湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學高三數(shù)學第二輪專題講座復習：曲線的軌跡方程的求法高考要求 求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一 求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系 這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義，性質等基礎知識的掌握，還充分考查了各種數(shù)學思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學們的一大難點 重難點歸納 求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法 (1)直接法 直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程 (2)定義法 若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求 (3)相關點法 根據(jù)相關點所滿足的方程，通過轉換而求動點的軌跡方程 (4)參數(shù)法 若動點的坐標(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程 求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性 要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念 典型題例示范講解 例1如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足APB=90，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程 命題意圖 本題主要考查利用“相關點代入法”求曲線的軌跡方程 知識依托 利用平面幾何的基本知識和兩點間的距離公式建立線段AB中點的軌跡方程 錯解分析 欲求Q的軌跡方程，應先求R的軌跡方程，若學生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問題的實質，很難解決此題 技巧與方法 對某些較復雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個較易于求得的點的軌跡方程，再以此點作為主動點，所求的軌跡上的點為相關點，求得軌跡方程 解 設AB的中點為R，坐標為(x,y)，則在RtABP中，|AR|=|PR| 又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理 在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動 設Q(x,y)，R(x1,y1)，因為R是PQ的中點，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56 例2設點A和B為拋物線 y2=4px(p0)上原點以外的兩個動點，已知OAOB，OMAB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線 命題意圖 本題主要考查“參數(shù)法”求曲線的軌跡方程 知識依托 直線與拋物線的位置關系 錯解分析 當設A、B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2)時，注意對“x1=x2”的討論 技巧與方法 將動點的坐標x、y用其他相關的量表示出來，然后再消掉這些量，從而就建立了關于x、y的關系 解法一 設A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x0)直線AB的方程為x=my+a由OMAB，得m=由y2=4px及x=my+a，消去x,得y24pmy4pa=0所以y1y2=4pa, x1x2=所以，由OAOB，得x1x2 =y1y2所以故x=my+4p,用m=代入，得x2+y24px=0(x0)故動點M的軌跡方程為x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點 解法二 設OA的方程為，代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得AB的方程為，過定點，由OMAB，得M在以ON為直徑的圓上（O點除外）故動點M的軌跡方程為x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點 解法三 設M(x,y) (x0)，OA的方程為，代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得由OMAB，得M既在以OA為直徑的圓 上，又在以OB為直徑的圓 上（O點除外），+得 x2+y24px=0(x0)故動點M的軌跡方程為x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點 例3某檢驗員通常用一個直徑為2 cm和一個直徑為1 cm的標準圓柱，檢測一個直徑為3 cm的圓柱，為保證質量，有人建議再插入兩個合適的同號標準圓柱，問這兩個標準圓柱的直徑為多少？命題意圖 本題考查“定義法”求曲線的軌跡方程，及將實際問題轉化為數(shù)學問題的能力 知識依托 圓錐曲線的定義，求兩曲線的交點 錯解分析 正確理解題意及正確地將此實際問題轉化為數(shù)學問題是順利解答此題的關鍵 技巧與方法 研究所給圓柱的截面，建立恰當?shù)淖鴺讼?，找到動圓圓心的軌跡方程 解 設直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問題轉化為求兩等圓P、Q,使它們與O相內(nèi)切，與A、B相外切 建立如圖所示的坐標系，并設P的半徑為r,則|PA|+|PO|=(1+r)+(1 5r)=2 5點P在以A、O為焦點，長軸長2 5的橢圓上，其方程為=1 同理P也在以O、B為焦點，長軸長為2的橢圓上，其方程為 (x)2+y2=1 由可解得，r=圓柱的直徑為 cm 例4已知A、B為兩定點，動點M到A與到B的距離比為常數(shù),求點M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線 解 建立坐標系如圖所示，設|AB|=2a,則A(a,0）,B(a,0) 設M(x,y）是軌跡上任意一點 則由題設，得=,坐標代入，得=,化簡得(12)x2+(12)y2+2a(1+2)x+(12)a2=0(1)當=1時，即|MA|=|MB|時，點M的軌跡方程是x=0，點M的軌跡是直線(y軸) (2)當1時，點M的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0 點M的軌跡是以(，0）為圓心，為半徑的圓 學生鞏固練習 1 已知橢圓的焦點是F1、F2，P是橢圓上的一個動點，如果延長F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么動點Q的軌跡是( )A 圓B 橢圓 C 雙曲線的一支D 拋物線2 設A1、A2是橢圓=1的長軸兩個端點，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點，則直線A1P1與A2P2交點的軌跡方程為( )A B C D 3 ABC中，A為動點，B、C為定點，B(,0),C(,0)，且滿足條件sinCsinB=sinA,則動點A的軌跡方程為_ 4 高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標分別確定為A(5，0)、B(5，0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡方程是_ 5 已知A、B、C是直線l上的三點，且|AB|=|BC|=6，O切直線l于點A，又過B、C作O異于l的兩切線，設這兩切線交于點P，求點P的軌跡方程 參考答案 1 解析 |PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,動點Q到定點F1的距離等于定長2a,故動點Q的軌跡是圓答案 A2 解析 設交點P(x,y）,A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P共線，A2、P2、P共線，解得x0= 答案 C3 解析 由sinCsinB=sinA,得cb=a,應為雙曲線一支，且實軸長為,故方程為答案 4 解析 設P(x,y），依題意有,化簡得P點軌跡方程為4x2+4y285x+100=0 答案 4x2+4y285x+100=05 解 設過B、C異于l的兩切線分別切O于D、E兩點，兩切線交于點P 由切線的性質知 |BA|=|BD|，|PD|