高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：空間幾何體（文）人教實(shí)驗(yàn)B版【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：柱、錐、臺、球及其簡單組合體、三視圖、斜二測法二. 課標(biāo)要求：1. 利用實(shí)物模型、計算機(jī)軟件觀察大量空間圖形，認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)；2. 能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會使用材料（如：紙板）制作模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖；3. 通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式；4. 完成實(shí)習(xí)作業(yè)，如畫出某些建筑的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求）；三. 命題走向近幾年來，立體幾何高考命題形式比較穩(wěn)定，題目難易適中，解答題常常立足于棱柱、棱錐和正方體位置關(guān)系的證明和夾角距離的求解，而選擇題、填空題又經(jīng)常研究空間幾何體的幾何特征和體積、表面積。因此復(fù)習(xí)時我們要首先掌握好空間幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征。培養(yǎng)好空間想能力。預(yù)測高考對該講的直接考查力度可能不大，但經(jīng)常出一些創(chuàng)新型題目，具體預(yù)測如下：（1）題目多出一些選擇、填空題，經(jīng)常出一些考查空間想象能力的試題，例如：判斷命題的真假等；解答題的考查多是位置關(guān)系，我們要想像的出其中的點(diǎn)線面間的位置關(guān)系；（2）研究立體幾何問題時要重視多面體的應(yīng)用，才能發(fā)現(xiàn)隱含條件，利用隱含條件解題?！窘虒W(xué)過程】基本知識要點(diǎn)回顧：1. 柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征（1）柱棱柱：一般的，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱；棱柱中兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱為底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)。底面是三角形、四邊形、五邊形的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱；旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線。棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體；（2）錐棱錐：一般的有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐；這個多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點(diǎn)的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱。底面是三角形、四邊形、五邊形的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；旋轉(zhuǎn)軸為圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓錐的側(cè)面。棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體。（3）臺棱臺：用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺；原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；棱臺也有側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)。圓臺：用一個平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺的下底面和上底面；圓臺也有側(cè)面、母線、軸。圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體。（4）球 以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡稱為球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。（5）組合體由柱、錐、臺、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫組合體。2. 空間幾何體的三視圖三視圖是觀察者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形。它具體包括：（1）主視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和長度；（2）左視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和寬度；（3）俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的長度和寬度；可簡記為：“主左同高，左俯同寬，主俯同長”3. 空間幾何體的直觀圖（1）斜二測畫法建立直角坐標(biāo)系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐標(biāo)系；畫出斜坐標(biāo)系，在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應(yīng)的OX,OY，使 45（或135），它們確定的平面表示水平平面；畫對應(yīng)圖形，在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于X軸，且長度保持不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于Y軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话?；擦去輔助線，圖畫好后，要擦去X軸、Y軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）?？珊営洖椋骸皺M不變，豎減半，平行性不變”（2）平行投影與中心投影平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)?！镜湫屠}】例1. （1）（06北京理4）平面的斜線 AB 交于點(diǎn) B，過定點(diǎn) A 的動直線與 AB 垂直，且交于點(diǎn)C，則動點(diǎn)C的軌跡是（ ）A. 一條直線 B. 一個圓 C. 一個橢圓 D. 雙曲線的一支（2）（04天津文 8）如圖，定點(diǎn)A和B都在平面內(nèi)，定點(diǎn)C是內(nèi)異于A和B的動點(diǎn)，且那么，動點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是（ ）A. 一條線段，但要去掉兩個點(diǎn) B. 一個圓，但要去掉兩個點(diǎn)C. 一個橢圓，但要去掉兩個點(diǎn) D. 半圓，但要去掉兩個點(diǎn)（3）正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)的一個動點(diǎn)，且滿足PM=2，P到直線A1D1的距離為，則點(diǎn)P的軌跡是（ ）A. 圓 B. 雙曲線 C. 兩個點(diǎn) D. 直線解：（1）設(shè)與是其中的兩條任意的直線，則這兩條直線確定一個平面，且斜線垂直這個平面，由過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直可知過定點(diǎn)與垂直所有直線都在這個平面內(nèi)，故動點(diǎn)C都在這個平面與平面的交線上，故選A。（2）B。（3）點(diǎn)P到A1D1的距離為，則點(diǎn)P到AD的距離為1，滿足此條件的P的軌跡是到直線AD的距離為1的兩條平行直線，又，滿足此條件的P的軌跡是以M為圓心，半徑為2的圓，這兩種軌跡只有兩個交點(diǎn)。故點(diǎn)P的軌跡是兩個點(diǎn)。選項為C。點(diǎn)評：該題考查空間內(nèi)平面軌跡的形成過程，考查了空間想象能力。例2. （06江蘇9）兩相同的正四棱錐組成如圖甲所示的幾何體，可放棱長為1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個平面平行，且各頂點(diǎn)均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有（ ）A. 1個B. 2個 C. 3個D. 無窮多個解：由于兩個正四棱錐相同，所以所求幾何體的中心在正四棱錐底面正方形ABCD中心，由對稱性知正四棱錐的高為正方體棱長的一半，影響幾何體體積的只能是正四棱錐底面正方形ABCD的面積，問題轉(zhuǎn)化為邊長為1的正方形的內(nèi)接正方形有多少種，所以選D。點(diǎn)評：本題主要考查空間想象能力，以及正四棱錐的體積。正方體是大家熟悉的幾何體，它的一些內(nèi)接或外接圖形需要一定的空間想象能力，要學(xué)會將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化。例3. （2002北京理，10）設(shè)命題甲：“直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，平面ACB1與對角面BB1D1D垂直”；命題乙：“直四棱柱ABCDA1B1C1D1是正方體”。那么，甲是乙的（ ）A. 充分必要條件 B. 充分非必要條件C. 必要非充分條件 D. 既非充分又非必要條件解：若命題甲成立，命題乙不一定成立，如底面為菱形時。若命題乙成立，命題甲一定成立。答案為C。點(diǎn)評：對于空間幾何體的定義要有深刻的認(rèn)識，掌握它們并能判斷它們的性質(zhì)。例4. （2002上海春，10）下圖表示一個正方體表面的一種展開圖，圖中的四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有 對。解：相互異面的線段有AB與CD，EF與GH，AB與GH 3對。點(diǎn)評：解決此類題目的關(guān)鍵是將平面圖形恢復(fù)成空間圖形，較強(qiáng)的考查了空間想象能力。例5. 畫正五棱柱的直觀圖，使底面邊長為3cm，側(cè)棱長為5cm。解：先作底面正五邊形的直觀圖，再沿平行于Z軸方向平移即可得。作法：（1）畫軸：畫X，Y，Z軸，使XOY=45（或135），XOZ=90。（2）畫底面：按X軸，Y軸畫正五邊形的直觀圖ABCDE。（3）畫側(cè)棱：過A、B、C、D、E各點(diǎn)分別作Z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取AA，BB，CC，DD，EE。（4）成圖：順次連結(jié)A，B，C，D，E，加以整理，去掉輔助線，改被遮擋的部分為虛線。點(diǎn)評：用此方法可以依次畫出棱錐、棱柱、棱臺等多面體的直觀圖。例6. 是正ABC的斜二測畫法的水平放置圖形的直觀圖，若的面積為，那么ABC的面積為_。解：。點(diǎn)評：該題屬于斜二測畫法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于建立實(shí)物圖元素與直觀圖元素之間的對應(yīng)關(guān)系。特別是底和高的對應(yīng)關(guān)系。例7. （1）如圖，在正四面體ABCD中，E、F、G分別是三角形ADC、ABD、BCD的中心，則EFG在該正四面體各個面上的射影所有可能的序號是（ ）A. B. C. D. （2）（2000全國，16）如圖甲，E、F分別為正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是圖乙的 （要求：把可能的圖的序號都填上）。甲乙解：（1）正四面體各面的中點(diǎn)在四個面上的射影不可能落到正四面體的邊上，所以不正確，根據(jù)射影的性質(zhì)，E、F、G三點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的射影形狀如“”所示，在其它平面上的射影如“”所示。答案：C；（2）面BFD1E面ADD1A1，所以四邊形BFD1E在面ADD1A1上的射影是，同理，在面BCC1B1上的射影也是。過E、F分別作DD1和CC1的垂線，可得四邊形BFD1E在面DCC1D1上的射影是，同理在面ABB1A1，面ABCD和面A1B1C1D1上的射影也是。答案：；點(diǎn)評：考查知識立足課本，對空間想象能力、分析問題的能力、操作能力和思維的靈活性等方面要求較高，體現(xiàn)了加強(qiáng)能力考查的方向。例8. （06 安徽理16）多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的，如圖，正方體的一個頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個頂點(diǎn)到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個頂點(diǎn)中的一個，則P到平面的距離可能是：3； 4； 5； 6； 7以上結(jié)論正確的為_（寫出所有正確結(jié)論的編號）解：如圖，B、D、A1到平面的距離分別為1、2、4，則D、A1的中點(diǎn)到平面的距離為3，所以D1到平面的距離為6；B、A1的中點(diǎn)到平面的距離為，所以B1到平面的距離為5；則D、B的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；C、A1的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C1到平面的距離為7；而P為C、C1、B1、D1中的一點(diǎn)，所以選。點(diǎn)評：該題將計算蘊(yùn)涵于射影知識中，屬于難得的綜合題目。例9. （1）畫出下列幾何體的三視圖 解：這兩個幾何體的三視圖如下（2）如圖，設(shè)所給的方向?yàn)槲矬w的正前方，試畫出它的三視圖（單位：cm）點(diǎn)評：畫三視圖之前，應(yīng)把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，選擇一個合適的主視方向。一般先畫主視圖，其次畫俯視圖，最后畫左視圖。畫的時候把輪廓線要畫出來，被遮住的輪廓線要畫成虛線。物體上每一組成部分的三視圖都應(yīng)符合三條投射規(guī)律。例10. 某物體的三視圖如下，試判斷該幾何體的形狀解：該幾何體為一個正四棱錐。分析：三視圖是從三個不同的方向看同一物體得到的三個視圖。點(diǎn)評：主視圖反映物體的主要形狀特征，主要體現(xiàn)物體的長和高，不反映物體的寬。而俯視圖和主視圖共同反映物體的長要相等。左視圖和俯視圖共同反映物體的寬要相等。據(jù)此就不難得出該幾何體的形狀。例11. （1）（湖南07理8題）棱長為1的正方體的8個頂點(diǎn)都在球的表面上，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線被球截得的線段長為（ ）A. B. C. D. （2）（陜西07理6題）一個正三棱錐的四個頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點(diǎn)在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（ ）A. B. C. D. 答：（1）D （2）B點(diǎn)評：07年的這兩個考題都考查多面體和球體的組合題，對空間想象能力、分析問題的能力和思維的靈活性等方面要求較高，體現(xiàn)了加強(qiáng)能力考查的方向。例12. （寧夏07理8題） 已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是（）A. . . . 解：由主視圖、左視圖、俯視圖知該幾何體為一四棱錐，底面邊長為20cm，高為20cm，故選B點(diǎn)評：本體主要考查投影幾何的簡單知識的應(yīng)用以及幾何體體積的求法，考查空間想象能力。思維小結(jié)1. 幾種常凸多面體間的關(guān)系2. 一些特殊棱柱、棱錐、棱臺的概念和主要性質(zhì)名稱棱柱直棱柱正棱柱圖 形定 義有兩個面互相平行，而其余每相鄰兩個面的交線都互相平行的多面體側(cè)棱垂直于底面的棱柱底面是正多邊形的直棱柱側(cè)棱平行且相等平行且相等平行且相等側(cè)面的形狀平行四邊形矩形全等的矩形對角面的形狀平行四邊形矩形矩形平行于底面的截面的形狀與底面全等的多邊形與底面全等的多邊形與底面全等的正多邊形名稱棱錐正棱錐棱臺正棱臺圖形定義有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形的多面體底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分由正棱錐截得的棱臺側(cè)棱相交于一點(diǎn)但不一定相等相交于一點(diǎn)且相等延長線交于一點(diǎn)相等且延長線交于一點(diǎn)側(cè)面的形狀三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形對角面的形狀三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形狀與底面相似的多邊形與底面相似的正多邊形與底面相似的多邊形與底面相似的正多邊形其他性質(zhì)高過底面中心；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等兩底中心連線即高；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等幾種特殊四棱柱的特殊性質(zhì)名稱特殊性質(zhì)平行六面體底面和側(cè)面都是平行四邊行；四條對角線交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分直平行六面體側(cè)棱垂直于底面，各側(cè)面都是矩形；四條對角線交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分長方體底面和側(cè)面都是矩形；四條對角線相等，交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分正方體棱長都相等，各面都是正方形四條對角線相等，交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分3. 三視圖畫法規(guī)則高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊長對正：主視圖與俯視圖的長應(yīng)對正寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等4. 畫水平放置的多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，因?yàn)槎噙呅雾旤c(diǎn)的位置一旦確定，依次連結(jié)這些頂點(diǎn)就可畫出多邊形來，因此平面多邊形水平放置時，直觀圖的畫法可以歸結(jié)為確定點(diǎn)的位置的畫法。強(qiáng)調(diào)斜二測畫法的步驟?！灸M試題】（答題時間：60分鐘）一、選擇題1. 有一個幾何體的三視圖如下圖所示，這個幾何體應(yīng)是一個（ ）A. 棱臺 B. 棱錐 C. 棱柱 D. 都不對2. 棱長都是的三棱錐的表面積為（ ）A. B. C. D. 3. 長方體的一個頂點(diǎn)上三條棱長分別是，且它的個頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個球的表面積是（ ） A. B. C. D. 都不對4. 正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（）A. B. C. D. 5. 在ABC中，,若使繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積是（ ）A. B. C. D. 6. 底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長為，它的對角線的長分別是和，則這個棱柱的側(cè)面積是（ ）A. B. C. D. 二、填空題1. 一個棱柱至少有 _個面，面數(shù)最少的一個棱錐有 _個頂點(diǎn)，頂點(diǎn)最少的一個棱臺有 _條側(cè)棱。 2. 若三個球的表面積之比是，則它們的體積之比是_。 3. 正方體 中，是上底面中心，若正方體的棱長為，則三棱錐的體積為_。4. 如圖，分別為正方體的面、面的中心，則四邊形在該正方體的面上的射影可能是_。5. 已知一個長方體共一頂點(diǎn)的三個面的面積分別是、，這個長方體的對角線長是_；若長方體的共頂點(diǎn)的三個側(cè)面面積分別為，則它的體積為_。6. （天