第 1頁（共 11頁） 第 21章 一元二次方程 一、選擇題： 1方程（ m 2） =0 是關于 （ ） A m 2 B m=2 C m= 2 D m 2 2一元二次方程 4=0的解是（ ） A x=2 B x= 2 C ， 2 D ， 3下列方程中是一元二次方程的有（ ） = ； y （ y 1） =x（ x+1）； = ； x 2 2y+6=y2+ A B C D 4若 x 5=0的兩個根，則 x1 ） A 3 B 5 C 3 D 5 5在一次籃球聯(lián)賽中，每個小組的各隊都要與同組的其他隊比賽兩場，然后決定小組出線的球隊如果某一小組共有 小組共賽了 90場，那么列出正確的方程是（ ） A B x（ x 1） =90 C D x（ x+1） =90 二、填空題： 6把一元二次方程（ x+1）（ 1 x） =2 ，其中二次項系數(shù)是 ，一次項系數(shù)是 ，常數(shù)項是 一元二次方程 7方程 x+1=0的解是 8寫出一個以 3和 2為根的一元二次方程： 9如果方程 m 1） x+ =0有兩個相等的實數(shù)根，則 10若 4x+ m= 三、解答題 11解下列方程： （ 1） 9=0 （ 2）（ x 1）（ x+2） =6 第 2頁（共 11頁） 12若 2是方程 3x+k=0的一個根，求方程的另一個根和 13若關于 m 2） x 1=0有實數(shù)根，求 14汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，有效促進我國現(xiàn)代化建設某汽車銷售公 司 2005年盈利 1500 萬元，到 2007年盈利 2160萬元，且從 2005 年到 2007年，每年盈利的年增長率相同 （ 1）該公司 2006年盈利多少萬元？ （ 2）若該公司盈利的年增長率繼續(xù)保持不變，預計 2008年盈利多少萬元？ 15從一塊正方形的木板上鋸掉 2米寬的長方形木條，剩下的面積是 48平方米，求原來正方形木板的面積 16已知關于 =0（ a 0）有兩個相等的實數(shù)根，求 的值 第 3頁（共 11頁） 第 21章 一元二次方程 參考答 案與試題解析 一、選擇題： 1方程（ m 2） =0 是關于 （ ） A m 2 B m=2 C m= 2 D m 2 【考點】一元二次方程的定義 【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可得 m 2 0，再解即可 【解答】解：由題意得： m 2 0， 解得： m 2， 故選： D 【點評】此題主要考查了一元二次方程的定義，關鍵是注意二次項的系數(shù)不等于 0 2一元二次方程 4=0的解是（ ） A x=2 B x= 2 C ， 2 D ， 【考點】解一元二次方程 【分析】觀察發(fā)現(xiàn)方程的兩邊同時加 4后，左邊是一個完全平方式，即 ，即原題轉(zhuǎn)化為求 4的平方根 【解答】解：移項得： ， x= 2，即 ， 2 故選： C 【點評】（ 1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有： x2=a（ a 0）； b（ a， a 0）；（ x+a） 2=b（ b 0）； a（ x+b） 2=c（ a， a 0）法則 ：要把方程化為 “ 左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為 1，再開平方取正負，分開求得方程解 （ 2）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點 3下列方程中是一元二次方程的有（ ） = ； y （ y 1） =x（ x+1）； = ； x 2 2y+6=y2+ 第 4頁（共 11頁） A B C D 【考點】一元二次方程的定義 【分析】根據(jù)一元二次方程必須滿足兩個條件：（ 1）未知數(shù)的最高次數(shù)是 2；（ 2）二次項系數(shù)不為 0對各小題分析判斷后利用排除法求解 【解答】解： = 是一元二次方程； y （ y 1） =x（ x+1）不是一元二次方程，是二元二次方程； = ，分母上 含有未知數(shù) x，不是整式方程； x 2 2y+6=y2+y 6=0，是一元二次方程； 綜上所述，是一元二次方程的有 故選 C 【點評】本題利用了一元二次方程的概念只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為 2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 bx+c=0（且 a 0）特別要注意 a 0的條件這是在做題過程中容易忽視的知識點 4若 x 5=0的兩個根，則 x1 ） A 3 B 5 C 3 D 5 【考點】根與系數(shù)的關系 【分析】根據(jù)根 與系數(shù)的關系可得出 x1，再計算即可 【解答】解： x 5=0的兩個根， x1= 5， 故選 B 【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系，掌握 x1+ ， x1是解題的關鍵 5在一次籃球聯(lián)賽中，每個小組的各隊都要與同組的其他隊比賽兩場 ，然后決定小組出線的球隊如果某一小組共有 小組共賽了 90 場，那么列出正確的方程是（ ） A B x（ x 1） =90 C D x（ x+1） =90 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程 【專題】比賽問題 第 5頁（共 11頁） 【分析】如果設某一小組共有 么每個隊要比賽的場數(shù)為（ x 1）場，有 么共賽的場數(shù)可表示為 x（ x 1） =90 【解答】解：設某一小組共有 那么每個隊要比賽 的場數(shù)為 x 1； 則共賽的場數(shù)可表示為 x（ x 1） =90 故本題選 B 【點評】本題要注意比賽時是兩支隊伍同時參賽，且 “ 每個小組的各隊都要與同組的其他隊比賽兩場 ” ，以免出錯 二、填空題： 6把一元二次方程（ x+1）（ 1 x） =2x 1=0 ，其中二次項系數(shù)是 1 ，一次項系數(shù)是 2 ，常數(shù)項是 1 一元二次方程 x 的解為： ， 【考點】解一元二次方程 元二次方程的一般形式 【專題】計算題 【分析】先利用平方差 公式把方程（ x+1）（ 1 x） =2x 左邊展開，再移項得到 x 1=0，然后寫出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項；利用因式分解法解方程 x 【解答】解：一元二次方程（ x+1）（ 1 x） =2x 1=0，其中二次項系數(shù)是 1，一次項系數(shù)是 2，常數(shù)項是 1 2x=0， x（ x 2） =0， x=0或 x 2=0， 所以 ， 故答案為 x 1=0， 1， 2， 1， ， 【點評】本題考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把 方程的右邊化為 0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為 0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學轉(zhuǎn)化思想） 第 6頁（共 11頁） 7方程 x+1=0的解是 ， 【考點】解一元二次方程 【分析】求出 4代入公式求出即可 【解答】 解：這里 a=1， b=3， c=1， 42 4 1 1=5， x= ， ， ， 故答案為： ， 【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，主要考查學生的計算能力 8寫出一個以 3和 2為根的一元二次 方程： x 6=0 【考點】根與系數(shù)的關系 【分析】本題根據(jù)一元二次方程的根的定義，一根為 3，另一個根為 2，則方程是（ x 3）（ x+2）=0的形式，即可得出答案 【解答】解：根據(jù)一個根為 x=3，另一個根為 x= 2的一元二次方程是： x 6=0； 故答案為： x 6=0 【點評】此題考查了根與系數(shù)的關系，已知方程的兩根，寫出方程的方法是需要熟練掌握的一種基本題型 9如果方程 m 1） x+ =0有兩個相等的實數(shù)根，則 m=2或 m=0 【考點】根的判別式 【分析】根據(jù)方程有兩個相等實數(shù)根得 =0，即（ m 1） 2 4 =0，解方程即可得 【解答】解： 方程 m 1） x+ =0有兩個相等的實數(shù)根， =0，即（ m 1） 2 4 =0， 解得： m=2或 m=0， 故答案為： m=2或 m=0 第 7頁（共 11頁） 【點評】此題考查了一元二次方程根的判別式的知識此題比較 簡單，注意掌握一元二次方程bx+c=0（ a 0）的根與 =4 當 0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根； 當 =0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根； 當 0時，方程無實數(shù)根 10若 4x+ m= 2 【考點】完全平方式 【分析】先根據(jù)已知平方項和乘積二倍項確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)完全平方公式解答即可 【解答】解： 4x+m2=2x2+ 2=4， m= 2 故答案為： 2 【點評】本題主要考查了完全平方式， 根據(jù)平方項和乘積二倍項確定出這兩個數(shù)是解題的關鍵，也是難點，熟記完全平方公式對解題非常重要 三、解答題 11解下列方程： （ 1） 9=0 （ 2）（ x 1）（ x+2） =6 【考點】解一元二次方程 一元二次方程 【分析】（ 1）根據(jù)直接開平方法求解即可； （ 2）先去括號，再用公式法求解即可 【解答】解：（ 1） ， x= 3， ， 3； （ 2） x2+x 8=0， a=1， b=1， c= 8， =4+32=33 0， 方程有兩個不相等的實數(shù)根， x= = ， 第 8頁（共 11頁） ， 【點評】本題考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有直接開平方法、配方法、公式法以及因式分解法 12若 2是方程 3x+k=0的一個根，求方程的另一個根和 【考點】根與系數(shù)的關 系 【分析】設方程的另一個根為 據(jù)韋達定理得出關于 之可得 【解答】解：設方程的另一個根為 根據(jù)題意，得： ， 解得： ， 方程的另一個根位 5， 10 【點評】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟練掌握韋達定理是解題的關鍵 13若關于 m 2） x 1=0有實數(shù)根，求 【考點】根的判別式；一元二次方程的定義 【專題】計算題 【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到 m 2 0且 =22 4（ m 2） （ 1） 0，然后解兩個不等式確定它們的公共部分即可 【解答】解：根據(jù)題意得 m 2 0且 =22 4（ m 2） （ 1） 0， 解得 m 1且 m 2 【點評】本題考查了一元二次方程 bx+c=0（ a 0）的根的判別式 =4 0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當 =0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當 0，方程沒有實數(shù)根也考查了一元二次方程的定義 14汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，有效促進我國 現(xiàn)代化建設某汽車銷售公司 2005年盈利 1500 萬元，到 2007年盈利 2160萬元，且從 2005 年到 2007年，每年盈利的年增長率相同 （ 1）該公司 2006年盈利多少萬元？ 第 9頁（共 11頁） （ 2）若該公司盈利的年增長率繼續(xù)保持不變，預計 2008年盈利多少萬元？ 【考點】一元二次方程的應用 【專題】增長率問題；壓軸題 【分析】（ 1）需先算出從 2005年到 2007年，每年盈利的年增長率，然后根據(jù) 2005年的盈利，算出 2006年的利潤； （ 2）相等關系是： 2008年盈利 =2007年盈利 每年盈利的年增長率 【解答】解：（ 1）設每年盈利的年增長率為 x， 根據(jù)題意得 1500（ 1+x） 2=2160 解得 合題意，舍去） 1500（ 1+x） =1500（ 1+=1800 答： 2006年該公司盈利 1800 萬元 （ 2） 2160（ 1+=2592 答：預計 2008年該公司盈利 2592萬元 【點評】本題的關鍵是需求出從 2005年到 2007年，每年盈利的年增長率等量關系為： 2005年盈利 （ 1+年增長率） 2=2160 15從一塊正方形的木板上鋸掉 2米寬的長方形木條，剩下的面積是 48平方 米，求原來正方形木板的面積 【考點】一元二次方程的應用 【分析】設原來的正方形木板的邊長為 x，鋸掉 2米寬厚，就變?yōu)殚L為 為（ x 2）米的長方形，根據(jù)長方形的面積公式列方程求 x，繼而可求正方形的面積 【解答】解：設原來的正方形木板的邊長為 x x（ x 2） =48， x=8或 x= 6（舍去）， 8 8=64（平方米） 答：原來正方形木板的面積是 64 平方米 【點評】本題考查了一元二次方程的應用解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解本題設出正方形木板的 邊長為 x，根據(jù)題意