.,第一講微積分的歷史及簡介,.,參考書,作者：同濟大學應用數學系出版社：高等教育出版社,作者：張筑生出版社：北京大學出版社,作者：吉米多維奇出版社：山東科學技術出版社,.,教學計劃,.,目錄Contents,數學史上的三次危機畢達哥拉斯（Pythagoras）悖論貝克萊（Berkeley）悖論羅素（Rusell）悖論微積分的起源巨人的肩膀所涉及到的思想簡單微積分的應用無窮求和的概念曲線、面積、體積的計算,.,（一）什么是悖論？,1.先來聽聽一個“鱷魚與小孩”的故事,一條鱷魚從母親手中搶走了一個小孩。鱷魚：我會不會吃掉你的孩子？答對了，我就把孩子不加傷害地還給你。這位母親應該怎樣回答呢？,前言,.,1.“鱷魚與小孩”的故事,聰明的母親回答說：呵、呵！你是要吃掉我的孩子的。鱷魚：呣我怎么辦呢？鱷魚碰到了難題：如果我把孩子交還你，你就說錯了，我應該吃掉他；可是我如果把孩子吃掉了，你就說對了，我又得把孩子還給你？,拙劣的鱷魚懵了，結果把孩子交回了母親，母親一把拽住孩子，跑掉了。鱷魚說：丫丫的！要是她說我要給回她孩子，我就可以美餐一頓了。,.,2、什么是悖論？,籠統(tǒng)地說：悖論是指這樣的推理過程：它”看上去”是合理的，但結果卻得出了”矛盾”。悖論在很多情況下表現(xiàn)為：由它的真，可以推出它為假；由它的假，則可以推出它為真。,.,3.悖論是極其重要的！,畢達哥拉斯悖論、貝克萊悖論、羅素悖論今天我就要來介紹這三個數學悖論，它們在數學發(fā)展中產生了巨大的影響，即引發(fā)了三次數學危機。通過這三個數學悖論與三次數學危機的介紹，大家會發(fā)現(xiàn)：數學是美妙而又神奇的！悖論不但迷人，而且是數學的一部分，并為數學的發(fā)展提供了重要而持久的助推力。數學的發(fā)展也并不是一帆風順，而是一波三折！數學的嚴謹是一代又一代數學家努力的結果，數學的抽象更是千錘百煉而成的！,.,一、畢達哥拉斯悖論與第一次數學危機,.,一、畢達哥拉斯悖論與第一次數學危機,1.勾股定理兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方和！勾股定理：是人類最偉大的數學發(fā)現(xiàn)，是歐氏幾何中最著名的定理，它在數學與人類的實踐活動中有著極其廣泛的應用。,.,一、畢達哥拉斯悖論與第一次數學危機,畢達哥拉斯（公元前585-前500），古希臘著名哲學家、數學家、天文學家、音樂家、教育家。人們把他神話為是太陽神阿波羅的兒子。畢達哥拉斯先后到過：埃及、古巴比倫、印度等國家學習數學、天文等方面的知識。畢達哥拉斯創(chuàng)建了一個合“宗教、政治、學術”三位一體的神秘主義派別，即畢達哥拉斯學派。這一學派在古希臘贏得很高的聲譽，并產生了相當大的政治影響，其思想在當時被認為是絕對權威的真理。,2.畢達哥拉斯與畢達哥拉斯學派,.,一、畢達哥拉與第一次數學危機,據西方國家記敘，畢達哥拉斯是最早證明了勾股定理。據說：畢達哥拉斯欣喜若狂，為此還殺了一百頭牛以作慶賀。因些，在西方稱這個定理為“畢達哥拉斯定理”，還有一個帶有神秘色彩的稱號“百牛定理”。,在我國，公元三世紀，吳人趙爽，給出了勾股定理的最早證明。這種證明，被全世界數學家公認為是“最省力的證明方法”。,“萬物皆數”畢達哥拉斯學派的基本信條：他們認為“萬物都可歸結為整數或整數之比（分數）”他們相信宇宙的本質就是這種“數的和諧”他們認為：世界上只有整數和分數，除此以外，就不再有別的數了。,.,一、畢達哥拉斯悖論與第一次數學危機,3.畢達哥拉斯悖論與第一次數學危機,具有戲劇性和諷刺意味的是，正是畢達哥拉斯在數學上的這一最重要的發(fā)現(xiàn)，卻把自己推向了兩難的尷尬境地。他的一個學生希帕索斯，他勤奮好學，富于鉆研，在運用勾股定理進行幾何計算的過程中發(fā)現(xiàn)：“當正方形的邊長為1時，它的對角線的長不是一個整數，也不是一個分數，而是一個新的數?！?這個數就是我們現(xiàn)在熟知的無理數！,.,一、畢達哥拉斯悖論與第一次數學危機,這一發(fā)現(xiàn)歷史上稱為畢達哥拉斯悖論。這個發(fā)現(xiàn)不但對畢達哥拉斯學派是一個致命的打擊，它對于當時所有古希臘人的觀念都是一個極大的沖擊。,這就在當時直接導致了人們認識上的危機。小小的出現(xiàn)，直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，在當時的數學界掀起了一場巨大風暴，產生了極度的思想混亂，因此導致了當時人們認識上的“危機”，歷史上稱之為第一次數學危機。,.,一、畢達哥拉斯悖論與第一次數學危機,幫助古希臘人擺脫困境的關鍵一步是由才華橫溢的歐多克索斯（公元前408-前355）邁出的。解決方式：把數與量分開，在數的領域，仍然只承認整數或整數之比；借助于幾何方法，來處理幾何量，通過創(chuàng)立歐多克索斯的比例理論，消除畢達哥拉斯悖論引發(fā)的數學危機，從而拯救了整個希臘數學。,4.歐多克索斯（Eudoxus）的拯救,直到19世紀下半葉，現(xiàn)在意義上的“實數理論”建立起來后，無理數本質被徹底搞清，“無理數”在數學園地中才真正扎下了根。無理數在數學中合法地位的確立，一方面使人類對數的認識從有理數拓展到實數，另一方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數學危機。,.,一、畢達哥拉斯悖論與第一次數學危機,第一次數學危機的影響是巨大的，它極大的推動了數學及其相關學科的發(fā)展。,首先，第一次數學危機表明，直覺、經驗及至實驗都是不可靠的，推理證明才是可靠的。從而創(chuàng)立了古典邏輯學。其次，第一次數學危機極大地促進了幾何學的發(fā)展，由此建立了幾何公理體系，歐氏幾何學就是在這時候應運而生的。最后，第一次數學危機讓人們認識到無理數的存在，通過許多數學家的努力，直到19世紀下半葉才建立了完整的實數理論。,.,二、貝克萊悖論與第二次數學危機,.,二、貝克萊悖論與第二次數學危機,在西方：數學之神，阿基米德（公元前287-前212），通過一條迂回之路，獨辟蹊徑，創(chuàng)立新法，是早期微積分思想的發(fā)現(xiàn)者，微積分是奠基于他的工作之上才最終產生的。,在東方：中國古代數學家，劉徽（公元263左右），一項杰出的創(chuàng)見是對微積分思想的認識與應用。劉徽的微積分思想，是中國古代數學園地里一株璀璨的奇葩。其極限思想之深刻，是前無古人的，并在極長的時間內也后無來者。,直到十七世紀，作為一門新學科的微積分已呼之欲出。最早邁出這一步的是一位科學巨人:牛頓。,微積分的發(fā)現(xiàn)-早在2500多年前，人類就已有了微積分的思想。,.,二、貝克萊悖論與第二次數學危機,牛頓（16421727）是英國偉大的數學家、物理學家、天文學家和自然哲學家。牛頓是：從物理學出發(fā)，運用集合方法，結合運動學來研究微積分。,萊布尼茨（16461716）德國最重要的數學家、物理學家、歷史學家和哲學家。萊布尼茨卻是：從幾何問題出發(fā)，運用分析學方法研究微積分。,微分和積分(即求切線與求面積)是互逆的兩種運算。這是微積分建立的關鍵所在。,.,二、貝克萊悖論與第二次數學危機,2.貝克萊悖論與第二次數學危機不過，在微積分創(chuàng)立之初，牛頓和萊布尼茨的工作都很不完善。因而，導致許多人的批評。然而抨擊最有力的是愛爾蘭主教貝克萊，他的批評對數學界產生了最令人震撼的撞擊。如貝克萊指出：牛頓在無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。例如，牛頓當時是這樣求函數的導數的：最后取，就得函數的導數為。,.,二、貝克萊悖論與第二次數學危機,貝克萊對微積分基礎的批評是一針見血，擊中要害的，他揭示了早期微積分的邏輯漏洞。然而在當時，微積分理論由于在實踐與數學中取得了成功，已使大部分數學家對它的可靠性表示信賴，相信建立在無窮小之上的微積分理論是正確的。因此貝克萊所闡述的問題被認為是悖論，即貝克萊悖論。,由于這一悖論，十分有效地揭示出微積分基礎中包含著邏輯矛盾，因而在當時的數學界引起了一定的混亂，一場新的風波由此掀起，于是導致了數學史中的第二次數學危機。,.,二、貝克萊悖論與第二次數學危機,3.微積分的發(fā)展有了這三大理論，使微積分學這座人類數學史上空前雄偉的大廈建立在牢固可靠的基礎上，從而結束了二百多年數學中的混亂局面，同時宣告第二次數學危機的徹底解決，數學家們終于贏來了勝利凱旋之日。,.,三、羅素悖論與第三次數學危機,.,三、羅素悖論與第三次數學危機,1.康托爾與集合論,康托爾：是19世紀數學發(fā)展影響最深的數學家之一。1845年出生于圣彼得堡，早在學生時代，就顯露出非凡的數學才能。然而，一開始其父親卻希望他學工程學，他是1862年進入蘇黎世大學，學數學的，第二年轉入柏林大學，1867年以優(yōu)異成績獲得了柏林大學的博士學位，其后，一直在哈雷大學教書。然而，康托爾的觀點并未被同時代所接受，特別是康托爾的老師克羅內克。他猛烈攻擊康托爾的研究工作，把它看做一類危險的數學瘋狂，同時還竭力阻撓康托爾的提升，不讓其在柏林大學獲得一個職位。長期的過渡疲勞和激烈的爭吵論戰(zhàn)，使得康托爾的精神終于在1884年春崩潰了，在他一生中，這種崩潰以不同的強度反復發(fā)生，把他從社會趕進精神病醫(yī)院這個避難所。最后于1918年1月，他在哈雷精神病醫(yī)院逝世。,.,三、羅素悖論與第三次數學危機,整體一定大于部分-這是人們傳統(tǒng)的觀念,康托爾下了一個定義：“如果能夠根據某一法則，使集合M與集合N中的元素建立一一對應的關系，那么，集合M與集合N等勢或者說具有相同的基數。”按照這一定義，于是有：,自然數集、正偶數集、自然數的平方等集合的數目一樣多，都是可數集。數軸上稀稀落落的自然數集與密密麻麻的有理數集也可建立一一對應的關系。所以部分能夠等于整體。,另外：無理數集、實數集是不可數集。兩條不同長度的線段，區(qū)間（0，1）上的點與單位正方形上的點，直線與整個平面、與n維空間等都可建立一一對應關系。,最后，康托爾用“超限基數”與“超限序數”一起來刻畫了無限，描繪出一幅無限王國的完整圖景，它充分體現(xiàn)了康托爾那驚人的想像力。,簡單介紹集合論,.,三、羅素悖論與第三次數學危機,1891年克羅內克去世之后，康托爾的阻力一下子減少了。到1897年，召開的第一次國際數學家大會，數學家們開始對集合論的認可。一直到了20世紀初，集合論在創(chuàng)建20余年后，才最終獲得了世界公認。康托爾所開創(chuàng)的全新的、真正具有獨創(chuàng)性的理論得到了數學家們的廣泛贊譽。1900年，在巴黎召開的第二次國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊曾興高采烈地宣布“借助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈，今天，我們可以說，數學已經達到了絕對的嚴格?！?然而好景不長，正當人們?yōu)榧险摰恼Q生而歡欣鼓舞之時，一串串數學悖論卻冒了出來，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！于是又攪得數學家心里忐忑不安。,.,三、羅素悖論與第三次數學危機,羅素（1872-1970），英國數學家、哲學家。出身于貴族家庭，父母早亡，與祖父祖母生活在一起。11歲就開始學習歐氏幾何（他說：這是他生活中的一件大事，猶如初戀般的迷人），18歲考入劍橋大學，學習數學與哲學。48歲那年，作為一位蜚聲國際的哲學家，應邀來中國講學一年，1950年還獲得諾貝爾文學獎。,在1901年，羅素構造了一個集合S，S由一切不是自身元素的集合所組成。羅素問：S是否屬于S？然而回答卻陷入兩難境地。如果S屬于S，根據S的定義，S就不屬于S；反之。如果S不屬于S，同樣根據定義，S就屬于S；于是無論如何都是矛盾的！-這就是羅素悖論！,2.羅素悖論與第三次數學危機,.,在某村，一個理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他只給那些不給自己刮胡子的人刮胡子。問：理發(fā)師是否可以給自己刮胡子？如果他給自己刮胡子，那他就不符合他的原則，他就不應該給自己刮胡子；如果他不給自己刮胡子，按他的原則，他就應該給自己刮胡子。于是，無論如何也是矛盾的,看來，沒有任何人能給理發(fā)師的刮胡子。,羅素悖論的出現(xiàn)，就像在平靜的數學水面上投下了一塊巨石，它動搖了整個數學大廈的基礎，震撼了整個數學界，從而導致了第三次數學危機。數學家弗雷格在他剛要出版的論數學基礎一書上寫道：“對一位科學家來說，他所遇到的最令人尷尬的事，莫過于是他的工作即將完成時，它的基礎崩潰了，羅素悖論正好把我置于這種境地?！庇谑墙K結了近12年的刻苦鉆研。,羅素悖論有多種通俗版本，其中最著名的是羅素于1919年給出的-“理發(fā)師悖論,三、羅素悖論與第三次數學危機,.,三、羅素悖論與第三次數學危機,策梅羅（1871-1953）德國數學家，他早于羅素發(fā)現(xiàn)了羅素悖論，只是他將這一悖論只告訴希爾伯特，沒有公開發(fā)表。1908年，策梅羅發(fā)表著名論文關于集合論基礎的研究，建立了第一個集合論公理體系。隨著集合公理化體系的建立，羅素悖論被成功排除了，因而從某種程度上來說，第三次數學危機比較圓滿地解決了。,3.集合公理化與數學新發(fā)展,然而，許多數學家對集合論乃至整個數學的基礎產生了疑慮，這一疑慮并沒有隨著集合論公理化體系的建立而消除。1900年到1930年左右，眾多數學家卷入到一場大辯論當中-兔、蛙、鼠之戰(zhàn).羅素為代表的邏輯主義-兔子希爾伯特為代表的形式主義-青蛙布勞威爾為代表的直覺主義-老鼠哥德爾（1906-1978），數學家，邏輯學家?！案绲聽柌煌耆远ɡ怼?，結束了三大學派的論戰(zhàn)，兔蛙鼠全都成了輸家，數理邏輯成了最后的贏者，并開辟了數理邏輯發(fā)展的新時代，因此直接造成了數學哲學研究的“黃金時代”。,.,結束語,歷史上的三次數學危機，給人們帶來了極大的麻煩，危機的產生使人們認識到了現(xiàn)有理論的缺陷，科學中悖論的產生常常預示著人類的認識將進入一個新階段，所以悖論是科學發(fā)展的產物，又是科學發(fā)展的源泉之一。第一次數學危機使人們發(fā)現(xiàn)了無理數，建立了完整的實數理論，歐氏幾何也應運而生并建立了幾何公理體系。第二次數學危機的出現(xiàn)，直接導致了極限理論、實數理論和集合論三大理論的產生與完善，使微積分建立在穩(wěn)固且完美的基礎之上。第三次數學危機，使集合論成為一個完整的集合論公理體系（即ZFC系統(tǒng)），促進了數學基礎研究及數理邏輯的現(xiàn)代性。,.,結束語,事物就是在不斷產生矛盾和解決矛盾中逐漸發(fā)展完美起來的，舊的矛盾解決了，新的矛盾還會產生，而就是在其過程中，人們便不斷積累了新的認識、新的知識，發(fā)展了新的理論。數學發(fā)展的歷史就表明：每一次危機的消除都會給數學帶來許多新的內容、新的認識，甚至是革命性的變化。數學家對悖論的研究和解決促進了數學的繁榮和發(fā)展，數學中悖論的產生和危機的出現(xiàn)，不單是給數學帶來麻煩和失望，更重要的是給數學的發(fā)展帶來新的生機和希望。,.,目錄Contents,數學史上的三次危機畢達哥拉斯（Pythagoras）悖論貝克萊（Berkeley）悖論羅素（Rusell）悖論微積分的起源巨人的肩膀所涉及到的思想簡單微積分的應用無窮求和的概念曲線、面積、體積的計算,.,古時中國劉徽、祖沖之的割圓術求和希臘阿基米德等窮竭法求圓面積等，出現(xiàn)了極限和無窮小思想。微積分誕生在17世紀，主要來自政治，經濟和社會發(fā)展對數學的巨大推動。15世紀，商業(yè)、航海、天文、測量等日益繁榮流體力學、天文學、幾何光學、天文儀器的發(fā)展；16世紀，歐洲出現(xiàn)毛瑟槍和火槍運動學，動力學等的研究17世紀，Kepler第二行星定律中橢圓面積的計算；數學家面臨問題：求面積、體積、速度、加速度、行程等數學家面臨問題：切線問題與極值問題17世紀后半葉，Newton和Leibniz獨立地發(fā)現(xiàn)了高等數學意義上的微積分。,微積分的創(chuàng)立,.,牛頓(16421727),偉大的英國數學家，物理學家,天文,學家和自然科學家。,他在數學上的卓越,貢獻是創(chuàng)立了微積分。,1665年他提出正,流數(微分)術，,次年又提出反流數(積分)術,并于1671,年完成流數術與無窮級數一書(1736年出版)。,他,還著有自然哲學的數學原理和廣義算術等。,.,Newton受巴羅的“巴羅微分三角形”啟發(fā)發(fā)明微積分，所以巴羅在微積分發(fā)展史上功不可沒。,Newton從1665年到1695年，對微積分的創(chuàng)造性成果為：1665，“正流數術”微分學；1666，“反流數術”積分學；1666，“流數簡論”標志微積分的誕生；1669，“分析學”由此后人稱以微積分為主要內容的學科為數學分析1671，“流數法”1687，“自然哲學的數學原理”簡稱“原理”1691，“求積術”,牛頓的微積分貢獻,.,牛頓求導（流數）的大概思想是：,問題：求的流數。,現(xiàn)令增量消失，它們的最終比為,.,萊布尼茲(16461716),德國數學家,哲學家.,和牛頓同為,微積分的創(chuàng)始人,他在學藝雜志,上發(fā)表的幾篇有關微積分學的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號也遠遠優(yōu)于牛頓.,他還設計了作乘法的計算機,系統(tǒng)地闡述二進制計,數法,并把它與中國的八卦聯(lián)系起來.,.,萊布尼茲的主要成果,1675年給出積分號“”，同年引入微分號“d”,1676年給出公式，,1677年，表述微積分基本定理：,1684年，“求極大與極小值和求切線的新方法”,1686年，“深奧的幾何與不可分量的無限的分析”,.,第二次數學危機與微積分的發(fā)展和完善,但是牛頓-萊布尼茨的微積分邏輯基礎不嚴密，特別是在無窮小概念上的混亂，引起不少科學家的批評。英國哲學家、牧師貝克萊G.Berkeley（1685-1753）：分析學家，或致一位不信神的數學家矛頭直指牛頓的流數法。貝克萊悖論這就導致了第二次數學危機！,由于微積分的方法和結論與實際是如此吻合，所以即使基礎不牢，人們還是樂意去用它，直到19世紀，才開始真正解決問題。,.,第二次數學危機與微積分的發(fā)展和完善,第一個為補救第二次數學危機提出真正有見地意見的是達朗貝爾（DAlembert），但他未提供理論。后經Lagrange，Bolzano（捷克），Cauchy（分析學奠基人），Weirstrass等人的努力，奠定了微積分嚴格的基礎，解決了第2次數學危機。Cauchy的貢獻在于將微積分的基礎建立在極限基礎上，Weirstrass的貢獻是建立了分析基礎的邏輯順序：實數系極限論微積分。,.,Barrow,Leibniz,Newton,Weierstrass,Bolzano,Cauchy,.,微積分的歷史功績,微積分的誕生具有劃時代意義，是數學史上的分水嶺和轉折點，這個偉大發(fā)明的產生，使得數學明顯地不同于從古希臘繼承下來的舊數學：舊數學是關于常量的數學，而新數學是關于變量的數學；舊數學是靜態(tài)的，新數學是動態(tài)的，前者研究離散的數學，后者研究連續(xù)的數學；舊數學涉及的只是固定的和有限的，新數學包含了運動、變化和無限。,.,學好微積分的關鍵,理解映射、函數的概念理解極限的概念認識無窮小、無窮大認識函數的連續(xù)性,.,數（自然數整數有理數實數復數）,變量,函數（描述變量之間的變化關系）,極限,函數的分析性質，實數理論的建立（有限維歐式空間上的定義的函數）,實分析（Lebesgue積分理論）,函數空間的研究（Hilbert空間，Banach空間無限維空間）,函數空間上定義的函數，即泛函或算子,.,目錄Contents,數學史上的三次危機畢達哥拉斯（Pythagoras）悖論貝克萊（Berkeley）悖論羅素（Rusell）悖論微積