2.3.1平面向量基本定理學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.了解基底的含義，理解并掌握平面向量基本定理，會用基底表示平面內(nèi)任一向量(重點(diǎn))2.掌握兩個向量夾角的定義以及兩向量垂直的定義(難點(diǎn))3.兩個向量的夾角與兩條直線所成的角(易混點(diǎn))1.通過作圖教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生自主得出平面向量基本定理，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).2.通過向量夾角和基底的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).1平面向量基本定理?xiàng)l件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量結(jié)論對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2基底不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底思考：0能與另外一個向量a構(gòu)成基底嗎？提示不能，0不能作為基向量2.兩向量夾角的概念已知兩個非零向量a和b，作a，b，則aob，叫做向量a與b的夾角(1)范圍：向量a與b的夾角的范圍是0180.(2)當(dāng)0時，a與b同向(3)當(dāng)180時，a與b反向3垂直如果a與b的夾角是90，我們說a與b垂直，記作ab.1若e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是()ae1e2，e2e1b2e1e2，e1e2c2e23e1,6e14e2 de1e2，e1e2da、b、c中兩個向量都滿足ab，故選d.2給出下列三種說法：一個平面內(nèi)只有一組不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；一個平面內(nèi)有無數(shù)組不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；零向量不可作為基底中的向量其中，說法正確的為()abcdb根據(jù)基底的概念，可知正確3若abc是等邊三角形，則與的夾角的大小為_120由向量夾角的定義知與的夾角與b互補(bǔ)，大小為120.4如圖所示，向量可用向量e1，e2表示為_4e13e2由圖可知，4e13e2.用基底表示向量【例1】(1)d，e，f分別為abc的邊bc，ca，ab上的中點(diǎn)，且a，b，給出下列結(jié)論：ab；ab；ab；a.其中正確結(jié)論的序號為_(2)如圖所示，abcd中，點(diǎn)e，f分別為bc，dc邊上的中點(diǎn)，de與bf交于點(diǎn)g，若a，b，試用a，b表示向量，.思路點(diǎn)撥：用基底表示平面向量，要充分利用向量加減法的三角形法則和平行四邊形法則(1)如圖，bba，正確；ab，正確；ba，b(ba)ba，正確；a，不正確(2)ab.ba.1若本例(2)中條件不變，試用a，b表示.解由平面幾何的知識可知，故aabaab.2若本例(2)中的基向量“，”換為“，”，即若a，b，試用a，b表示向量，.解222ba.222ab.用基底表示向量的三個依據(jù)和兩個“模型”(1)依據(jù)：向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；向量減法的幾何意義；數(shù)乘向量的幾何意義(2)模型：向量的夾角【例2】(1)已知向量a，b，c滿足|a|1，|b|2，cab，ca，則a，b的夾角等于_(2)若a0，b0，且|a|b|ab|，求a與ab的夾角思路點(diǎn)撥：可作出平面圖形利用向量夾角定義及平面幾何知識來解決(1)120作a，b，則cab(如圖所示)，則a，b夾角為180c.|a|1，|b|2，ca，c60，a，b的夾角為120.(2)解由向量運(yùn)算的幾何意義知ab，ab是以a，b為鄰邊的平行四邊形兩條對角線如圖，|a|b|ab|，boa60.又ab，且在菱形oacb中，對角線oc平分boa，a與ab的夾角是30.兩向量夾角的實(shí)質(zhì)與求解方法：(1)兩向量夾角的實(shí)質(zhì)：從同一起點(diǎn)出發(fā)的兩個非零向量構(gòu)成的不大于平角的角，結(jié)合平面幾何知識加以解決.(2)求解方法：利用平移的方法使兩個向量起點(diǎn)重合，作出兩個向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出.提醒：尋找兩個向量的夾角時要緊扣定義中“共起點(diǎn)”這一特征，避免出現(xiàn)錯誤.如圖，已知abc是等邊三角形(1)求向量與向量的夾角；(2)若e為bc的中點(diǎn)，求向量與的夾角解(1)abc為等邊三角形，abc60.如圖，延長ab至點(diǎn)d，使abbd，則，dbc為向量與的夾角dbc120，向量與的夾角為120.(2)e為bc的中點(diǎn)，aebc，與的夾角為90.平面向量基本定理的唯一性及其應(yīng)用探究問題若存在實(shí)數(shù)1，2，1，2及不共線的向量e1，e2，使向量a1e12e2，a1e12e2，則1，2，1，2有怎樣的大小關(guān)系？提示：由題意1e12e21e12e2，即(11)e1(22)e2，由于e1，e2不共線，故11，22.【例3】如圖所示，在oab中，a，b，點(diǎn)m是ab上靠近b的一個三等分點(diǎn)，點(diǎn)n是oa上靠近a的一個四等分點(diǎn)若om與bn相交于點(diǎn)p，求.思路點(diǎn)撥：可利用t及s兩種形式來表示，并都轉(zhuǎn)化為以a，b為基底的表達(dá)式根據(jù)任一向量基底表示的唯一性求得s，t，進(jìn)而得.解a()ab.因?yàn)榕c共線，故可設(shè)tab.又與共線，可設(shè)s，ss()(1s)asb，所以解得所以ab.1將本例中“點(diǎn)m是ab上靠近b的一個三等分點(diǎn)”改為“點(diǎn)m是ab上靠近a的一個三等分點(diǎn)”，“點(diǎn)n是oa上靠近a的一個四分點(diǎn)”改為“點(diǎn)n為oa的中點(diǎn)”，求bppn的值解ab，()ab.因?yàn)閛，p，m和b，p，n分別共線，所以存在實(shí)數(shù)，使ab，ab，所以ab，又b，所以解得所以，即bppn41.2將本例中點(diǎn)m，n的位置改為“，n為oa的中點(diǎn)”，其他條件不變，試用a，b表示.解ba，ab.因?yàn)閍，p，m三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使得ba，所以(1)ab.因?yàn)閎，p，n三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使得ab，所以a(1)b.即解得所以ab.1任意一向量基底表示的唯一性的理解：條件一平面內(nèi)任一向量a和同一平面內(nèi)兩個不共線向量e1，e2條件二a1e11e2且a2e12e2結(jié)論2.任意一向量基底表示的唯一性的應(yīng)用：平面向量基本定理指出了平面內(nèi)任一向量都可以表示為同一平面內(nèi)兩個不共線向量e1，e2的線性組合1e12e2.在具體求1，2時有兩種方法：(1)直接利用三角形法則、平行四邊形法則及向量共線定理(2)利用待定系數(shù)法，即利用定理中1，2的唯一性列方程組求解1對基底的理解(1)基底的特征基底具備兩個主要特征：基底是兩個不共線向量；基底的選擇是不唯一的平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個向量可以作為這個平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件(2)零向量與任意向量共線，故不能作為基底2準(zhǔn)確理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)是向量的分解，即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，用向量解決幾何問題時，我們可以選擇適當(dāng)?shù)幕祝瑢栴}中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解決1下列四種說法正確的個數(shù)為()平面內(nèi)不共線的任意兩個向量都可作為一組基底；基底中的向量可以是零向量；平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的；e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線向量，若存在實(shí)數(shù)，使得e1e20，則0.()a1b2c3d4c零向量與任意向量共線，故零向量不能作為基底中的向量，故錯，根據(jù)平面向量基本定理可知正確2已知平行四邊形abcd，則下列各組向量中，是該平面內(nèi)所有向量基底的是()a.，b.，c.， d.，d