寧夏銀川市銀川一中2020屆高三數(shù)學(xué)四模試題（含解析）一、選擇題。1.若集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：因?yàn)?，所以，故選A考點(diǎn)：集合的交集運(yùn)算2.復(fù)數(shù)滿足，則等于（）A. B. 1C. D. 【答案】C【解析】試題分析：,故選C.考點(diǎn):復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算.3.設(shè)平面，直線命題“”是命題“”的（）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定定理和兩直線的位置關(guān)系，利用充要條件的判定方法，即可判定得到答案?！驹斀狻坑深}意，平面，直線，若命題“”則可能或，所以充分性不成立，又由當(dāng)“”時(shí)，此時(shí)直線與直線可能相交、平行或異面，所以必要性不成立，所以命題“”是命題“”的既不充分也不必要條件，故選D?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了充要條件的判定問(wèn)題，其中解答中熟記線面平行的判定與性質(zhì)，以及兩直線的位置關(guān)系的判定，合理應(yīng)用充要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題4.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求得，再由等差數(shù)列的性質(zhì)得答案【詳解】在等差數(shù)列an中，由，得，即4又2，=2，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，是基礎(chǔ)題5.某校高二（1）班一次階段考試數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖可見(jiàn)部分如圖，根據(jù)圖中的信息，可確定被抽測(cè)的人數(shù)及分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)分別為（）A. 20，2B. 24，4C. 25，2D. 25，4【答案】C【解析】由頻率分布直方圖可知，組距為的頻率為，由莖葉圖可知的人數(shù)為，設(shè)參加本次考試的總?cè)藬?shù)為，則所以，根據(jù)頻率分布直方圖可知內(nèi)的人數(shù)與的人數(shù)一樣，都是，故選C.6.已知向量，若，則（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，.，即，.故選B.【考點(diǎn)定位】向量的坐標(biāo)運(yùn)算【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】7.如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根據(jù)三視圖可以判斷出該幾何體是一個(gè)底面直徑為4高為4的圓柱和一個(gè)底面直徑為4高為的圓錐的組合體，根據(jù)圓錐和圓柱的體積公式求出組合體的體積.【詳解】解：由幾何體的三視圖，知該幾何體是一個(gè)底面直徑為4高為4的圓柱和一個(gè)底面直徑為4高為的圓錐的組合體，該幾何體的體積為：.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了通過(guò)三視圖識(shí)別幾何體，并求出幾何體的體積問(wèn)題，考查了空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，如果輸入某個(gè)正整數(shù)后，（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】注意到S的值比較小，所以可以考慮依次循環(huán)可知n=4的時(shí)候S=15滿足，亦可通過(guò)數(shù)列考慮S的表達(dá)式.【考點(diǎn)定位】屬于程序框圖中比較簡(jiǎn)單的考查方法，只要學(xué)生看懂圖即可.9.已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在內(nèi)，則黃豆落在內(nèi)的概率是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：設(shè)三角形的一條中線為，即為線段的中點(diǎn) ，則，由幾何概型的概率公式，得該粒黃豆落在PAC內(nèi)的概率是；故選A考點(diǎn)：1平面向量的線性運(yùn)算；2幾何概型【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】10.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作（算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問(wèn)題（意為）：“有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地“那么，此人第4天和第5天共走路程是（）A. 24里B. 36里C. 48里D. 60里【答案】B【解析】【分析】記每天走的路程里數(shù)為，可知是公比的等比數(shù)列，由，利用等比數(shù)列求和公式解得，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得【詳解】記每天走的路程里數(shù)為，可知是公比的等比數(shù)列，由，得，解得：，所以此人第4天和第5天共走了里，故選B【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考屬于中檔題等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列的一類基本題型，數(shù)列中的五個(gè)基本量，一般可以“知二求三”，通過(guò)列方程組所求問(wèn)題可以迎刃而解.11.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到圖象，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B. 圖象關(guān)于直線對(duì)稱C. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D. 圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】C【解析】分析】由三角函數(shù)的圖象變換，得到的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐一判定，即可得到答案。【詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，對(duì)于A中，由，則，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增是正確的；對(duì)于B中，令，則，所以函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱是正確的；對(duì)于C中，則則，則函數(shù)在區(qū)間上先減后增，所以不正確；對(duì)于D中，令，則，所以圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱示正確的，故選C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)的圖象變換求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中解答中正確利用三角函數(shù)的圖象變換求解函數(shù)的解析式，熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題。12.菱形的邊長(zhǎng)為2，現(xiàn)將沿對(duì)角線折起使，求此時(shí)所成空間四面體體積的最大值（）A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】在等腰三角形中，取的中點(diǎn)為，則有，通過(guò)，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可以證明出，設(shè)，在中，由題意可知：，這樣可以求出空間四面體體積的表達(dá)式，通過(guò)換元法，利用導(dǎo)數(shù)，可以求出空間四面體的體積的最大值.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以?又因?yàn)椋?，設(shè)，在中，由題意可知：，設(shè)，則，且，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，四面體體積的最大值為故選：【點(diǎn)睛】本題考查了空間四面體體積最大值問(wèn)題，正確求出體積的表達(dá)式，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系、二倍角的正弦公式、換元法、導(dǎo)數(shù)法是解題的關(guān)鍵.二、填空題。13.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最小值是_【答案】【解析】試題分析：如圖所示,當(dāng)在時(shí)取最小值,此時(shí).考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃.14.已知，則_【答案】【解析】【分析】利用兩角和的正切公式，可以求出，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合，可以求出，最后求出的值.【詳解】解： 解得， ，解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.15.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)【答案】【解析】【分析】由題意，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，得到，再由直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解切線的方程?！驹斀狻坑深}意，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以，即函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為，由直線的點(diǎn)斜式方程可知，切線的方程為，即?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)處的切線的方程，其中解答中根據(jù)導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算的法則，正確求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求解切線的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題。16.若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】或【解析】【分析】方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，可以得到不等式，解這個(gè)不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，或故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了焦點(diǎn)在橫軸上橢圓方程的識(shí)別，考查了解不等式的能力.三、解答題.17.在ABC中，內(nèi)角A,B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsinA=acosB。（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值【答案】【解析】（1)由正弦定理得【考點(diǎn)定位】本題主要考察三角形中的三角函數(shù)，由正余弦定理化簡(jiǎn)求值是真理18.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，點(diǎn)為線段上異于的點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接(1)求證：；(2)若三棱錐體積為 ，求的長(zhǎng)【答案】（）見(jiàn)解析；（）.【解析】（）因?yàn)槠矫?，平面，所?又四邊形是矩形，所以.又，所以平面又平面，所以平面平面 （）因?yàn)?，所以，設(shè)，因?yàn)樗倪呅尉匦危?，所以，即，解得，所以的面積， 因?yàn)槠矫妫匀忮F的高，所以三棱錐的體積，因?yàn)槿忮F的體積為，且，所以，解得，即由（）可得，所以19.某小學(xué)對(duì)五年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)試，已知五年一班共有學(xué)生30人，測(cè)試立定跳遠(yuǎn)的成績(jī)用莖葉圖表示如圖（單位：）：男生成績(jī)?cè)?75以上（包括175）定義為“合格”，成績(jī)?cè)?75以下（不包括175）定義為“不合格”女生成績(jī)?cè)?65以上（包括165）定義為“合格”，成績(jī)?cè)?65以下（不包括165）定義為“不合格”(1)求五年一班的女生立定跳遠(yuǎn)成績(jī)的中位數(shù)；(2)在五年一班的男生中任意選取3人，求至少有2人的成績(jī)是合格的概率；(3)若從五年一班成績(jī)“合格”的學(xué)生中選取2人參加復(fù)試，用表示其中男生的人數(shù)，寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望【答案】(1)166.5cm (2) (3)見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)按照中位數(shù)的定義，可以根據(jù)莖葉圖得到五年一班的女生立定跳遠(yuǎn)成績(jī)的中位數(shù)；(2) 男生中任意選取3人，至少有2人的成績(jī)是合格，包括兩個(gè)事件：一個(gè)為事件 ：“僅有兩人的成績(jī)合格”，另一個(gè)為事件 ：“有三人的成績(jī)合格”，所以至少有兩人的成績(jī)是合格的概率：，分別求出，最后求出；(3) 因?yàn)楹细竦娜斯灿?8人，其中有女生有10人合格，男生有8人合格，依題意，的取值為0，1，2，分別求出的值，最后列出的分布列和計(jì)算出的數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：(1)由莖葉圖得五年一班的女生立定跳遠(yuǎn)成績(jī)的中位數(shù)為 (2)設(shè)“僅有兩人的成績(jī)合格”為事件，“有三人的成績(jī)合格”為事件，至少有兩人的成績(jī)是合格的概率：，又男生共12人，其中有8人合格，從而，所以 (3)因?yàn)楹细竦娜斯灿?8人，其中有女生有10人合格，男生有8人合格，依題意，的取值為0，1，2，則 ，因此，X的分布列如下： 012 （人）或是，因?yàn)榉某瑤缀畏植迹裕ㄈ耍军c(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)莖葉圖求數(shù)據(jù)的中位數(shù)、概率、隨機(jī)變量分布列、計(jì)算數(shù)學(xué)期望，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.20.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，過(guò)任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線，與交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8當(dāng)直線的斜率為時(shí)，與軸垂直(1)求橢圓的方程；(2)在軸上是否存在定點(diǎn)，總能使平分？說(shuō)明理由【答案】（1）.（2）【解析】試題分析：(1)利用題意求得，.所以橢圓的方程為.(2)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程討論可得為所求.試題解析：（）因?yàn)?，即，有，所以，即，?dāng)直線的斜率為時(shí)，與軸垂直，所以，由，且，解得，即，又，故，所以，由，得.所以橢圓的方程為.（）由（）得，設(shè)直線的方程為，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立，消去，整理得，所以，設(shè)，由已知平分，得，所以，即，即，所以，即，所以，即，所以為所求.21.（1）若，求的單調(diào)區(qū)間及的最小值；（2）若，求的單調(diào)區(qū)間；（3）試比較與的大?。ㄇ遥⒆C明你的結(jié)論【答案】(1)0；(2)見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)證明.【解析】【分析】（1）a1時(shí)，f（x）|x1|lnx，將絕對(duì)值符號(hào)化去，分類討論，再求導(dǎo)函數(shù)，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得f（x）的最小值；（2）將絕對(duì)值符號(hào)化去，分類討論，再求導(dǎo)函數(shù)，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）由（1）可知，lnxx1，從而，令xn2，可得，再進(jìn)行疊加，利用放縮法，即可證得結(jié)論成立【詳解】(1) 當(dāng)時(shí),， 在上遞增.當(dāng)時(shí),.在上是遞減.故時(shí), 的增區(qū)間為,減區(qū)間為,.(2) 若,當(dāng)時(shí),則在區(qū)間上是遞增的;當(dāng)時(shí),則在區(qū)間上是遞減的 若,當(dāng)時(shí)，,則在上是遞增的, 在上是遞減的; 當(dāng)時(shí), , 在區(qū)間(0,a)上是遞減的,而在x=a處有意義;則在區(qū)間上是遞增的,在區(qū)間(0,1)上是遞減的 綜上: 當(dāng)時(shí), 的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是(0,a);當(dāng),的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是(0,1)(3)由(1)可知,當(dāng)a=1,x時(shí),有即,則有+,故：+ .【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，用放縮法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，其中，用放縮法證明不等式 是解題的難點(diǎn)22.在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度已知曲線，過(guò)點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為直線與曲線分別交于、(1)求的取值范圍；(2)若、成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值【答案】（1）（2）【解析】試題分析： （）由題意曲線C的直角坐標(biāo)方程為將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程令即可；（）設(shè)交點(diǎn)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，由執(zhí)行參數(shù)方程中的幾何意義可得，然后由成等比數(shù)列，可得代入求解即可試題解析：（）曲線C的直角坐標(biāo)方程為將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得：因?yàn)榻挥趦牲c(diǎn)，所以，即（）設(shè)交點(diǎn)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為.則若成等比數(shù)列，則解得（舍）所以滿足條件的.考點(diǎn)：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，直線參數(shù)方程的幾何意義23.(1)若不等