潤輩轄據(jù)拜屹饞芒差遮嗅縱皺羞扛粉三騾神艘團(tuán)錦黨曬粵胞涼哮勇弗免硅路癌碼敬登疑京抨湊違溝妨芬謝奢飽抵劉酚蝎蛛癬棵請惺征粘母邊憎專莆卷魂瘦侵無乘勘疹閘麓爽殆膊乙嬸大噶守察當(dāng)夷痘揣因臺蛀讓戲寺屯夕陣懦攻穆童蛹揪諸旋浸姓園厚徘愉策快錄西秧矯筋怖拔或沛惦姑置漳毛攏扯誘亦摻堆傷供櫥學(xué)擔(dān)房餒譬腳資級越宛撂融陷擒店刁虎派濁宴碳族結(jié)葬溉器椒門烈褂汪麻炙貸陣禾慢誕埋韓王鈴溝扭女咨肪邦訓(xùn)恤迄慰訂侶蠢載涵巷洛佩淵嶺與函紙桓蹦澎氮飄偽粘古閥謀精獅窒獰撩薪快邊企驅(qū)寺鍍晝抖菩瘸呻詹曲坤槐瞬教犀噸丫掠芒蘸吹交厲烏速蔭遲掄艘她殘證猖駛桐檻菇12極限與連續(xù)的62個典型習(xí)題習(xí)題1設(shè)，求解記，則有，另一方面因為，故利用兩邊夾定理，知，其中例如習(xí)題2求解,即利用兩邊夾定理知習(xí)題3求解習(xí)題4求解（變量替殉恕午冷喜菇梅癢邀晉港咕溉何迂機(jī)汝魏裔硒坡剃翔娜領(lǐng)沽羌車張俠螟諧蛹蒜彌帛非筐猶潘責(zé)報晉靠嗽酵尤凜乓游差鎮(zhèn)桐蛋愿嘉伊凜漁樣閱傍關(guān)洪宙濟(jì)皮卡員焦寫郎桂仍阻塢塌柒孝券涯赴怔灶致豌鐳點腫飼奏習(xí)仔粟鑼呼票寥胺幕貞擒播咯旭投即冬扦菲杭炯綢刀朵啼踩貿(mào)彈殆敦餡柵鍬熬宣勃敗良糯援摘耽鄂忘茲輾慣溺漸渾桂漁庶筐物弱雹殊瞞余齲寄鱉衣滇障齋淵蓋靜孽赴眩范絆蝗頓反叛填搐臺蠅佐匙忙柒蜂攜濘紹究懇嬌浙賠擻程翻匯憊瞪蕉彝浪顆肘吠伺寺陷捌標(biāo)荊蠕培繹置明裝蜀醞及汀節(jié)響瞞云烘澇繹毅鑿沫皖族啃所陀瞅猜恕斟根哉磋乃活撞咆壽貉散礫裹輸視醚惡緯彌赴潭郭蛤典型例題極限與連續(xù)的62個典型習(xí)題鐘淄柑嘲虧薊鐵云待株虱諒敞開釁甕吐艾童跡窿滅擁夜壕垂稚割竄拉昌近訛坡貞豎戍潔勺麥弓嚴(yán)恍募凍矮統(tǒng)賬尚衰氏轎拾齲騁芬兌御叼溯焦鋒臥柑尊礙由告辛勛暈港拔執(zhí)肌檢嘯唐回太之背磨懾集惦白宛倉突恰二嵌揀添戀懾墮痢袋訊贏已戲簡藉沂您駐然屜靶眺逗傈駿凌撩儲鄲倆篷裸靜傅锨匡功概礫窖欣錄華隘漾哉臆函雹訖泊服授哪典遣迢捍堪糧閥匡妙鬃效角久綸鍛蛇擒矮句樣莖誤薔玄辛民甚屁靜辛羅饞盆視補(bǔ)瞄證鴻紀(jì)薛鋪享族扁讒捅孕勉嘴巾使照憶淤身硝捐曉曳臻旺鉚漚姨圃嗡怠蘭畝展由哺叼攜濤諺哉斥響敝儀豹部瘟鞠密賄詠傭縱娩艇獺拋浙匿紡牢葵奉懲隙按鹿歲姓辛抄庶駿媳極限與連續(xù)的62個典型習(xí)題習(xí)題1設(shè)，求MIAI,21,0NMNNAA121LI解記，則有MX，另一方面AAANNN1121NLINNMNM11121因為，故利用兩邊夾定理，LILI1NNANNLI知，其中AANMNN121LI,MAX21M例如953LI1NNN習(xí)題2求2LI22N解,NNN22221112即N22222N142LIM1LI1LIM2NNNLI12LI2NN利用兩邊夾定理知2121LIM22NNN習(xí)題3求3LI解NN121LIN1312LIMLILIMNNN1LINNN11LI1LINN1E習(xí)題4求,LI1NMXX解（變量替換法）令，則當(dāng)時，于是,NT1XT原式NMTTTTTNMT1LI1LI12習(xí)題5求XXLI解（變量替換法）令，TT,原式TTT1LIM1LI2TT1LITTTLI0E習(xí)題6求型。XXSIN1023LI為了利用重要極限，對原式變形XEXOXXOXXESIN121SIN1SIN12LIML3LI12SIN1211LIEEXEXOX習(xí)題7求解原式20LIXX121LIM20XX14LI220XX12LI220X1LIM20XX4習(xí)題8求解由于3564LI2X32564LIM23564LIMXXXX而23564LI23564LIXXXX323564LIM234|LIMXXXX故不存在。2564LI2564LIXX2564LIXX習(xí)題9研究下列極限（1）XSNLIM原式，其中，上式極限XXSINLM011|I|X等于0，即（2）0XSNLI0因為，,所以1|SI|XLI0XIX（3）原式XINLM1SLIM1SIL0XX習(xí)題10計算,LI0AAXX解原式XX10LIMXAX10LIXXAXA0LI10LIE1習(xí)題111LNLIMLI1LILN1LNXXXX11LNIMLN1LI0L0NXXEX習(xí)題12已知，求的值。5LI21CBXCB,解首先，0LI21X1原式，5LIMLI11CXCX，而6C76B習(xí)題13下列演算是否正確01SINLIMSIN1L20201有界XXX習(xí)題14求SISILXX解原式2CO2INLMXX1S12SILXX0習(xí)題15求INLI23XX解，原式001LIMLI332XXX1|SIN|2X習(xí)題16證明（為常數(shù)）。LINMKBKXEBK,證（令）BXKXBKXNLILIYN1BNYKYBKXYMN1LILIMBNKMYNKYY1LIBNKYNKMY1LILI1NKNMKEE習(xí)題17求XX30SILI解原式3SIN3I101LIEXX習(xí)題18求解連續(xù)性法AXLNLIM原式AXAXAX1LIL1LIAXAXXAAX11LINLNIAEA1LNL1習(xí)題19試證方程（其中）至少有一個BSI0,B正根，并且它不大于證設(shè)，此初等函數(shù)在數(shù)軸上連續(xù)，在XBAXFSINXF上必連續(xù)。而,0BA,0F若，01SINSIBAF0BAF則就是方程的一個正根。BXASIN若，則由零點存在定理可知在內(nèi)至少存在一0BAF,點，使即,0FSINBA故方程至少有一正根，且不大于BXASINBA習(xí)題21求XXCOS10LIM解原式11COS0LIEXX習(xí)題20設(shè)滿足且試證NNLI1RXN0LIMNX證取使得當(dāng)時有,1LIMRXN,02NR即亦即,1N,211RRXN于是遞推得,120NXRNNNNXRXR22從而由兩邊夾準(zhǔn)則有,0LIM,NNR0LIMNX習(xí)題22用定義研究函數(shù)的連續(xù)性。01XXF證首先，當(dāng)是連續(xù)的。同理，當(dāng)XF1,0也是連續(xù)的。而在分段點處0,0XFX0X,0LIMLI00FXX1LILI00FFXX故LIFFX所以,CXF習(xí)題23求證12642531LIMNN證，而12645312NN由兩邊夾定理知，NNNLIMLI1LIMLIN原式成立習(xí)題24設(shè)任取記52,12,YFXYFF,0X試證存在，并求極限值。,2101NNXNLIM證,9215,22XYYFY故,912XFF由題設(shè),XYXF由于,2920021,29,112NNXX13,3221NNNNNXX故單調(diào)有下界，故有極限。設(shè)1N,LIMAXN由解出（舍去）。,29291AXNN33習(xí)題25設(shè)求,21,1,0NXNLINX解顯然有上界，有下界,10NNNX0當(dāng)時,02001XXX2510X即假設(shè)則,20,01,1N故單增。0111NNNNXXXNXNXLIM存在。設(shè)則由得即,LIMANNNNLIMLI1,1A（舍去負(fù)值）。當(dāng)時，有251,02A250X,01X用完全類似的方法可證單減有下界，同理可證NX251LIMNX習(xí)題26設(shè)數(shù)列由下式給出求NX,21,211NXXNLINX解不是單調(diào)的，但單增，并以3為上界，故有極限。12NX設(shè)單減，并以2為下界，設(shè)在等式LIM12BXN2NLIM2CXN兩邊按奇偶取極限，得兩個關(guān)系NN1，解出由于的奇數(shù)列與偶數(shù)列的極限存BCB12,C在且相等，因此的極限存在，記于是NXLIMAXN故有解出（舍去負(fù)值）12LIMLI1NNNX,12A,221習(xí)題27設(shè)試證收斂，并求極限。,12,011NXXNX證顯然假設(shè)則由，可解出,N,LIMANNN令121（舍去）。下面證明收斂于由于2A2NX，21122NNNXXX遞推可得212XNN由兩邊夾可得故02LIM1NN0LIMNXLIN習(xí)題28設(shè)試證1,21TFTFTFNN（1）存在；（2）當(dāng)時，當(dāng)LI,TFTN1LITFN時，F(xiàn)0M證顯然有又,N,TFN0121TFTFTFFNNNN單減有下界。收斂。令在原式兩邊取,TFN,LIMFTFN極限得由此可解出或當(dāng)時，12TFT0T1TTF歸納假設(shè)則而2212TFTFTF,TFK,2TFK，有因此時NTFTFTFKKK,12211TFN1TF即時）。TF,LIMN當(dāng)時，由的單減性便知即當(dāng)時，即1FTF0TF（當(dāng)時）。0LITN1習(xí)題29XXXX2SIN1202SIN0SILMCOLIM2SIN1LI431COSSI14I02EXXX習(xí)題30若收斂，則NX0LIMNX證收斂，設(shè)故必有界。設(shè)NLIAN因此而,21,BXN,0BXN,0N0LIMNX習(xí)題31求LIM2N,12LI2N變量替換求極限法（為求有時可令而）,LIXFA,YXYFX習(xí)題32求（為自然數(shù)）X1LIM0解令則因此,11Y,X1LILI00YXX1LIM10YCYCYLIM210CY習(xí)題33求LI20XMX解令且當(dāng)時故原式,1,1MY0X,Y212LILI020MYYYMY習(xí)題34求,LI1ANN解先求令則上式,2XX,TX20210210LN1EPLIMLILIM2TATATATTTTTT故原式LN1LIM20ATTLNA用等價無窮小替換求極限習(xí)題35求COS1LI20NN解記0,XXN則原式2020120COS1LIMLI1LIMNNXN2COS,2LI0UUN當(dāng)習(xí)題36設(shè)與是等價無窮小，求證XF,XF（1）（2）1LIM0XF1LIM0XFX證即,F,XF其中故010XFX當(dāng)，即，當(dāng)XXXXXFLI1LILI001LIM10EX（2）XFXFFXFXXLNLLILILN001LIM1LNLIMN1NLILLILILI1LNLIMLN1IN1LIMLILILI000000L0NL0L001LNIM1LN0LN000XFEXFFXFXFXFXFEXFEXEXXFXFXXXXFXFFFXXXXXX習(xí)題37設(shè)為自然數(shù)，試證2,0NC0NF使,1,N1FF證（分析要證使即要證,0,1FF有根）令，顯然在XFFXGXXG上連續(xù)，于是記1,0N,1NIFIFG則,MA,I10MMNI又對函數(shù)應(yīng)用介值定,10GNI0FIXG理，知使即存在使,10IGNI,10,N1FF習(xí)題38設(shè)證明,BDCABCX且,BA使FCFF證（分析將結(jié)果變形）FCFF記則,MAX,IN,FMXFMBBAX,BAXMF于是MDFCFM或F由介值定理知即，使,DFCFFBADFCFF習(xí)題39設(shè)且證使,CXFXF,F證反證法。若不存在點使即均有F,X連續(xù)，不妨設(shè)恒有于是此XFFXXFF與矛盾。故使,F習(xí)題40設(shè)且又證明至BACXF0X,21BXXAN少有一點使,21NNFFF證故在上有最大值和最小值,使1NXF,NXMM于是由介,2,0IMMIXFFXMN21值定理，知使,1BAXNNF習(xí)題41證明方程至少有一個小于1的正根。證設(shè)顯然但,2XF,0CXF使即,01,1F,01200XF方程至少有一個小于1的正根存在。XX習(xí)題42設(shè)連續(xù)，求LIM2NNXBAF,BA解1,211,1LIM,212XBAXXBAXXFNN故由于在10,0,0,FBAFFFXF1，1處連續(xù)，所以,1BA習(xí)題43試證方程至少有一個實根。XXE2COS證做函數(shù)顯然F使即在,10,1,01EF0FXXE2COS內(nèi)必有實根。,習(xí)題44求的連續(xù)區(qū)間。32XF（解先改寫為分段函數(shù)，結(jié)論為,10,習(xí)題45求為何值時，函數(shù)，在上B32,XBXF,0處處連續(xù)。只需討論分段點處的連續(xù)性,1LIM022FXF要在處連續(xù)，必有,2LIM022BXF5,3B習(xí)題46設(shè)，定義求0,1XA,21,341NXAXNNNXLIM解有下界即414433NNNNNNXAXXAX4A有又，即單減有下,NN114NNN界，故有極限。設(shè)且有AXLIM0A有3LI41LIMNNNAX4341A（舍去負(fù)根）（注意先證明極限的存在是必要的。）習(xí)題47,0,121NNXAXAXA設(shè)LIMNN求（解單增有上界，可解出極限）NXA1241AA習(xí)題48設(shè)且證明使,0CF,XF,0F證若則取若則可取01F1則令必有且,0F,1F,XFG,CG由零點定理知使即G10F習(xí)題49選擇題設(shè)在內(nèi)有定義，連續(xù)且,XF,X有間斷點，則,0XFA必有間斷點，B必有間斷點，F(xiàn)2XC必有間斷點，D必有間斷點XFF解選D（A因的值域可能很小。XFB反例而無間斷點。0,1X12XC總有定義。習(xí)題50證明方程至少有一個正根，且0,SINBAX不超過BA證設(shè)而,SIBACXFCXFXF01ININ,0BAABA如果則即為的零點如果則由介,FXF,0BF值定理知使即為所求,故原命題成立,習(xí)題51若函數(shù)可以達(dá)到最大值和最小值，求證XFMINAXXFF證設(shè)則對任意有或有,I0XFX,0XF由的任意性，可知0FXFFINAX習(xí)題52設(shè)且恒大于零，證明在上連續(xù),BACXF1XF,BA證任取由于在處連續(xù)且大于使當(dāng),0XF0,0,1時（若為左端點，則應(yīng)為類似處理,10XAXAX有B20XFF可找到使當(dāng)時有,02對,02,20X200XFFX取則當(dāng)時，有,MIN10212120000XFXFXFXFF故知在處連續(xù)。由的任意性，知在上連1F00F,BA續(xù)習(xí)題53設(shè)試討論在處的連續(xù)性,0,1SINXEXFXXF0解,0,10FF而0SINLIM0不XFX時，在處連續(xù)，1，當(dāng)F時，為的跳躍間斷點（第一類間斷點當(dāng)0，當(dāng)XF時為第二間斷點。，X習(xí)題54設(shè)函數(shù)問當(dāng)在處0,2SINCO5XTGEXFX,XF0連續(xù)。解2LIM2SINL0,40,1500XTGFFFX即時，在處連續(xù)。，當(dāng)FFF1,F習(xí)題55求函數(shù)的間斷點，并判定其類型XFSIN12解因當(dāng)（為任一整數(shù)）時，是的間XNX,0SINF斷點。再細(xì)分，當(dāng)時，不存在，故除處1N,I1LM2XNX1的任何整數(shù)都是的第二類間斷點。因XF2SIN1LM,2SINILMSINCOIL1ILSIN1L202020XTTTTTXXTTTX同理亦即是的第一類（可去）間斷點1XXF習(xí)題56求函數(shù)的間斷點并判定其類OXF,4SIN0,2C1型。解的分段點為XF0X02COS1LIMLI0XXFX是的第一類4SINSILMLI200XFXXF（跳躍）間斷點。當(dāng)時，在點0,2COS1XF處，無意義，故,21,2,531KXF是的間斷點。因為XF1,212SINLMCOSLILIM01211XUXFU是第一類（可去）間斷點。顯然都是極限為的第,53X二類間斷點。當(dāng)時，在點時，沒0X4SIN2F2XXF定義，故是的間斷點。又不存在，故為2F,ILMX第二類間斷點。習(xí)題57設(shè)函數(shù)且試證,0CXF,1LIAXFFXLIMAXF證因為連續(xù)，所以在上有界。又,0,XFBA,0,BA因為所以1LIAXFFX1K當(dāng)時，恒有取則存在自然1K,3F,X數(shù)使得記，則且N1NXNXL1,0L,1NLK于是下面估計上式右111AXLKLFANLKFXAF邊三項的絕對值。（1）ANLKFXANLKFXXN,11LFLKF11NIAILKFILF113111NILFILFNI（2）因為在上有界，即使故XF,1K,0MXF當(dāng)時，恒有,32MK2X321KMXLF（3）因為故使當(dāng)時恒有,0LIM1ALKX,3綜合（1），（2），（3）取1ALF,0，則當(dāng)時，恒有,AX321KKXLIM,AFFX習(xí)題68若和為連續(xù)周期函數(shù)，當(dāng)時，有X定義，且證明,0LIXXX證先證明和有相同周期。設(shè)的周期為,則P由于當(dāng)時,即得,XPX0XP，以及0LIMPXXXLIMPXXLIMXX現(xiàn)在說明的周期也是。若不然，則至少存在一個使,0設(shè)的周期為為任意正整數(shù)，00PXXNQ,以及此時恒有,NQ000PXXX00但由（），對充分大的必成立這顯然矛盾,X,PX（矛盾于）下面證明若結(jié)論不真，則至少Q(mào)P存在一個使記則,1X11X,01X恒有這與矛盾。N,LIMX于是X1SINLM2SINILMI2ISLI2SIN8SI24NSI2INSLIM,2INSCO2COSSIN2IN2SIS84COLIM59000101XXXXXXXXXXXNXNXNXNNNNOX不不不不1011LIM1LI3211,3LI621132142AANASAANSASANNNNNNNNN不不習(xí)題61試證1,LIMANN其中0LIMLI11,0,1,11NNNNNNNAXQNNAAAXXN故有時，使得當(dāng)則則設(shè)證習(xí)題62在點連續(xù)。0,LCOS2XF解212SIN1LIMSINLILCOI2SINSI102020XXXXX如果函數(shù)在連續(xù)，則0XALIMLI2XXXXXX不63蕭溺瑚習(xí)誕力亭友投用舷勇聾鐮宋智薯塹里帛慰碾鎢岸包群珠良鞍冀冪邏罰況鑼歹鋒忍磚蕊沾翠俞留炕阜溺詩茵儒斧衛(wèi)意扯餌薦莆凈沛閑切虐買可蠶犬抿深嶺也塹推紙摔磕謙勃碘期隱殲多頸棱矣益淤悅襲釩仿扁暈稱網(wǎng)侯振吟播膘育惡篷顧烽隕棱宣傷蕭