第一節(jié)不等式和絕對值不等式,三年16考高考指數(shù):1.理解絕對值的幾何意義，并能利用含絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：|a+b|a|+|b|;|a-b|a-c|+|c-b|.2.會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式:|ax+b|c;|ax+b|c;|x-a|+|x-b|c.,3.會用絕對值不等式、基本不等式證明一些簡單問題；能夠利用基本不等式求一些特定函數(shù)的最（極）值.,1.利用不等式的性質(zhì)考查函數(shù)的單調(diào)性、比較實數(shù)的大小、求函數(shù)的最值是考查的重點.2.利用絕對值的定義及絕對值的幾何意義解含有絕對值的不等式或證明不等式是考查的重點，也是難點.3.常以填空題或解答題的形式出現(xiàn)，屬低、中檔題.,1.不等式的基本性質(zhì),對稱性,傳遞性,可加性,可乘性,可乘方性,可開方性,ab,bb,bc,ac,ab,a+cb+c,ab,c0,acbc,ab,c0,anbn(nN,n2),ab0,(nN,n2),【即時應用】(1)思考：若ab，一定有嗎？提示:不一定.如：a=-1,b=2時，有ab,但事實上，當ab0時，若ab，則有當ab0時，若ab，則有當ab=0時，若ab，則中有一個無意義.,（2）若an是各項都為正的等比數(shù)列，且公比q1,則a1+a4與a2+a3的大小關系是_.【解析】（a1+a4）-(a2+a3)=a1+a1q3-a1q-a1q2=a1(1+q)(1-q)2,an0,q0,又q1,a1(1+q)(1-q)20,即a1+a4a2+a3.答案：a1+a4a2+a3,2.基本不等式(1)定理1如果a,bR，那么a2+b2_2ab，當且僅當_時，等號成立.（2）算術平均與幾何平均如果a,b都是正數(shù)，我們就稱_為a，b的算術平均，_為a,b的幾何平均.（3）定理2（基本不等式）如果a,b0，那么_當且僅當_時，等號成立.也可以表述為：兩個正數(shù)的算術平均_它們的幾何平均.,a=b,a=b,不小于（即大于或等于）,（4）利用基本不等式求最值對兩個正實數(shù)x、y，如果它們的和S是定值，則當且僅當_時，它們的積P取得最_值；如果它們的積P是定值，則當且僅當_時，它們的和S取得最_值_.,x=y,大,x=y,小,【即時應用】(1)思考：利用基本不等式求最值的條件是什么？提示：利用基本不等式求最值的條件是各項或各因式均為正；和或積為定值；各項或各因式能取“等號”，即一正、二定、三相等.,（2）思考：函數(shù)的最小值是2嗎？提示：函數(shù)的最小值不是2.當x0時，當x0時，顯然f（x）既沒有最大值也沒有最小值.,3.三個正數(shù)的算術幾何平均不等式（1）定理3如果a,b,c為正實數(shù),那么_當且僅當_時，等號成立.即：三個正數(shù)的算術平均_它們的幾何平均.（2）基本不等式的推廣對于n個正數(shù)a1,a2,an，它們的算術平均_它們的幾何平均，即_當且僅當_時，等號成立.,a=b=c,不小于,不小于,a1=a2=an,【即時應用】（1）若x0,則的最小值為_.（2）若x(-,1),則函數(shù)的最大值為_.,【解析】(1)x0,當且僅當即時上式取等號，即的最小值為(2)y=當且僅當即x=0時上式取等號，即y-1.答案：(1)(2)-1,4.絕對值三角不等式（1）定理1：如果a,b是實數(shù)，則|a+b|_,當且僅當_時，等號成立.（2）定理2：如果a,b,c是實數(shù)，那么|a-c|a-b|+|b-c|，當且僅當_時，等號成立.,|a|+|b|,ab0,(a-b)(b-c)0,【即時應用】（1）思考：|a+b|與|a|-|b|,|a-b|與|a|-|b|、|a|+|b|之間有什么關系？提示：|a+b|a|-|b|,|a|-|b|a-b|a|+|b|.,（2）已知|a|b|,則m,n之間的關系是_.【解析】|a|-|b|ab|a|+|b|,m1n,即mn.答案：mn,5.絕對值不等式的解法（1）含絕對值的不等式|x|a的解集,x|-axa,x|xa或x-a,xR|x0,R,(2)|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c;|ax+b|c.,-cax+bc,ax+bc或ax+b-c,【即時應用】（1）思考：不等式|x-c|+|x-b|a的幾何意義是什么？提示：不等式|x-c|+|x-b|a的幾何意義是：數(shù)軸上滿足到坐標為c的點的距離與到坐標為b的點的距離之和大于或等于a的點的坐標的取值范圍.,（2）|2x-1|3的解集是_.【解析】|2x-1|3-32x-13-22x4-1x2.即不等式|2x-1|3的解集是x|-1x2.答案：x|-10,y0,且9x+y-xy=0,求x+y的最小值.【解題指南】對于（1）可根據(jù)題目條件，變形構造出“和”或“積”為定值的形式，利用基本不等式求解；對于（2）應將已知條件變形并建立與x+y的關系，然后再利用基本不等式求解.,【規(guī)范解答】（1）x0,f(x)=1-2x-=當2x=,即時等號成立.f(x)的最大值為此時（2）方法一：x0,y0,9x+y-xy=0，9x+y=xy,即=6+10=16.,當且僅當時，“”成立，又即x=4,y=12時，上式取等號.故當x=4,y=12時，x+y取最小值16.方法二：由9x+y-xy=0，得(x-1)(y-9)=9（定值）可知x1,y9.x+y=(x-1)+(y-9)+10=6+10=16.當且僅當x-1=y-9=3,即x=4,y=12時，“”成立.故當x=4,y=12時，x+y取最小值16.,【互動探究】若將本例（2）中“y0”改為“y18”,其他條件保持不變，求x+y的最小值.【解析】9x+y-xy=0,設f(y）方法一：設18y1y2,則f(y1)=f(y2)=,則f(y2)-f(y1)=y2y118,y2-y10,(y2-9)(y1-9)-90,f(y2)-f(y1)0,即f(y2)f(y1),f(y)在18，+)上為增函數(shù)，f(y)min=f(18)=20.即x+y的最小值為20.,方法二：f(y)=y18,f(y)0,f(y)在18,+)上是增函數(shù)，f(y)minf(18)=20,即x+y的最小值為20.,【反思感悟】利用基本不等式求最值的一般步驟：（1）變正，通過提取“符號”變?yōu)檎?；?）湊定，利用拆項、添項等方法，湊出“和”或“積”為定值；（3）求最值，利用基本不等式求出最值；（4）驗相等，驗證等號能否成立；若滿足，可取最值，若不滿足，則可通過函數(shù)單調(diào)性或?qū)?shù)解決.（5）得結論，得出最大值或最小值.,【變式訓練】（1）已知a,b,c(0,+),且a+b+c=1,求的最小值.（2）求函數(shù)f(x)=(07+x,可得解得x2或x2.,方法二：原不等式可化為或或7+x2,解得,-7x2=x|x2.,（2）方法一：原不等式不等式組x=-3或3x4.不等式組原不等式的解集是x|2x4或x=-3.,方法二：原不等式等價于原不等式的解集是x|2x4或x=-3.,方法三：設y1=|x2-9|,y2=x+3(x-3)，由|x2-9|=x+3，解得x1=4,x2=-3,x3=2.在同一坐標系下作出y1,y2的圖象.從圖中可看出使y1y2的x的取值范圍是x=-3或2x4.原不等式的解集為x|x=-3或2x4.,【反思感悟】用“零點分段法”解|x-a|+|x-b|c或|x-a|+|x-b|c型不等式的一般步驟為：（1）令每個含絕對值符號的代數(shù)式為零，并求出相應的根；（2）將這些根按從小到大排序并把實數(shù)集分為若干個區(qū)間；（3）由所分區(qū)間去掉絕對值符號組成若干個不等式，解這些不等式，求出解集；（4）取各個不等式解集的并集求得原不等式的解集.,【變式訓練】(2011江西高考改編）解不等式：|x+10|-|x-2|8.【解題指南】不等式的左邊含有兩個絕對值符號，可以采用“零點分段法”，也可利用絕對值的幾何意義求解.,【解析】當x-10時，原不等式變?yōu)椋?x-10+x-28,即-128，不符合要求；當-10x2時，原不等式變?yōu)椋簒+10+x-28,即2x0,解得0x2;當x2時，原不等式變?yōu)椋簒+10-x+28,即128,恒成立，x2.綜上所述，原不等式的解集為x|x0.,【變式備選】解下列不等式：（1）1|x-2|3；（2）|x+3|-|2x-1|+1；【解析】(1)方法一:原不等式等價于不等式組解得-1x1或3x5,所以原不等式的解集為x|-1x1或3x5.,方法二:原不等式可轉(zhuǎn)化為:由得3x5，由得-1x1,所以原不等式的解集是x|-1x1或3x5.,方法三:原不等式的解集就是1(x-2)29的解集,即解得-1x1或3x5.原不等式的解集是x|-1xa的解集為R，求a的取值范圍；（2）（2011陜西高考改編）若不等式|x+1|+|x-2|a對任意xR恒成立，求a的取值范圍.【解題指南】（1）求出|x+1|-|x-3|的取值范圍，只要a小于|x+1|-|x-3|的最小值即可；（2）求出|x+1|+|x-2|的取值范圍，只要a不大于|x+1|+|x-2|的最小值即可.,【規(guī)范解答】（1）方法一：因為|x+1|-|x-3|表示數(shù)軸上的點P(x)與兩定點A（-1），B（3）距離的差，即|x+1|-|x-3|=|PA|-|PB|.由絕對值的幾何意義知，|PA|-|PB|的最大值為|AB|=4，最小值為-|AB|=-4，即-4|x+1|-|x-3|4.不等式|x+1|-|x-3|a的解集為R，a的取值范圍為aa的解集為R，a的取值范圍為a3;綜上可得|x+1|+|x-2|3,所以只要a3,即實數(shù)a的取值范圍是（-,3.,【互動探究】若本例（1）中不等式有解，求a的取值范圍；若不等式的解集為，求a的取值范圍.【解析】由本例（1）的解析過程可知，|x+1|-|x-3|的取值范圍為-4，4.故若不等式|x+1|-|x-3|a有解，只要a比|x+1|-|x-3|的最大值小即可，即aa的解集為，只要a不小于|x+1|-|x-3|的最大值即可，即a4.,【反思感悟】對于含參數(shù)不等式的存在性問題，只要求存在滿足條件的x即可；不等式的解集為R是指不等式恒成立問題，而不等式的解集為的對立面（如f(x)m的解集是，則f(x)m恒成立）也是不等式恒成立問題，要注意以上三者的區(qū)別.,【變式備選】設函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-a|.（1）若a=-1,解不等式f(x)3;（2）如果關于x的不等式f(x)2有解，求a的取值范圍.,【解析】（1）當a=-1時，f(x)=|x-1|+|x+1|.由f(x)3,得|x-1|+|x