初二數(shù)學(xué)勾股定理提高練習(xí)與常考難題和培優(yōu)題壓軸題含解析一選擇題（共8小題）1直角三角形兩直角邊長度為5，12，則斜邊上的高（）A6B8CD2下列說法中正確的是（）A已知A，B，C是三角形的三邊，則A2B2C2B在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方C在RTABC中，C90，所以A2B2C2D在RTABC中，B90，所以A2B2C23如圖，是臺階的示意圖已知每個臺階的寬度都是30CM，每個臺階的高度都是15CM，連接AB，則AB等于（）A195CMB200CMC205CMD210CM4如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長10尺，它高出水而1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L度是（）A10尺B11尺C12尺D13尺5如圖所示，在數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為A，則A的值為（）A1B1CD16一架25米長的梯子底部距離墻腳07米，若梯子的頂端下滑04米，那么梯子的底部在水平方向滑動了（）A15米B09米C08米D05米7在ABC中，ACB90，AC12，BC5，AMAC，BNBC，則MN的長為（）A2B26C3D48如圖，是2002年北京第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會徽，由4個全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的短直角邊為A，較長直角邊為B，那么（AB）2的值為（）A13B19C25D169二填空題（共5小題）9將一根24CM的筷子，置于底面直徑為15CM，高8CM的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長度為HCM，則H的取值范圍是10如圖，一場暴雨過后，垂直于地面的一棵樹在距地面1米的點C處折斷，樹尖B恰好碰到地面，經(jīng)測量AB2米，則樹高為米11已知RTABC中，C90，AB14CM，C10CM，則RTABC的面積等于12觀察下列勾股數(shù)第一組3211，421（11），521（11）1第二組5221，1222（21），1322（21）1第三組7231，2423（31），2523（31）1第四組9241，4024（41），4124（41）1觀察以上各組勾股數(shù)組成特點，第7組勾股數(shù)是（只填數(shù)，不填等式）13觀察下列一組數(shù)列舉3、4、5，猜想3245；列舉5、12、13，猜想521213；列舉7、24、25，猜想722425；列舉13、B、C，猜想132BC；請你分析上述數(shù)據(jù)的規(guī)律，結(jié)合相關(guān)知識求得B，C三解答題（共27小題）14A，B，C為三角形ABC的三邊，且滿足A2B2C233810A24B26C，試判別這個三角形的形狀15如圖四邊形ABCD中，ABCB，CD，DA1，且ABCB于B試求（1）BAD的度數(shù)；（2）四邊形ABCD的面積16如圖，小華準(zhǔn)備在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，作一個三邊長分別為4，5，的三角形，請你幫助小華作出來17如圖所示，在一次夏令營活動中，小明坐車從營地A點出發(fā)，沿北偏東60方向走了100KM到達(dá)B點，然后再沿北偏西30方向走了100KM到達(dá)目的地C點，求出A、C兩點之間的距離18如圖，在氣象站臺A的正西方向320KM的B處有一臺風(fēng)中心，該臺風(fēng)中心以每小時20KM的速度沿北偏東60的BD方向移動，在距離臺風(fēng)中心200KM內(nèi)的地方都要受到其影響（1）臺風(fēng)中心在移動過程中，與氣象臺A的最短距離是多少（2）臺風(fēng)中心在移動過程中，氣象臺將受臺風(fēng)的影響，求臺風(fēng)影響氣象臺的時間會持續(xù)多長19如圖，已知ABC中，B90，AB8CM，BC6CM，P、Q分別為AB、BC邊上的動點，點P從點A開始沿AB方向運動，且速度為每秒1CM，點Q從點B開始BC方向運動，且速度為每秒2CM，它們同時出發(fā)；設(shè)出發(fā)的時間為T秒（1）出發(fā)2秒后，求PQ的長；（2）從出發(fā)幾秒鐘后，PQB能形成等腰三角形（3）在運動過程中，直線PQ能否把原三角形周長分成相等的兩部分若能夠，請求出運動時間；若不能夠，請說明理由20在ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為、，求這個三角形的面積小華同學(xué)在解答這道題時，先畫一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點ABC（即ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示這樣不需求ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積這種方法叫做構(gòu)圖法（1）ABC的面積為（2）若DEF三邊的長分別為、，請在圖2的正方形網(wǎng)格中畫出相應(yīng)的DEF，并利用構(gòu)圖法求出它的面積為（3）如圖3，ABC中，AGBC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向ABC外作等腰RTABE和等腰RTACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論（4）如圖4，一個六邊形的花壇被分割成7個部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面積分別為13M2、25M2、36M2，則六邊形花壇ABCDEF的面積是M221（1）在ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為、，求這個三角形的面積如圖1，某同學(xué)在解答這道題時，先建立一個每個小正方形的邊長都是1的網(wǎng)格，再在網(wǎng)格中畫出邊長符合要求的格點三角形ABC（即ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），這樣不需要求ABC的高，而借用網(wǎng)格就能就算出它的面積請你將ABC的面積直接填寫在橫線上思維拓展（2）已知ABC三邊的長分別為A（A0），求這個三角形的面積我們把上述求ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法如圖2，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是A，請在網(wǎng)格中畫出相應(yīng)的ABC，并求出它的面積類比創(chuàng)新（3）若ABC三邊的長分別為（M0，N0，且MN），求出這個三角形的面積如圖3，網(wǎng)格中每個小長方形長、寬都是M，N，請在網(wǎng)格中畫出相應(yīng)的ABC，用網(wǎng)格計算這個三角形的面積22有一只喜鵲在一棵3M高的小樹上覓食，它的巢筑在距離該樹24M的一棵大樹上，大樹高14M，且巢離樹頂部1M當(dāng)它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即趕過去，如果它飛行的速度為5M/S，那它至少需要多少時間才能趕回巢中23（拓展創(chuàng)新）在教材中，我們通過數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形的三邊關(guān)系，利用完全相同的四個直角三角形采用拼圖的方式驗證了勾股定理的正確性問題1以直角三角形的三邊為邊向形外作等邊三角形，探究SS與S的關(guān)系（如圖1）問題2以直角三角形的三邊為斜邊向形外作等腰直角三角形，探究SS與S的關(guān)系（如圖2）問題3以直角三角形的三邊為直徑向形外作半圓，探究SS與S的關(guān)系（如圖3）24如圖，在平面坐標(biāo)系中，點A、點B分別在X軸、Y軸的正半軸上，且OAOB，另有兩點C（A，B）和D（B，A）（A、B均大于0）；（1）連接OD、CD，求證ODC45；（2）連接CO、CB、CA，若CB1，C02，CA3，求OCB的度數(shù)；（3）若AB，在線段OA上有一點E，且AE3，CE5，AC7，求OCA的面積2511世紀(jì)的一位阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾提出一個“鳥兒捉魚”的問題“小溪邊長著兩棵棕櫚樹，恰好隔岸相望一棵樹高是30肘尺（肘尺是古代的長度單位），另外一棵高20肘尺；兩棵棕櫚樹的樹干間的距離是50肘尺每棵樹的樹頂上都停著一只鳥忽然，兩只鳥同時看見棕櫚樹間的水面上游出一條魚，它們立刻飛去抓魚，并且同時到達(dá)目標(biāo)問這條魚出現(xiàn)的地方離開比較高的棕櫚樹的樹根有多遠(yuǎn)26（1）先化簡，再求值X（X2）（X1）（X1），其中X10（2）已知，求代數(shù)式（X1）24（X1）4的值（3）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫格點，請在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖從點A出發(fā)在圖中畫一條線段AB，使得AB；畫出一個以（1）中的AB為斜邊的等腰直角三角形，使三角形的三個頂點都在格點上，并根據(jù)所畫圖形求出等腰直角三角形的腰長27問題情境勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進(jìn)行證明，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出把“數(shù)學(xué)關(guān)系”（勾股定理）帶到其它星球，作為地球人與其他星球“人”進(jìn)行第一次“談話”的語言；定理表述請你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理；嘗試證明以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，將兩個直角邊長為A，B，斜邊長為C的三角形按如圖所示的方式放置，連接兩個之間三角形的另外一對銳角的頂點（如圖2），請你利用圖2，驗證勾股定理；知識擴(kuò)展利用圖2中的直角梯形，我們可以證明，其證明步驟如下BCAB，AD又在直角梯形ABCD中，有BCAD（填大小關(guān)系），即28觀察、思考與驗證（1）如圖1是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式；（2）如圖2所示，BD90，且B，C，D在同一直線上試說明ACE90；（3）伽菲爾德（1881年任美國第20屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（發(fā)表在1876年4月1日的新英格蘭教育日志上），請你寫出驗證過程29超速行駛?cè)菀滓l(fā)交通事故如圖，某觀測點設(shè)在到公路L的距離為100米的點P處，一輛汽車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒，并測得APO60，BPO45，是判斷此車是否超過了每小時80千米的限制速度（參考數(shù)據(jù)141，173）30中日釣魚島爭端持續(xù)，我海監(jiān)船加大釣魚島海域的巡航維權(quán)力度如圖，OAOB，OA45海里，OB15海里，釣魚島位于O點，我國海監(jiān)船在點B處發(fā)現(xiàn)有一不明國籍的漁船，自A點出發(fā)沿著AO方向勻速駛向釣魚島所在地點O，我國海監(jiān)船立即從B處出發(fā)以相同的速度沿某直線去攔截這艘漁船，結(jié)果在點C處截住了漁船（1）請用直尺和圓規(guī)作出C處的位置；（2）求我國海監(jiān)船行駛的航程BC的長31在一次“構(gòu)造勾股數(shù)”的探究性學(xué)習(xí)中，老師給出了下表M2334N1123A2212321232224232B461224C2212321232224232其中M、N為正整數(shù)，且MN（1）觀察表格，當(dāng)M2，N1時，此時對應(yīng)的A、B、C的值能否為直角三角形三邊的長說明你的理由（2）探究A，B，C與M、N之間的關(guān)系并用含M、N的代數(shù)式表示A，B，C（3）以A，B，C為邊長的三角形是否一定為直角三角形如果是，請說明理由；如果不是，請舉出反例32如圖1，在48的網(wǎng)格紙中，每個小正方形的邊長都為1，動點P、Q分別從點D、A同時出發(fā)向右移動，點P的運動速度為每秒1個單位，點Q的運動速度為每秒05個單位，當(dāng)點P運動到點C時，兩個點都停止運動，設(shè)運動時間為T（0T8）（1）請在48的網(wǎng)格紙圖2中畫出T為6秒時的線段PQ并求其長度；（2）當(dāng)T為多少時PQB是以BP為底的等腰三角形33閱讀下面的情景對話，然后解答問題（1）理解根據(jù)“奇異三角形”的定義，請你判斷“等邊三角形一定是奇異三角形”嗎（填是或不是）若某三角形的三邊長分別為1、2，則該三角形（是或不是）奇異三角形（2）探究若RTABC是奇異三角形，且其兩邊長分別為2、2，則第三邊的長為，且這個直角三角形的三邊之比為（從小到大排列，不得含有分母）（3）設(shè)問請?zhí)岢鲆粋€和奇異三角形有關(guān)的問題（不用解答）34觀察下列各式，你有什么發(fā)現(xiàn)3245，521213，722425，924041，用你的發(fā)現(xiàn)解決下列問題（1）填空112；（2）請用含字母N（N為正整數(shù)）的關(guān)系式表示出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（3）結(jié)合勾股定理有關(guān)知識，說明你的結(jié)論的正確性35小明爸爸給小明出了一道題如圖，修公路AB遇到一座山，于是要修一條隧道BC已知A，B，C在同一條直線上，為了在小山的兩側(cè)B，C同時施工過點B作一直線M（在山的旁邊經(jīng)過），過點C作一直線L與M相交于D點，經(jīng)測量ABD130，D40，BD1000米，CD800米若施工隊每天挖100米，求施工隊幾天能挖完36如圖，把一塊等腰直角三角形零件（ABC，其中ACB90），放置在一凹槽內(nèi)，三個頂點A，B，C分別落在凹槽內(nèi)壁上，已知ADEBED90，測得AD5CM，BE7CM，求該三角形零件的面積37如圖，四邊形ABCD的三邊（AB、BC、CD）和BD的長度都為5厘米，動點P從A出發(fā)（ABD）到D，速度為2厘米/秒，動點Q從點D出發(fā)（DCBA）到A，速度為28厘米/秒5秒后P、Q相距3厘米，試確定5秒時APQ的形狀38一艘輪船以20海里/時的速度由西向東航行，在途中接到臺風(fēng)警報，臺風(fēng)中心正以40海里/時的速度由南向北移動，距臺風(fēng)中心20海里的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬于臺風(fēng)區(qū)域，當(dāng)輪船到A處時測得臺風(fēng)中心移到位于點A正南方的B處，且AB100海里若這艘輪船自A處按原速度繼續(xù)航行，在途中是否會遇到臺風(fēng)若會，則求出輪船最初遇到臺風(fēng)的時間；若不會，請說明理由39明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作算法統(tǒng)宗中寫了一首計算秋千繩索長度的詞西江月“平地秋千未起，踏板一尺離地送行二步恰竿齊，五尺板高離地”翻譯成現(xiàn)代文為如圖，秋千OA靜止的時候，踏板離地高一尺（AC1尺），將它往前推進(jìn)兩步（EB10尺），此時踏板升高離地五尺（BD5尺），求秋千繩索（OA或OB）的長度40如圖，AOB90，OA45CM，OB15CM，一機(jī)器人在點B處看見一個小球從點A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點O，機(jī)器人立即從點B出發(fā)，沿直線勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點C處截住了小球如果小球滾動的速度與機(jī)器人行走的速度相等，那么機(jī)器人行走的路程BC是多少1已知直角三角形兩邊的長為3和4，則此三角形的周長為（）A12B7C12或7D以上都不對2圖中字母所代表的正方形的面積為144的選項為（）ABCD3如圖，數(shù)軸上的點A所表示的數(shù)為X，則X的值為（）ABC2D24如圖，帶陰影的正方形面積是5如圖，在RTABC中，BCA90，點D是BC上一點，ADBD，若AB8，BD5，則CD6正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點，（1）在圖中，畫一個面積為10的正方形；（2）在圖、圖中，分別畫兩個不全等的直角三角形，使它們的三邊長都是無理數(shù)初二數(shù)學(xué)勾股定理提高練習(xí)與?？茧y題和培優(yōu)題壓軸題含解析參考答案與試題解析一選擇題（共8小題）1（2016秋吳江區(qū)期中）直角三角形兩直角邊長度為5，12，則斜邊上的高（）A6B8CD【分析】首先根據(jù)勾股定理，得斜邊13再根據(jù)直角三角形的面積公式，求出斜邊上的高【解答】解由題意得，斜邊為13所以斜邊上的高12513故選D【點評】運用了勾股定理注意直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊2（2016春撫順縣期中）下列說法中正確的是（）A已知A，B，C是三角形的三邊，則A2B2C2B在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方C在RTABC中，C90，所以A2B2C2D在RTABC中，B90，所以A2B2C2【分析】在直角三角形中只有斜邊的平方等于其他兩邊的平方的和，且斜邊對角為直角，根據(jù)此就可以直接判斷A、B、C、D選項【解答】解在直角三角形中只有斜邊的平方等于其他兩邊的平方的和，且斜邊對角為直角A、不確定C是斜邊，故本命題錯誤，即A選項錯誤；B、不確定第三邊是否是斜邊，故本命題錯誤，即B選項錯誤；C、C90，所以其對邊為斜邊，故本命題正確，即C選項正確；D、B90，所以斜邊為B，所以A2C2B2，故本命題錯誤，即D選項錯誤；故選C【點評】本題考查了勾股定理的正確運用，只有斜邊的平方才等于其他兩邊的平方和3（2016春臨沭縣期中）如圖，是臺階的示意圖已知每個臺階的寬度都是30CM，每個臺階的高度都是15CM，連接AB，則AB等于（）A195CMB200CMC205CMD210CM【分析】作出直角三角形后分別求得直角三角形的兩直角邊的長后即可利用勾股定理求得斜邊AB的長【解答】解如圖，由題意得AC15575CM，BC306180CM，故AB195CM故選A【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出直角三角形，難度不大4（2015春青山區(qū)期中）如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長10尺，它高出水而1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L度是（）A10尺B11尺C12尺D13尺【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為X尺，根據(jù)勾股定理解答【解答】解設(shè)水深為X尺，則蘆葦長為（X1）尺，根據(jù)勾股定理得X2（）2（X1）2，解得X12，蘆葦?shù)拈L度X112113（尺），故選D【點評】本題考查正確運用勾股定理善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵5（2016春南陵縣期中）如圖所示，在數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為A，則A的值為（）A1B1CD1【分析】點A在以O(shè)為圓心，OB長為半徑的圓上，所以在直角BOC中，根據(jù)勾股定理求得圓O的半徑OAOB，然后由實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系可以求得A的值【解答】解如圖，點A在以O(shè)為圓心，OB長為半徑的圓上在直角BOC中，OC2，BC1，則根據(jù)勾股定理知OB，OAOB，A1故選A【點評】本題考查了勾股定理、實數(shù)與數(shù)軸找出OAOB是解題的關(guān)鍵6（2015春薊縣期中）一架25米長的梯子底部距離墻腳07米，若梯子的頂端下滑04米，那么梯子的底部在水平方向滑動了（）A15米B09米C08米D05米【分析】先根據(jù)梯子的頂端下滑了04米求出AC的長，再根據(jù)勾股定理求出BC的長，進(jìn)而可得出結(jié)論【解答】解（1）在RTABC中，AB25M，BC07M，AC24（M）梯子的頂端下滑了04米，AC2M，在RTABC中，AB25M，AC2M，BC15M，BBBCBC150708M故選C【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握勾股定理在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方7（2015春羅田縣期中）在ABC中，ACB90，AC12，BC5，AMAC，BNBC，則MN的長為（）A2B26C3D4【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長即可解答【解答】解在RTABC中，根據(jù)勾股定理，AB13，又AC12，BC5，AMAC，BNBC，AM12，BN5，MNAMBNAB125134故選D【點評】本題綜合考查了勾股定理的應(yīng)用，找到關(guān)系MNAMBNAB是關(guān)鍵8（2016春重慶校級期中）如圖，是2002年北京第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會徽，由4個全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的短直角邊為A，較長直角邊為B，那么（AB）2的值為（）A13B19C25D169【分析】根據(jù)勾股定理，知兩條直角邊的平方等于斜邊的平方，此題中斜邊的平方即為大正方形的面積13，2AB即四個直角三角形的面積和，從而不難求得（AB）2的值【解答】解（AB）2A2B22AB大正方形的面積四個直角三角形的面積和13（131）25故選C【點評】考查了勾股定理的證明，注意完全平方公式的展開（AB）2A2B22AB，還要注意圖形的面積和A，B之間的關(guān)系二填空題（共5小題）9（2016春固始縣期中）將一根24CM的筷子，置于底面直徑為15CM，高8CM的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長度為HCM，則H的取值范圍是7CMH16CM【分析】如圖，當(dāng)筷子的底端在A點時，筷子露在杯子外面的長度最短；當(dāng)筷子的底端在D點時，筷子露在杯子外面的長度最長然后分別利用已知條件根據(jù)勾股定理即可求出H的取值范圍【解答】解如圖，當(dāng)筷子的底端在D點時，筷子露在杯子外面的長度最長，H24816CM；當(dāng)筷子的底端在A點時，筷子露在杯子外面的長度最短，在RTABD中，AD15，BD8，AB17，此時H24177CM，所以H的取值范圍是7CMH16CM故答案為7CMH16CM【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，求出H的值最大值與最小值是解題關(guān)鍵10（2015春汕頭校級期中）如圖，一場暴雨過后，垂直于地面的一棵樹在距地面1米的點C處折斷，樹尖B恰好碰到地面，經(jīng)測量AB2米，則樹高為（1）米【分析】根據(jù)題意利用勾股定理得出BC的長，進(jìn)而得出答案【解答】解由題意得在直角ABC中，AC2AB2BC2，則1222BC2，BC，則樹高為（1）M故答案為（1）【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練利用勾股定理得出BC的長是解題關(guān)鍵11（2016春高安市期中）已知RTABC中，C90，AB14CM，C10CM，則RTABC的面積等于24CM2【分析】利用勾股定理列出關(guān)系式，再利用完全平方公式變形，將AB與C的值代入求出AB的值，即可確定出直角三角形的面積【解答】解RTABC中，C90，AB14CM，C10CM，由勾股定理得A2B2C2，即（AB）22ABC2100，1962AB100，即AB48，則RTABC的面積為AB24（CM2）故答案為24CM2【點評】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵12（2016春嘉祥縣期中）觀察下列勾股數(shù)第一組3211，421（11），521（11）1第二組5221，1222（21），1322（21）1第三組7231，2423（31），2523（31）1第四組9241，4024（41），4124（41）1觀察以上各組勾股數(shù)組成特點，第7組勾股數(shù)是15，112，113（只填數(shù)，不填等式）【分析】通過觀察，得出規(guī)律這類勾股數(shù)分別為2N1，2N（N1），2N（N1）1，由此可寫出第7組勾股數(shù)【解答】解第1組3211，421（11），521（11）1，第2組5221，1222（21），1322（21）1，第3組7231，2423（31），2523（31）1，第4組9241，4024（41）4124（41）1，第7組勾股數(shù)是27115，27（71）112，27（71）1113，即15，112，113故答案為15，112，113【點評】此題考查的知識點是勾股數(shù)，屬于規(guī)律性題目，關(guān)鍵是通過觀察找出規(guī)律求解13（2009春武昌區(qū)期中）觀察下列一組數(shù)列舉3、4、5，猜想3245；列舉5、12、13，猜想521213；列舉7、24、25，猜想722425；列舉13、B、C，猜想132BC；請你分析上述數(shù)據(jù)的規(guī)律，結(jié)合相關(guān)知識求得B84，C85【分析】認(rèn)真觀察三個數(shù)之間的關(guān)系首先發(fā)現(xiàn)每一組的三個數(shù)為勾股數(shù)，第一個數(shù)為從3開始連續(xù)的奇數(shù)，第二、三個數(shù)為連續(xù)的自然數(shù)；進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)第一個數(shù)的平方是第二、三個數(shù)的和；最后得出第N組數(shù)為（2N1），（），（），由此規(guī)律解決問題【解答】解在3245中，4，5；在521213中，12，13；則在13、B、C中，B84，C85【點評】認(rèn)真觀察各式的特點，總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵三解答題（共27小題）14（2016春黃岡期中）A，B，C為三角形ABC的三邊，且滿足A2B2C233810A24B26C，試判別這個三角形的形狀【分析】現(xiàn)對已知的式子變形，出現(xiàn)三個非負(fù)數(shù)的平方和等于0的形式，求出A、B、C，再驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方即可【解答】解由A2B2C233810A24B26C，得（A210A25）（B224B144）（C226C169）0，即（A5）2（B12）2（C13）20，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得，解得，52122169132，即A2B2C2，C90，即三角形ABC為直角三角形【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用、完全平方公式、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可15（2016秋永登縣期中）如圖四邊形ABCD中，ABCB，CD，DA1，且ABCB于B試求（1）BAD的度數(shù)；（2）四邊形ABCD的面積【分析】連接AC，則在直角ABC中，已知AB，BC可以求AC，根據(jù)AC，AD，CD的長可以判定ACD為直角三角形，（1）根據(jù)BADCADBAC，可以求解；（2）根據(jù)四邊形ABCD的面積為ABC和ACD的面積之和可以解題【解答】解（1）連接AC，ABCB于B，B90，在ABC中，B90，AB2BC2AC2，又ABCB，AC2，BACBCA45，CD，DA1，CD25，DA21，AC24AC2DA2CD2，由勾股定理的逆定理得DAC90，BADBACDAC4590135；（2）DAC90，ABCB于B，SABC，SDAC，ABCB，DA1，AC2，SABC1，SDAC1而S四邊形ABCDSABCSDAC，S四邊形ABCD2【點評】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了根據(jù)勾股定理逆定理判定直角三角形，考查了直角三角形面積的計算，本題中求證ACD是直角三角形是解題的關(guān)鍵16（2016春鄒城市校級期中）如圖，小華準(zhǔn)備在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，作一個三邊長分別為4，5，的三角形，請你幫助小華作出來【分析】直接利用網(wǎng)格結(jié)合勾股定理求出答案【解答】解如圖所示ABC即為所求【點評】此題主要考查了勾股定理，正確借助網(wǎng)格求出是解題關(guān)鍵17（2015春平南縣期中）如圖所示，在一次夏令營活動中，小明坐車從營地A點出發(fā)，沿北偏東60方向走了100KM到達(dá)B點，然后再沿北偏西30方向走了100KM到達(dá)目的地C點，求出A、C兩點之間的距離【分析】根據(jù)所走的方向可判斷出ABC是直角三角形，根據(jù)勾股定理可求出解【解答】解ADBEABEDAB60CBE30ABC180ABECBE180603090，在RTABC中，200，A、C兩點之間的距離為200KM【點評】本題考查勾股定理的應(yīng)用，先確定是直角三角形后，根據(jù)各邊長，用勾股定理可求出AC的長，且求出DAC的度數(shù)，進(jìn)而可求出點C在點A的什么方向上18（2015秋新泰市期中）如圖，在氣象站臺A的正西方向320KM的B處有一臺風(fēng)中心，該臺風(fēng)中心以每小時20KM的速度沿北偏東60的BD方向移動，在距離臺風(fēng)中心200KM內(nèi)的地方都要受到其影響（1）臺風(fēng)中心在移動過程中，與氣象臺A的最短距離是多少（2）臺風(fēng)中心在移動過程中，氣象臺將受臺風(fēng)的影響，求臺風(fēng)影響氣象臺的時間會持續(xù)多長【分析】（1）過A作AEBD于E，線段AE的長即為臺風(fēng)中心與氣象臺A的最短距離，由含30角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)題意得出線段CD就是氣象臺A受到臺風(fēng)影響的路程，求出CD的長，即可得出結(jié)果【解答】解（1）過A作AEBD于E，如圖1所示臺風(fēng)中心在BD上移動，AE的長即為氣象臺距離臺風(fēng)中心的最短距離，在RTABE中，ABE906030，AEAB160，即臺風(fēng)中心在移動過程中，與氣象臺A的最短距離是160KM（2）臺風(fēng)中心以每小時20KM的速度沿北偏東60的BD方向移動，在距離臺風(fēng)中心200KM內(nèi)的地方都要受到其影響，線段CD就是氣象臺A受到臺風(fēng)影響的路程，連接AC，如圖2所示在RTACE中，AC200KM，AE160KM，CE120KM，ACAD，AECD，CEED120KM，CD240KM臺風(fēng)影響氣象臺的時間會持續(xù)2402012（小時）【點評】本題考查了勾股定理在實際生活中的應(yīng)用、垂徑定理、含30角的直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握垂徑定理和勾股定理，求出CD是解決問題（2）的關(guān)鍵19（2015春陽東縣期中）如圖，已知ABC中，B90，AB8CM，BC6CM，P、Q分別為AB、BC邊上的動點，點P從點A開始沿AB方向運動，且速度為每秒1CM，點Q從點B開始BC方向運動，且速度為每秒2CM，它們同時出發(fā)；設(shè)出發(fā)的時間為T秒（1）出發(fā)2秒后，求PQ的長；（2）從出發(fā)幾秒鐘后，PQB能形成等腰三角形（3）在運動過程中，直線PQ能否把原三角形周長分成相等的兩部分若能夠，請求出運動時間；若不能夠，請說明理由【分析】（1）我們求出BP、BQ的長，用勾股定理解決即可（2）PQB形成等腰三角形，即BPBQ，我們可設(shè)時間為T，列出方程2T81T，解方程即得結(jié)果（3）直線PQ把原三角形周長分成相等的兩部分，根據(jù)勾股定理可知AC10CM，即三角形的周長為24CM，則有BPBQ12，即2T（81T）12，解方程即可【解答】解（1）出發(fā)2秒后，AP2，BQ4，BP826，PQ2；（3分）（2）設(shè)時間為T，列方程得2T81T，解得T；（6分）（3）假設(shè)直線PQ能把原三角形周長分成相等的兩部分，由AB8CM，BC6CM，根據(jù)勾股定理可知AC10CM，即三角形的周長為861024CM，則有BPBQ2412，設(shè)時間為T，列方程得2T（81T）12，解得T4，當(dāng)T4時，點Q運動的路程是4286，所以直線PQ不能夠把原三角形周長分成相等的兩部分（10分）【點評】本題重點考查了利用勾股定理解決問題的能力，綜合性較強(qiáng)20（2014秋江陰市期中）在ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為、，求這個三角形的面積小華同學(xué)在解答這道題時，先畫一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點ABC（即ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示這樣不需求ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積這種方法叫做構(gòu)圖法（1）ABC的面積為35（2）若DEF三邊的長分別為、，請在圖2的正方形網(wǎng)格中畫出相應(yīng)的DEF，并利用構(gòu)圖法求出它的面積為3（3）如圖3，ABC中，AGBC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向ABC外作等腰RTABE和等腰RTACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論（4）如圖4，一個六邊形的花壇被分割成7個部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面積分別為13M2、25M2、36M2，則六邊形花壇ABCDEF的面積是110M2【分析】（1）利用ABC所在的正方形的面積減去四周三個小直角三角形的面積，計算即可得解；（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)和勾股定理作出DEF，再利用DEF所在的矩形的面積減去四周三個小直角三角形的面積，計算即可得解；（3）利用同角的余角相等求出BAGAEP，然后利用“角角邊”證明ABG和EAP全等，同理可證ACG和FAQ全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EPAGFQ；（4）過R作RHPQ于H，設(shè)PHH，在RTPRH和RTRQH中，利用勾股定理列式表示出PQ，然后解無理方程求出H，從而求出PQR的面積，再根據(jù)六邊形被分成的四個三角形的面積相等，總面積等于各部分的面積之和列式計算即可得解【解答】解（1）ABC的面積33213123，91153，955，35；（2）DEF如圖2所示；面積24122214，8122，85，3；（3）ABE是等腰直角三角形，ABAE，BAE90，PAEBAG1809090，又AEPPAE90，BAGAEP，在ABG和EAP中，ABGEAP（AAS），同理可證，ACGFAQ，EPAGFQ；（4）如圖4，過R作RHPQ于H，設(shè)RHH，在RTPRH中，PH，在RTRQH中，QH，PQ6，6，兩邊平方得，25H2361213H2，整理得，2，兩邊平方得，13H24，解得H3，SPQR639，六邊形花壇ABCDEF的面積251336497436110M2故答案為（1）35；（2）3；（4）110【點評】本題考查了勾股定理，構(gòu)圖法求三角形的面積，全等三角形的判定與性質(zhì)，讀懂題目信息，理解構(gòu)圖法的操作方法是解題的關(guān)鍵21（2016春周口期中）（1）在ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為、，求這個三角形的面積如圖1，某同學(xué)在解答這道題時，先建立一個每個小正方形的邊長都是1的網(wǎng)格，再在網(wǎng)格中畫出邊長符合要求的格點三角形ABC（即ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），這樣不需要求ABC的高，而借用網(wǎng)格就能就算出它的面積請你將ABC的面積直接填寫在橫線上35思維拓展（2）已知ABC三邊的長分別為A（A0），求這個三角形的面積我們把上述求ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法如圖2，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是A，請在網(wǎng)格中畫出相應(yīng)的ABC，并求出它的面積類比創(chuàng)新（3）若ABC三邊的長分別為（M0，N0，且MN），求出這個三角形的面積如圖3，網(wǎng)格中每個小長方形長、寬都是M，N，請在網(wǎng)格中畫出相應(yīng)的ABC，用網(wǎng)格計算這個三角形的面積【分析】（1）根據(jù)矩形的面積公式和三角形的面積公式計算即可；（2）根據(jù)勾股定理在網(wǎng)格中畫出相應(yīng)的ABC，根據(jù)矩形的面積公式和三角形的面積公式求出它的面積；（3）根據(jù)勾股定理在網(wǎng)格中畫出相應(yīng)的ABC，根據(jù)矩形的面積公式和三角形的面積公式求出它的面積【解答】解（1）ABC的面積2412141335，故答案為35；（2）如圖2，ABC的面積3A4A3A2AA4A2A2A5A2；（3）如圖3，ABC的面積4M4NM4N3MN4M3N65MN【點評】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵22（2015春羅田縣期中）有一只喜鵲在一棵3M高的小樹上覓食，它的巢筑在距離該樹24M的一棵大樹上，大樹高14M，且巢離樹頂部1M當(dāng)它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即趕過去，如果它飛行的速度為5M/S，那它至少需要多少時間才能趕回巢中【分析】根據(jù)題意，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理解答【解答】解如圖，由題意知AB3，CD14113，BD24過A作AECD于E則CE13310，AE24，在RTAEC中，AC2CE2AE2102242AC26，26552（S）【點評】本題考查正確運用勾股定理善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵23（2014春鎮(zhèn)原縣校級期中）（拓展創(chuàng)新）在教材中，我們通過數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形的三邊關(guān)系，利用完全相同的四個直角三角形采用拼圖的方式驗證了勾股定理的正確性問題1以直角三角形的三邊為邊向形外作等邊三角形，探究SS與S的關(guān)系（如圖1）問題2以直角三角形的三邊為斜邊向形外作等腰直角三角形，探究SS與S的關(guān)系（如圖2）問題3以直角三角形的三邊為直徑向形外作半圓，探究SS與S的關(guān)系（如圖3）【分析】這三道題主要在勾股定理的基礎(chǔ)上結(jié)合具體圖形的面積公式，運用等式的性質(zhì)即可得到相同的結(jié)論【解答】解探究1由等邊三角形的性質(zhì)知SA2，SB2，SC2，則SS（A2B2），因為A2B2C2，所以SSS探究2由等腰直角三角形的性質(zhì)知SA2，SB2，SC2則SS（A2B2），因為A2B2C2，所以SSS探究3由圓的面積計算公式知SA2，SB2，SC2則SS（A2B2），因為A2B2C2，所以SSS【點評】熟悉各種圖形的面積公式，結(jié)合勾股定理，運用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形24（2014春三水區(qū)校級期中）如圖，在平面坐標(biāo)系中，點A、點B分別在X軸、Y軸的正半軸上，且OAOB，另有兩點C（A，B）和D（B，A）（A、B均大于0）；（1）連接OD、CD，求證ODC45；（2）連接CO、CB、CA，若CB1，C02，CA3，求OCB的度數(shù)；（3）若AB，在線段OA上有一點E，且AE3，CE5，AC7，求OCA的面積【分析】（1）過C點、D點向X軸、Y軸作垂線，運用勾股定理計算，結(jié)合全等可證；（2）連接DA，證OCBODA（SAS），可得ADCB1，而OCOD2，故CD，根據(jù)勾股定理逆定理可證ADC90，易得OCBODA135；（3）作CFOA，F(xiàn)為垂足，有CF2CE2EF2，CF2CA2AF2CA2（AEEF）2，設(shè)EFX，列出關(guān)于X的方程，求得X，再在RTCEF中，根據(jù)勾股定理求得CF，然后由三角形的面積公式即可求解【解答】（1）證明過C點、D點向X軸、Y軸作垂線，垂足分別為M、NC（A，B），D（B，A）（A、B均大于0），OMONA，CMDNB，OCMODN（SAS），COMDONDONMOD90，COMMOD90，OCOD，COD是等腰直角三角形，ODC45；（2）解連接DA在OCB與ODA中，OCBODA（SAS），ADCB1，OCBODAOCOD2，CDAD2CD2189，AC29，AD2CD2AC2，ADC90，OCBODA9045135；（3）解作CFOA，F(xiàn)為垂足，由勾股定理得CF2CE2EF2，CF2CA2AF2CA2（AEEF）2，設(shè)EFX，可得52X272（3X）2，解得X在RTCEF中，得CF，OFCF，OCA的面積【點評】本題考查了全等三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，三角形的面積，有一定難度準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵25（2015春定州市期中）11世紀(jì)的一位阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾提出一個“鳥兒捉魚”的問題“小溪邊長著兩棵棕櫚樹，恰好隔岸相望一棵樹高是30肘尺（肘尺是古代的長度單位），另外一棵高20肘尺；兩棵棕櫚樹的樹干間的距離是50肘尺每棵樹的樹頂上都停著一只鳥忽然，兩只鳥同時看見棕櫚樹間的水面上游出一條魚，它們立刻飛去抓魚，并且同時到達(dá)目標(biāo)問這條魚出現(xiàn)的地方離開比較高的棕櫚樹的樹根有多遠(yuǎn)【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理建立方程，求出X的值即可【解答】解畫圖解決，通過建模把距離轉(zhuǎn)化為線段的長度由題意得AB20，DC30，BC50，設(shè)EC為X肘尺，BE為（50X）肘尺，在RTABE和RTDEC中，AE2AB2BE2202（50X）2，DE2DC2EC2302X2，又AEDE，X2302（50X）2202，X20，答這條魚出現(xiàn)的地方離比較高的棕櫚樹的樹根20肘尺另解設(shè)這條魚出現(xiàn)的地方離比較高的棕櫚樹的樹根肘尺，則這條魚出現(xiàn)的地方離比較低的棕櫚樹的樹根（50X）肘尺得方程X2302（50X）2202可解的X20；答這條魚出現(xiàn)的地方離比較高的棕櫚樹的樹根20肘尺【點評】本題考查勾股定理的正確運用；善于挖掘題目的隱含信息是解決本題的關(guān)鍵26（2009秋曲阜市校級期中）（1）先化簡，再求值X（X2）（X1）（X1），其中X10（2）已知，求代數(shù)式（X1）24（X1）4的值（3）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫格點，請在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖從點A出發(fā)在圖中畫一條線段AB，使得AB；畫出一個以（1）中的AB為斜邊的等腰直角三角形，使三角形的三個頂點都在格點上，并根據(jù)所畫圖形求出等腰直角三角形的腰長【分析】（1）（2）根據(jù)化簡整式的方法，化簡方程式；（3），所以畫的線段，讓其成為直角三角形的斜邊即可，該直角三角形一條直角邊為2，一條直角邊為4，根據(jù)題意解題【解答】解（1）X（X2）（X1）（X1）X22X（X21）X22XX212X1，代入X10時，原式2X119（2）（X1）24（X1）4X22X14X44X22X1，代入X，原式2（）131217（3）根據(jù)勾股定理，AB，根據(jù)題意畫出等腰直角三角形，ACB90AC2BC2AB2，且ACBC，ACBC答該直角三角形腰長為，圖形見上圖【點評】本題考查的是整式的化簡，考查等腰直角三角形中勾股定理的運用，畫出圖形是解本題的關(guān)鍵27（2015春新泰市期中）問題情境勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進(jìn)行證明，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出把“數(shù)學(xué)關(guān)系”（勾股定理）帶到其它星球，作為地球人與其他星球“人”進(jìn)行第一次“談話”的語言；定理表述請你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理；嘗試證明以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，將兩個直角邊長為A，B，斜邊長為C的三角形按如圖所示的方式放置，連接兩個之間三角形的另外一對銳角的頂點（如圖2），請你利用圖2，驗證勾股定理；知識擴(kuò)展利用圖2中的直角梯形，我們可以證明，其證明步驟如下BCAB，AD又在直角梯形ABCD中，有BCAD（填大小關(guān)系），即BCAD【分析】（1）根據(jù)勾股定理用文字及符號語言敘述；（2）利用SAS可證ABEECD，可得對應(yīng)角相等，結(jié)合90的角，可證AED90，利用梯形面積等于三個直角三角形的面積和，可證A2B2C2；（3）在直角梯形ABCD中，BCAD，由于已證AED是直角三角形，那么利用勾股定理有ADC，從而可證【解答】解（1）勾股定理在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方（2）如果直角三角形的兩直角邊長為A，B，斜邊長為C，那么A2B2C2RTABERTECD，AEBEDC；又EDCDEC90，AEBDEC90；AED90；S梯形ABCDSRTABESRTDECSRTAED（AB）（AB）ABABC2；（A22ABB2）ABABC2；整理得A2B2C2（3）ADC，BCAD，ABC，即故答案為；BCAD【點評】考查了勾股定理的證明，本題利用了全等三角形的判定和性質(zhì)、面積分割法、勾股定理等知識28（2015秋貴陽校級期中）觀察、思考與驗證（1）如圖1是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式（AB）2A22ABB2；（2）如圖2所示，BD90，且B，C，D在同一直線上試說明ACE90；（3）伽菲爾德（1881年任美國第20屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（發(fā)表在1876年4月1日的新英格蘭教育日志上），請你寫出驗證過程【分析】（1）由大正方形面積的兩種計算方法即可得出結(jié)果；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出BACDCE，再由角的互余關(guān)系得出ACBDCE90，即可得出結(jié)論；（3）先證明四邊形ABDE是梯形，由四邊形ABDE的面積的兩種計算方法即可得出結(jié)論【解答】（1）解這個公式是完全平方公式（AB）2A22ABB2；理由如下大正方形的邊長為AB，大正方形的面積（AB）2，又大正方形的面積兩個小正方形的面積兩個矩形的面積A2B2ABABA22ABB2，（AB）2A22ABB2；故答案為（AB）2A22ABB2；（2）證明ABCCDE，BACDCE，ACBBAC90，ACBDCE90，ACE90；（3）證明BD90，BD180，ABDE，即四邊形ABDE是梯形，四邊形ABDE的面積（AB）（AB）ABC2AB，