高一數(shù)學(xué)空間角專題 二面角學(xué)案一、基本知識 二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個 所成的角叫做 ，這條直線叫做二面角的 ，這兩個半平面叫做 。 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，過這點在兩個半平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角并且用二面角的平面角大小來表示二面角的大小因此，若設(shè)平面與平面所成的角為，那么的范圍是 。二、經(jīng)典范例（一）定義法【典型例題1】若正四棱錐的底面邊長為，體積為，求它的側(cè)面與底面所成的二面角的大小。【變形應(yīng)用1】若正三棱錐底面邊長為4，體積為1，求側(cè)面和底面所成二面角的正切值。EDCBAD1C1B1A1【變形應(yīng)用2】如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點.（1）試確定點F的位置，使得D1E平面AB1F；（2）當D1E平面AB1F時，求二面角C1EFA的余弦值。（二）垂面法【典型例題2】在二面角L內(nèi)部有一點P，PA平面垂足為A，PB平面垂足為B，且PA=1，PB=3，AB=，求二面角L的大小?！咀冃螒?yīng)用1】已知二面角L的大小為120，點P為其內(nèi)部一點，PA平面垂足為A，PB平面垂足為B，且PA=4，PB=6，（1）求線段AB的長度。（2）求點P到棱L的距離?！咀冃螒?yīng)用2】在120的二面角MlN中，AM，BN，已知點A和B到棱l的距離分別為2和4，且AB=10，求： 直線AB與棱l所成的角； 直線AB與平面N所成的角?！咀冃螒?yīng)用3】在600的二面角L的棱L上取兩點A、B，在兩個半平面、內(nèi)分別作垂直于棱的線段AC、BD，已知AB=AC=BD=a，那么CD的長為（ ） A a B 2a C 3a D（三）三垂線定理法【典型例題3】三棱錐VABC中，VA=，VC=1，AB=BC=，且VAVC，點V在平面ABC內(nèi)的射影H恰好落在AC上，求二面角VABC的正切值?！咀冃螒?yīng)用1】如圖，已知，斜三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直，ABC=90，BC=2，且AA1A1C，AA1=A1CC1CBAB1A1 求側(cè)棱AA1與底面ABC所成角的大小； 求側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小。ABCP【變形應(yīng)用2】如圖：PA平面ABC，ACBC， PB 、PC與平面ABC所成的角分別是300和450，求二面角APBC的余弦值。（四）射影面積法【典型例題4】已知平面，三角形ABC的邊，點A在平面上的射影為，為斜面ABC與射影所成二面角的平面角，求證：(其中S為斜面三角形ABC的面積，S1為射影三角形面積)。EDCBAD1C1B1A1M【變形應(yīng)用1】如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，點M是棱BB1的中點，平面A1C1M與平面ABCD所成的二面角的余弦值為 【變形應(yīng)用2】在正三棱ABCA1B1C1中，求平面A1BC1與平面ABC所成二面角的余弦值。三、小結(jié)：作二面角的平面角的方法 定義法：在二面角的棱上任取一點，過這點在兩個半平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角 三垂線定理及逆定理法：自二面角的一個面上一點向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(即斜足)，斜足與面上一點連線，和斜足與垂足連線所夾的角，就是二面角的平面角 垂面法：自空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成