常系數(shù)高階線(xiàn)性微分方程一常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程二常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程第六章常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程基本思路求解常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程求特征方程代數(shù)方程之根轉(zhuǎn)化第六章二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得稱(chēng)為微分方程的特征方程,1當(dāng)時(shí),有兩個(gè)相異實(shí)根方程有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解因此方程的通解為R為待定常數(shù),所以令的解為則微分其根稱(chēng)為特征根2當(dāng)時(shí),特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根則微分方程有一個(gè)特解設(shè)另一特解UX待定代入方程得是特征方程的重根取UX,則得因此原方程的通解為3當(dāng)時(shí),特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解利用解的疊加原理,得原方程的線(xiàn)性無(wú)關(guān)特解因此原方程的通解為小結(jié)特征方程實(shí)根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程若特征方程含K重復(fù)根若特征方程含K重實(shí)根R,則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)特征方程例1的通解解特征方程特征根因此原方程的通解為例2求解初值問(wèn)題解特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問(wèn)題的解為例3的通解解特征方程特征根因此原方程通解為例4解特征方程特征根原方程通解不難看出,原方程有特解例5解特征方程即其根為方程通解例6解特征方程特征根為則方程通解內(nèi)容小結(jié)特征根1當(dāng)時(shí),通解為2當(dāng)時(shí),通解為3當(dāng)時(shí),通解為可推廣到高階常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程求通解思考與練習(xí)求方程的通解答案通解為通解為通解為思考題為特解的4階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程,并求其通解解根據(jù)給定的特解知特征方程有根因此特征方程為即故所求方程為其通解為常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程一、二、第六章二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)FX的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù)待定系數(shù)法一、為實(shí)數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項(xiàng)式,代入原方程,得1若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為M次多項(xiàng)式QX為M次待定系數(shù)多項(xiàng)式2若是特征方程的單根,為M次多項(xiàng)式,故特解形式為3若是特征方程的重根,是M次多項(xiàng)式,故特解形式為小結(jié)對(duì)方程,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程即即當(dāng)是特征方程的K重根時(shí),可設(shè)特解例1的一個(gè)特解解本題而特征方程為不是特征方程的根設(shè)所求特解為代入方程比較系數(shù),得于是所求特解為例2的通解解本題特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為例3求解定解問(wèn)題解本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得于是所求解為解得二、第二步求出如下兩個(gè)方程的特解分析思路第一步將FX轉(zhuǎn)化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點(diǎn)第一步利用歐拉公式將FX變形第二步求如下兩方程的特解是特征方程的K重根K0,1,故等式兩邊取共軛為方程的特解設(shè)則有特解第三步求原方程的特解利用第二步的結(jié)果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解原方程均為M次多項(xiàng)式第四步分析因均為M次實(shí)多項(xiàng)式本質(zhì)上為實(shí)函數(shù),小結(jié)對(duì)非齊次方程則可設(shè)特解其中為特征方程的K重根K0,1,上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形例4的一個(gè)特解解本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個(gè)特解例5的通解解特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程所求通解為為特征方程的單根,因此設(shè)非齊次方程特解為例6解1特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為2特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為設(shè)下列高階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次方程的特解形式思考與練習(xí)時(shí)可設(shè)特解為時(shí)可設(shè)特解為提示1填空設(shè)2求微分方程的通解其中為實(shí)數(shù)解特征方程特征根對(duì)應(yīng)齊次方程通解時(shí),代入原方程得故原方程通解為時(shí),代入原方程得故原方程通解為3已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解解將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對(duì)應(yīng)齊次方程通解原方程通解為振動(dòng)問(wèn)題當(dāng)重力與彈性力抵消時(shí),物體處于平衡狀態(tài),例1質(zhì)量為M的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復(fù)運(yùn)動(dòng),解阻力的大小與運(yùn)動(dòng)速度下拉物體使它離開(kāi)平衡位置后放開(kāi),若用手向物體在彈性力與阻取平衡時(shí)物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖設(shè)時(shí)刻T物位移為XT1自由振動(dòng)情況彈性恢復(fù)力物體所受的力有虎克定律成正比,方向相反建立位移滿(mǎn)足的微分方程據(jù)牛頓第二定律得則得有阻尼自由振動(dòng)方程阻力2強(qiáng)迫振動(dòng)情況若物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中還受鉛直外力則得強(qiáng)迫振動(dòng)方程例2解由例1知,位移滿(mǎn)足質(zhì)量為M的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無(wú)外力作用下做自由運(yùn)動(dòng),初始求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律立坐標(biāo)系如圖,設(shè)T0時(shí)物體的位置為取其平衡位置為原點(diǎn)建因此定解問(wèn)題為自由振動(dòng)方程,方程特征方程特征根利用初始條件得故所求特解方程通解1無(wú)阻尼自由振動(dòng)情況N0解的特征簡(jiǎn)諧振動(dòng)A振幅,初相,周期固有頻率僅由系統(tǒng)特性確定方程特征方程特征根小阻尼NK臨界阻尼NK解的特征解的特征解的特征NK大阻尼解的特征1無(wú)振蕩現(xiàn)象此圖參數(shù)2對(duì)任何初始條件即隨時(shí)間T的增大物體總趨于平衡位置NK臨界阻尼解的特征任意常數(shù)由初始條件定,最多只與T軸交于一點(diǎn)即隨時(shí)間T的增大物體總趨于平衡位置2無(wú)振蕩現(xiàn)象例3求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律解問(wèn)題歸結(jié)為求解無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程當(dāng)PK時(shí),齊次通解非齊次特解形式因此原方程之解為例1中若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力F和鉛直干擾力代入可得當(dāng)干擾力的角頻率P固有頻率K時(shí),自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)當(dāng)PK時(shí),非齊次特解形式代入可得方程的解為若要利用共振現(xiàn)象,應(yīng)使P與K盡量靠近,或使隨著T的增大,強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅這時(shí)產(chǎn)生共振現(xiàn)象可無(wú)限增大,若要避免共振現(xiàn)象,應(yīng)使P遠(yuǎn)離固有頻率KPK自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)對(duì)機(jī)械來(lái)說(shuō),共振可能引起破壞作用,如橋梁被破壞,電機(jī)機(jī)座被破壞等,但對(duì)電磁振蕩來(lái)說(shuō),共振可能起有利作用,如收音機(jī)的調(diào)頻放大即是利用共振原理求電容器兩兩極板間電壓例4聯(lián)組成的電路,其中R,L