總目錄前言第章預(yù)備知識函數(shù)第一章極限和連續(xù)第二章一元函數(shù)微分學(xué)第三章一元函數(shù)積分學(xué)第四章多元函數(shù)微分學(xué)第五章概率論初步前言一、成人高考專科起點升本科考試中，哪些專業(yè)必考高等數(shù)學(xué)（二）根據(jù)教育部國家考試中心頒布的新版（2007年版）全國各類成人高等學(xué)校招生復(fù)習(xí)考試大綱，高等數(shù)學(xué)（二）是成人高考專科起點升本科中，凡報考經(jīng)濟(jì)類、管理類以及職業(yè)教育類、生物科學(xué)類、地理科學(xué)類、環(huán)境科學(xué)類、心理學(xué)類、藥學(xué)類（除中藥學(xué)類外）六個一級學(xué)科的考生必備科目。二、如何解讀高等數(shù)學(xué)（二）的復(fù)習(xí)考試大綱教育部國家考試中心頒布的新版（2007年版）全國各類成人高等學(xué)校招生復(fù)習(xí)考試大綱是指導(dǎo)復(fù)習(xí)考試的唯一法令性文件，是考前學(xué)習(xí)的主要依據(jù)。大綱闡述了高等數(shù)學(xué)（二）考試的總要求，規(guī)定了復(fù)習(xí)考試內(nèi)容，明確了考試形式及試卷結(jié)構(gòu)，并且出示了樣題，因此在復(fù)習(xí)前認(rèn)真學(xué)習(xí)新版大綱，領(lǐng)會新版大綱的精神與要點，逐步掌握成人高考復(fù)習(xí)考試的規(guī)律與特點，是順利完成專升本復(fù)習(xí)考試的重要保證。在新版大綱的總要求中明確了高等數(shù)學(xué)（二）復(fù)習(xí)考試的知識范圍，包括“高等數(shù)學(xué)”及“概率論初步”兩部分，而“高等數(shù)學(xué)”中涉及到極限與連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)和多元函數(shù)微分學(xué)等四個知識板塊，“概率論初步”中涉及到事件的關(guān)系和運算、隨機(jī)事件及其概率、離散型隨機(jī)變量的概率分布及其數(shù)字特征等四個知識板塊。三、新版大綱的基本特點2007年大綱與2006年大綱基本一致，其基本特點是1大綱強(qiáng)調(diào)復(fù)習(xí)考查“高等數(shù)學(xué)”和“概率論初步”的基本知識、基本方法及基本技能，考查的知識點毫無爭議的都是高等數(shù)學(xué)中最基本的、最主要的、最突出的知識點，是學(xué)完高等數(shù)學(xué)必須掌握而且極易掌握的知識點。2大綱強(qiáng)調(diào)能力要求是在理解基本概念的基礎(chǔ)上,能夠正確的推理證明，準(zhǔn)確地計算，能夠綜合運用所學(xué)知識分析并解決簡單的實際問題的能力。從近兩年的試題看,試題的起點放得很低，容易上手做。明顯地降低了包含知識點的綜合程度,盡量減少解題的中間環(huán)節(jié)或計算步驟，并且以常規(guī)計算題為主。3綜合應(yīng)用題，如一元函數(shù)或二元函數(shù)簡單的最值實際應(yīng)用題、求平面圖形的面積及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成旋轉(zhuǎn)體的體積等，多是幾何方面的簡單實際問題。4考試形式和試卷結(jié)構(gòu)考試形式為閉卷筆試，試卷的總分150分，考試時間150分，試卷結(jié)構(gòu)一般為3個比例，試卷內(nèi)容比例區(qū)間和連續(xù)約占15（按例年經(jīng)驗約2223分），一元函數(shù)微分學(xué)約占30的比例，約45分左右，一元函數(shù)積分學(xué)約占32，大約50分左右，多元函數(shù)微積分大約為2223分左右，概率論初步約占8，約12分左右，這是關(guān)于知識內(nèi)容比例。第二比例為試卷題型比例；試卷的題型依次排列，選擇題、填空題、解答題，選擇題每小題4分，共10小題，計40分約占27；填空題每小題4分，共10小題，計40分約占27；解答題共8小題，前5小題每題8分，后三個題每題10分，計70分約占46。第三比例為試題的難易比例；352。四、關(guān)于考前復(fù)習(xí)應(yīng)當(dāng)注意哪些問題1定位要自我剖析，分清優(yōu)劣，利弊，準(zhǔn)確定位，把自己放到一個合適的起點上，確定復(fù)習(xí)框架，實踐表明高等數(shù)學(xué)是一個考試成績上升很快的一門學(xué)科，不怕基礎(chǔ)差，起點低只要認(rèn)真努力復(fù)習(xí)。2讀綱要重視大綱對復(fù)習(xí)備考的指導(dǎo)作用，認(rèn)真的學(xué)習(xí)大綱，吃透大綱的精神，掌握大綱的要點，對照大綱全面進(jìn)行復(fù)習(xí)，要準(zhǔn)確把握大綱對各知識點的考核要求，這樣我們可以做到復(fù)習(xí)中克服盲目性、隨意性，切實提高復(fù)習(xí)的效率。3數(shù)學(xué)是一門知識性、系統(tǒng)性比較強(qiáng)結(jié)構(gòu)比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊婚T課程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要靜下心來，所以同學(xué)們主要是通過網(wǎng)絡(luò)來聽課，要注意作筆記，靜下心來抓住問題不放，下面有問題要通過網(wǎng)絡(luò)來答疑，或通過教材，教學(xué)指導(dǎo)書來尋求答案，注意解答方法技巧，盡量少走彎路。4考前復(fù)習(xí)分為三個階段；第一階段基礎(chǔ)復(fù)習(xí)。第二階段強(qiáng)化復(fù)習(xí)，突出重點、強(qiáng)化練習(xí)。第三階段沖刺復(fù)習(xí)，主要是進(jìn)行心理調(diào)解，實戰(zhàn)模擬。五、學(xué)習(xí)過程中應(yīng)抓住的環(huán)節(jié)是什么1聽課堅持聽課，注意知識的系統(tǒng)性，學(xué)習(xí)中要循序漸進(jìn)，注意知識的嚴(yán)密性注意理解概念要準(zhǔn)確。對自己多問幾個為什么，由淺入深，步步深入。2做題加強(qiáng)練習(xí)，將知識轉(zhuǎn)化為能力，是這樣的一個重要的途徑，而且只有通過一定數(shù)量的練習(xí)才能加深對基本概念的理解。才能掌握解題的基本方法和技巧，我們強(qiáng)調(diào)加強(qiáng)練習(xí)是在復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上來做題，只有在透徹理解基礎(chǔ)概念的前提下，才能尋找最佳的解題途徑。多做練習(xí)有助于對基本概念的理解，對基本運算的熟練掌握，所以同學(xué)們在復(fù)習(xí)中一定要注意復(fù)習(xí)和做題之間的有機(jī)聯(lián)系，兩者是相互促進(jìn)的。做題也不能強(qiáng)調(diào)題海戰(zhàn)術(shù)，要精選題目要少而精，做一些有代表性的題目，作為成人高考來講的出題思路還是強(qiáng)調(diào)雙基，不主張摳死題、摳偏題、難題和怪題。3小結(jié)每一節(jié)或每一章學(xué)習(xí)完后，注意總結(jié)復(fù)習(xí)，加深理解，增強(qiáng)記憶，通過復(fù)習(xí)使得自己的成績更上一層樓，總而言之作為成人高考專升本高等數(shù)學(xué)課來講只要大家思想重視，平時學(xué)習(xí)要抓緊那么學(xué)好高等數(shù)學(xué)是不成問題的。學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)更要重視學(xué)習(xí)過程，在復(fù)習(xí)的過程中不只單純的學(xué)一些數(shù)學(xué)知識，提高個人的文化基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)素質(zhì)，更主要的是通過考前復(fù)習(xí)由此建立起強(qiáng)烈的求知欲望，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，總結(jié)出科學(xué)的學(xué)習(xí)方法。這將是受用終生的。一年之季在于春，一天之季在于晨，春晨一刻值千金，莫將春耕誤，換得秋收愁。所以面對機(jī)遇和挑戰(zhàn)我們切不可心服氣燥，而應(yīng)滿懷信心自強(qiáng)不息。腳踏實地的搞好復(fù)習(xí)?？荚囍斜厝荒苋〉煤玫某煽?。六、教材1選用教材2007年1月由中央廣播電視大學(xué)出版社出版，由教育部考試中心組編的?？破瘘c升本科入學(xué)考試參考叢書高等數(shù)學(xué)（二）考試大綱解析。使用中注意教材中的錯誤之處。2參考書2007年1月由高等教育出版社出版?？破瘘c升本科復(fù)習(xí)考試輔導(dǎo)教材高等數(shù)學(xué)（二）。2007年1月由北京師范大學(xué)出版社出版的?？破瘘c升本科入學(xué)考試參考書高等數(shù)學(xué)（二）。第章預(yù)備知識函數(shù)新修訂的大綱中已刪去了函數(shù)這一章內(nèi)容，就是說函數(shù)知識在考試中不作考核要求，即不會單獨出現(xiàn)有關(guān)函數(shù)概念及性質(zhì)的試題，但因微積分學(xué)是以初等函數(shù)為研究對象，所以把函數(shù)做為預(yù)備知識，對于后面學(xué)好微積分學(xué)是十分必要的。復(fù)習(xí)考試要求1理解函數(shù)的概念，會求函數(shù)的表達(dá)式、定義域及函數(shù)值。會求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，會作出簡單分段函數(shù)的圖像。2理解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。3了解函數(shù)與其反函數(shù)之間的關(guān)系（定義域、值域、圖像），會求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)。4熟練掌握函數(shù)的四則運算與復(fù)合運算。5掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖像。6了解初等函數(shù)的概念。7會建立簡單實際問題的函數(shù)關(guān)系式。主要知識內(nèi)容一、函數(shù)的概念1函數(shù)的定義（1）常量與變量常量在觀察某種自然現(xiàn)象或技術(shù)過程中，保持不變的量，或者是取固定數(shù)值的量。常量一般用字母A,B,C表示。變量在觀察某種自然現(xiàn)象或技術(shù)過程中，變化著的量，或者是取不同數(shù)值的量。變量一般用字母X,Y,Z,表示。（2）函數(shù)的定義設(shè)在某個變化過程中有兩個變量X和Y，變量Y隨變量X而變化，如果變量X在非空實數(shù)集合D中取某一數(shù)值時，變量Y依照某一對應(yīng)規(guī)律F總有惟一確定的數(shù)值與之對應(yīng)，則稱變量Y為變量X的函數(shù)，記為YF（X）（XD）其中X叫自變量，Y叫因變量或函數(shù)。例如，收益函數(shù)YAX（其中A表示價格）勻速直線運動SS0VT總成本函數(shù)（其中C0為固定成本，C1為單位可變成本）在上述函數(shù)的定義中，重要的是三因素兩要素。定義域在數(shù)軸上使函數(shù)F有定義的自變量的取值范圍（變化區(qū)域）D，稱為函數(shù)的定義域。記為D（F）。對應(yīng)規(guī)律自變量X在D上每取一數(shù)值時，函數(shù)Y按照某一確定的規(guī)律F，有確定的數(shù)值與之對應(yīng)。當(dāng)自變量X取某一定值A(chǔ)時，函數(shù)YF（X）的對應(yīng)值記為F（A），有時也記為Y|XA。值域函數(shù)Y的取值范圍，稱為函數(shù)的值域，記為Z（F）。例1函數(shù)的定義兩要素（1）下列各組函數(shù)中，兩個函數(shù)相同的是ABCD【答疑編號11000101針對該題提問】答B(yǎng)（2）9501下列各組函數(shù)中，兩個函數(shù)相等的是ABCD【答疑編號11000102針對該題提問】答C。例2求函數(shù)定義域（1）9401函數(shù)的定義域是A（0，5B（1，5C（1，5）D（0，）【答疑編號11000103針對該題提問】答B(yǎng)。（2）9701函數(shù)的定義域是A（，1B4，）C（，14，）D（，1）（4，）【答疑編號11000104針對該題提問】答C。（3）0001函數(shù)的定義域是A（1，）B1，）C（1，）D1，）【答疑編號11000105針對該題提問】答C。例3求函數(shù)值或進(jìn)行函數(shù)式的變換（1）9611設(shè)F（X）3X5，則FF（X）2_。【答疑編號11000106針對該題提問】答9X14解FX23X523X3FFX233X359X14（2）設(shè)，則_?！敬鹨删幪?1000107針對該題提問】答（3）設(shè)F（X21）X43X22，則F（X）_?！敬鹨删幪?1000108針對該題提問】答X2X2函數(shù)的表示法常用的函數(shù)表示法有三種解析法（公式法）、表格法、圖示法。（1）解析法對自變量和常數(shù)施加四則運算、乘冪、指數(shù)運算、取對數(shù)、取三角函數(shù)等數(shù)學(xué)運算所得到的式子稱為解析表達(dá)式。用解析表達(dá)式表示一個函數(shù)就稱為函數(shù)的解析法，也叫公式法。（2）表格法在實際應(yīng)用中，常把自變量所取的值和對應(yīng)的函數(shù)值列成表，用以表示函數(shù)關(guān)系，函數(shù)的這種表示法稱為表格法。（3）圖示法設(shè)YF（X）是一個給定的函數(shù)，定義域是D（F），由于自變量和函數(shù)都取實數(shù)值，因而我們可以在平面上取定一個直角坐標(biāo)系OXY，用X軸上的點表示自變量的值，用Y軸上的點表示函數(shù)值。于是，在D（F）內(nèi)的每一個X及相應(yīng)的函數(shù)值F（X）就確定了該平面直角坐標(biāo)系中的一個點P（X,Y），當(dāng)X在D（F）內(nèi)變動時，點P在坐標(biāo)平面上移動，一般便得到平面上的一條曲線，這就是用圖示法表示函數(shù)。函數(shù)的三種表示法各有優(yōu)缺點，在具體應(yīng)用時，常常是三種方法配合使用。3函數(shù)的圖像用圖示法表示函數(shù)所得到的曲線，就稱為函數(shù)的圖像，用圖像表示函數(shù)，使我們有可能借助于幾何圖形，形象直觀地研究事物的運動變化過程，它對于理解高等數(shù)學(xué)中的概念、方法和結(jié)論是十分重要的。描點法作圖，例如作函數(shù)YX3的圖像。定義域（,），值域（,）X21012Y81018二、顯函數(shù)、隱函數(shù)和分段函數(shù)（1）顯函數(shù)函數(shù)關(guān)系用解析式Y(jié)F（X）表示的稱為顯函數(shù)，如YX2LGX，等。（2）隱函數(shù)由方程F（X,Y）0確定的函數(shù)關(guān)系YF（X），稱為隱函數(shù)。（3）分段函數(shù)有時還要考察這樣的函數(shù)，對于其定義域內(nèi)自變量X的不同值，函數(shù)不能用一個統(tǒng)一的公式表示，而是要用兩個或兩個以上的公式來表示。這類函數(shù)稱為“分段函數(shù)”。例如，分段函數(shù)當(dāng)X0時，函數(shù)式為YX1；當(dāng)X0時，用函數(shù)式Y(jié)X1來表示，這個函數(shù)的定義域是（，）。關(guān)于分段函數(shù)要注意以下幾點1）分段函數(shù)是用幾個公式和起來表示一個函數(shù)，而不是表示幾個函數(shù)；2）因為函數(shù)式子是分段表示的，所以各段的定義域必須明確標(biāo)出；3）對分段函數(shù)求函數(shù)值時，不同點的函數(shù)值應(yīng)代入相應(yīng)范圍的公式中去求；4）分段函數(shù)的定義域是各項定義域的并集。例4分段函數(shù)（1）0106設(shè)，則F（0）_?！敬鹨删幪?1000109針對該題提問】答1。（2）0301設(shè)，則F（0）_。【答疑編號11000110針對該題提問】答1。（3）設(shè)，則當(dāng)X（，）時，F(xiàn)F（X）_。【答疑編號11000111針對該題提問】答1。當(dāng)1X1F（X）1FF（X）F（1）1當(dāng)X1或X1F（X）0FF（X）F（0）1當(dāng)X（,）,FF（X）1三、函數(shù)的簡單性質(zhì)1函數(shù)的單調(diào)性定義設(shè)函數(shù)YF（X）在區(qū)間（A,B）內(nèi)有定義，（1）如果對于（A,B）內(nèi)的任意兩點X1和X2，當(dāng)X1X2時，若恒有F（X1）F（X2），則稱函數(shù)F（X）在（A,B）內(nèi)是單調(diào)增加的；恒有F（X1）F（X2），則稱函數(shù)F（X）在（A,B）內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)增加的。（2）如果對于（A,B）內(nèi)的任意兩點X1和X2，當(dāng)X1X2時，若恒有F（X1）F（X2），則稱函數(shù)F（X）在（A,B）內(nèi)是單調(diào)減少的；恒有F（X1）F（X2），則稱F（X）在（A,B）內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)減少的。注意單調(diào)增加或單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。單調(diào)性是對一個區(qū)間而不是對一個點來講的。單調(diào)函數(shù)必須指出它的單調(diào)區(qū)間。例如函數(shù)YX2在區(qū)間（0,）內(nèi)是單調(diào)增加的；在區(qū)間（,0）內(nèi)是單調(diào)減少的；而在區(qū)間（,）內(nèi)不是單調(diào)的。2函數(shù)的奇偶性定義如果對于函數(shù)YF（X）定義域D中的任一點X恒有F（X）F（X）則稱F（X）為偶函數(shù)如果對于定義域D中的任一點X恒有F（X）F（X）則稱F（X）為奇函數(shù)。偶函數(shù)的圖形關(guān)于Y軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱。例如YX2是偶函數(shù)，YX是奇函數(shù)，YSINX是奇函數(shù)；YCOSX是偶函數(shù)3函數(shù)的有界性定義設(shè)函數(shù)YF（X）在區(qū)間（A,B）內(nèi)有定義，如果存在一個正數(shù)M，使得對于（A,B）內(nèi)的任意一點X，恒有|F（X）|M，則稱函數(shù)F（X）在（A,B）內(nèi)是有界的，否則，稱F（X）在（A,B）內(nèi)是無界的。例如函數(shù)YSINX，在（,）內(nèi)，恒有|SINX|1，所以函數(shù)YSINX在其定義域內(nèi)為有界函數(shù)。4函數(shù)的周期性在自然界中，周而復(fù)始的現(xiàn)象叫做周期現(xiàn)象。定義對于函數(shù)YF（X），如果存在一個常數(shù)T0，使得對于任意實數(shù)X，關(guān)系式F（XT）F（X）恒成立，則稱F（X）為周期函數(shù)，稱滿足這個等式的最小正數(shù)T為函數(shù)的最小正周期或簡稱為周期。例如YSINX就是一個周期函數(shù)，最小正周期。對于函數(shù)YSINX，最小正周期例5函數(shù)的性質(zhì)（1）0201函數(shù)F（X）X3SINX是（A）奇函數(shù)（B）偶函數(shù)（C）有界函數(shù)（D）周期函數(shù)【答疑編號11000112針對該題提問】答B(yǎng)。（2）9702設(shè)F（X）為奇函數(shù)，且,則F（X）是（A）奇函數(shù)（B）偶函數(shù)（C）非奇非偶函數(shù)（D）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)【答疑編號11000113針對該題提問】答B(yǎng)。（3）在（0,）內(nèi)，下列函數(shù)中是無界函數(shù)的是（A）（B）（C）YSINX（D）YLN（1X）【答疑編號11000114針對該題提問】答D。四、反函數(shù)定義設(shè)已知函數(shù)為YF（X）（1）如果由此解出的（2）是一個函數(shù)，則稱為YF（X）的反函數(shù)，記為XF1（Y），并稱YF（X）為直接函數(shù)。注意習(xí)慣上常用X表示自變量，用Y表示因變量，因此將XF1（Y）中的Y換為X，而將X換為Y，記作YF1（X）。定理如果函數(shù)YF（X），D（F）X，Z（F）Y是嚴(yán)格單調(diào)增加（或減少）的，則它必定存在反函數(shù)并且也是嚴(yán)格單調(diào)增加（或減少）的。求反函數(shù)的步驟第一步從直接函數(shù)YF（X）中解出，看它是否能成為函數(shù)；第二步如果是函數(shù)，將字母X換成Y，將字母Y換成X得這就是YF（X）的反函數(shù)。注意（1）直接函數(shù)YF（X）與它的反函數(shù)YF1的圖形，必定對稱于直線YX（一般地，二者是不同的函數(shù)，其圖形是不同的曲線）；（2）直接函數(shù)YF（X）與它的反函數(shù)XF1（Y）是同一條曲線（二者是不同的函數(shù)，但是，它們的圖形是同一條曲線）。根據(jù)這個結(jié)論，當(dāng)我們知道了直接函數(shù)YF（X）的圖形之后，就可利用對稱于直線YX的性質(zhì)畫出其反函數(shù)YF1（X）的圖形。例6反函數(shù)（1）9402函數(shù)F（X）2X1的反函數(shù)F1（X）等于（A）LOG2（X1）（B）1LOG2X（C）（D）2LOG2X【答疑編號11000201針對該題提問】答B(yǎng)。（2）函數(shù)的值域是_?！敬鹨删幪?1000202針對該題提問】答（0，1）（1，）（3）函數(shù)的反函數(shù)F1（X）_?！敬鹨删幪?1000203針對該題提問】答五、基本初等函數(shù)1常數(shù)函數(shù)YC它的定義域是（,），圖形是一條平行于X軸的直線，顯然這是個偶函數(shù)。2冪函數(shù)它的定義域隨值的不同而不同，但不管值是多少，它在（0,）內(nèi)總是有定義的。當(dāng)時，它的圖形如圖1，不論為何值，它的圖形都通過原點（0,0）和點（1,1），在（0,）內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加且無界。當(dāng)時，它的圖形如圖2，在（0,）內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少且無界，曲線以X軸和Y軸為漸近線，都通過點（1,1）。3指數(shù)函數(shù)YAX（A0，A1）它的定義域是（,），由于不論X為何值，總有AX0，且A01，所以它的圖形總是在X軸的上方，且通過點（0，1）。當(dāng)A0時，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)增加且無界，曲線以X軸的負(fù)半軸為漸近線；當(dāng)0A1時，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)減少且無界，曲線以X軸的正半軸為漸近線，如圖3以無理數(shù)E27182818為底的指數(shù)函數(shù)YEX，是微積分中經(jīng)常用到的。4對數(shù)函數(shù)YLOGAX（A0，A1）它的定義域為（0,），不論A為何值，對數(shù)曲線都通過點（1，0）。當(dāng)A1時，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)增加且無界，曲線以Y軸的負(fù)半軸為漸近線；當(dāng)0A1時函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)減少且無界，曲線以Y軸的正半軸為漸近線，如圖4所示。以無理數(shù)E為底的對數(shù)函數(shù)YLOGEX叫自然對數(shù)函數(shù)，簡記作YLNX。自然對數(shù)函數(shù)在微積分中是經(jīng)常用到的。5三角函數(shù)三角函數(shù)有以下六個YSINXYCOSXYTANXYCOTXYSECXYCSCX在微積分中，三角函數(shù)的自變量X一律以“弧度”為單位。例如X1就表示X等于一個弧度（5717448）。函數(shù)YSINX的定義域為（,），是奇函數(shù)，且是周期等于的周期函數(shù)，其圖形如圖5所示。函數(shù)YCOSX的定義域為（,），是偶函數(shù)，且是周期等于2的周期函數(shù)，其圖形如圖6所示。因為|SINX|1，|COSX|1，所以它們都是有界函數(shù)。函數(shù)YTANX的定義域是的一切實數(shù)。它是奇函數(shù)，且是周期為的周期函數(shù)，其圖形如圖7所示。函數(shù)YCOTX的定義域是的一切實數(shù)。它也是奇函數(shù)，且是周期為的周期函數(shù)，其圖形如圖8所示。6反三角函數(shù)常見的反三角函數(shù)有以下四個YARCSINXYARCCOSXYARCTANXYARCCOTX它們是作為相應(yīng)三角函數(shù)的反函數(shù)定義出來的，由于YSINX，YCOSX在定義域內(nèi)不單調(diào)，所以對于YSINX，只考慮，對于YCOSX，只考慮X0，使他們單調(diào)，并使其反函數(shù)存在。此時我們稱反正弦函數(shù)和反余弦函數(shù)取主值，即，它們的圖形分別為圖9和圖10中的實線部分。YARCSINX和YARCCOSX的定義域都是1,1。同理，對于反正切函數(shù)YARCTANX，也取主值，即，它的定義域為（，），其圖形如圖11所示。六、復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)1復(fù)合函數(shù)定義設(shè)Y是U的函數(shù)YF（U），而U又是X的函數(shù)，又設(shè)X表示函數(shù)的定義域的一個子集，如果對于X上的每一個取值X所對應(yīng)的U值，函數(shù)YF（U）有定義，則Y通過而成為X的函數(shù)，記為這個函數(shù)叫做由函數(shù)YF（U）及復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，它的定義域為X，其中X稱為自變量，U稱為中間變量，Y稱為因變量或函數(shù)。所以復(fù)合函數(shù)實際就是將中間變量代入后所構(gòu)成的函數(shù)。注意不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的。例如YARCSINU及UX22就不能復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)。因為對于UX22的定義域（,）內(nèi)的任何值X所對應(yīng)的U值（都大于或等于3）都不能使YARCSINU有意義。復(fù)合函數(shù)不僅可以由一個中間變量，還可以有更多的中間變量，如U、V、W、T等，即可以經(jīng)過多次復(fù)合得到一個函數(shù)。在求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，往往要反過來考慮問題，即一個函數(shù)是有哪幾個基本初等函數(shù)（或簡單函數(shù)）復(fù)合而成的例7復(fù)合函數(shù)（1）0206設(shè)F（X）LNX,G（X）E2X1，則FG（X）_?！敬鹨删幪?1000204針對該題提問】答LNE2X12X1。（2）0401設(shè)，則FG（X）_?！敬鹨删幪?1000205針對該題提問】答。（3）9906設(shè)Y3U,UV2,VTANX，則復(fù)合函數(shù)YF（X）_。【答疑編號11000206針對該題提問】答。（4）設(shè)F（X）的定義域是1,10，復(fù)合函數(shù)F（10X）的定義域是_。【答疑編號11000207針對該題提問】答0,1。2初等函數(shù)定義由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算（加、減、乘、除）或有限次復(fù)合所構(gòu)成、并能用一個解析式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。例如，YSIN（3X1），YTAN2（LNX）等都是初等函數(shù)。在微積分中所研究所討論的主要是初等函數(shù)。附錄常用的初等數(shù)學(xué)基本公式一、乘法公式；反之，因式分解公式（XA）（XB）X2（AB）XAB（AB）（AB）A2B2（AB）2A22ABB2（AB）3A33A2B3AB2B3（AB）（A2ABB2）A3B3二、一元二次方程AX2BXC0（A0）求根公式三、指數(shù)1指數(shù)有關(guān)概念A(yù)012指數(shù)運算法則四、對數(shù)1對數(shù)定義若ABN,則BLOGAN（A0,A1）2對數(shù)性質(zhì)LOGA10，LOGAA1，（ELNNN）3對數(shù)運算法則，五、數(shù)列1等差數(shù)列通項公式ANA1（N1）D前N項和公式2等比數(shù)列通項公式ANA1QN1前N項和公式六、常用三角函數(shù)公式1同角三角函數(shù)間基本關(guān)系式2二倍角公式3降冪公式七、特殊角的三角函數(shù)值度030456090180270360弧度0SIN01010COS10101TAN01不存在0不存在0八、旋轉(zhuǎn)體的面積與體積公式1正圓柱體2正圓錐體3球體九、直線1直線的傾角和斜率2直線的斜截式方程3兩直線的平行與垂直己知兩條直線若2若，則第一章極限和連續(xù)第一節(jié)極限復(fù)習(xí)考試要求1了解極限的概念（對極限定義等形式的描述不作要求）。會求函數(shù)在一點處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。2了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運算法則。3理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系。會進(jìn)行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代換求極限。4熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。主要知識內(nèi)容（一）數(shù)列的極限1數(shù)列定義按一定順序排列的無窮多個數(shù)稱為無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列，記作XN，數(shù)列中每一個數(shù)稱為數(shù)列的項，第N項XN為數(shù)列的一般項或通項，例如（1）1，3，5，（2N1），（2）（3）（4）1，0，1，0，【答疑編號11010101針對該題提問】都是數(shù)列。它們的一般項分別為（2N1）,。對于每一個正整數(shù)N，都有一個XN與之對應(yīng)，所以說數(shù)列XN可看作自變量N的函數(shù)XNF（N），它的定義域是全體正整數(shù)，當(dāng)自變量N依次取1,2,3一切正整數(shù)時，對應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列。在幾何上，數(shù)列XN可看作數(shù)軸上的一個動點，它依次取數(shù)軸上的點X1,X2,X3,XN,。2數(shù)列的極限定義對于數(shù)列XN，如果當(dāng)N時，XN無限地趨于一個確定的常數(shù)A，則稱當(dāng)N趨于無窮大時，數(shù)列XN以常數(shù)A為極限，或稱數(shù)列收斂于A，記作，否則稱數(shù)列XN沒有極限，如果數(shù)列沒有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。數(shù)列極限的幾何意義將常數(shù)A及數(shù)列的項依次用數(shù)軸上的點表示，若數(shù)列XN以A為極限，就表示當(dāng)N趨于無窮大時，點XN可以無限靠近點A，即點XN與點A之間的距離|XNA|趨于0。（二）數(shù)列極限的性質(zhì)與運算法則1數(shù)列極限的性質(zhì)定理11（惟一性）若數(shù)列XN收斂，則其極限值必定惟一。定理12（有界性）若數(shù)列XN收斂，則它必定有界。注意這個定理反過來不成立，也就是說，有界數(shù)列不一定收斂。2數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則定理13（兩面夾準(zhǔn)則）若數(shù)列XN,YN,ZN滿足以下條件（1），（2），則定理14若數(shù)列XN單調(diào)有界，則它必有極限。3數(shù)列極限的四則運算定理。定理15（1）（2）（3）當(dāng)時，（三）函數(shù)極限的概念1當(dāng)XX0時函數(shù)F（X）的極限（1）當(dāng)XX0時F（X）的極限定義對于函數(shù)YF（X），如果當(dāng)X無限地趨于X0時，函數(shù)F（X）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當(dāng)XX0時，函數(shù)F（X）的極限是A，記作或F（X）A（當(dāng)XX0時）例YF（X）2X1X1,F（X）【答疑編號11010102針對該題提問】X1X1（2）當(dāng)XX0時F（X）的左極限定義對于函數(shù)YF（X），如果當(dāng)X從X0的左邊無限地趨于X0時，函數(shù)F（X）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當(dāng)XX0時，函數(shù)F（X）的左極限是A，記作或F（X00）A（3）當(dāng)XX0時，F(xiàn)（X）的右極限定義對于函數(shù)YF（X），如果當(dāng)X從X0的右邊無限地趨于X0時，函數(shù)F（X）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當(dāng)XX0時，函數(shù)F（X）的右極限是A，記作或F（X00）A例如函數(shù)，求，【答疑編號11010103針對該題提問】解當(dāng)X從0的左邊無限地趨于0時F（X）無限地趨于一個常數(shù)1。我們稱當(dāng)X0時，F(xiàn)（X）的左極限是1，即有當(dāng)X從0的右邊無限地趨于0時，F(xiàn)（X）無限地趨于一個常數(shù)1。我們稱當(dāng)X0時，F(xiàn)（X）的右極限是1，即有顯然，函數(shù)的左極限、右極限與函數(shù)的極限之間有以下關(guān)系定理16當(dāng)XX0時，函數(shù)F（X）的極限等于A的必要充分條件是這就是說如果當(dāng)XX0時，函數(shù)F（X）的極限等于A，則必定有左、右極限都等于A。反之，如果左、右極限都等于A，則必有。X1時FXX1X1FX2對于函數(shù)，當(dāng)X1時，F(xiàn)（X）的左極限是2，右極限也是2。2當(dāng)X時，函數(shù)F（X）的極限（1）當(dāng)X時，函數(shù)F（X）的極限YFXXFXYFX1XFX11定義對于函數(shù)YF（X），如果當(dāng)X時，F(xiàn)（X）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當(dāng)X時，函數(shù)F（X）的極限是A，記作或F（X）A（當(dāng)X時）（2）當(dāng)X時，函數(shù)F（X）的極限定義對于函數(shù)YF（X），如果當(dāng)X時，F(xiàn)（X）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當(dāng)X時，函數(shù)F（X）的極限是A，記作這個定義與數(shù)列極限的定義基本上一樣，數(shù)列極限的定義中N的N是正整數(shù)；而在這個定義中，則要明確寫出X，且其中的X不一定是正整數(shù)，而為任意實數(shù)。YFXXFXXX，F(xiàn)X22例函數(shù)F（X）2EX，當(dāng)X時，F(xiàn)（X）【答疑編號11010104針對該題提問】解F（X）2EX2，X，F(xiàn)（X）22所以（3）當(dāng)X時，函數(shù)F（X）的極限定義對于函數(shù)YF（X），如果當(dāng)X時，F(xiàn)（X）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當(dāng)X時，F(xiàn)（X）的極限是A，記作XFX則FX2X0X,XFX22例函數(shù)，當(dāng)X時，F(xiàn)（X）【答疑編號11010105針對該題提問】解當(dāng)X時，X2，即有由上述X，X，X時，函數(shù)F（X）極限的定義，不難看出X時F（X）的極限是A充分必要條件是當(dāng)X以及X時，函數(shù)F（X）有相同的極限A。例如函數(shù)，當(dāng)X時，F(xiàn)（X）無限地趨于常數(shù)1，當(dāng)X時，F(xiàn)（X）也無限地趨于同一個常數(shù)1，因此稱當(dāng)X時的極限是1，記作其幾何意義如圖3所示。FX1YARCTANX不存在。但是對函數(shù)YARCTANX來講，因為有即雖然當(dāng)X時，F(xiàn)（X）的極限存在，當(dāng)X時，F(xiàn)（X）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當(dāng)X時，YARCTANX的極限不存在。（四）函數(shù)極限的定理定理17（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。定理18（兩面夾定理）設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)（可除外）滿足條件（1），（2）則有。注意上述定理17及定理18對也成立。下面我們給出函數(shù)極限的四則運算定理定理19如果則（1）（2）（3）當(dāng)時，時，上述運算法則可推廣到有限多個函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，有以下推論推論（1）（2）（3）用極限的運算法則求極限時，必須注意這些法則要求每個參與運算的函數(shù)的極限存在，且求商的極限時，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運算法則對于的情形也都成立。（五）無窮小量和無窮大量1無窮小量（簡稱無窮?。┒x對于函數(shù)，如果自變量X在某個變化過程中，函數(shù)的極限為零，則稱在該變化過程中，為無窮小量，一般記作常用希臘字母，來表示無窮小量。定理110函數(shù)以A為極限的必要充分條件是可表示為A與一個無窮小量之和。注意（1）無窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢無限趨于為零。（2）要把無窮小量與很小的數(shù)嚴(yán)格區(qū)分開，一個很小的數(shù)，無論它多么小也不是無窮小量。（3）一個變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢緊密相關(guān)的。在不同的變化過程中，同一個變量可以有不同的變化趨勢，因此結(jié)論也不盡相同。例如振蕩型發(fā)散（4）越變越小的變量也不一定是無窮小量，例如當(dāng)X越變越大時，就越變越小，但它不是無窮小量。（5）無窮小量不是一個常數(shù)，但數(shù)“0”是無窮小量中惟一的一個數(shù)，這是因為。2無窮大量（簡稱無窮大）定義；如果當(dāng)自變量（或）時，的絕對值可以變得充分大（也即無限地增大），則稱在該變化過程中，為無窮大量。記作。注意無窮大（）不是一個數(shù)值，“”是一個記號，絕不能寫成或。3無窮小量與無窮大量的關(guān)系無窮小量與無窮大量之間有一種簡單的關(guān)系，見以下的定理。定理111在同一變化過程中，如果為無窮大量，則為無窮小量；反之，如果為無窮小量，且，則為無窮大量。當(dāng)無窮大無窮小當(dāng)為無窮小無窮大4無窮小量的基本性質(zhì)性質(zhì)1有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；性質(zhì)2有界函數(shù)（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。性質(zhì)3有限個無窮小量的乘積是無窮小量。性質(zhì)4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。5無窮小量的比較定義設(shè)是同一變化過程中的無窮小量，即。（1）如果則稱是比較高階的無窮小量，記作；（2）如果則稱與為同階的無窮小量；（3）如果則稱與為等價無窮小量，記為；（4）如果則稱是比較低價的無窮小量。當(dāng)?shù)葍r無窮小量代換定理如果當(dāng)時，均為無窮小量，又有且存在，則。均為無窮小又有這個性質(zhì)常常使用在極限運算中，它能起到簡化運算的作用。但是必須注意等價無窮小量代換可以在極限的乘除運算中使用。常用的等價無窮小量代換有當(dāng)時，SINXXTANXARCTANXXARCSINXX（六）兩個重要極限1重要極限重要極限是指下面的求極限公式令這個公式很重要，應(yīng)用它可以計算三角函數(shù)的型的極限問題。其結(jié)構(gòu)式為2重要極限重要極限是指下面的公式其中E是個常數(shù)（銀行家常數(shù)），叫自然對數(shù)的底，它的值為E2718281828495045其結(jié)構(gòu)式為重要極限是屬于型的未定型式，重要極限是屬于“”型的未定式時，這兩個重要極限在極限計算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。（七）求極限的方法1利用極限的四則運算法則求極限；2利用兩個重要極限求極限；3利用無窮小量的性質(zhì)求極限；4利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；5利用洛必達(dá)法則求未定式的極限；6利用等價無窮小代換定理求極限?；緲O限公式（2）（3）（4）例1無窮小量的有關(guān)概念（1）9601下列變量在給定變化過程中為無窮小量的是ABCD【答疑編號11010301針對該題提問】答CA發(fā)散D（2）0202當(dāng)時，與X比較是A高階的無窮小量B等價的無窮小量C非等價的同階無窮小量D低階的無窮小量【答疑編號11010302針對該題提問】答B(yǎng)解當(dāng),與X是極限的運算0611【答疑編號11010303針對該題提問】解答案1例2型因式分解約分求極限（1）0208【答疑編號11010304針對該題提問】答解（2）0621計算【答疑編號11010305針對該題提問】解答例3型有理化約分求極限（1）0316計算【答疑編號11010306針對該題提問】答解（2）9516【答疑編號11010307針對該題提問】答解例4當(dāng)時求型的極限（1）0308【答疑編號11010308針對該題提問】一般地，有答例5用重要極限求極限（1）9603下列極限中，成立的是ABCD【答疑編號11010309針對該題提問】答B(yǎng)（2）0006【答疑編號11010310針對該題提問】答解例6用重要極限求極限（1）0416計算【答疑編號11010311針對該題提問】答解析解一令解二03060601（2）0118計算【答疑編號11010312針對該題提問】答解例7用函數(shù)的連續(xù)性求極限0407【答疑編號11010313針對該題提問】答0解，例8用等價無窮小代換定理求極限0317【答疑編號11010314針對該題提問】答0解當(dāng)例9求分段函數(shù)在分段點處的極限（1）0307設(shè)則在的左極限【答疑編號11010315針對該題提問】答1解析（2）0406設(shè),則【答疑編號11010316針對該題提問】答1解析例10求極限的反問題（1）已知則常數(shù)【答疑編號11010317針對該題提問】解析解法一，即，得解法二令，得，解得解法三（洛必達(dá)法則）即，得（2）若求A,B的值【答疑編號11010318針對該題提問】解析型未定式當(dāng)時，令于是，得即，所以0402【答疑編號11010319針對該題提問】0017，則K_（答LN2）【答疑編號11010320針對該題提問】解析前面我們講的內(nèi)容極限的概念；極限的性質(zhì)；極限的運算法則；兩個重要極限；無窮小量、無窮大量的概念；無窮小量的性質(zhì)以及無窮小量階的比較。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習(xí)考試要求1理解函數(shù)在一點處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點處連續(xù)性的方法。2會求函數(shù)的間斷點。3掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會用它們證明一些簡單命題。4理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會利用函數(shù)連續(xù)性求極限。主要知識內(nèi)容（一）函數(shù)連續(xù)的概念1函數(shù)在點X0處連續(xù)定義1設(shè)函數(shù)YF（X）在點X0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的改變量X（初值為X0）趨近于0時，相應(yīng)的函數(shù)的改變量Y也趨近于0，即則稱函數(shù)YF（X）在點X0處連續(xù)。函數(shù)YF（X）在點X0連續(xù)也可作如下定義定義2設(shè)函數(shù)YF（X）在點X0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)XX0時，函數(shù)YF（X）的極限值存在，且等于X0處的函數(shù)值F（X0），即定義3設(shè)函數(shù)YF（X），如果，則稱函數(shù)F（X）在點X0處左連續(xù)；如果，則稱函數(shù)F（X）在點X0處右連續(xù)。由上述定義2可知如果函數(shù)YF（X）在點X0處連續(xù)，則F（X）在點X0處左連續(xù)也右連續(xù)。2函數(shù)在區(qū)間A，B上連續(xù)定義如果函數(shù)F（X）在閉區(qū)間A，B上的每一點X處都連續(xù)，則稱F（X）在閉區(qū)間A，B上連續(xù)，并稱F（X）為A，B上的連續(xù)函數(shù)。這里，F(xiàn)（X）在左端點A連續(xù)，是指滿足關(guān)系，在右端點B連續(xù)，是指滿足關(guān)系，即F（X）在左端點A處是右連續(xù)，在右端點B處是左連續(xù)。可以證明初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。3函數(shù)的間斷點定義如果函數(shù)F（X）在點X0處不連續(xù)則稱點X0為F（X）一個間斷點。由函數(shù)在某點連續(xù)的定義可知，若F（X）在點X0處有下列三種情況之一（1）在點X0處，F(xiàn)（X）沒有定義；（2）在點X0處，F(xiàn)（X）的極限不存在；（3）雖然在點X0處F（X）有定義，且存在，但，則點X0是F（X）一個間斷點。例19405設(shè)，則F（X）在AX0,X1處都間斷BX0,X1處都連續(xù)CX0處間斷，X1處連續(xù)DX0處連續(xù)，X1處間斷【答疑編號11010401針對該題提問】解X0處，F(xiàn)（0）0F（00）F（00）X0為F（X）的間斷點X1處，F(xiàn)（1）1F（10）F（10）F（1）F（X）在X1處連續(xù)答案C例29703設(shè)，在X0處連續(xù)，則K等于A0BCD2【答疑編號11010402針對該題提問】分析F（0）K答案B例30209設(shè)在X0處連續(xù)，則A【答疑編號11010403針對該題提問】解F（0）E01F（0）F（00）F（00）A1答案1（二）函數(shù)在一點處連續(xù)的性質(zhì)由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而由極限的運算法則，可以得到下列連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。定理112（四則運算）設(shè)函數(shù)F（X），G（X）在X0處均連續(xù)，則（1）F（X）G（X）在X0處連續(xù)（2）F（X）G（X）在X0處連續(xù)（3）若G（X0）0，則在X0處連續(xù)。定理113（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)UG（X）在XX0處連續(xù)，YF（U）在U0G（X0）處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)YFG（X）在XX0處連續(xù)。在求復(fù)合函數(shù)的極限時，如果UG（X），在X0處極限存在，又YF（U）在對應(yīng)的處連續(xù)，則極限符號可以與函數(shù)符號交換。即定理114（反函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)YF（X）在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少），則它的反函數(shù)XF1（Y）也在對應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）。（三）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間A，B上連續(xù)的函數(shù)F（X），有以下幾個基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。定理115（有界性定理）如果函數(shù)F（X）在閉區(qū)間A，B上連續(xù)，則F（X）必在A，B上有界。定理116（最大值和最小值定理）如果函數(shù)F（X）在閉區(qū)間A，B上連續(xù)，則在這個區(qū)間上一定存在最大值和最小值。定理117（介值定理）如果函數(shù)F（X）在閉區(qū)間A，B上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和M，則對于介于M和M之間的任何實數(shù)C，在A，B上至少存在一個，使得F（）C推論（零點定理）如果函數(shù)F（X）在閉區(qū)間A，B上連續(xù)，且F（A）與F（B）異號，則在A，B內(nèi)至少存在一個點，使得F（）0（四）初等函數(shù)的連續(xù)性由函數(shù)在一點處連續(xù)的定理知，連續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或復(fù)合運算而得的函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。又由于基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，可以得到下列重要結(jié)論。定理118初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。利用初等函數(shù)連續(xù)性的結(jié)論可知如果F（X）是初等函數(shù)，且X0是定義區(qū)間內(nèi)的點，則F（X）在X0處連續(xù)也就是說，求初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)某點處的極限值，只要算出函數(shù)在該點的函數(shù)值即可。0407【答疑編號11010404針對該題提問】0611【答疑編號11010405針對該題提問】例1證明三次代數(shù)方程X35X10在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少有一個實根【答疑編號11010406針對該題提問】證設(shè)F（X）X35X1F（X）在0，1上連續(xù)F（0）1F（1）3由零點定理可知，至少存在一點（0，1）使得F（）0，3510即方程在（0，1）內(nèi)至少有一個實根。本章小結(jié)函數(shù)、極限與連續(xù)是微積分中最基本、最重要的概念之一，而極限運算又是微積分的三大運算中最基本的運算之一，必須熟練掌握，這會為以后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。這一章的內(nèi)容在考試中約占15，約為22分左右?，F(xiàn)將本章的主要內(nèi)容總結(jié)歸納如下一、概念部分重點極限概念，無窮小量與等價無窮小量的概念，連續(xù)的概念。極限概念應(yīng)該明確極限是描述在給定變化過程中函數(shù)變化的性態(tài)，極限值是一個確定的常數(shù)。函數(shù)在一點連續(xù)性的三個基本要素（1）F（X）在點X0有定義。（2）存在。（3）。常用的是F（X00）F（X00）F（X0）。二、運算部分重點求極限，函數(shù)的點連續(xù)性的判定。1求函數(shù)極限的常用方法主要有（1）利用極限的四則運算法則求極限；對于“”型不定式，可考慮用因式分解或有理化消去零因子法。（2）利用兩個重要極限求極限；（3）利用無窮小量的性質(zhì)求極限；（4）利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；若F（X）在X0處連續(xù)，則。（5）利用等價無窮小代換定理求極限；（6）會求分段函數(shù)在分段點處的極限；（7）利用洛必達(dá)法則求未定式的極限。2判定函數(shù)的連續(xù)性，利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理證明方程的根的存在性。第二章一元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí)考試要求1理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會用定義求函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)。2會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。3熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。4掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法與對數(shù)求導(dǎo)法。會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。6理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微和可導(dǎo)的關(guān)系，會求函數(shù)的一階微分。主要知識內(nèi)容（一）導(dǎo)數(shù)的概念1導(dǎo)數(shù)的定義定義設(shè)函數(shù)YF（X）在點X0的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量X在X0處取得改變量X時，函數(shù)YF（X）取得相應(yīng)的改變量YF（X0X）F（X0），如果當(dāng)X0時，函數(shù)的改變量Y與自變量的改變量X之比的極限存在，則稱此極限值為函數(shù)YF（X）在點X0處的導(dǎo)數(shù)，并稱函數(shù)YF（X）在點X0處可導(dǎo)，記作利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)的解題步驟（1）求增量YF（X0X）F（X0）（2）算比值（3）取極限左導(dǎo)數(shù)如果當(dāng)X0時，的極限存在，則稱此極限值為函數(shù)F（X）在X0處的左導(dǎo)數(shù)，記為F（X0），即右導(dǎo)數(shù)如果當(dāng)X0時，的極限存在，則稱此極限值為函數(shù)F（X）在X0處的右導(dǎo)數(shù)，記為F（X0），即如果函數(shù)F（X）在X0處可導(dǎo)，顯然要求在此點左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等，反之也成立。導(dǎo)函數(shù)一般地說，設(shè)對于開區(qū)間（A，B）內(nèi)的每一點X，函數(shù)YF（X）都有導(dǎo)數(shù)，那么稱F（X）在（A，B）可導(dǎo)，于是對應(yīng)于（A，B）內(nèi)的每一個X值，就有一個導(dǎo)數(shù)值F（X），因此導(dǎo)數(shù)是X的函數(shù)，此函數(shù)叫做導(dǎo)函數(shù)。以后為了簡便起見，將導(dǎo)函數(shù)簡稱為導(dǎo)數(shù)，記作2導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)曲線的方程為YF（X），則由導(dǎo)數(shù)的定義可知，函數(shù)YF（X）在某點X0處的導(dǎo)數(shù)F（X0）就是曲線上的點M（X0，Y0）處切線的斜率（見圖），即由曲線的點斜式方程，易知曲線YF（X）上的點M（X0，Y0）處的切線方程為YY0FX0XX03可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理21如果函數(shù)YF（X）在點X0處可導(dǎo)，則它在X0處必定連續(xù)。由這個定理可知若函數(shù)F（X）在X0不連續(xù)，則F（X）在X0處必定不可導(dǎo)。例【答疑編號11020101針對該題提問】F（X）在X0處連續(xù)。F0F0F（X）X在X0處不可導(dǎo)（二）曲線的切線方程及法線方程若函數(shù)YF（X）在點X0處可導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，知F（X0）表示過曲線上點M（X0，Y0）的切線斜率。所以，過曲線上點M（X0，Y0）的切線方程為YY0FX0XX0若FX0存在且不等于零，則過點M（X0，Y0）的法線方程為例19704設(shè)函數(shù)F（X）滿足，則F0?！敬鹨删幪?1020102針對該題提問】解答例20303己知函數(shù)FX在點X0處可導(dǎo)，且FX02，則等于（）A0B1C2D4【答疑編號11020103針對該題提問】解FX在點X0處可導(dǎo)，F(xiàn)X02答D導(dǎo)數(shù)的幾何意義例30410曲線YEX在點（0，1）處的切線的斜率K為_【答疑編號11020104針對該題提問】解析本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，滿分4分。例20616曲線YX3X在點（1，0）處的切線方程為【答疑編號11020105針對該題提問】解Y3X21YX12Y02X1切線方程為Y2X1答Y2X1例39920在曲線上求一點M0,使過點M0的切線平行于直線X2Y50,并求過點M0的切線方程和法線方程?！敬鹨删幪?1020106針對該題提問】解析本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求曲線的切線方程和法線方程，滿分6分。設(shè)M0（X0，Y0）故切線方程為，即X2Y10法線方程為Y12（X1），即2XY30（三）導(dǎo)數(shù)的計算1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（1）（C）0（2）（X）X1（3）（4）（5）（AX）AXLNA（A0,A1）（6）（EX）EX（7）（8）（9）（SINX）COSX（10）（COSX）SINX（11）（12）（13）（SECX）SECXTANX（14）（CSCX）CSCXCOTX（15）（16）（17）（18）2導(dǎo)數(shù)的四則運算法則設(shè)UU（X），VV（X）均為X的可導(dǎo)函數(shù)，則有（1）（UV）UV（2）（UV）UVUV（3）（CU）CU（4）（5）（6）（UVW）UVWUVWUVW3復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則如果U（X）在點X處可導(dǎo)，而YF（U）在相應(yīng)的點U（X）處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)YF（X）在點X處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為同理，如果YF（U），U（V），V（X），則復(fù)合函數(shù)YF（X）的導(dǎo)數(shù)為4反函數(shù)求導(dǎo)法則如果X（Y）為單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，則其反函