導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納及應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)歸納一、相關(guān)概念1導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)YFX,如果自變量X在X0處有增量X，那么函數(shù)Y相應(yīng)地有增量YF（X0）F（X），比值Y叫做函數(shù)YF（X）在X0到X0之間的平均變化率，即XXFF00。如果當(dāng)時(shí)，XY有極限，我們就說(shuō)函數(shù)YFX在點(diǎn)X0處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做F（X）在點(diǎn)X0處的導(dǎo)數(shù)，記作F（X）或Y|0X。即F（X0）0LIMXY0LIXFF0。說(shuō)明（1）函數(shù)F（X）在點(diǎn)X0處可導(dǎo)，是指0X時(shí)，XY有極限。如果XY不存在極限，就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)X0處不可導(dǎo)，或說(shuō)無(wú)導(dǎo)數(shù)。（2）是自變量X在X0處的改變量，0時(shí)，而Y是函數(shù)值的改變量，可以是零。由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)YF（X）在點(diǎn)X0處的導(dǎo)數(shù)的步驟求函數(shù)的增量YF（X0）F（X）；求平均變化率F0；取極限，得導(dǎo)數(shù)FX0XYLIM。例設(shè)FXX|X|,則F0解析0|LIM|LILIM0LIM0000XXXFXFFXF002導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)YF（X）在點(diǎn)X0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線YF（X）在點(diǎn)P（X0，F(xiàn)（X0）處的切線的斜率。也就是說(shuō)，曲線YF（X）在點(diǎn)P（X，F(xiàn)（X）處的切線的斜率是F（X0）。相應(yīng)地，切線方程為YY0F/（X0）（XX）。例在函數(shù)X83的圖象上，其切線的傾斜角小于4的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是A3B2C1D0解析切線的斜率為832/XYK又切線的傾斜角小于4，即0故18302X解得383X或故沒(méi)有坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)的物理意義如果物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是SS（T），那么該物體在時(shí)刻T的瞬間速度VS（T）。如果物體運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間的變化的規(guī)律是VV（T），則該物體在時(shí)刻T的加速度AV（T）。例。汽車經(jīng)過(guò)啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過(guò)程中汽車的行駛路程S看作時(shí)間T的函數(shù)，其圖像可能是（）STOASTOSTOSTOBCD答A。練習(xí)已知質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律32TS做直線運(yùn)動(dòng)（位移單位CM，時(shí)間單位S）。（1）當(dāng)T2，01T時(shí)，求TS；（2）當(dāng)T2，時(shí)，求；（3）求質(zhì)點(diǎn)M在T2時(shí)的瞬時(shí)速度。答案（1）802SCM（2）8002SCM；（3）8SC二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式0C（C為常數(shù)）1NXSICOSXINXELA1LNX1LGLOAAXE例1下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是AX21XBLOG2XLN1XC3X3XLOG3EDX2COSX2XSINX解析A錯(cuò)，X21XB正確，LOG2XLNC錯(cuò)，3X3XLN3D錯(cuò)，X2COSX2XCOSXX2SINX例2設(shè)F0XSINX，F(xiàn)1XF0X，F(xiàn)2XF1X，F(xiàn)N1XFNX，NN，則F2005XASINXBSINXCCOSXDCOSX解析F0XSINX，F(xiàn)1XF0XCOSX，F(xiàn)2XF1XSINX，F(xiàn)3XF2XCOSX，F(xiàn)4XF3XSINX，循環(huán)了則F2005XF1XCOSX2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則法則1兩個(gè)函數(shù)的和或差的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和或差，即VU法則2兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù),加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即UVV若C為常數(shù),則0CUC即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則3兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方VU2V（V0）。例設(shè)FX、GX分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)X0時(shí),XGFXF0且G30則不等式FXGX0的解集是A3,03,B3,00,3C,33,D,30,3解析當(dāng)X0時(shí),XGFXF0，即0/XGF當(dāng)X0時(shí)，F(xiàn)XGX為增函數(shù)，又GX是偶函數(shù)且G30，G30，F(xiàn)3G30故當(dāng)3X時(shí)，F(xiàn)XGX0，又FXGX是奇函數(shù)，當(dāng)X0時(shí)，F(xiàn)XGX為減函數(shù)，且F3G30故當(dāng)0X時(shí)，F(xiàn)XGX0故選D3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形如YFX的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟分解求導(dǎo)回代。法則Y|XY|UU|X或者FXFX練習(xí)求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）SIN25XY（2）321XXY（3）4CO1I（4）解1,SINSIN23225XXXYYCOSSINSI2353X（2）Y（X23X2）（X3）X36X211X6，Y3X212X11（3）Y,SIN1COSINXXS2SI1SI2XXY（4）XXX1211，22Y三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（1）設(shè)函數(shù)XFY在某個(gè)區(qū)間（A，B）可導(dǎo)，如果FX0，則XF在此區(qū)間上為增函數(shù)；如果F0X，則XF在此區(qū)間上為減函數(shù)。（2）如果在某區(qū)間內(nèi)恒有FX，則XF為常數(shù)。例函數(shù)132XF是減函數(shù)的區(qū)間為A,B,C0,D（0，2）解析由XXF62/0，當(dāng)時(shí)，/XF0，故X的極小值、極大值分別為31FF、，而1073FF、故函數(shù)3XF在3，0上的最大值、最小值分別是3、17。經(jīng)典例題選講例1已知函數(shù)XFY的圖象如圖所示（其中XF是函數(shù)XF的導(dǎo)函數(shù)），下面四個(gè)圖象中XFY的圖象大致是解析由函數(shù)XFY的圖象可知當(dāng)1X時(shí)，F(xiàn)X0，此時(shí)XF增當(dāng)0時(shí)，0，XF0，F(xiàn)0，此時(shí)增故選C例2設(shè)XAF3恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定A的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間。解132XF若0A，F(xiàn)對(duì),X恒成立，此時(shí)XF只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，矛盾若，01XF,X，XF也只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，矛盾若0A|31|31AXAXF，此時(shí)XF恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間0A且單調(diào)減區(qū)間為|31,A和,|，單調(diào)增區(qū)間為|31,|A例3已知函數(shù)DAXBXF23的圖象過(guò)點(diǎn)P（0,2）,且在點(diǎn)M1,F處的切線方程為076Y（）求函數(shù)XFY的解析式；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解（）由XF的圖象經(jīng)過(guò)P（0，2），知D2，所以,23CBF2XX由在1,FM處的切線方程是076YX，知1,076FF即3,03211623CBCBCB解得即故所求的解析式是223XXF（）01,0366322XXF即令解得1,21當(dāng),1FXX時(shí)或當(dāng)0FX時(shí)故2,323在F內(nèi)是增函數(shù)，在1,內(nèi)是減函數(shù)，在,1內(nèi)是增函數(shù)例4設(shè)函數(shù)32FXBCXR，已知GXFX是奇函數(shù)。（）求、C的值。（）求的單調(diào)區(qū)間與極值。解（）32FXCX，23FXBC。從而2GXFBBC32BC是一個(gè)奇函數(shù)，所以0G得C，由奇函數(shù)定義得3B；（）由（）知36X，從而236GX，由此可知，,2和,是函數(shù)是單調(diào)遞增區(qū)間；,2是函數(shù)GX是單調(diào)遞減區(qū)間；在時(shí)，取得極大值，極大值為4，在時(shí)，取得極小值，極小值為。例5已知F（X）CBXA23在X1，X32時(shí)，都取得極值。（1）求A、B的值。（2）若對(duì)2,1X，都有CXF1恒成立，求C的取值范圍。解（1）由題意F/（X）BA23的兩個(gè)根分別為1和32由韋達(dá)定理，得1，31則2A，B（2）由（1），有F（X）CX23，F(xiàn)/（X）2X當(dāng)3,X時(shí)，0/，當(dāng)1,時(shí)，0/，當(dāng),1時(shí)，0/F，當(dāng)2X時(shí)，XF有極大值C27，CFCF2,，當(dāng),1，的最大值為對(duì)2X，都有CXF1恒成立，C1，解得,0C或,2例6已知1X是函數(shù)321FXMXN的一個(gè)極值點(diǎn)，其中,MNR，（I）求與的關(guān)系式；（II）求FX的單調(diào)區(qū)間；（III）當(dāng)1,時(shí)，函數(shù)YFX的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3M，求的取值范圍解I2361FXMXN因?yàn)?是函數(shù)FX的一個(gè)極值點(diǎn),所以0,即0，所以36NM（II）由（I）知，236FXMX231MX當(dāng)0M時(shí)，有21，當(dāng)X變化時(shí)，F(xiàn)X與F的變化如下表X2,121,M1,F00000X調(diào)調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減故有上表知，當(dāng)0M時(shí)，F(xiàn)X在2,1M單調(diào)遞減，在21,單調(diào)遞增，在1,上單調(diào)遞減（III）由已知得3FX，即220XX又0M所以20M即21,1,XX設(shè)2GX，其函數(shù)開(kāi)口向上，由題意知式恒成立，所以2100GM解之得43M又所以0即M的取值范圍為4,03例7（2009天津理20）已知函數(shù)223,XFXAER其中AR（1）當(dāng)0A時(shí)，求曲線1,YFXF在點(diǎn)處的切線的斜率；WWWKS5UCOM（2）當(dāng)23時(shí)，求函數(shù)FX的單調(diào)區(qū)間與極值。WWWKS5UCOM本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法。滿分12分。解（I）31202EFEXXFEXFA，故，時(shí)，當(dāng)31,FY處的切線的斜率為在點(diǎn)所以曲線（II）422XEAXXWWWKS5UCOM2320AAF知，由，或，解得令以下分兩種情況討論。（1）A若32，則2當(dāng)X變化時(shí)，XF，的變化情況如下表X2，