2000中科院高等代數(shù)一計(jì)算行列式ACBA二把二次型用非退化線性替換化成平方413214321,XXXF和三分別為和矩陣,表示單位矩陣證明階矩陣BA,MNNIMN可逆當(dāng)且僅當(dāng)可逆，可逆時(shí)求出的逆0IXBAX四設(shè)是維線性空間的一組基，對(duì)任意個(gè)向量，證明12,NENVN12,NAV存在唯一的線性變換，使得,12IIEA五設(shè)是維線性空間的線性變換，求證當(dāng)且僅當(dāng)若A10AV為的一組基則是的一組基12,RAV12,RA2六設(shè)為級(jí)實(shí)方陣，適合，求證相似于2010七已知均為線性空間上線性變換，滿足試證,FGV22,FG（1）與有相同的值域,FGF（2）與有相同的核F2001中科院高等代數(shù)（一）計(jì)算行列式231123NXAAAX（二）設(shè)為階非零方陣，且A30A（1）求證存在，123,A123,B12233AB（2）求方程組的基礎(chǔ)解系0AX（三）用正交的線性替換化二次行為標(biāo)準(zhǔn)2212313123,4FXXX形（四）設(shè)為階實(shí)矩陣，且若，求證NMRAMN2AAMAAE（五）設(shè)是（為奇數(shù)）維線性空間上線性變換，若求證存AV10,NN在，使為的一組基，并求在AV221,NNAAV此組基下的矩陣（六）設(shè)是歐式空間上的對(duì)稱變換求證對(duì)任意，都有V0A,0AA的所有特征值都小于0A（七）設(shè)，其中為階負(fù)定矩陣，為維列實(shí)向量，為實(shí)數(shù)求證ABANN正定的充分必要條件為10A（八）若是正交陣，且特征值為1的重?cái)?shù)是，求證（為的AS1SAA行列式）2002中科院高等代數(shù)（一）計(jì)算行列式若，求123NXAAABAXAB（二）設(shè)是階可逆方陣，N0A（1）計(jì)算（是整數(shù)），KBK（2）假設(shè)，為階方陣，而且，求10AC62BCE（三）設(shè)，是階矩陣（），11PPNNPPAN0P求的基礎(chǔ)解系0AX（四）構(gòu)造一個(gè)階實(shí)對(duì)稱方陣，使其特征值為1，1，1并且對(duì)應(yīng)的特征值有特征向3A量，1,2,（五）設(shè)向量組的秩為（），則中任意個(gè)向量線性無關(guān)的123,NARNAR充分必要條件為對(duì)任意向量，若，則121,RIIA1210RIIIKAK或全為0或全不為0121,RK（六）設(shè)為階正定矩陣，為秩為的實(shí)矩陣，求證（，為ANNMBBATE單位矩陣）為正定矩陣（七）設(shè)為歐式空間上的線性變換，且V2AE（1）求證是上的正交變換的充分必要條件為是上的對(duì)稱變換V（2）設(shè)，求證是直和1,AAA12（八）設(shè)為階實(shí)正交矩陣，為維列向量，且線性無關(guān)，若N123,NA線性無關(guān)，則12,NAEEA2003中科院高等代數(shù)（一）計(jì)算行列式（為階矩陣），XAAAXAAAN2AB（1）求（2）求B（二）設(shè)為階反對(duì)稱矩陣，求A1NKA（三）設(shè)為階整數(shù)方陣（中元素為整數(shù)），若,BEA（1）求證，（2）若，求2013BA（四）設(shè)為階方陣，且12,NAA1RN121NNAA，求的解12X（五）設(shè)是階可逆方陣，且每行元素之和為，求證的每行元素之和為AKA（為正整數(shù)）KA（六）設(shè)為階正交矩陣，若證明存在正交矩陣使ANG1RSE（七）設(shè)，且為階方陣，2RAR（1）求證（2）求證（3）若，求RERAEN1R的解0AX（八）構(gòu)造一個(gè)階實(shí)對(duì)稱方陣，使其特征值為2，1，1，且有特征向量3,（九）設(shè)二次型22134121314232434FXXXXX（1）求對(duì)應(yīng)的實(shí)對(duì)稱矩陣FXA（2）求正交變換，將化為標(biāo)準(zhǔn)型PYFX（十）設(shè)是維線性空間上的線性變換，是對(duì)應(yīng)的不同特征值A(chǔ)NV12,KA的特征向量若，而是的不變子空間，則有維12,K12KAWA（）W（十一）設(shè)為歐式空間上的變換，為歐式空間上的線性變換且有BV證明,AAV（1）為歐式空間上的線性變換（2）102004中科院高等代數(shù)（一）設(shè)階可逆方陣中每一行元素之和為，證明NIJAA0A（1），其中為的代數(shù)余子式1,2IJJINIJAIJ（2）如果都是整數(shù)，則整除IJA,IA（二）設(shè)為實(shí)矩陣，且1212NNABB2RA（1）求行列式E（2）求的解（是維列向量）0XN（三）設(shè)為階整數(shù)方陣，若,ABN2BEA（1）求證21（2）若，求02312（四）若為非零的半正定矩陣，為正定矩陣，求證AB（1）求證存在實(shí)矩陣，使T（2）1E（3）B（五）設(shè)為的特征值的最小者求證對(duì)任意的維列向量,有ANAAA六設(shè)為階方陣的特征值,且分別為其123,A1,0101對(duì)應(yīng)的特征向量,求N七是維歐氏空間,是維空間上的線性變換,如果是中VNV1231,NAV個(gè)線性無關(guān)的向量,且分別與正交不為0求證為的1N,1231NA特征向量八設(shè)，求證32036AB（1）（2）題型與錢吉林書習(xí)題類示。R（九）設(shè)為數(shù)域，為數(shù)域上階方陣，且，F(xiàn)N10VXFA求證。20VXAEX2A2（十）設(shè)，為階方陣，為階正交方陣，求24AAANBN證2214NBA（十一）設(shè)求2212312NNNNNNXFXFXFXF證。1,2IF（十二）設(shè)為階實(shí)可逆矩陣，則為正定矩陣充分必要條件為存在階上三角實(shí)AA可逆矩陣，使。L（十三）設(shè)為秩為的階矩陣，證明的充要條件是存在秩為的階RN2RN矩陣和秩為的矩陣，使且。BCBCE（十四）設(shè)為數(shù)域上維線性空間，設(shè)是維線性空間上的線性變換，VFANV為的值域，為的核。A10A（1）求證維，12（2）求證維充分必要條件為，并舉出這樣NV10AV的線性變換。A2005中科院高等代數(shù)（一）已知，求在有理數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式并說明理由。12NFXFX（二）已知，是階方陣，。求和。0,1AABC62BCE（三）是方程組的一個(gè)解，是其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。求證XB12,NRA（1），線性無關(guān)，12,NRA（2）也線性無關(guān)。2,NR（四）同2007年第一大題（五）是復(fù)矩陣，求證在復(fù)數(shù)域上相似于一個(gè)對(duì)角陣。A230AEA（六）是階實(shí)對(duì)稱方陣，是的特征值，是對(duì)應(yīng)的特征向31,210,量，求矩陣。A（七）是反對(duì)稱變換的不變子空間，求證也是的不變子空間。WWA（八）已知是階實(shí)對(duì)稱方陣，求證正定。N0KE（九）是矩陣的全體，已知，F(xiàn)1,NVXF求證的充分必要條件為。20,NVXAEXF2N2A（十）已知，求證。24A0,AAB214NAB（十一）設(shè)求證221231NNNNNNXFXFXFXF。1,2IF（十二）是階實(shí)對(duì)稱方陣，證明正定的充要條件是存在實(shí)階上三角陣，使AAL。L（十三）是階矩陣，是陣，。求證的充要條件NCNMRBCM2A是且。CBE（十四）是維線性空間的象，是的核。求證AVV10AV（1），12DIM0AVN（2）的充要條件是，舉個(gè)例子。10AV2006中科院高等代數(shù)一設(shè)是有理數(shù)域上的多項(xiàng)式。FX（1）如果是二次多項(xiàng)式，求證不可約的充分必要條件是沒有有理FXFX根；（2）試舉例說明當(dāng)?shù)拇螖?shù)大于的時(shí)候，沒有有理根只是不可約的F3FF必要條件。（3）試舉例說明艾森斯坦判別法只是判別不可約的充分條件，而不是必要條件。FX（二）（1）設(shè)矩陣且12,NAAA12,NRA為維列向量，求證,2IAN1211,NIINIAA（2）用上面的公式計(jì)算行列式。23NXAAX（三）設(shè)，其中分別為階可逆矩陣。0ACDB,M（1）求；1（2）設(shè)，如果，求和。20AADHEH（四）設(shè)為一組同型向量，求證12,NA12231,NAAA（1）若，則為奇數(shù)；12,NRR（2）若為極大無關(guān)組，且，如果12,RA12,NRR，求證。RRAKK1RRKK（五）設(shè)為實(shí)矩陣，已知，且IJNA0,I0,12IJAJNIJ。求證10,2NIJA（1）；1RAN（2）（六）已知（其中為不全為的實(shí)數(shù)且）如果10,2NIAN12,NA02N，求的所有特征值；進(jìn)一步當(dāng)是的特征值時(shí)，求212NNAAAA關(guān)于特征值為的所有特征向量0（七）設(shè)是階實(shí)對(duì)稱方陣且可逆，是維實(shí)列向量，是實(shí)數(shù)對(duì)12,TNXX于實(shí)二次型12,TNFXA（1）求證是正定二次型的充分必要條件是矩陣是正定矩陣；12,NFAE（2）當(dāng)，是偶數(shù)時(shí)，求證是負(fù)定二次型的充分必要條件是為012,NFXA正定矩陣（八）設(shè)是階復(fù)矩陣，如果AN30AE（1）求的最小多項(xiàng)式；（2）求證在復(fù)數(shù)域上與對(duì)角矩陣相似；（3）求證可逆E（九）設(shè)是維線性空間上的非零線性變換，且NV，AV100AVV（1）求證充分必要條件是；100（2）試舉一個(gè)的例子V（十）設(shè)為歐式空間上的線性變換，記，A1,VAAV，顯然，為的子空間，試分別就是上的對(duì)稱變換和正交2VA12變換求證12V2007中科院高等代數(shù)（一）設(shè)求此向量組的極大無1,A21,03,2A43,A51,0關(guān)組，并將其它向量用此向量組的極大無關(guān)組表示出來（二）設(shè)，為階方陣，且，求10A0ABC62BCE和C（三）設(shè)，且是階矩陣，若。20ANRAR（1）求證與對(duì)角矩陣相似（2）求證RE（四）設(shè)是數(shù)域上維線性空間上的線性變換如果存在向量，使得FNV，但，證明10N（1）線性無關(guān)1,N（2）在某一組基下的矩陣為00100（五）設(shè)，其中為互不相同的整數(shù)，12NFXAXA12,NA求證如果為奇數(shù)，則在有理數(shù)域上不可約NF（六）設(shè)21NA（1）求行列式E（2）求的解（為維列向量）0XN（七）已知經(jīng)過一個(gè)正交變換可以把二次型PY2213121323FXXABXX化為標(biāo)準(zhǔn)型234YY求，及正交矩陣ABP（八）設(shè)，而且，其中為數(shù)域上FGHGXHPXP多項(xiàng)式環(huán)假設(shè)是數(shù)域上維線性空間上的線性變換ANV（1）如果，求證，,1XKERFARGKERHA（2）利用上面結(jié)論求證（其中為32ERENE上的恒等變換）V（九）設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣，且矩陣方程有唯一矩陣解,ACNXCB（1）求證為實(shí)對(duì)稱矩陣B（2）如果為正定矩陣，求證為正定矩陣,B2008中科院高等代數(shù)（一）設(shè)，其中為階矩陣，且123123NNXAAAAX12ANCBN，求CB（二）設(shè)是階可逆方陣，AN0AB（1）計(jì)算（是整數(shù)）KB（2）假設(shè)，為階矩陣，且，求210AC632BCE（三）設(shè)是階矩陣，如果的伴隨矩陣不為零矩陣，且N（1）求線性方程組的通解。（2）進(jìn)一步如果為階對(duì)稱矩陣，且每行只有兩個(gè)非零元素，求3A四設(shè),其中為互不相同的整數(shù)，求證存121NFXAXA12,NA在整系數(shù)多項(xiàng)式其在有理數(shù)域上不可約和整數(shù)使得GK2KFXG五設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣,而且正定ANA1求證存在正定矩陣使得,而且唯一B2B2如果,求的特征值和特征向量,由此求1中正定矩陣使得65B2A六設(shè)，為維空間的子空間,且,則且1V2NV12DIMV12DIV121V,或者而且121212七設(shè)為維歐式空間,為歐式空間上的線性變換,若對(duì)任意的,有A,A,則稱為反對(duì)稱變換,AA1求證為反對(duì)稱變換的充要條件是在任意一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下矩陣為反對(duì)稱矩陣2若是反對(duì)稱變換的不變子空間,求證也是的不變子空間WAWA八設(shè)為線性空間,上線性變換稱為冪等變換,如果,現(xiàn)設(shè)為上的兩VA2A12,V個(gè)冪等變換求證是冪等變換的充分必要條件是進(jìn)一步證明12120也是是冪等變換的充分必要條件1210A2009中科院高等代數(shù)一填空（1）為上所有三階矩陣組成的集合,令（其中且為3F3VAF0TRA上三角矩陣），則DIMV（2）為上多項(xiàng)式，且在復(fù)數(shù)域上無公共根，則，在上,FXGFXFGXF的首相系數(shù)為的最大公因式為1（3）設(shè)是階矩陣，則AN23456789A（4）為階對(duì)稱矩陣,為其特征值，則的伴隨矩陣與對(duì)角矩陣相似1,23A（二）不定項(xiàng)選擇（三）計(jì)算或證明（16）求121NNAXXA（17）為上維線性空間，且為的子空間，證明VF,UWVDIMIDIMIWU（18）為實(shí)數(shù)域，為上的線性變換，且在基，R3R3R10E，下的矩陣是證明201E310E03（1）若，則是的不變子空間12,WL1（2）不存在的不變子空間，