廣東省深圳市2020年高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理）試題 本試卷共21小題，滿分150分 考試用時120分鐘注意事項： 1答卷前，考生首先檢查答題卡是否整潔無缺損，監(jiān)考教師分發(fā)的考生信息條形碼是否正確；之后務(wù)必用05毫米黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的學(xué)校、姓名和考生號，同時，將監(jiān)考教師發(fā)放的條形碼正向準(zhǔn)確粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū)，請保持條形碼整潔、不污損。 2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上不按要求填涂的，答案無效。 3非選擇題必須用05毫米黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，請注意每題答題空間，預(yù)先合理安排；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液不按以上要求作答的答案無效。 4作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應(yīng)的信息點，再做答漏涂、錯涂、多涂的答案無效 5考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回。參考公式： 若錐體的底面積為S，高為h，則錐體的體積為V =Sh 若球的半徑為R，則球的表面積為S=4R2，體積為V=R2， 回歸方程為， 其中：一、選擇題：本大題共8個小題；每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的1化簡sin 2020o的結(jié)果是 Asin 33o Bcos33oA-sin 33o B-cos33o2已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)i13（1+i）= Al+i Bli C-l+ID-li3圖l是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積、體積分別是A32、 B16、 C12、 D8、4雙曲線的實軸長是虛軸長的2倍，則rn= A BC2 D45等差數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列。第一列 第二列第三列第一行235第二行8614第三行11913 則a4的值為 A18 B15 C12 D206我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”（如2020是“六合數(shù)”），則“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有 A18個 B15個 C12個D9個7函數(shù)y = 1n|x1|的圖像與函數(shù)y=-2 cos x（-2x4）的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和等于 A8 B6 C4 D28函數(shù)y=f（x），xD，若存在常數(shù)C，對任意的xlD，仔在唯一的x2D，使得 ，則稱函數(shù)f（x）在D上的幾何平均數(shù)為C已知f（x）=x3，x1，2，則函數(shù)f（x）=x3在1，2上的幾何平均數(shù)為A B2C4 D 2二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分本大題分為必做題和選做題兩部分（一）必做題：第9、10、11、12、13題為必做題，每道試題考生都必須作答9若則a3= 。10容量為60的樣本的頻率分布直方圖共有n（n1）個小矩形，若其中一個小矩形的面積等于其余n1個小矩形面積和的，則這個小矩形對應(yīng)的頻數(shù)是_ 11已知= （x，y）|x+ y6，x0，y0，A=（x，y）|x4，y0，xy20，若向區(qū)域上隨機投一點P，則點P落入?yún)^(qū)域A的概率是 12若執(zhí)行圖2中的框圖，輸入N=13，則輸出的數(shù)等于 。（注：“S=0”，即為“S0”或為“S0”）13設(shè)集合A=（x，y）|（x一4）2+y2=1，B=（x，y）|（xt）2+（yat+ 2）2=l，如果命題 “R，”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是 。（二）選做題：第14、1 5題為選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題的得分14（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C2的極坐標(biāo)方程為sincos =3，則Cl與C2交點在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為 。15（幾何證明選講選做題）如圖3，在O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EFBC，垂足為F，若AB=6，CFCB=5，則AE= 。三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（本小題滿分12分） 已知函數(shù)f（x）=2 sin（0x5），點A、B分別是函數(shù)y=f（x）圖像上的最高點和最低點（1）求點A、B的坐標(biāo)以及的值；（2）沒點A、B分別在角、的終邊上，求tan（）的值17（本小題滿分12分）一次考試中，五名學(xué)生的數(shù)學(xué)、物理成績?nèi)缦卤硭荆簩W(xué)生A1A2A3A4A5數(shù)學(xué)（x分8991939597物理（y分）8789899293（1）請在圖4的直角坐標(biāo)系中作出這些數(shù)據(jù)的散點圖，并求出這些數(shù)據(jù)的同歸方程；（2）要從4名數(shù)學(xué)成績在90分以上的同學(xué)中選2人參加一項活動，以X表示選中的同學(xué)的物理成績高于90分的人數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）的值18（木小題滿分14分） 如圖5，O的直徑AB=4，點C、D為O上兩點，且CA B=45o，DAB=60o，F(xiàn)為的中點沿直徑AB折起，使兩個半圓所在平面互相垂直（如圖6）（1）求證：OF/平面ACD；（2）求二面角C- AD-B的余弦值；（3）在上是否存在點G，使得FG平面ACD?若存在，試指出點G的位置，并求直線AG與平面ACD所成角的正弦值；若不存在，請說明理由 19（本小題滿分14分） 已知數(shù)列an滿足：a1=1，a2=（a0），an+2=p（其中P為非零常數(shù)，nN *） （1）判斷數(shù)列是不是等比數(shù)列？ （2）求an；（3）當(dāng)a=1時，令bn=，Sn為數(shù)列bn的前n項和，求Sn。 20（本小題滿分14分） 已知兩點F1（-1，0）及F2（1，0），點P在以F1、F2為焦點的橢圓C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|構(gòu)成等差數(shù)列（1）求橢圓C的方程；（2）如圖7，動直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點，點M，N是直線l上的兩點，且F1Ml，F(xiàn)2Nl求四邊形F1MNF2面積S的最大值21（本小題滿分14分） 已知f（x）=x-（a0），g（x）=2lnx+bx且直線y=2x2與曲線y=g（x）相切（1）若對1，+）內(nèi)的一切實數(shù)x，小等式f（x）g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)a=l時，求最大的正整數(shù)k，使得對e，3（e=271828是自然對數(shù)的底數(shù)）內(nèi)的任意k個實數(shù)x1，x2，xk都有成立；（3）求證：參考答案說明：1本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則2對計算題當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分?jǐn)?shù)一、選擇題：本大題每小題5分，滿分40分12345678CCCD AB BD二、填空題：本大題每小題5分，滿分30分9 ； 10 ； 11； 12；13； 14； 15三、解答題16（本小題滿分12分）已知函數(shù)，點、分別是函數(shù)圖像上的最高點和最低點（1）求點、的坐標(biāo)以及的值；（2）設(shè)點、分別在角、的終邊上，求的值解：（1）， ， 1分 2分當(dāng)，即時，取得最大值； 當(dāng)，即時，取得最小值 因此，點、的坐標(biāo)分別是、 4分 6分（2）點、分別在角、的終邊上， 8分， 10分 12分【說明】 本小題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換，以及平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，考查了簡單的數(shù)學(xué)運算能力17（本小題滿分12分）一次考試中，五名同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理成績?nèi)缦卤硭荆簩W(xué)生數(shù)學(xué)（分）物理（分）（1）請在圖的直角坐標(biāo)系中作出這些數(shù)據(jù)的散點圖，并求出這些數(shù)據(jù)的回歸方程；圖4y(物理成績)O899193959788929490x(數(shù)學(xué)成績)（2）要從名數(shù)學(xué)成績在分以上的同學(xué)中選人參加一項活動，以表示選中的同學(xué)的物理成績高于分的人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的值解：（1）散點圖如右圖所示1分=，=， 5分故這些數(shù)據(jù)的回歸方程是： 6分（2）隨機變量的可能取值為， 7分 ； 10分 故的分布列為：11分=+= 12分【說明】本題主要考察讀圖表、線性回歸方程、概率、隨機變量分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運用概率統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的能力，數(shù)據(jù)處理能力18（本小題滿分14分）如圖，的直徑，點、為上兩點，且，為的中點沿直徑折起，使兩個半圓所在平面互相垂直（如圖）（1）求證：平面； （2）求二面角的余弦值；（3）在上是否存在點，使得/平面？若存在，試指出點的位置，并求直線 與平面所成角的正弦值；若不存在，請說明理由圖5圖6（法一）：證明：（1）如右圖，連接， ， 又為的中點，平面，平面，平面3分解：（2）過作于，連，平面平面 平面又平面， ， 平面，則是二面角的平面角 5分， 由平面，平面，得為直角三角形，= 8分（3）設(shè)在上存在點，使得/平面，平面， 平面平面， 因此，在上存在點，使得/平面，且點為的中點10分連，設(shè)與平面所成角為，點到平面的距離為 =，=， 由=，得=，得 12分 在中，由余弦定理得=，13分= 14分（法二）：證明：（1）如圖，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以為原點，作空間直角坐標(biāo)系，則， ，點為的中點，點的坐標(biāo)為，即平面，平面，平面 3分解：（2），點的坐標(biāo)，設(shè)二面角的大小為，為平面的一個法向量 由 有 即 取，解得，= 5分 取平面的一個法向量=， 6分8分（3）設(shè)在上存在點，使得/平面，平面， 平面平面，則有設(shè)，又，解得（舍去），則為的中點因此，在上存在點，使得/平面，且點為的中點11分設(shè)直線與平面所成角為，根據(jù)（2）的計算為平面的一個法向量， 因此，直線與平面所成角的正弦值為 14分【說明】本題主要考察空間點、線、面位置關(guān)系，線面角、二面角及三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數(shù)學(xué)問題的能力19（本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足：，（其中為非零常數(shù)，）（1）判斷數(shù)列是不是等比數(shù)列？（2）求；（3）當(dāng)時，令，為數(shù)列的前項和，求解：（1）由，得 1分令，則，（非零常數(shù)），數(shù)列是等比數(shù)列 3分（2）數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列， ，即 4分當(dāng)時， ， 6分滿足上式， 7分（3），當(dāng)時， 8分， 當(dāng)，即時，得：， 即 11分而當(dāng)時， 12分當(dāng)時，13分綜上所述， 14分【說明】考查了等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列求和公式、簡單遞推數(shù)列求通項、錯位求和等知識，考查了學(xué)生的運算能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論的思想20（本小題滿分14分） 已知兩點及，點在以、為焦點的橢圓上，且、 構(gòu)成等差數(shù)列（1）求橢圓的方程；圖7MyONlxF1F2（2）如圖7，動直線與橢圓有且僅有一個公共點，點是直線上的兩點，且， 求四邊形面積的最大值解：（1）依題意，設(shè)橢圓的方程為構(gòu)成等差數(shù)列， 又，橢圓的方程為 4分 (2) 將直線的方程代入橢圓的方程中，得 5分由直線與橢圓僅有一個公共點知，化簡得： 7分MyONlxF1F2H 設(shè)， 9分（法一）當(dāng)時，設(shè)直線的傾斜角為，則， ，11分，當(dāng)時，當(dāng)時，四邊形是矩形， 13分所以四邊形面積的最大值為 14分（法二）， 四邊形的面積， 11分 13分當(dāng)且僅當(dāng)時，故 所以四邊形的面積的最大值為 14分【說明】本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想21（本小題滿分14分）已知，且直線與曲線相切（1）若對內(nèi)的一切實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，求最大的正整數(shù)，使得對（是自然對數(shù)的底數(shù)）內(nèi)的任意個實數(shù)都有成立；（3）求證：解：（1）設(shè)點為直線與曲線的切點，則有 （*）， （*）由（*）、（*）兩式，解得， 2分由整理，得，要使不等式恒成立，必須恒成立 設(shè)，當(dāng)時，則是增函數(shù)，是增函數(shù)，5分因此，實數(shù)的取值范圍是 6分（2）當(dāng)時，在上是增函數(shù)，在上的最大值為要對內(nèi)的任意個實數(shù)都有成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，當(dāng)時不等式左邊取得最大值，時不等式右邊取得最小值，解得因此，的最大值為 10分（3）證明（法一）：當(dāng)時，根據(jù)