1/8牛頓牧場問題中的數(shù)學(xué)模型及應(yīng)用牛頓牧場問題中的數(shù)學(xué)模型及應(yīng)用數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成與應(yīng)用的過程，從而更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意義，掌握并發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)和能力。數(shù)學(xué)中的定義、概念、定理、公式等都是從現(xiàn)實(shí)世界中經(jīng)過逐步抽象、概括而得到的數(shù)學(xué)模型，中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、應(yīng)用過程就是數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)過程。近年來，不少地區(qū)數(shù)學(xué)中考出現(xiàn)了以“牛吃草”問題為背景的試題，這類“化歸建模問題解決”的應(yīng)用性問題，有利于增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)，提高分析問題、解決問題的能力。但許多考生因缺乏數(shù)學(xué)建模能力，對此類問題解答卻不盡人意。為此，本文從數(shù)學(xué)建模角度加以分析，供大家參考。一、問題提出原型12頭公牛在4個(gè)星期內(nèi)吃掉了3由格爾的牧草；21頭公牛在9星期內(nèi)吃掉10由格爾的牧草，問多少頭公牛在18星期內(nèi)吃掉24由格爾的牧草這是一道有趣的應(yīng)用性問題，是17世紀(jì)英國偉大的科學(xué)家牛頓提出來的，稱為“牛吃草”問題，又稱為消長問題或牛頓牧場，屬世界名題之一，具有培養(yǎng)學(xué)生分析問題能力和思維能力的功能，需要學(xué)生全面思考，深入挖掘，2/8抓住問題的本質(zhì)。簡化型有一塊牧場草地，長得一樣密，一樣快。若每頭牛每天吃的草量相同，如果飼養(yǎng)27頭牛，這些牛6天可以把草吃完；如果飼養(yǎng)23頭牛，這些牛9天可以把草吃完；如果飼養(yǎng)21頭牛，這些牛多少天可以把草吃完二、問題解決1理解問題背景應(yīng)用問題的解決，首先要正確理解題意。充分理解問題的背景，既是解答的起點(diǎn)，也是建模的關(guān)鍵。在這個(gè)問題中涉及的量有牛的頭數(shù)、草地面積、牛吃草天數(shù)，而其中草地面積是一個(gè)變化的量，即牛每天在吃草，草則每天在生長，這是一個(gè)動(dòng)態(tài)問題。一般來說，對于動(dòng)態(tài)問題中的相等關(guān)系，可在發(fā)生變化的事物中來分析。如對于發(fā)生量變的事物，可以從量的方面來分析，一方面，牧場上的草會(huì)隨時(shí)間的增加而不斷生長；另一方面，每頭牛吃的草量相等，且牛吃草的總量不會(huì)超過“牧場原有的草量”與“每天新生長的草量”之和，因而牧場中總的草量又會(huì)不斷減少，直至被吃完。換一個(gè)角度看，即在草全部被吃完的時(shí)間內(nèi)，牛吃的草量比生長的草量多，其差值就等于牧場原有的草量。掌握了這一點(diǎn)就等于抓住了事物的本質(zhì)，找到了問題解決的切入點(diǎn)，這正是解決牛吃草問題的重要策略。3/82構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際應(yīng)用問題，更重要的是思維模式的建立，它主要表現(xiàn)在對數(shù)學(xué)思想方法的構(gòu)建上。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是解決應(yīng)用問題的一種重要的思考方法，其關(guān)鍵在于把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題。為此，首先要把題設(shè)中某些條件進(jìn)行數(shù)學(xué)化，然后再尋找等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系建構(gòu)函數(shù)或方程的模型等。模型1函數(shù)模型分析以牛吃草的時(shí)間為X軸，牧場的草量為Y軸建立平面直角坐標(biāo)系，可得函數(shù)模型AB表示牧場的草量隨時(shí)間變化的圖象，OB表示21頭牛吃草，草量隨時(shí)間變化的圖象。設(shè)每頭牛每天吃草為M，21頭牛把草吃完要Z天，則DG表示21頭牛6天吃的草量，即DG216M；CG表示6天后牧場的草量，它與27頭牛6天吃的草量相同，即CG276M；CDCGDG36M，同理FH219M，故EH239M，EFEHFH18M，顯然BEF與BCD相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比可得此模型綜合運(yùn)用了函數(shù)和幾何的有關(guān)知識(shí)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，生動(dòng)地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，是綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的一種重要模式，有利于提高分析問題和解決問題的能力。另外，從形式上看，它減少了兩個(gè)未知數(shù)，給運(yùn)算帶來了極大的方便，可4/8減少解決問題中的思維障礙。模型2方程模型分析設(shè)牧場原有草量為A，每頭牛每天吃草量為X，牧場每天生長的青草量為Y，21頭牛Z天可把牧場的草吃完，則有6天生長的草為6Y，9天生長的草為9Y，Z天生長的草為ZY。27頭牛6天吃的草為276X，23頭牛9天吃的草為239X，21頭牛Z天吃的草為21ZX。建模這是一個(gè)動(dòng)態(tài)問題，牧場草地在不斷變化著，但不難發(fā)現(xiàn)，每天牛吃草總量不會(huì)超過牧場原有的草量與每天新生長的草量的和，而當(dāng)牧場草被吃完時(shí)，存在如下等量關(guān)系牛吃草的總量牧場原有草量牧場生長的總量。由此可建立方程組模型276XA6Y239XA9Y21ZXAZY由得Y15X，由得3XY，從而解得Z12。故飼養(yǎng)21頭牛，12天可以把草吃完。值得注意的是，這里原草量A是一個(gè)輔助未知數(shù)，解題時(shí)將輔助未知數(shù)消去，從而求出原問題的解。另外，考慮到每頭牛每天吃的草量相等，也可以建立分式方程組的模型此模型的特點(diǎn)是減少了一個(gè)未知數(shù)。5/8三、應(yīng)用舉例此題是一道古代名題，不僅有趣，而且也具有一定挑戰(zhàn)性；同時(shí)也具有較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義，其數(shù)學(xué)模型在實(shí)際生產(chǎn)、生活中有著廣泛的應(yīng)用。我們應(yīng)關(guān)注問題解決的過程，仔細(xì)品味其解題策略和數(shù)學(xué)模型思想。通過變式本文由論文聯(lián)盟HTTP/收集整理創(chuàng)新，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，真正讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的抽象和運(yùn)用過程。方程模型是一種比較常見且簡便的問題解決模型，針對大量情境變式、拓展問題更是如此，關(guān)鍵找出牛、草的生長速度等對應(yīng)量，以及每次變化中的關(guān)聯(lián)量，最后轉(zhuǎn)化為“牛吃草問題”解決。例1山腳下有一池塘，山泉以固定的流量不停地向池塘中流淌。現(xiàn)池塘中有一定深度的水，若用一臺(tái)A型抽水機(jī)則1小時(shí)后正好能把池塘中的水抽完；若用兩臺(tái)A型抽水機(jī)則20分鐘正好把池塘中的水抽完；若用三臺(tái)A型抽水機(jī)同時(shí)抽，則需要多長時(shí)間恰好能把池塘中的水抽完分析本題有一定的難度，池塘的水是一個(gè)變化的量，山泉不停地向池塘涌入，同時(shí)抽水機(jī)又在不斷地抽水。但不難發(fā)現(xiàn)，抽水機(jī)抽的水量不會(huì)超過池塘原有的水量與山泉流量的和，這正是經(jīng)典的“牛吃草”問題的本質(zhì)所在。只要把題中山泉向池塘流淌的水視作牧場上生長的“草”，而把抽水機(jī)抽的水視作“牛吃的草”，運(yùn)用上述數(shù)學(xué)模型思6/8想即可解決問題。設(shè)泉水每分鐘流進(jìn)池塘的水X平方米，每臺(tái)抽水機(jī)每分鐘抽水Y平方米。池塘中原有的水量為A平方米，三臺(tái)抽水機(jī)抽完池塘水需要T分鐘，依題意得60YA60X220YA20X3TYATX解得T12。所以，用三臺(tái)A型抽水機(jī)同時(shí)抽，需要12分鐘可把池中的水抽完。例2某市電信局現(xiàn)有600部已申請裝機(jī)的固定電話尚待裝機(jī)，此外每天還有新申請裝機(jī)的電話也待裝機(jī)。設(shè)每天新申請裝機(jī)的固定電話部數(shù)相同，每個(gè)電話裝機(jī)小組每天安裝的固定電話部數(shù)也相同。若安排3個(gè)裝機(jī)小組，恰好60天可將待裝機(jī)固定電話裝機(jī)完畢；若安排5個(gè)裝機(jī)小組，恰好20天可將待裝機(jī)固定電話裝機(jī)完畢。求每天新申請裝機(jī)的固定電話部數(shù)；如果要在5天內(nèi)將待裝機(jī)固定電話裝機(jī)完畢，那么電信局至少需安排幾個(gè)電話安裝小組同時(shí)裝機(jī)分析由題設(shè)不難看出，電信局待裝機(jī)部數(shù)是一個(gè)變量，同樣可劃歸為“牛吃草”問題，故可設(shè)每天申請裝機(jī)的固定電話有X部，每個(gè)電話裝機(jī)小組每天裝電話Y部，要在5天內(nèi)將待裝機(jī)電話裝機(jī)完畢，電信局至少要安排Z個(gè)電話裝機(jī)小組同時(shí)裝機(jī)。根據(jù)題意可得360Y60060X520Y60020XZ5Y6005X7/8解得X20，Y10，Z14。故每天新申請裝的固定電話為20部；電信局至少需要14個(gè)電話裝機(jī)小組同時(shí)裝機(jī)。例3在車站開始檢票時(shí)，有A名旅客在候車室進(jìn)站。檢票開始后，仍有旅客繼續(xù)前來排隊(duì)檢票進(jìn)站。設(shè)旅客按固定的速度增加，檢票口檢票的速度也是固定的。若開放一個(gè)檢票口，則30分鐘才可將排隊(duì)等候檢票的旅客全部檢票完畢；若開放兩個(gè)檢票口，則10分鐘便可將排隊(duì)等候檢票的旅客全部檢票完畢。如果要在5分鐘內(nèi)將排隊(duì)等候檢票的旅客全部檢票完畢，以使后來到站的旅客能隨到隨檢，至少要同時(shí)開放幾個(gè)檢票口分析此題是一個(gè)動(dòng)態(tài)問題，旅客不斷進(jìn)站，每個(gè)檢票口又有旅客檢票上車，候車室的旅客人數(shù)是一個(gè)相對變化的量，還有檢票口與檢票的時(shí)間也在變動(dòng)，涉及的未知量不少，但仔細(xì)思量，卻會(huì)發(fā)現(xiàn)每分鐘檢票上車的人數(shù)不會(huì)超過候車室原有人數(shù)與新進(jìn)站的人數(shù)的和。不難看出，這還是一個(gè)“牛吃草”的問題。這里每分鐘新進(jìn)站的人相當(dāng)于牧場上每天新生長的草，而每分鐘檢票上車的人相當(dāng)于每天“牛吃草”的量，檢票口看作“?！?，候車室原有人數(shù)相當(dāng)于“牧場上原有的草”，這樣，運(yùn)用上述模型思想即可獲解。解設(shè)檢票開始后，候車室每分鐘新進(jìn)站人數(shù)為X8/8人，每個(gè)檢票口每分鐘檢票人數(shù)為Y人，在5分鐘內(nèi)旅客全部檢票完畢，至少同時(shí)開放Z個(gè)窗口。根據(jù)題意得30YA30X210YA10XZ5YA5X解得Z，即至少需同