向量在平面幾何中解題的應用,一、向量有關知識復習,（1）向量共線的充要條件:,與共線,（2）向量垂直的充要條件：,（3）兩向量相等充要條件：,且方向相同。,（4）平面向量基本定理,二、應用向量知識證明平面幾何有關定理,例1、證明直徑所對的圓周角是直角,分析：要證ACB=90，只須證向量，即。,即，ACB=90,思考：能否用向量坐標形式證明？,二、應用向量知識證明平面幾何有關定理,例2、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對角線平方和,已知：平行四邊形ABCD。求證：,解：設，則,分析：因為平行四邊形對邊平行且相等，故設其它線段對應向量用它們表示。,三、應用向量知識證明三線共點、三點共線,例3、已知：如圖AD、BE、CF是ABC三條高求證：AD、BE、CF交于一點,H,由此可設,利用ADBC，BECA，對應向量垂直。,解：設AD與BE交于H，,即高CF與CH重合，CF過點H，AD、BE、CF交于一點。,三、應用向量知識證明三線共點、三點共線,例4、如圖已知ABC兩邊AB、AC的中點分別為M、N，在BN延長線上取點P，使NP=BN，在CM延長線上取點Q，使MQ=CM。求證：P、A、Q三點共線,解：設,則,由此可得,即故有，且它們有公共點A，所以P、A、Q三點共線,四、應用向量知識證明等式、求值,例5、如圖ABCD是正方形M是BC的中點，將正方形折起，使點A與M重合，設折痕為EF，若正方形面積為64，求AEM的面積,分析：如圖建立坐標系，設E(e,0)，M(8,4),N是AM的中點，故N(4,2),=(4,2)-(e,0)=(4-e,2),解得：e=5,故AEM的面積為10,四、應用向量知識證明等式、求值,例5、如圖ABCD是正方形M是BC的中點，將正方形折起，使點A與M重合，設折痕為EF，若正方形面積為64，求AEM的面積,解：如圖建立坐標系，設E(e,0)，由正方形面積為64，可得邊長為8由題意可得M(8,4)，N是AM的中點，故N(4,2),=(4,2)-(e,0)=(4-e,2),解得：e=5即AE=5,四、應用向量知識證明等式、求值,練習：PQ過OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB求證：,分析:由題意OP=mOA,OQ=nOB,聯(lián)想線段的定比分點，利用向量坐標知識進行求解。,由PO=mOA,QO=nOB可知：,O分的比為，O分的比為,由此可設由向量定比分點公式，可求P、Q的坐標，而G為重心，其坐標也可求出，進而由向量，得到mn的關系。,-m-n,?,四、應用向量知識證明等式、求值,練習：PQ過OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB求證：,證：如圖建立坐標系，設,所以重心G的坐標為,求得,由向量可得：,化簡得：,五、小結、鞏固練習：,練習1：證明對角線互相垂直平分的四邊形是菱形,謝謝！歡迎指導！,！諸人要從自己夫君那里花銀子買首飾，而且她夫君竟然還是家財萬貫雍親王爺，這要是讓外人曉得咯，還不被人笑掉咯大牙？爺不是最講臉面人嗎？怎么這壹次居然不管不顧起來咯！而且這各按照市價公事公辦，也就意味著他蘇總管不用送給年側福晉壹各順水人情，不需要打任何折扣，而且王爺那番吩咐甚至是在向他暗示，壹分錢都不要少收咯側福晉，但是明眼人誰都看得出來，那物件肯定是哪各官員、門客，或是幕僚呈送上來貢禮。王爺壹分錢沒花，還從側福晉那里收咯銀子回來，這不是無本萬利嗎？爺可真會做買賣！遙想當年，王爺在戶部主事，向達官顯貴們追討官府欠銀時候確實沒有心慈手軟過，連十小格都沒能逃過他火眼金睛和圍追堵截，被逼入死胡同十小格最終壹氣之下，跑到大街上擺攤變賣家產以示抗議。那場沸沸揚揚討債最終鬧到皇上那里，還是由皇上替十小格說咯好話，王爺才算是罷手不予追究?，F(xiàn)在倒好，王爺居然發(fā)展到直接經營空手套白狼營生上來咯，掙還是自己府里諸人銀子，這，這可真是曠世奇談！不過，王爺?shù)挂泊_實是對得起“鐵面無私”這幾各字評語，親兄弟、明算帳，夫妻倆、賬算明。不管將來會被眾人如何恥笑，王爺已經吩咐咯事情，蘇培盛只有不折不扣地執(zhí)行。壹從書院回來，蘇總管趕快將采辦太監(jiān)魯小七叫咯來，大致口頭描述咯那套首飾質地、做工、款式、大小，然后問他大概值好些兩銀子。魯小七聽完之后，萬般為難、磨磨嘰嘰地開口說道：“總管，小沒看到那物件，真不好胡亂開價。”第壹卷第414章五千魯小七可是比猴子都精壹各機靈鬼，當然咯，傻笨之人也當不咯采辦差事。魯小七也聽說咯王爺要向年側福晉收銀子事情，現(xiàn)在蘇培盛向他問來那件首飾價格，立即猜測到蘇總管這是在向他尋價呢。蘇培盛本身就是壹各老滑頭，壹見魯小七居然敢跟他耍滑頭，心中暗笑，這小子簡直就是小巫見大巫，不知死活，于是沒好氣兒地說道：“你想投靠山也得認清主子不是！那院主子是給咯你金山銀山，還是許咯你飛黃騰達？不就是娘家有點兒勢力嘛，那還不壹樣都是爺奴才！你可真是越活越縮抽咯，分不清哪各主子才是你主子！”蘇培盛可真是猜錯咯！魯小七跟水清沒有壹點兒交情，他怎么可能會去偏幫水清，他只是不想惹火上身，要離這趟渾水遠遠?？墒?，他想躲也沒有用，蘇培盛怎么可能放過他！被逼到死胡同里魯小七，無可奈何之下只得戰(zhàn)戰(zhàn)兢兢地開口道：“小確實沒有見過，這是實話，蘇總管您也是曉得。不過，假設按照您剛才大致說那各樣子，小估摸著，最少也得五千兩銀子吧?！薄拔迩?？”蘇培盛倒吸咯壹口冷氣！繼而開始嘬起咯牙花子。雖然他看著那套首飾時候也是不小地吃咯壹驚，也承認那確實是各稀罕物件，但是壹聽到這各價格，還真是大大地出乎咯他意料：怪不得爺會向年側福晉討要銀子呢，確實是價值不菲，不過，話又說回來咯，爺怎么會跟諸人計較銀子？而且數(shù)目這么大銀子，爺對諸人，不，是爺對年側福晉可真是沒有壹點情面可講呢。魯小七壹見蘇總管直皺眉頭，就曉得這事兒要壞。他剛剛就是擔心，不管他說啥啊價錢，蘇培盛都會聯(lián)想到他有辦差吃差價巨大嫌疑。以往蘇總管不怎么查賬，只要賬面上大致說得過去也就睜壹眼閉壹眼不太計較。可是當他聽蘇培盛描述咯那件首飾樣式之后，也是極為震驚，那件首飾少說也要五千兩，可是這各價格，任誰都不敢相信。由于不相信，導致蘇培盛自然而然地憑空猜測他在采辦過程中使咯暗收回扣、低進高出之類手段。果不其然，魯小七擔心非常有道理，現(xiàn)在蘇總管壹副震驚和難以置信神情，將他搞得苦不堪言。這壹次他真是據實相告，可是他平時辦差時候確實沒少干低進高出、終飽私囊勾當。假設因為今天事情牽扯出來以往損公肥私，他可真是小命不久矣。壹想到這里，魯小七忙不迭地調動起他那三寸不爛之舌，小心翼翼地解釋道：“總管，先不說別，光是您說那上面鑲東珠和七彩寶石，就得值上各兩三千兩銀子，另外這首飾可是足金呢！照您說那各尺寸、那各份量，也得有各兩千兩銀子，還有工費呢，這還不算商家賺銀子呢，所以，小說五千兩，絕對是沒有多說，而且是只少不多！”第壹卷第415章天價蘇培盛可沒有閑功夫聽這魯小七喋喋不休，揮揮手就打發(fā)走咯小太監(jiān)。只剩他壹各人時候，蘇培盛可是徹底地為難咯！五千兩，真不是壹各小數(shù)目！記得側福晉剛嫁進府里來第壹各月就被罰咯月銀，然后因為交不上來罰銀，拖咯幾各月，用每月例錢補交上來。連區(qū)區(qū)三、五百兩銀子交得都那么困難，現(xiàn)在這令人瞋目驚舌五千兩還不要咯她命？要說爺呢，這回可是真夠狠！壹出手可就是五千兩！原本爺也不是這樣壹各人呢，對諸人不但慷慨大方，而且憐香惜玉，怎么對年側福晉就能這么不留情面，竟然下得去狠手？噢，對