山東省濟(jì)寧市魚臺(tái)縣第一中學(xué)山東省濟(jì)寧市魚臺(tái)縣第一中學(xué) 20202020 屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 1、選擇題：選擇題：( (本大題共 13 小題,每小題 5 分,共 65 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,第 1-10 題只有一項(xiàng)符合題目要求;第 11-13 題,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得 5 分,選對(duì)但不 全的得 2 分,有選錯(cuò)的不得分) 1設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)等于 ( ) i 2 1 i i AB C D i1i1i1i1 2. 設(shè)集合，則 ( ) 2 1213,logAxxBx yx AB A. B. C. D. (0,1 1,0 1,0)0,1 3“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的 ( ) * 12 N ,2 nnn naaa n a A充分不必要條件B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 則有（）已知, 2 1 log, 2 1 log,3 . 4 2 3 1 2 1 cba ABC D 5對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的是( ) sin(2) 6 yx A函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱 (,0) 3 5 6 x C將它的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象 6 sin2yx D將它的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的倍，得到的圖象 1 2 sin() 6 yx 6.已知 m，n 表示兩條不同直線， 表示平面，下列說法正確的是（ ） A. 若 m，n，則 mn B. 若 m，n，則 mn C. 若 m，mn，則 n D. 若 m，mn，則 n 7設(shè)向量，若，則實(shí)數(shù) 1, 1,3 , 3ba baba （ ） A3 B1 C 1 D 3 8.已知函數(shù)是定義在 R 上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則函數(shù) f x 0 x ln 1f xx 的大致圖象為( ) f x 9.9. 右圖是函數(shù)的部分圖象，則函數(shù) 的零點(diǎn)所在的區(qū)間是( ) A B. C. D 10.已知f(x)是定義在 R R 上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為)，若，且 )(x f )()(xfxf ，則不等式的解集為( ) )3() 1(xfxf2)2019(f 1 2)( x exf A. (1，) B. (e，) C. (，0) D. (， ) 1 e 11.下列有四個(gè)關(guān)于命題的判斷,其中正確的是( ) A.命題“”是假命題 1cos3), 0( 000 xxx B.命題“”是真命題 254,100yxxy或則若 C.命題“”的否定是“” 0) 1lg(,xNx0) 1lg(, 0 xNx D.命題“在中,若,則是鈍角三角形”是真命題 ABC0BCABABC 12.如圖,在棱長(zhǎng)均相等的四棱錐 P-ABCD 中,O 為底面正方形的中心,M,N 分別為側(cè)棱 PA,PB 的 中點(diǎn),有下列結(jié)論正確的有: ( ) APA平面 OMN B. 平面 PCD平面 OMN C. 直線 PD 與直線 MN 所成角的大小為 90 D. ONPB 13德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其名命名 x 1 O y 1 的函數(shù)，稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于，下列說法正確的是 1 ( ) 0 x f x x ，為有理數(shù) ，為無理數(shù))(xf A； B函數(shù)是偶函數(shù)： ,( ( )1xR f f x )(xf C任意一個(gè)非零有理數(shù) T，對(duì)任意恒成立； )()(xfTxf Rx D存在三個(gè)點(diǎn)，使得為等邊三角形 )(,(),(,(),(,( 332211 xfxCxfxBxfxA ABC 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 4 分，共 16 分） 14在等差數(shù)列中，若，則= . n a25 76543 aaaaa 82 aa 15.已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值為 . . 0,0 xylg2lg8lg2 xy 11 3xy 16. 如圖，設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為， ABC , ,A B C, ,a b c ，且.若點(diǎn)是 BbAcCasin2)coscos(3 3 CAB D 外一點(diǎn)，則當(dāng)四邊形面積最大時(shí)， ABC3,1DADCABCD 角= ,面積的最大值為 D 17 已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則 012 01 2 xxx x e x xf x 1)(axffy 的取值范圍是 . a 三、解答題：本大題共三、解答題：本大題共 6 6 小題小題，共共 6969 分分請(qǐng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟請(qǐng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟 18.18. （本小題滿分（本小題滿分 1010 分）分）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知 ABCABC，abc， ，. sin()sinsin abac ABAB 3b （1）求角； B 的面積。求若ABCA, 3 3 sin)2( 19.（本題滿分 10 分）如圖，在正三棱柱（底面為正三角形的直棱柱） 中，已知，點(diǎn) 為的中點(diǎn)， ABCA1B1C1AB = AA1= 2 QBC （1）求證：平面平面 ； AQC1B1BCC1 （2）求直線與平面所成角的正切值 . CC1AQC1 20.（本題滿分 12 分）已知數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為，且，數(shù)列 n a n S )( 1 2 1 NnaS nn 是公差 d 不等于 0 的等差數(shù)列，且滿足，且成等比數(shù)列 n b 11 2 3 ab 1152 ,bbb （1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； n a n b （2）設(shè)，求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 nnn bac n c n T 21（本小題滿分 12 分）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面 1111 ABCDABC D 1 AA ，底面是直角梯形， ABCDABCD/ /ADBC90BAD ，為中點(diǎn). 1 3ADAA 1BC 1 E 11 AB （1）證明：平面； 1 / /B D 11 AD E （2）若，求平面和平面所成角（銳角）的 ACBD 1 ACD 11 CDDC 余弦值 22.（本題滿分 12 分）山東省于 2020 年設(shè)立了水下考古研究中心，以 此推動(dòng)全省的水下考古、水下文化遺產(chǎn)保護(hù)等工作；水下考古研究中心工作站，分別設(shè)在位 于劉公島的中國(guó)甲午戰(zhàn)爭(zhēng)博物院和威海市博物館。為對(duì)劉公島周邊海域水底情況進(jìn)行詳細(xì)了 解，然后再選擇合適的時(shí)機(jī)下水探摸、打撈.省水下考古中心在一次水下考古活動(dòng)中，某一 潛水員需潛水米到水底進(jìn)行考古作業(yè)，其用氧量包含以下三個(gè)方面： 下潛平均速度為米/分鐘，每分鐘的用氧量為升； 水底作業(yè)時(shí)間范圍是最少 10 分鐘最多 20 分鐘，每分鐘用氧量為 0.4 升； 返回水面時(shí)，平均速度為米/分鐘，每分鐘用氧量為 0.32 升. 潛水員在此次考古活動(dòng)中的總用氧量為 升. A 1 A B 1 B C 1 C D 1 D 1 E （1）如果水底作業(yè)時(shí)間是分鐘，將 表示為 的函數(shù)； （2）若，水底作業(yè)時(shí)間為 20 分鐘，求總用氧量 的取值范圍. 23.（本題滿分 13 分）已知函數(shù). f(x) = (12a)lnx + ax2+ x （1）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)； f(x)f(x) （2）當(dāng)時(shí)，證明：. a 0 f(x) 2aln(1 1 2a) + a 3 4a 高三期中考試答案（11 月 15） 一：選擇題（每題 5 分，共計(jì) 65 分） 15 DACAB 610 BDCDA 11.AB 12.BD 13.ABCD 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分） 14.10 15、4 16. 17. 5 3 3 2 11 (1,1)(2,33 ee 三解答題 1818（本小題滿分（本小題滿分 1010 分）分） 解：（） 2 分 sin()sinsin abac ABAB abac cab 4 分 222 abacc 222 1 cos 222 acbac B acac ， 5 分 (0, )B 3 B （）由，得 6 分 3b 3 sin 3 A sinsin ab AB 2a 由得，從而， 7 分 abAB 6 cos 3 A 故 9 分 33 2 sin sin()sin cos cos sin 6 CABABAB 所以的面積為. 10 分 ABC 133 2 sin 22 SabC 19.分析：(1)先證明 A平面,再證明平面平面.(2)利用向量法求直線 Q B1BCC1AQC1B1BCC1 與平面所成角的正切值. CC1AQC1 詳解：（1）由題意知：,Q 為 BC 的中點(diǎn)，, 1 ABACAQBC 由得： 1 B BABC 平面 1 B BAC 平面，且， BC,B1 B B1BCC1BC B1B = B 又； 11 AQB BCC 平面 1111 ,AQAC QAC QB BCC平面平面平面 （2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. O - xyz 因?yàn)?，所?AB = AA1= 2 A(0, - 1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0, - 1,2),B1(3,0,2),C1(0,1,2),Q( 3 2 ,1 2,0) ，因此.設(shè)為 AQ =( 3 2 ,3 2,0),AC1 =(0,2,2),CC1=(0,0,2) n =(x,y,z) 平面的 AQC1 一個(gè)法向量，則，即 AQn = 0 AC1n = 0 ，取，則， 3 2 x + 3 2y = 0 2y + 2z = 0 y =- 1x = 3,z = 1 ，設(shè)直線與平面所成角為， n =(3, - 1,1) CC1AQC1 則， sin =|cosCC1,n|= |CC1n| |CC1|n| = 2 5 2 = 5 5 ， 0, 2 cos = 1 - sin2= 1 -( 5 5) 2 = 2 5 5 ， tan = sin cos = 1 2 所以直線與平面所成角的正切值為. CC1AQC1 1 2 20 解：（1）:當(dāng)由，解得： 1n 1 2 1 11 aa 3 2 1 a 當(dāng)時(shí)，由得 2n , 2 1 1 , 2 1 1 11nn nn aS aS ）（ nnnnn aaSSa 01 2 1 所以，所以是以，為公比的等比數(shù)列， )2( 3 1 1 naa nn n a 3 2 1 a 3 1 q 所以 ， 因?yàn)樗杂殖傻缺葦?shù)列，所以 n n n a 3 2 ) 3 1 ( 3 2 1 11 2 3 ab 1 1 b 1452 bbb， 142 2 5 bbb 所以得或(舍) )131 ()1 ()41 ( 2 ddd 2d0d 所以 12 nbn （2 2）由（1）得所以 n nnn n bac 3 24 ) 1 ( 3 24 3 10 3 6 3 2 32n n n T )2( 3 24 3 64 3 10 3 6 3 2 3 1 1432 nn n nn T (1) -(2)得 132 3 24 ) 3 1 3 1 3 1 (4 3 2 3 2 nn n n T 1 1 3 24 3 1 1 3 1 9 1 4 3 2 n n n 1 3 24 3 2 3 4 nn n 所以 n n n T 3 22 2 2121（本小題滿分（本小題滿分 1212 分）分） 證明：（）連結(jié)交于， 1 AD 1 AD G 因?yàn)闉樗睦庵?1111 ABCDABC D 所以四邊形為平行四邊形， 11 ADD A 所以為的中點(diǎn)， G1 AD 又為中點(diǎn)，所以為的中位線， 1 E 11 AB 1 EG 11 AB D 從而 4 分 11 / /B DEG 又因?yàn)槠矫?，平面?1 B D 11 AD E 1 EG 11 AD E 所以平面 5 分 1 / /B D 11 AD E （）因?yàn)榈酌妫?，面?1 AA ABCDAB ABCDAD ABCD H x y z A 1 A B 1 B C 1 C D 1 D 1 E G 所以又，所以兩兩垂直. 6 分 11 ,AAABAAAD 0 90BAD1 ,AB AD AA 如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo) A 1 ,AB AD AA x y z 系. 設(shè)，則， ABt 0,0,0A,0,0B t,1,0C t0,3,0D 1 ,1,3C t . 1 0,3,3D 從而，. ( ,1,0)ACt (,)3,0BDt 因?yàn)?，所以，解? 8 分 ACBD 2 300AC BDt 3t 所以，. 1 (0,3,3)AD ( 3,1,0)AC 所以，. 1 (0,3,3)AD ( 3,1,0)AC 設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即 1111 ,()nx y z 1 ACD 1 11 0, 0. AC n AD n 11 11 30 330 xy yz 令，則. 9 分 1 1x 1 (13,),3n 又，. 1 (0,0,3)CC (3,2,0)CD 設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即 2222 ,()nxyz 11 CDDC 12 2 0, 0. CC n CD n 2 22 0 320 z xy 令，則. 10 分 2 1x 2 (1 3 ,0 2 )n 12 12 12 3 |1 1(3)30| 1 2 cos, 73 1 3310 4 n n n n nn 平面和平面所成角（銳角）的余弦值. 12 分 1 ACD 11 CDDC 1 7 22.22.解：解：（）依題意，知下潛時(shí)間分鐘，返回時(shí)間分鐘， 2 分 則有 ()， 4 分 整理，得(). 5 分 （）由（）及題意，得 ()，6 分 （）. 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“=”成立. 9 分 當(dāng)時(shí)，； 又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 11 分 所以，總用氧量 的取值范圍是. 12 分 23. () 的定義域?yàn)椋?f(x)(0, + ) f(