數(shù)學(xué)史中的二元一次方程式 二元一次方程式在數(shù)學(xué)中是十分基本且重要的概念，下面將對(duì)中國(guó)、巴比倫和印度數(shù)學(xué)史中的二元一次方程式做一簡(jiǎn)介。由于筆者才疏學(xué)淺，數(shù)據(jù)來源又以中文為主，所以自覺這篇文章有三點(diǎn)不足之處：一、未考慮時(shí)代背景與數(shù)學(xué)發(fā)展背景。二、未述及解析幾何中的二元一次方程式。三、未述及西方數(shù)學(xué)對(duì)二元一次方程式和二元一次聯(lián)立方程式解法的發(fā)展。 此外，在收集資料的過程中，發(fā)現(xiàn)關(guān)于二元一次方程式的資料很少，論及二元一次聯(lián)立方程式的更少，猜測(cè)這或許與絕大多數(shù)的二元一次聯(lián)立方程式題目都可以用一元一次方程式來解決有關(guān)。 中國(guó)九章算術(shù) 九章算術(shù)成書于漢代，集之前數(shù)學(xué)知識(shí)之大成，是中國(guó)最重要的一本算書；劉徽為其作注時(shí)，全面的證明其中的公式與解法(注一)，不但對(duì)中國(guó)后世的數(shù)學(xué)發(fā)展，甚至鄰近地區(qū)的數(shù)學(xué)發(fā)展都有深遠(yuǎn)的影響。 九章算術(shù)第八章方程中共有十八個(gè)問題，都是關(guān)于一次聯(lián)立方程的問題，其中二元的問題有八個(gè)，三元的問題有六個(gè)，四元的問題有二個(gè)，五元的問題有一個(gè)，屬于不定方程(六個(gè)未知數(shù)五個(gè)方程)的有一個(gè)(注二)。屬于二元的是第二、四、五、六、七、九、十、十一問，其中第二問是： 今有上禾七秉，損實(shí)一斗，異之下禾二秉，而實(shí)一十斗；下禾八秉，益實(shí)一斗， 與上禾二秉，而實(shí)一十斗；問上、下禾一秉個(gè)幾何？ 答曰：上禾一秉實(shí)一斗五十二分斗之一十八，下禾一秉實(shí)五十二分斗之四十一 術(shù)曰：如方程。損之曰益，益之曰損。損實(shí)一斗者，其實(shí)過一十斗也。益實(shí)一斗 者，其實(shí)不滿一十斗也。術(shù)曰就是解法。如方程便是列出方程式，用現(xiàn)今之符號(hào)(上禾一秉x斗，下禾一秉y斗)列出： (7x-1)+2y=10 2x+(8y+1)=10 損之曰益，益之曰損。損實(shí)一斗者，其實(shí)過一十斗也。益實(shí)一斗者，其實(shí)不滿一十斗也。就是指常數(shù)項(xiàng)的移項(xiàng)，原方程式變成： 7x+2y=11-(1) 2x+8y=9-(2) 至于接下來的算法便是利用方程術(shù)，由于方程術(shù)是在第一問(三元一次)后所提出的，所以第二問中就沒有再寫出計(jì)算過程，下面是我用現(xiàn)在的符號(hào)改寫方程術(shù)的計(jì)算過程： (2)乘以(1)的x項(xiàng)系數(shù)7，得14x+56y=63-(3) 用(3)去減(1)，直到(3)之x項(xiàng)系數(shù)為0，得52y=41-(4) (1)乘以(4)的y項(xiàng)系數(shù)52后，再一直減去(4)，到y(tǒng)項(xiàng)系數(shù)為0止，得364x=490，再除以原x項(xiàng)之系數(shù)7(即(1) x項(xiàng)之系數(shù))，得52x=70-(5) 由(4)、(5)可知上禾一秉實(shí)一斗五十二分斗之一十八，下禾一秉實(shí)五十二分斗之四十 一。其實(shí)方程術(shù)相當(dāng)于利用系數(shù)列出一增廣矩陣后再做運(yùn)算，也就是將上述的過程寫成： 由于這只是二元的問題，并不能全盤看出方程術(shù)的法則，有興趣的讀者不妨看郭書春所著古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽書中第42頁(yè)，在那清楚的演示用方程術(shù)解第一問。 方程章在第二問已經(jīng)有了常數(shù)項(xiàng)的移項(xiàng)；第四問中不但有常數(shù)項(xiàng)的移項(xiàng)，還有未知數(shù)項(xiàng)的移項(xiàng)；而第六問中更出現(xiàn)了負(fù)數(shù)的情形，熟知負(fù)數(shù)發(fā)展歷史的讀者必定會(huì)明了此為一重大之突破；到了第十問更是出現(xiàn)分?jǐn)?shù)系數(shù)的情形，而其解法與我們現(xiàn)今相同，將其化成整系數(shù)方程式后再求解。 方程術(shù)是九章算術(shù)最高的數(shù)學(xué)成就(注三)，劉徽亦在此基礎(chǔ)上創(chuàng)立了方程新術(shù)，使中國(guó)數(shù)學(xué)成為這一領(lǐng)域中的佼佼者。 九章算術(shù)在第七章盈不足中雖然不是用方程式的方式來解，但許多問題亦可劃歸于二元一次方程式的范疇，若能適當(dāng)?shù)囊胝n堂之中，必能啟發(fā)學(xué)生更多的興趣與共鳴。 典型的盈不足問題是共買物問題：各人所出A，盈a；所出B，不足b，求人數(shù)、物價(jià)(注四)。九章算術(shù)給出了一般公式： 每人應(yīng)出的錢=(Ab+aB)/(a+b) 物價(jià)=(Ab+aB)/(A-B) 人數(shù)=(a+b)/(A-B)九章算術(shù)還給出了兩盈(或兩不足)的公式，并利用這兩組公式解決了大量的一般二元一次的算術(shù)問題(含分配問題、混合分配問題等等)，因?yàn)樵谶@類問題中，任意代入兩個(gè)數(shù)，必定是上述兩種情形之一。舉第十三問為例： 今有醇酒一斗，直錢五十；行酒一斗，直錢一十。今將錢三十，得酒二斗。問醇 酒、行酒各得幾何？ 答曰：醇酒二升半，行酒一斗七升半。 術(shù)曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有余一十。令之醇酒二升，行酒一斗八 升，不足二。解法意思是若買醇酒五升，行酒一斗五升，則(較三十錢)盈十錢；若買醇酒二升，行酒一斗八升，則(較三十錢)不足二錢。所以就可以利用先前的公式得： 醇酒升數(shù)(5*2+10*2)/(10+2)=2.5升 行酒升數(shù)(15*2+10?18)/(10+2) 17.5升 這樣的算法既直接又快速，反觀若用現(xiàn)在中學(xué)所教的二元一次聯(lián)立方程式來解，就解法上而言就顯得笨拙許多。至此，不禁讓我想到埃及人在解一元一次方程式時(shí)，亦是先任意假設(shè)一數(shù)再 行運(yùn)算，兩相比較之下，頗有異曲同工之妙！ 巴比倫 巴比倫人在解決二元及三元問題時(shí)有兩種方法(注五)，第一種很類似于我們現(xiàn)在的代入消去法；第二種今日稱為丟番圖法(Diophantine)，但這并不是丟番圖(Diophantus,約A.D.250)所創(chuàng)，而是他學(xué)習(xí)了巴比倫人的方法，這種方法特別適合于解決有一個(gè)方程式為x+y=s(s為已知)，此時(shí)令x=s/2+w，y=s/2-w，代入另一個(gè)方程式中便可解出w，如便可以求得x與y了。下面舉的例子是出自于漢摩拉比王朝時(shí)代(B.C.17921750)的一塊泥板上，雖然是二元二次的題目，但可以看出此方法的運(yùn)用： 有一長(zhǎng)方形，將其面積加上長(zhǎng)，減去寬得183；長(zhǎng)、寬之和為27，求長(zhǎng)、寬及面積。 解： 假設(shè)長(zhǎng)為x，寬為y，依題意列式， xy+x-y=183-(1) x+y=27-(2) 令y=y-2?y=y+2，代入(1)及(2)得 xy=210-(3) x+y=29-(4) 由(4)，令x=29/2+w，y=29/2-w代入(3)，得w=1/2， 故x=29/2+1/2=15，y=y-2=29/2-1/2-2=12在泥板上并未出現(xiàn)類似未知數(shù)列式的符號(hào)算式，只有敘述計(jì)算的過程，而且是六十進(jìn)制制的，有興趣的讀者可參看梁宗巨著的數(shù)學(xué)歷史典故。讀者不難發(fā)現(xiàn)，丟番圖法運(yùn)用時(shí)需要較高的技巧，也就是要先把其中一個(gè)方程式化成x+y=s的形式才可，不過不論是丟番圖法或是第一種方法，在推廣到多元一次聯(lián)立方程式的問題時(shí)就顯得十分繁雜，不如九章算術(shù)方程術(shù)來的簡(jiǎn)便，但巴比倫人的方法在解決非線性的問題時(shí)便可以看出其優(yōu)越性，由此可以反映出巴比倫人的泥板上有許多的非線性問題，而九章算術(shù)幾乎沒有非線性問題的情形。 印度 印度人在二元一次方程式方面的成就當(dāng)首推阿揚(yáng)巴哈一世(Aryabhata I,A.D.476?)，他在所寫的Aryabhatiya中不但清楚的描述出當(dāng)時(shí)印度數(shù)學(xué)的現(xiàn)況，更給了印度數(shù)學(xué)繼續(xù)發(fā)展的動(dòng)力(注六)，關(guān)于二元一次方程式方面的成就也記載于此書中。阿揚(yáng)巴哈一世他首先給出不定方程式ax+by=c的所有整數(shù)解，其方法經(jīng)傳人改進(jìn)后十分類似于現(xiàn)今的方法(注七)，概說如下： 不妨只考慮a，b互質(zhì)的情形，則存在兩整數(shù)p、q使得 ap+bq=1 ax+by=c(ap+bq) (x-cp)/b=(cq-y)/