,22.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,1.一元二次方程的一般形式是什么？,3.一元二次方程的根的情況怎樣確定？,2.一元二次方程的求根公式是什么？,4、求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別為2和3;-4和7;3和-8;-5和-2,x2-5x+6=0,x2-3x-28=0,(x-3)(x+8)=0,x2+5x-24=0,(x+5)(x+2)=0,(x+4)(x-7)=0,(x-2)(x-3)=0,x2+7x+10=0,問題1：從求這些方程的過程中你發(fā)現(xiàn)根與各項(xiàng)系數(shù)之間有什么關(guān)系？,新課講解,如果方程x2+px+q=0有兩個(gè)根是x1,x2那么有x1+x2=-p,x1x2=q,猜想：2x2-5x+3=0,這個(gè)方程的兩根之和，兩根之積是與各項(xiàng)系數(shù)之間有什么關(guān)系？,問題2；對于一元二次方程的一般式是否也具備這個(gè)特征？,所以得到,x1+x2=,x1x2=,填寫下表：,猜想：,如果一元二次方程的兩個(gè)根分別是、，那么，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？,已知：如果一元二次方程的兩個(gè)根分別是、。,求證：,推導(dǎo):,如果一元二次方程的兩個(gè)根分別是、，那么：,這就是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也叫韋達(dá)定理。,一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,16世紀(jì)法國最杰出的數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系，因此,人們把這個(gè)關(guān)系稱為韋達(dá)定理。數(shù)學(xué)原本只是韋達(dá)的業(yè)余愛好，但就是這個(gè)業(yè)余愛好，使他取得了偉大的成就。韋達(dá)是第一個(gè)有意識地和系統(tǒng)地使用字母表示數(shù)的人，并且對數(shù)學(xué)符號進(jìn)行了很多改進(jìn)。是他確定了符號代數(shù)的原理與方法，使當(dāng)時(shí)的代數(shù)學(xué)系統(tǒng)化并且把代數(shù)學(xué)作為解析的方法使用。因此，他獲得了“代數(shù)學(xué)之父”之稱。,1.,3.,2.,4.,5.,口答下列方程的兩根之和與兩根之積。,練習(xí)：下列方程中，兩根的和與兩根的積各是多少？,返回,的值。,解：,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系:,例2、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程兩個(gè)根的；（1）平方和；（2）倒數(shù)和,解：設(shè)方程的兩個(gè)根是x1x2，那么,返回,例1.不解方程，求方程的兩根的平方和、倒數(shù)和。（解法如上）,運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解題類型,用根與系數(shù)的關(guān)系，不解方程，幾種常見的求值,求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時(shí),一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和,兩根之積的形式,再整體代入.,例如：已知方程x22x1的兩根為x1,x2，不解方程，求下列各式的值。（1）（x1x2）2（2）x13x2x1x23（3）,1、如果-1是方程2X2X+m=0的一個(gè)根，則另一個(gè)根是_，m=_。2、設(shè)X1、X2是方程X24X+1=0的兩個(gè)根，則X1+X2=_,X1X2=_，X12+X22=(X1+X2)2-_=_(X1-X2)2=(_)2-4X1X2=_3、判斷正誤：以2和-3為根的方程是X2X-6=0（）4、已知兩個(gè)數(shù)的和是1，積是-2，則這兩個(gè)數(shù)是_。,X1+X2,2X1X2,-3,4,1,14,12,2和-1,基礎(chǔ)練習(xí),例2：已知方程的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值.,解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別是、，其中。所以：即：由于得：k=-7答：方程的另一個(gè)根是，k=-7,例3：已知方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是且求k的值。,解：由根與系數(shù)的關(guān)系得X1+X2=-k，X1X2=k+2又X12+X22=4即(X1+X2)2-2X1X2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0,=K2-4k-8當(dāng)k=4時(shí)，0當(dāng)k=-2時(shí)，0k=-2,解得：k=4或k=2,例4：方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，求m的取值范圍。,解:由已知,=,即,m0m-10,0m1,總結(jié)規(guī)律：,兩根均為負(fù)的條件：X1+X2且X1X2。,兩根均為正的條件：X1+X2且X1X2。,兩根一正一負(fù)的條件：X1+X2且X1X2。當(dāng)然，以上還必須滿足一元二次方程有根的條件：b2-4ac0。即：,練習(xí)：方程x2(m1)x2m10求m滿足什么條件時(shí),方程的兩根互為相反數(shù)？方程的兩根互為倒數(shù)？方程的一根為零？解:(m1)24(2m1)m26m5兩根互為相反數(shù)兩根之和m10,m1,且0m1時(shí),方程的兩根互為相反數(shù).,兩根互為倒數(shù)m26m5,兩根之積2m11m1且0,m1時(shí),方程的兩根互為倒數(shù).方程一根為0,兩根之積2m10且0,時(shí),方程有一根為零.,引申:1、若ax2bxc0(a00)（1）若兩根互為相反數(shù),則b0;（2）若兩根互為倒數(shù),則ac;（3）若一根為0,則c0;（4）若一根為1,則abc0;（5）若一根為1,則abc0;（6）若a、c異號,方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.,2.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時(shí)，首先要把已知方程化成一般形式.,3.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時(shí)，要特別注意，方程有實(shí)根的條件，即在初中代數(shù)里，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，才能應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系.,1.一元