9-8 用向量方法求角與距離(理) 1.(2011福州模擬)已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，則實(shí)數(shù)x，y，z分別為() A.，4B.，4C.，2,4 D4，15答案B解析，352z0，z4，平面ABC，故選B.2在直三棱柱A1B1C1ABC中，BCA90，點(diǎn)D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn)，BCCACC1，則BD1與AF1所成的角的余弦值是()A. B.C. D.答案A解析建立如下圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)BC1，則A(1,0,0)，F(xiàn)1，B(0，1,0)，D1，1，即，.cos，.3已知正方體ABCDA1B1C1D1，則直線BC1與平面A1BD所成的角的余弦值是()A. B.C. D.答案C解析如上圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則，令x1得，n(1， 1，1)，設(shè)直線BC1與平面A1BD所成角為，則sin|cos，n|，cos.4在空間直角坐標(biāo)Oxyz中，平面OAB的一個(gè)法向量為n(2，2,1)，已知點(diǎn)P(1,3,2)，則點(diǎn)P到平面OAB的距離d等于()A4B3C2D1答案B解析由條件知，O在平面OAB內(nèi)，(1,3,2)，點(diǎn)P到平面OAB的距離d2.5.( 2011皖南八校聯(lián)考)如下圖，平面平面，A，B，AB與兩平面，所成的角分別為和，過A，B兩點(diǎn)分別作兩平面交線的垂線，垂足為A，B，若AB12，則AB的長為()A4B6來源:高&考%資(源#網(wǎng) wxcC8D9答案B解析由條件知，ABA，BAB，AAB，AB12，AA6，BB6，|2()2|2|2|222236144722612cos2126cos036，AB|6.6(2011廣東省江門模擬)如下圖，ABCDA1B1C1D1是棱長為6的正方體，E、F分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AEBF.當(dāng)A1、E、F、C1四點(diǎn)共面時(shí)，平面A1DE與平面C1DF所成二面角的余弦值為()A. B.C. D.答案B解析以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(6,0,6)、E(6,3,0)、F(3,6,0)，設(shè)平面A1DE的法向量為n1(a，b，c)，依題意得令a1，則c1，b2，所以n1(1,2,1)，同理得平面C1DF的一個(gè)法向量為n2(2，1,1)，由題圖知，平面A1DE與平面C1DF所成二面角的余弦值為.7(2011浙江麗水模擬)如下圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E為PB的中點(diǎn)，cos，若以DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為_答案(1,1,1)解析設(shè)PDa，則由題意知A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E(1,1，)，(0,0，a)，(1,1，)，cos，a2，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,1,1)8(2011海淀檢測(cè))若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長為1，AB1與底面ABCD成60角，則A1C1到底面ABCD的距離為_答案解析設(shè)A1C1到底面的距離為a(a0)，以D為原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如下圖空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B1(1,1，a)，來源:高&考%資(源#網(wǎng) wxcKS5U.COM(0,1，a)，又平面ABCD的一個(gè)法向量n(0,0,1)，由條件知sin60|cos，n|，a.9已知三棱錐底面是邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱長均為2，則側(cè)棱與底面所成角的正弦值為_答案解析設(shè)正三角形ABC的中心為O，過O作直線lBC，分別以直線l、AO、PO為x軸、y軸、z軸建立如下圖空間直角坐標(biāo)系，則底面ABC的一個(gè)法向量n(0,0,1)，由條件知A(0，0)，設(shè)P(0,0，a)(a0)，由|2得，a，設(shè)側(cè)棱與底面所成角為，則sin|cosn，|.點(diǎn)評(píng)由上述解答過程可見，本題不如用綜合幾何方法簡便，事實(shí)上圖中PAO為直線PA與底面ABC所成的角，cosPAO，sinPAO，故在解題中，要注意依據(jù)所給條件靈活選取解法10(2010河北邯鄲市?？?如下圖所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面邊長為a，側(cè)棱長為a，D是棱A1C1的中點(diǎn)(1)求證：BC1平面AB1D；(2)求二面角A1AB1D的大??；(3)求點(diǎn)C1到平面AB1D的距離解析(1)連結(jié)A1B與AB1交于E，則E為A1B的中點(diǎn)，D為A1C1的中點(diǎn)，DE為A1BC1的中位線，BC1DE.又DE平面AB1D，BC1平面AB1D，BC1平面AB1D.(2)解法1：過D作DFA1B1于F，由正三棱柱的性質(zhì)可知，DF平面ABB1A1，連結(jié)EF，DE，在正A1B1C1中，B1DA1B1a，由直角三角形AA1D中，ADa，ADB1D，DEAB1，由三垂線定理的逆定理可得EFAB1.則DEF為二面角A1AB1D的平面角，又DFa，B1FEB1AA1，EFa，DEF.來源:高&考%資(源#網(wǎng) wxc故所求二面角A1AB1D的大小為.解法2：(向量法)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A(0，a,0)，B1(0，a，a)，C1(a,0，a)，A1(0，a，a)，D(a，a，a)(0，a，a)，(a，a,0)設(shè)n(x，y，z)是平面AB1D的一個(gè)法向量，則可得，所以，即，取y1可得n(，1，)又平面ABB1A1的一個(gè)法向量n1(a,0,0)，設(shè)n與n1的夾角是，則cos.又知二面角A1AB1D是銳角，所以二面角A1AB1D的大小是.(3)解法1：設(shè)點(diǎn)C1到平面AB1D的距離為h，因AD2DBAB，所以ADDB1，故SADB12a2，而SC1B1DSA1B1C1a2，由VC1AB1DVAC1B1DSAB1DhSC1B1DAA1ha.解法2：由(2)知平面AB1D的一個(gè)法向量n(，1，)，(a，a，a)，da.即C1到平面AB1D的距離為a.11.(2010新鄉(xiāng)市?？?如下圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離為()A. B.C. D.答案B解析以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O，設(shè)平面ABCD的法向量n(x，y,1)，則，n(1,0,1)，又，O到平面ABC1D1的距離d.點(diǎn)評(píng)1.建立坐標(biāo)系可以有不同的方案，如以A為原點(diǎn)，直線AB、AD、AA1分別為x軸、y軸、z建立空間直角坐標(biāo)系，則O，A(0,0,0)，B(1,0,0)，D1(0,1,1)，設(shè)平面ABC1D1的法向量n(x，y,1)，則，n(0，1,1)，O到平面ABC1D1的距離h.2也可以不用空間向量求解取B1C1的中點(diǎn)M，連結(jié)B1C交BC1于O，取OC1的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，則MNBC1，又在正方體ABCDA1B1C1D1中，OM平行于平面ABC1D1，則O到平面ABC1D1的距離轉(zhuǎn)化為M到平面ABC1D1的距離，即MN，故選B.12(2011咸陽模擬)正四棱錐SABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SOOD，則直線BC與平面PAC的夾角的大小為_答案30解析由條件知ACBD，AC與BD交點(diǎn)為O，以O(shè)為原點(diǎn)，射線OC，射線OD，射線OS分別為x軸、y軸、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SOOD，則BC2，A(，0,0)，C(，0,0)，D(0，0)，S(0,0，)，B(0，0)，P(0，)，(，0)，(2，0,0)，(，)設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量n(x，y，z)，則，取n(0,1，1)，設(shè)直線BC與平面PAC成的角為，則sin|cosn，|，30.13(2011洛陽聯(lián)考)如下圖所示，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)若PAAD3，CD.(1)求證：AF平面PCE；(2)求點(diǎn)F到平面PCE的距離；(3)求直線FC與平面PCE所成角的正弦值解析如上圖所示建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，A(0,0,0)，P(0,0,3)，D(0,3,0)，E(，0,0)，F(xiàn)(0，)，C(，3,0)(1)取PC的中點(diǎn)G，連接EG，則G(，)(0，)，(0，)，來源:K即AFEG.又AF平面PCE，EG平面PCE，AF平面PCE.(2)設(shè)平面PCE的法向量為n(x，y，z)，(，0,3)， (，3,0)即取y1，得n(，1,1)又(0，)，故點(diǎn)F到平面PCE的距離為d.(3)(，)，設(shè)FC與平面PCE所成角為，sin|cos，n|.直線FC與平面PCE所成角的正弦值為.14(2011北京西城二模)如下圖，已知菱形ABCD的邊長為6，BAD60，ACBDO.將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使BD3，得到三棱錐BACD.(1)若點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，求證：OM平面ABD；(2)求二面角ABDO的余弦值；(3)設(shè)點(diǎn)N是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)N的位置，使得CN4，并證明你的結(jié)論解析(1)證明：因?yàn)辄c(diǎn)O是菱形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)又點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M是ABC的中位線，OMAB.因?yàn)镺M平面ABD，AB平面ABD，所以O(shè)M平面ABD.(2)由題意知，OBOD3，因?yàn)锽D3，所以BOD90，OBOD.又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以O(shè)BAC，ODAC.建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如下圖所示則A(3，0, 0)，D(0,3,0)，B(0,0,3)所以(3，0,3)，(3，3,0)，設(shè)平面ABD的法向量為n(x，y，z)，則有即令x1，則y，z，所以n(1，)因?yàn)锳COB，ACOD，所以AC平面BOD.平面BOD的法向量與AC平行，所以可得平面BOD的一個(gè)法向量為n0(1,0,0)cosn0，n.因?yàn)槎娼茿BDO是銳角，所以二面角ABDO的余弦值為.(3)因?yàn)镹是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)N(x1，y1，z1)，則(x1，y1，z13)(0,3，3)，所以x10，y13，z133，則N(0,3，33)，(3，3，33)，由CN4得4，即92920，解得或，所以N點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2,1)或(0,1,2)(也可以答N是線段BD的三等分點(diǎn)，2或2)15(2011北京理，16)如下圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求證：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB與AC所成角的余弦值；(3)當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長解析(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ACBD.又因?yàn)镻A平面ABCD.所以PABD.因?yàn)镻AACA，所以BD平面PAC.(2)設(shè)ACBDO.因?yàn)锽AD60，PAAB2，所以BO1，AOCO.如上圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則P(0，2)，A(0，0)，B(1,0,0)，C(0，0)所以(1，2)，(0,2，0)，設(shè)PB與AC所成角為，則cos.(3)由(2)知(1，0)設(shè)P(0，t)，(t0)，則(1，t)設(shè)平面PBC的法向量m(x，y，z)，則m0，m0，所以令y，則x3，z.所以m(3，)同理，平面PDC的法向量n(3，)因?yàn)槠矫鍼BC平面PDC.所以mn0，即60.解得t.所以PA.1已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.答案A解析解法1：取A1C1中點(diǎn)E，連結(jié)AE、B1E.由題易知B1E平面ACC1A1，則B1AE為AB1與側(cè)面ACC1A1所成的角令正三棱柱側(cè)棱長與底面邊長為1.則sinB1AE.故選A.解法2：以A1C1中點(diǎn)E為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Exyz，設(shè)棱長為1，則A，B1，令A(yù)B1與面ACC1A1所成角為.sin|cos，|.2如下圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB，CEEF1.(1)求證：AF平面BDE；(2)求證：CF平面BDE；(3)求二面角ABED的大小解析(1)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G，因?yàn)镋FAG，且EF1，AGAC1，所以四邊形AGEF為平行四邊形所以AFEG.因?yàn)镋G平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)