高中數(shù)學必修1必修4知識匯編在充滿好奇、期待和緊張的心緒中，我們一起渡過了高一一個學期，一學期以來，我們在數(shù)學上傾注了大量的心血，我們有收獲也有困惑，對一些問題既清晰又模糊。因此在寒假休息之余，同學們一定要抽出些許時間對學過的知識進行梳理，達到知識條理化、清晰化并及時總結常規(guī)的解題思路方法，防止解題易誤點的產生，對提升數(shù)學素養(yǎng)將會起到較大的作用其中未盡之處請同學們自行補充。祝同學們寒假過的充實、愉快新年快樂，合家幸福高一數(shù)學組一、集合理解集合中元素的意義是解決集合問題的關鍵，數(shù)形結合是解集合問題的常用方法解題時要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標系或韋恩圖等工具。1集合A、B，時，你是否注意到“極端”情況或；AB例如（1）已知集合若，則實數(shù),12,52PXBXAP的取值范圍是。（）3P2對于含有N個元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為，N2，1，2N3，IIICABCIIIABC二、函數(shù)函數(shù)問題的切入點是函數(shù)的定義、定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、對稱性等4映射1映射中第一個集合中的元素必有像，但第二個集合中的元素不一定有原像（中元素的BA像有且僅有下一個，但中元素的原像可能沒有，也可任意個）；函數(shù)是“非空數(shù)集上的映射”，B其中“值域是映射中像集的子集”2函數(shù)圖像與軸垂線至多一個公共點，但與軸垂線的公共點可能沒有，也可任意個XY3函數(shù)圖像一定是坐標系中的曲線，但坐標系中的曲線不一定能成為函數(shù)圖像5函數(shù)的幾個重要性質（一）對稱性（1）如果函數(shù)對于一切，都有，那么函數(shù)的圖象XFYRXAFFXFY關于直線對稱AX（2）函數(shù)與函數(shù)的圖象關于Y軸對稱FXAFY（3）函數(shù)與函數(shù)的圖象關于X軸對稱Y（4）函數(shù)與函數(shù)的圖象關于原點對稱XAFF（二）周期性如果函數(shù)對于一切，都有，那么函數(shù)是周期函數(shù)，YRAXFXFYT2A；特別若恒成立，則0FXFXA2T若恒成立，則10FXAF2TA若恒成立，則X如果是周期函數(shù)，那么的定義域“無界”YFYFX（三）翻折變換Y|FX|保留函數(shù)YFX在X軸上方圖象，再將函數(shù)YFX在X軸下方圖象以X軸為對稱軸翻折上去就得到Y|FX|的圖像。YF|X|作出函數(shù)YFX在Y軸右邊圖象，再將函數(shù)YFX在Y軸右邊的圖象以Y軸為對稱軸翻折過去，就得到YF|X|的圖像。6作函數(shù)圖象常用方法有三種1列表描點法；2基本函數(shù)圖象變換法（常見的基本函數(shù)有正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、對號函數(shù)）0KYX7在處理有關指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與整式函數(shù)相結合的方程根的問題時，通常采用數(shù)形結合的方法。8求二次函數(shù)區(qū)間上的最值問題時你注意了X的取值范圍嗎求最值問題的常用方法有哪些（二次函數(shù)法、三角函數(shù)法等）9單調性和奇偶性1奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性完全相同偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性恰恰相反單調函數(shù)的反函數(shù)和原函數(shù)有相同的單調性；如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù)注意（1）確定函數(shù)的奇偶性，務必先判定函數(shù)定義域是否關于原點對稱確定函數(shù)奇偶性的常用方法有定義法、圖像法等等對于偶函數(shù)而言有|FXFX（2）若奇函數(shù)定義域中有0，則必有0（3）確定函數(shù)的單調性或單調區(qū)間，在解答題中常用定義法（取值、作差、定號）；在選擇、填空題中還有數(shù)形結合法圖像法、特殊值法等等10抽象函數(shù)的單調性、奇偶性一定要緊扣函數(shù)性質利用單調性、奇偶性的定義求解。11解決抽象函數(shù)問題的基本策略是賦值疊代、數(shù)形結合、原型啟迪。12解對數(shù)函數(shù)問題時，你注意到真數(shù)與底數(shù)的限制條件了嗎（真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1）字母底數(shù)還需討論呀例函數(shù)的值域是R，則的取值范圍是。（）（。4LOG250AXYA），（413對數(shù)的換底公式及它的變形，你掌握了嗎（）BABANCALOGL,LOGL14你還記得對數(shù)恒等式嗎（）BALOG15“實系數(shù)一元二次方程有實數(shù)解”轉化為“”，你是否注意到02CX042B必須；當A0時，“方程有解”不能轉化為若原題中沒有指出是“二0042ACB次”方程、函數(shù)或不等式，你是否考慮到二次項系數(shù)可能為零的情形或已經指出，你是否注意到自變量的限制條件例關于X的方程2KX28K1X8K0有兩個不相等的實根，則K的取值范圍是K1/16且K0三、三角函數(shù)16在解三角問題時，你注意到正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域了嗎你注意到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性及其它性質了嗎例已知直線是函數(shù)（其中）的圖象的一條對稱軸，6X）（）（3SINXF6則的值是。（）0,1517一般說來，周期函數(shù)加絕對值或平方，其周期減半（如的周期都是,2SINSIYX與但的周期為，的周期為）XYCOSIN2XYTAN18函數(shù)是周期函數(shù)嗎（都不是）2,IY19三角函數(shù)圖像相位變換時要緊扣“針對自變量”、周期變換時要緊扣“周期的變化”例1、為了得到函數(shù)的圖像，只要將的圖像向3SIN2FX（）（）3SIN2FX（）平移個單位即可（左，）6例2、將函數(shù)的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，就可以得?SIN2FXX（）（）的圖像向（）3SINFX（）（）20在三角中，你知道1等于什么嗎（221SINCOXTANCOTA4X這些統(tǒng)稱為1的代換常數(shù)“1”的種種代換有著廣泛的應用SINCO02（例如，2222SICOST1NANXXXTA1TA45T45NT21在三角的恒等變形中，要特別注意角的各種變換（如,等）2222你還記得誘導公式的口訣嗎（奇變偶不變，符號看象限奇偶指什么怎么看待角所在的象限）23你還記得三角化簡的通性通法嗎（弦切互化、降冪公式二倍角公式逆用、用三角公式轉化出現(xiàn)特殊角異角化同角，異名化同名，高次化低次，即化統(tǒng)一的思想統(tǒng)一函數(shù)名稱,統(tǒng)一次數(shù),統(tǒng)一角）24你還記得在弧度制下弧長公式和扇形面積公式嗎12LRSLR與25引入輔助角公式（其中角所在的象限由A,B的符2SINCOSSINAXBABX號確定，角的值由確定）在求最值、化簡時起著至關重要作用T四、平面向量26向量解題的基本思路（1）幾何法像、等都具備幾何意義，ABCOSACOS,INA解題時若能充分利用可起到事半功倍之效果；例已知向量，向量，則的最大值是COS,IN3,12B如圖將和起點放在原點，則和終點都在半徑為2AB2AB的圓上，故的最大值是42（2）選基底一般選已知模長、夾角且不共線的兩個做基底（3）建立平面直角坐標系只要將各點坐標順利求出，運用向量極為方便。27三點A、B、C共線證明方法（1）平行向量共點法0ABC2線外一點法1OXYX宿州二中高一數(shù)學（必修一）寒假作業(yè)一、選擇題（每題5分，滿分60分）1、下列四個集合中，是空集的是（）A頭HTP/WXJKYGCOM126T/JB頭HTP/WXJKYGCOM126T/J3|,|,2RYXC頭HTP/WXJKYGCOM126T/JD頭HTP/WXJKYGCOM126T/J,0|RX0|22設AA，B，集合BA1，5，若AB2，則AB（）A、1，2B、1，5C、2，5D、1，2，53函數(shù)的定義域為（）21XFA、1，22，）B、1，）C、1，2D、1，4設F，G都是由A到A的映射，其對應法則如下表（從上到下）表1映射F的對應法則原像1234像3421表2映射G的對應法則原像1234像4312則與相同的是（）1GFABCD32FG4FG1FG5、下圖是指數(shù)函數(shù)、的圖象，則與1的大1XAY2XB3XCY4XDDCBA,小關系是（）ABDCAD1CDAB1BC6函數(shù)Y|LG（X1）|的圖象是（）7已知，則三者的大小關系是（）30LOG2A30B20CCBA,A、B、C、D、CAABC8函數(shù)YAX2BX3在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，則（）1,1A、B0且A0D、A，B的符號不定9函數(shù)上的最大值與最小值的和為3，則（）,在XYA、B、2C、4D、214110設，則使為奇函數(shù)且在（0，）上單調遞減的,13,XY值的個數(shù)為（）A、1B、2C、3D、411已知實數(shù)且，則的取值范圍為0AB，A221AB（）（）A；B；C；D。952，9，）90，05，12、函數(shù)，則21XF2321FFF29131FFA2005B2006C2007D2008二、填空題（每題4分，滿分16分）13求值，；316824LOG5714已知冪函數(shù)的圖象過點，則；XFY,9F15、若，則0A234923LOGA16、根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程的一個根所在的區(qū)間是20XEX1012303712727392009212345三、解答題（本題滿分74分，要求寫出必要的步驟和過程）17（本小題12分）已知集合A，B，且，求由實數(shù)所構0652X01MXBAM成的集合，并寫出的所有子集。M18、（本小題12分）計算（1）634321141YXYX（2）BABAALOGL2LOGLOG219、（本小題滿分12分）已知，函數(shù),21LOGFXX42GXFFX求（1）函數(shù)的定義域；（2）函數(shù)的值域GX20（本小題滿分12分）探究函數(shù)的最小值，并確定取得最小值時X,0,4XF的值列表如下X05115171922122233457Y85541740540054400540240443558757請觀察表中Y值隨X值變化的特點，完成以下的問題函數(shù)在區(qū)間（0，2）上遞減，則函數(shù)在區(qū)間4F0XF上遞增；函數(shù),當時，；XF最小YE函數(shù)時，有最值嗎是最大值還是最小值此時X為何值04XF21（本小題12分）設函數(shù)（、）滿足，且對任意實12BXAXFAR01F數(shù)X均有0成立，F(xiàn)求實數(shù)、的值；AB當時，求函數(shù)的最大值2,2TTG22（本小題滿分14分）已知函數(shù)是定義在上的函數(shù),若對于任意,都有FX1,1XY，且0時,有0FXYFY判斷函數(shù)的奇偶性；判斷函數(shù)在上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結論；X1，設,若,對所有,恒成立,求實數(shù)的取值1FF21MA1XAM范圍宿州二中08級高一數(shù)學寒假作業(yè)（必修4第1、3章）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1、以下命題正確的是（）A都是第一象限角，若，則,SINICOSB都是第二象限角，若，則TANTC都是第三象限角，若，則,COIID都是第四象限角，若，則SINITT2、設,且,則（）02X1I2XXABCD745432X3、函數(shù)在上的圖像大致是（）SIN23FX0,4、化簡（）1SIN4COSABCDCOTT2TANTAN25、銳角滿足則的值為（）A1SIC,4AN（A）（B）（C）（D）23323236、已知，則（）21SINCOS1SIN0（A）是第三象限角（B）是第四象限角（C）（D）322,KKZ322,KKZ7、函數(shù)的圖像的一條對稱軸方程為（）5SINYX（A）（B）（C）（D）54X2X8X4X8、已知則等于（）3,SIN,25TA4（A）（B）（C）（D）1771779、函數(shù)的最小值是，其圖像中相鄰的最高點和最低點的橫坐SI0,YXA2標的差是3，又圖像經過點（0，1），則這個函數(shù)的解析式是（）（A）（B）2SIN61SIN36YX（C）（D）I3YX2I10、已知函數(shù)，則下列結論中正確的是（）COSIN（A）是奇函數(shù)（B）不是周期函數(shù)（C）定義域1，1（D）值域是COS1,11、若，,，則的值等于（）,0,23CS21SIN2CS（A）（B）（C）（D）311312、判斷下列各命題若是第一象限角，且，則；函數(shù),COS是偶函數(shù)；若函數(shù)，則是偶27SIN3YX55SIN,22XXFGFX函數(shù)，是奇函數(shù)若函數(shù)的圖像向左平移個單位，得到函數(shù)GSI2Y4的圖像。其中正確有命題為（）SIN24YX（A）（B）（C）（D）二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上）13、COS43COS77SIN43COS167的值為_14、要得到的圖像，且使平移的距離最短，則需將函數(shù)的圖像向COS2YXSIN2YX_平移_單位，即可得到15、由函數(shù)與函數(shù)的圖像圍5SIN36YX2YXR成一個封閉圖形，這個封閉圖形的面積是_16、關于三角函數(shù)的圖像，有下列命題正確的有與的圖像關于軸對稱；與的圖像相同；SINYXSIYXYCOSYXCOSYX與的圖像關于軸對稱；與的圖像關于軸XY對稱；三、解答題（本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17、（12分）1已知，求證SIN1TAN2TAN02求函數(shù)的最大值和最小值SINCO6YX18、（12分）已知函數(shù)2COS3XFX1求的單調遞增區(qū)間；2若求的最大值和最小值FX,F19、（12分）已知函數(shù)SIN0,2FXAXXR在一個周期內的圖像如圖所示（1）求函數(shù)的解析式；FX（2）設，求，的值12COSGFX54G20（12分）已知函數(shù),2,COS26SIN2XXF（1）若，求函數(shù)的值；（2）求函數(shù)的值域54SINXFF21、（12分）已知函數(shù)23SIN2SIN61FXXXR（I）求函數(shù)的最小正周期；（II）求使函數(shù)取得最大值的集合。FX22、（14分）函數(shù)的最小值為212COSINFXAXGAR（1）求；（2）若，求及此時的最大值GAGF必修4第二章平面向量單元練習一、選擇題1在矩形ABCD中，O是對角線的交點，若（）125,3BCEDOC則ABCD1253E1253E22153E2對于菱形ABCD，給出下列各式A|B2其中正確的個數(shù)為（）|CD|4A1個B2個C3個D4個3在ABCD中，設，則下列等式中不正確的是（）,ADBCDABCDABCABDBADCAB4已知向量反向，下列等式中成立的是（）與AB|BCD5已知平行四邊形三個頂點的坐標分別為（1，0），（3，0），（1，5），則第四個點的坐標為（）A（1，5）或（5，5）B（1，5）或（3，5）C（5，5）或（3，5）D（1，5）或（3，5）或（5，5）6與向量平行的單位向量為（）2,DABC或D,3,1,2135,2135,27若，則的數(shù)量積為（）|40AB|4|5ABAB與A10B10C10D1038若將向量圍繞原點按逆時針旋轉得到向量,則的坐標為）2,ABCD,23,2,32,39設KR，下列向量中，可與向量組成基底的向量是（）1QAB,B,CKCD21DK21E10已知，且，則的夾角為（）|0,|A365ABAB與A60B120C135D15011在ABC中，D、E、F分別BC、CA、AB的中點，點M是ABC的重心，則等于（）MABCDOM4F4E412已知，滿足對任意，恒有，則（）,1AETRATEABCDAEAE二、填空題13非零向量滿足，則的夾角為,B|B,14在四邊形ABCD中，若,則四邊形ABCD的形狀是,|ADAB且15已知，若平行，則3,2A,1與16已知為單位向量，4，的夾角為，則方向上的投影為E|AE與32E在17兩個粒子A，B從同一粒子源發(fā)射出來，在某一時刻，以粒子源為原點，它們的位移分別為SA（3，4），SB（4，3），（1）此時粒子B相對于粒子A的位移；（2）求S在SA方向上的投影。三、解答題18已知非零向量滿足,求證,|A19已知在直角ABC中，求K的值2,3AB1,C20設是兩個不共線的向量，若A、B、D12,E121212,3,EKBECDE三點共線，求K的值21已知,的夾角為60O,當當實數(shù)為何值時，|2A|3BA與53CABDAKBKCD22如圖，ABCD為正方形，P是對角線DB上一點，PECF為矩形，求證PAEF；PAEF23如圖，矩形ABCD內接于半徑為R的圓O，點P是圓周上任意一點，求證PA2PB2PC2PD28R224一只漁船在航行中遇險，發(fā)出求救警報，在遇險地西南方向10MILE處有一只貨船收到警報立即偵察，發(fā)現(xiàn)遇險漁船沿南偏東750，以9MILE/H的速度向前航行，貨船以21MILE/H的速度前往營750ABC東北450救，并在最短時間內與漁船靠近，求貨船的位移及COSABC。高一寒假數(shù)學試卷（必修1、4綜合）一、選擇題本大題共12小題每小題5分；共60分1若，則是,234,1,2,3UMNNMCUABCD1,3442已知向量3，1，2K1，K），則K的值是ABABA1BCD3735353下列函數(shù)中，在（0，）上單調遞增的是AYSIN（X）BYCOS（X）CYTANDYTAN2X222X4有下列命題；AN1,NN24AB6235，其中正確命題的個數(shù)是33LOG5L62A0個B1個C2個D3個5已知角與120角的終邊相同，那么的終邊不可能落在3A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6若冪函數(shù)在0，上是增函數(shù)，則1MXFA1B1C1D不能確定M7已知FXAX2BXC（A0），分析該函數(shù)圖象的特征，若方程FX0一根大于3，另一根小于2，則下列推理不一定成立的是A23B4ACB20CF20DF30BA8下列函數(shù)中，圖象的一部分如右圖所示的是ABSIN6YXCOS26YXCDI2439函數(shù)是12COS1SIN2XXYA周期為的偶函數(shù)B周期為的奇函數(shù)C周期為的偶函數(shù)D周期為的奇函數(shù)10的三內角所對邊的長分別為設向量,若B,AC,ABCBCAP,ACQ,則角的大小為PQABCD6322311已知是偶函數(shù)，它在上是減函數(shù)，若，則的取值范圍XF,01LGFXFX是ABCD1,0,10,10,0,12設,點是線段上的一個動點,若,則OPABABPPBAO實數(shù)的取值范圍是ABCD12211221二、填空題（本大題共6小題；每小題5分，共30分）13已知，與的夾角為60，則3A4BABA14在中，則最短邊的邊長ABCO5601C15已知TAN（）2，則的值是22SINIOSC16某同學在借助計算器求“方程LGX2X的近似解（精確到01）”時，設FXLGXX2，算得F10，F(xiàn)20；在以下過程中，他用“二分法”又取了4個X的值，計算了其函數(shù)值的正負，并得出判斷方程的近似解是X18那么他又取的X的4個值分別依次是17已知集合AX|LOG2（X1）1，集合BX|34X26X0，則AB18函數(shù)取得最大值時，的集合為XYCOSINCOSI三、解答題（本大題共5小題；共60分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19（本小題滿分10分）如圖，在平面直角坐標系中，AOABC22，求點、點的坐標。32ABCOC20（本小題滿分10分）已知2SINX，M，ASINXCOSX，1），函數(shù)FXBB（XR，若FX的最大值為2（1）求M的值；（2）若將F（X的圖象向左平移NN0）個單位后，關于Y軸對稱，求N的最小值21（本小題滿分10分）已知，且，912COS32SIN，求的值。2022（本小題滿分10分）某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥,如果成年人按規(guī)定的劑量服用,據(jù)檢測,服藥后每毫升血液中的含藥量微克與時間小時之間的關系近似滿足如圖所示的曲線。YT寫出服藥后與之間的函數(shù)關系式TYF據(jù)進一步測定每毫升血液中含藥量不少于025微克時,治療疾病有效,求服藥一次治療該疾病有效的時間多少小時23（本小題滿分10分）已知FX是定義域為（0，）的函數(shù)，當X（0，1）時,0現(xiàn)針對任意正實數(shù)X、Y，給出下列四個等式XF；FYYFXYF；F請選擇其中的一個等式作為條件，使得在（0，）上為增函數(shù)并證明你的結論F解你所選擇的等式代號是證明宿州二中高一數(shù)學寒假作業(yè)試題參考答案（必修一）一、選擇題CDADBCCBBBAD二、填空題13，19；143；153；16（1，2）或1，2278三、17子集有，310M30210，0，18、（1）（2）1XY19、解（1）依題意，解得故函數(shù)GX的定義域為42X1X2,1（2）由已知得，LOG4