方向成45，必定有 ，所以,由此解得.如果小球到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間為t，則有,由此解得.(2)小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的速度是沿水平方向的，其大小為. 1-17 質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，其角速度 w為常量，質(zhì)點(diǎn)位置的極徑與時(shí)間的關(guān)系可以表示為 ，其中r0和a都是常量。求質(zhì)點(diǎn)的徑向速度和徑向加速度，橫向速度和橫向加速度。解 質(zhì)點(diǎn)的徑向速度為,橫向速度為.質(zhì)點(diǎn)的徑向加速度為,橫向加速度為.(計(jì)算過程用到了 為常量的條件。)1-18 質(zhì)點(diǎn)沿任意曲線運(yùn)動(dòng), t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的極坐標(biāo)為 ,，試求此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度、加速度，并寫出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程。解 t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度為,此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度為.題目給出了軌道的參量方程，由參量方程消去參變量t，就可以得到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程。由軌道的參量方程的第二式得,將上式代入軌道的參量方程的第一式，得,這就是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程。1-19 質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為w = ct，其中c是常量。試在直角坐標(biāo)系和平面極坐標(biāo)系中分別寫出質(zhì)點(diǎn)的位置矢量、速度和加速度的表達(dá)式。解 建立如圖1-12所示的坐標(biāo)系，直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)與極坐標(biāo)的極點(diǎn)相重合，并且就是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所沿的圓周的圓心。顯然直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)有如下關(guān)系, (1)圖1-12式中r= R ，就是圓周的半徑。相反的關(guān)系可以表示為. (2) 設(shè)t = 0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)處于圓周與x軸的交點(diǎn)上。由題已知,所以(3)將式(3)代入式(1)，得,. 于是質(zhì)點(diǎn)的位置矢量可以表示為；質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度可以表示為；質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)加速度可以表示為在極坐標(biāo)中質(zhì)點(diǎn)的位置矢量可以表示為；質(zhì)點(diǎn)的速度為；質(zhì)點(diǎn)的加速度為.1-20 質(zhì)點(diǎn)按照s = bt - 的規(guī)律沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，其中s是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程，b、c是常量，并且b2 cR。問當(dāng)切向加速度與法向加速度大小相等時(shí)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間？解 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速率為,切向加速度為,切向加速度的大小可以寫為at = c。法向加速度可以表示為.切向加速度與法向加速度大小相等，即,由此解得.討論：因?yàn)関 = b - ct ,所以，當(dāng)t = 0時(shí)，v = b ，當(dāng)t = b/c時(shí)，v = 0 。這表示在0到b/c時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)作減速運(yùn)動(dòng)。而在t = b/c之后，質(zhì)點(diǎn)沿反方向作圓周運(yùn)動(dòng)，切向加速度為c，速率不斷增大?？梢娰|(zhì)點(diǎn)有兩個(gè)機(jī)會(huì)滿足“切向加速度與法向加速度大小相等”。一個(gè)機(jī)會(huì)是在0到b/c之間，即,為什么t = t1是處于0到b/c之間呢？根據(jù)已知條件b2 cR，也就是b ，所以必定有b/c t1 0。另一個(gè)機(jī)會(huì)是在t = b/c之后，即.圖1-13a1-21 質(zhì)點(diǎn)從傾角為a =30 的斜面上的O點(diǎn)被拋出，初速度的方向與水平線的夾角為q = 30， 如圖1-13a所示，初速度的大小為v0 = 9.8 ms-1 。若忽略空氣的阻力，試求：(1)質(zhì)點(diǎn)落在斜面上的B點(diǎn)離開O點(diǎn)的距離；(2)在t = 1.5 s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度、切向加速度和法向加速度。解 建立如圖所示的坐標(biāo)系：以拋射點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸沿水平向右，y軸豎直向上。這時(shí)質(zhì)點(diǎn)的拋體運(yùn)動(dòng)可以看作為x方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和y方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的合成，并且有, .(1)設(shè)B點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為l，則B點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為如果質(zhì)點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的時(shí)間為t，則可以列出下面的方程式(1)(2)以上兩式聯(lián)立，可解得(3)將式(3)代入式(1)，得.(2)設(shè)在t = 1.5 s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)，此時(shí),.所以速度的大小為圖1-13b.速度與y軸負(fù)方向的夾角為.現(xiàn)在求C點(diǎn)的切向加速度at和法向加速度an 。由圖1-13b可見，質(zhì)點(diǎn)的總加速度就是重力加速度g，方向與vy一致，而at和an則是它的兩個(gè)分矢量。并且由于at與v的方向一致，所以at與g之間的夾角就是v與vy之間的夾角，即b角。于是可以得到,. 圖1-141-23 用繩子系一物體，使它在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)。問物體在什么位置上繩子的張力最大？在什么位置上張力最??？解 ：設(shè)物體在任意位置上細(xì)繩與豎直方向的夾角為q，如圖1-14所示。 這時(shí)物體受到兩個(gè)力的作用，即繩子的張力T和重力mg，并且下面的關(guān)系成立.所以可把繩子張力的大小表示為. 由上式可以得到：當(dāng)物體處于最低點(diǎn)時(shí)，q = p，張力為最大；當(dāng)物體處于最高點(diǎn)時(shí)，q= 0 ，張力為最小。1-24 質(zhì)量為m的小球用長度為l的細(xì)繩懸掛于天花板之下，如圖1-15所示。當(dāng)小球被推動(dòng)后在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為w。求細(xì)繩與豎直方向的夾角j。圖1-15解 小球受到繩子的張力T和重力mg的作用，并且在豎直方向上無加速度，所以有 (1)在水平方向上，小球有向心加速度,張力T的水平分量提供了小球的向心力，故有(2)由式(1)和式(2)可以解得,.1-25 在光滑的水平桌面上并排放置兩個(gè)物體A和B，它們互相接觸，質(zhì)量分別為mA = 2.0 kg，mB = 3.0 kg。今用F = 5.0 N的水平力按圖1-16所示的方向作用于物體A，并通過物體A作用于物體B。求：圖1-16(1)兩物體的加速度；(2) A對(duì)B的作用力；(3) B對(duì)A的作用力。解 取水平向右為x軸。(1)以兩物體A和B為研究對(duì)象，它們?cè)谒椒较蛏鲜艿搅的作用， 所以在該方向上應(yīng)有,.(2)設(shè)A對(duì)B的作用力為F1 ，沿x軸的正方向，物體B沿x方向的加速度為a，可列出下面的方程式.(3)設(shè)B對(duì)A的作用力為F2，沿x軸的反方向，物體A沿x方向的加速度為a，可列出下面的方程式,.圖1-17a1-26 有A和B兩個(gè)物體，質(zhì)量分別為mA = 100 kg，mB = 60 kg，放置于如圖1-17a所示的裝置上。如果斜面與物體之間無摩擦，滑輪和繩子的質(zhì)量都可以忽略，問：(1)物體如何運(yùn)動(dòng)？(2)物體運(yùn)動(dòng)的加速度多大？(3)繩子的張力為多大？解 物體A的受力情況如圖1-17b所示：張力T；重力mAg圖1-17c支撐力NA。圖1-17b物體B的受力情況如圖1-17c所示：張力T；重力mAg；支撐力NA。(1)我們可以假定物體B向下滑，物體A向上滑，加速度為a。若解得a 0，物體確實(shí)按所假定的方向滑動(dòng)；若解得a 0，物體實(shí)際上是沿與假定方向相反的方向滑動(dòng)。對(duì)物體B：, (1)對(duì)物體A：(2)將以上兩式相加，得,解得所以，系統(tǒng)中的物體A沿斜面向上滑動(dòng)，物體B沿斜面向下滑動(dòng)。(2)物體運(yùn)動(dòng)的加速度為.(3)由式(2)可以解得. 圖1-18a1-27 在光滑的水平桌面上放著兩個(gè)用細(xì)繩連接的木塊A和B，它們的質(zhì)量分別是mA和mB。今以水平恒力F作用于木塊B上，并使它們一起向右運(yùn)動(dòng)，如題1-18a圖所示。求連接體的加速度和繩子的張力。解 木塊A受三個(gè)力的作用：圖1-18b重力mAg，豎直向下；支撐力NA，豎直向上；繩子拉力T，水平向右。木塊B共受四個(gè)力的作用：重力mBg，豎直向下；支撐力NB，豎直向上；恒力F，水平向右；繩子拉力T ，水平向左。上述各力都表示在圖1-18b中。建立坐標(biāo)系O - xy，取x軸水平向右，y豎直向上。沿x軸向右的力為正，向左的力為負(fù)；沿y軸向上的力為正，向下的力為負(fù)。設(shè)木塊A和B沿水平方向的加速度分別為a和a，于是可以列出下面的運(yùn)動(dòng)方程：A：,；B：,. 另外,.由以上方程可解得,.繩子的拉力就是繩子的張力。如果水平恒力F作用于木塊A并拉著A、B連接體一起向左運(yùn)動(dòng)，這時(shí)解得的加速度大小不變，但繩子的張力變?yōu)?可見，由于 ，則 。圖1-191-28 質(zhì)量為m的物體放于斜面上，當(dāng)斜面的傾角為a時(shí)，物體剛好勻速下滑。當(dāng)斜面的傾角增至b時(shí)，讓物體從高度為h處由靜止下滑，求物體滑到底部所需要的時(shí)間。解 物體受力情形如圖1-19所示。當(dāng)斜面傾角為a時(shí)，物體剛好勻速下滑，這時(shí)物體在運(yùn)動(dòng)方向上所受合力為零，即,. 由此解得,.當(dāng)斜面傾角變?yōu)閎時(shí)，讓物體從斜面頂端自由下滑，這時(shí),.于是可解得.如果斜面長度l所對(duì)應(yīng)的高度正好是h，物體從斜面頂端自由下滑到底部的時(shí)間為t，可列出下面的方程.所以.討論：從上面的結(jié)果看，下式必須成立. (1)因?yàn)?(2)將式(2)代入式(1)，得,即,所以必定有.圖1-20a1-29 用力F去推一個(gè)放置在水平地面上質(zhì)量為M的物體，如果力與水平面的夾角為a，如圖1-20a所示，物體與地面的摩擦系數(shù)為m，試問：(1)要使物體勻速運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)應(yīng)為多大？(2)為什么