1概率論第一章習(xí)題解答習(xí)題111寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及指定的事件（1）袋中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)從袋中任取一個(gè)球，觀察其顏色；（2）擲一枚硬幣，設(shè)H表示“出現(xiàn)正面”，T表示“出現(xiàn)反面”現(xiàn)將一枚硬幣連擲兩次，觀察出現(xiàn)正、反面的情況，并用樣本點(diǎn)表示事件A“恰有一次出現(xiàn)正面”；（3）對(duì)某一目標(biāo)進(jìn)行射擊，直到擊中目標(biāo)為止，觀察其射擊次數(shù)，并用樣本點(diǎn)表示事件A“射擊次數(shù)不超過5次”；（4）生產(chǎn)某產(chǎn)品直到5件正品為止，觀察記錄生產(chǎn)該產(chǎn)品的總件數(shù)；（5）從編號(hào)A、B、C、D的四人中，隨機(jī)抽取正式和列席代表各一人去參加一個(gè)會(huì)議，觀察選舉結(jié)果，并用樣本點(diǎn)表示事件A“編號(hào)為A的人當(dāng)選”解（1）紅色,白色；（2）H,H,H,T,T,H,T,T，AH,T,T,H；（3）1,2,3,N,，A1,2,3,4,5；（4）5,6,7,N,；（5）A,B,A,C,A,D,B,A,B,C,B,D,C,A,C,B,C,D,D,A,D,B,D,C，AA,B,A,C,A,D,B,A,C,A,D,A2某射手射擊目標(biāo)4次，記事件A“4次射擊中至少有一次擊中”，B“4次射擊中擊中次數(shù)大于2”試用文字描述事件A與B解A表示4次射擊都沒有擊中，B表示4次射擊中擊中次數(shù)不超過23設(shè)A,B,C為三個(gè)事件，試用事件的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件（1）A,B,C都發(fā)生；（2）A,B,C都不發(fā)生；（3）A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生；（4）A,B,C中最多有一個(gè)發(fā)生；（5）A,B,C中至少有兩個(gè)發(fā)生；（6）A,B,C中最多有兩個(gè)發(fā)生解（1）ABC；（2）CBA；（3）ABC；（4）CBACBACBACBAUUU；（5）ABCBCACBACABUUU；（6）ABC4在一段時(shí)間內(nèi)，某電話交換臺(tái)接到呼喚的次數(shù)可能是0次，1次，2次，記事件AN“接到的呼喚次數(shù)小于N”（1,2,），試用事件的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件（1）呼喚次數(shù)大于2；（2）呼喚次數(shù)在5到10次范圍內(nèi)；（3）呼喚次數(shù)與8的偏差大于2解（1）3A；（2）A11A5；（3）116AAU5證明（1）ABAABUU；（2）ABBABABAUUU證（1）AAAAABBAABAABABAABUUUUUUUU；（2）UUUUUUABABBABABABAABABAABAABAUUU習(xí)題121設(shè)PAPBPC1/4，PABPBC0，PAC1/8，求A、B、C三個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率解因PABPBC0，且ABCAB，有PABC0，則8581414141ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAPUU2設(shè)PA04，PB05，PAB07，求PAB及PBA2解因PABPAPBPAB04050702，則PABPAPAB040202，PBAPBPAB0502033某市有A,B,C三種報(bào)紙發(fā)行已知該市某一年齡段的市民中，有45的人喜歡讀A報(bào)，34的人喜歡讀B報(bào)，20的人喜歡讀C報(bào)，10的人同時(shí)喜歡讀A報(bào)和B報(bào)，6的人同時(shí)喜歡讀A報(bào)和C報(bào)，4的人同時(shí)喜歡讀B報(bào)和C報(bào)，1的人A,B,C三種報(bào)紙都喜歡讀從該市這一年齡段的市民中任選一人，求下列事件的概率（1）至少喜歡讀一種報(bào)紙；（2）三種報(bào)紙都不喜歡；（3）只喜歡讀A報(bào)；（4）只喜歡讀一種報(bào)紙解分別設(shè)A,B,C表示此人喜歡讀A,B,C報(bào)，有PA045，PB034，PC02，PAB01，PAC006，PBC004，PABC001，（1）PABCPAPBPCPABPACPBCPABC08；（2）201CBAPCBAPCBAPUUUU；（3）30ABCPACPABPAPCBAPBAPCBAP；（4）因210ABCPBCPABPBPBCAPBAPCBAP，110ABCPBCPACPCPBCAPCAPCBAP，故620CBAPCBAPCBAPCBACBACBAP4連續(xù)拋擲一枚硬幣3次，求既有正面又有反面出現(xiàn)的概率解樣本點(diǎn)總數(shù)N238，事件A中樣本點(diǎn)數(shù)62313CCKA，則75043NKAPA5在分別寫有2,4,6,7,8,11,12,13的8張卡片中任取兩張，把卡片上的兩個(gè)數(shù)字組成一個(gè)分?jǐn)?shù)，求所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)的概率解樣本點(diǎn)總數(shù)2828CN，事件A中樣本點(diǎn)數(shù)18231315CCCKA，則64290149NKAPA6一部5卷文集任意地排列在書架上，問卷號(hào)自左向右或自右向左恰好為1,2,3,4,5順序的概率等于多少解樣本點(diǎn)總數(shù)12055AN，事件A中樣本點(diǎn)數(shù)KA2，則01670601NKAPA710把鑰匙中有3把能打開某一門鎖，今任取兩把，求能打開某該門鎖的概率解樣本點(diǎn)總數(shù)45210CN，事件A中樣本點(diǎn)數(shù)24231317CCCKA，則53330158NKAPA8一副撲克牌有52張，進(jìn)行不放回抽樣，每次一張，連續(xù)抽取4張，計(jì)算下列事件的概率（1）四張花色各異；（2）四張中只有兩種花色解樣本點(diǎn)總數(shù)270725452CN，（1）事件A1中樣本點(diǎn)數(shù)285611131131131131CCCCKA，則1055020825219711NKAPA；（2）事件A2表示兩種花色各兩張，或者一種1張一種3張，樣本點(diǎn)數(shù)811202113313213213242CCCCCKA，則299604165124822NKAPA9口袋內(nèi)裝有2個(gè)伍分、3個(gè)貳分、5個(gè)壹分的硬幣共10枚，從中任取5枚，求總值超過壹角的概率解樣本點(diǎn)總數(shù)252510CN，事件A分三種情形3兩枚5分，三枚其它，一枚5分，三枚2分，一枚1分，一枚5分，兩枚2分，兩枚1分，樣本點(diǎn)數(shù)1262523121533123822CCCCCCCCKA，則5021NKAPA方法二10枚硬幣總額2角1分，任取5枚若超過1角，那么剩下的5枚將不超過1角，可見事件A中的樣本點(diǎn)與A中的樣本點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，即AAKK，則50APAP10在10個(gè)數(shù)字0,1,2,9中任取4個(gè)（不重復(fù)），能排成一個(gè)4位偶數(shù)的概率是多少（最好是更正為排在一起，恰好排成一個(gè)4位偶數(shù)的概率是多少）解樣本點(diǎn)總數(shù)5040410AN，事件A的限制條件是個(gè)位是偶數(shù)，首位不是0，樣本點(diǎn)數(shù)2296281814281911AAAAAAKA，則455609041NKAPA11一個(gè)教室中有100名學(xué)生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率（設(shè)一年以365天計(jì)算）解樣本點(diǎn)總數(shù)N365100，A的對(duì)立事件A表示所有學(xué)生生日都不在元旦，100364AK，則23990365364111100NKAPAPA12在0,1區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，求兩數(shù)乘積小于1/4的概率解設(shè)所取得兩個(gè)數(shù)為X,Y，X,Y|00，試證1|APBPABP證1111|APBPAPBPAPBPAPAPBAPBPAPAPABPABPU習(xí)題141一個(gè)工人看管三臺(tái)機(jī)床，在一小時(shí)內(nèi)機(jī)床不需要工人看管的概率分別為09、08、07，求在一小時(shí)內(nèi)3臺(tái)機(jī)床中最多有一臺(tái)需要工人看管的概率解設(shè)A1,A2,A3分別表示一小時(shí)內(nèi)第一、二、三臺(tái)機(jī)床不需要工人照管，可以認(rèn)為A1,A2,A3相互獨(dú)立，則概率為321321321321321321321321AAAPAAAPAAAPAAAPAAAAAAAAAAAAPUUU321321321321APAPAPAPAPAPAPAPAPAPAPAP09080709080309020701080709022電路由電池A與兩個(gè)并聯(lián)的電池B及C串聯(lián)而成，設(shè)電池A,B,C損壞的概率分別是03,02,02，求電路發(fā)生斷電的概率解設(shè)A,B,C分別表示電池A,B,C損壞，電路斷電為事件ABC，則概率為PABCPAPBCPABCPAPBPCPAPBPC0302020302020328方法二設(shè)A,B,C分別表示電池A,B,C正常工作，系統(tǒng)正常工作為事件ABCABAC，則概率為1PABAC1PABPACPABC1PAPBPAPCPAPBPC10708070807080803283加工某一零件共需經(jīng)過四道工序設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別為2,3,5,3，假定各道工序是互不影響的，求加工出來的零件的次品率解設(shè)A1,A2,A3,A4分別表示第一、二、三、四道工序加工出合格品，有A1,A2,A3,A4相互獨(dú)立，則概率為1PA1A2A3A41PA1PA2PA3PA41098097095097012404拋擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣8次，設(shè)正面出現(xiàn)的概率為06，求下列事件的概率（1）正好出現(xiàn)3次正面；（2）至多出現(xiàn)2次正面；（3）至少出現(xiàn)2次正面解將每次擲硬幣看作一次試驗(yàn)，出現(xiàn)正面A，反面A；獨(dú)立；PA06伯努利概型，N8，P06（1）123904060353388CP；（2）04980406040604060210622871188008888CCCPPP；（3）991504060406011017118800888CCPP5設(shè)每次射擊時(shí)命中率為02，問至少必須進(jìn)行多少次獨(dú)立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于09解將每次射擊看作一次試驗(yàn)，擊中A，沒擊中A；獨(dú)立；PA02伯努利概型，N次試驗(yàn)，P02，則90801802010100NNNNCP，即08N01，故321080LG10LGN，取N11ABC66一大批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為60，從中任取10件，求下列事件的概率（1）取到的10件產(chǎn)品中恰有5件優(yōu)質(zhì)品；（2）取到的10件產(chǎn)品中至少有5件優(yōu)質(zhì)品；（3）取到的10件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)不少于4件且不多于8件解將取每件產(chǎn)品看作一次試驗(yàn)，優(yōu)質(zhì)品A，非優(yōu)質(zhì)品A；獨(dú)立；PA06伯努利概型，N10，P06（1）20070406055551010CP；（2）P105P106P107P108P109P1010288103771046610555104060406040604060CCCC8338040604060010101019910CC；（3）P104P105P106P107P108288103771046610555106441040604060406040604060CCCCC08989；7證明若|BAPBAP，則事件A與B獨(dú)立證因11|BPABPAPBPBAPBPBAPBAPBPABPBAP，則PAB1PBPBPAPAB，即PABPABPBPBPAPBPAB，故PABPAPB，A與B相互獨(dú)立復(fù)習(xí)題一1設(shè)PA05，PB06，問（1）什么條件下PAB可以取最大值，其值是多少（2）什么條件下PAB可以取得最小值，其值是多少解（1）當(dāng)AB時(shí)PAB最大，PABPA05；（2）當(dāng)AB時(shí)PAB最小，PABPAPBPAB05061012一電梯開始上升時(shí)載有5名乘客，且這5人等可能地在8層樓的任何一層出電梯，求（1）每層至多一人離開的概率；（2）至少有兩人在同一層離開的概率；（3）只有一層有兩人離開的概率解樣本點(diǎn)總數(shù)是8取5次的可重排列，即N8532768，（1）事件A1中樣本點(diǎn)數(shù)6720581AKA，則2051051210511NKAPA；（2）事件A2是A1的對(duì)立事件，則79490512407112APAP；（3）事件A3表示有兩人在同一層離開，而另外三人分別在3個(gè)不同樓層或者都在同一層離開，樣本點(diǎn)數(shù)1736033173725183CAACAKA，則529802048108533NKAPA3從5副不同的手套中任取4只手套，求其中至少有兩只手套配成一副的概率解樣本點(diǎn)總數(shù)210410CN，A的對(duì)立事件A表示4只手套都不配套，801212121245CCCCCKA，則61900211311NKAPAPA4從1,2,N中任取兩數(shù)，求所取兩數(shù)之和為偶數(shù)的概率解樣本點(diǎn)總數(shù)為1212NNCN，事件A表示取得兩個(gè)偶數(shù)或兩個(gè)奇數(shù)，722424XY01當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，共有2N個(gè)偶數(shù)和2N個(gè)奇數(shù)，樣本點(diǎn)數(shù)2411222222NNNNCCKNNA，則1222NNCKAPNA；當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，共有21N個(gè)偶數(shù)和21N個(gè)奇數(shù)，樣本點(diǎn)數(shù)2221221141212121232121NNNNNCCKNNA，則NNCKAPNA2125在中國象棋的棋盤上任意地放上一只紅“車”及一只黑“車”，求它們正好可以一只吃掉另一只的概率解樣本點(diǎn)總數(shù)4005290CN，事件A中樣本點(diǎn)數(shù)7652911021019CCCCKA，則191008917NKAPA6某貨運(yùn)碼頭僅能容一船卸貨，而甲、乙兩船在碼頭卸貨時(shí)間分別為1小時(shí)和2小時(shí)設(shè)甲、乙兩船在24小時(shí)內(nèi)隨時(shí)可能到達(dá)，求它們中任何一船都不需等待碼頭空出的概率解X,Y|0X2或YX1，有M242576，55062221232122AM，則879305765506MAMAP7從區(qū)間0,1中任取三個(gè)數(shù)，求三數(shù)和不大于1的概率解X,Y,Z|0X,Y,Z1，AX,Y,Z|0X,Y,Z1,XYZ1，有M1，A是一個(gè)三棱錐，6112131AM，則1667061MAMAP8已知5的男人和025的女人是色盲，現(xiàn)隨機(jī)地挑選一人，此人恰為色盲，問此人是男人的概率是多少（假設(shè)男人和女人各占人數(shù)的一半）解設(shè)A1,A2分別表示男人和女人，B表示色盲，則95240212000250500505005050|22111111ABPAPABPAPABPAPBPBAPBAP9發(fā)報(bào)臺(tái)分別以07和03的概率發(fā)出信號(hào)0和1（例如分別用低電頻和高電頻表示）由于隨機(jī)干擾的影響，當(dāng)發(fā)出信號(hào)0時(shí)，接收臺(tái)不一定收到0，而是以概率08和02收到信號(hào)0和1；同樣地，當(dāng)發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)1時(shí)，接收臺(tái)以概率09和01收到信號(hào)1和0試求（1）接收臺(tái)收到信號(hào)0的概率；（2）當(dāng)接收臺(tái)收到信號(hào)0時(shí)，發(fā)報(bào)臺(tái)確是發(fā)出信號(hào)0的概率解設(shè)A0,A1分別表示發(fā)出信號(hào)0,1，B0,B1表示收到信號(hào)0,1，（1）PB0PA0PB0|A0PA1PB0|A107080301059；（2）9492059565908070|000000000BPABPAPBPBAPBAP10設(shè)A,B獨(dú)立，ABD，DBA，證明PADPAPD證因ABD，有ABAD，則PADPABPADAB，BDA8因DBABAU，有DAB，DBABBA，則ADABADBDB，故PADPABPADABPDBPAPDBPAPDPB，由于A,B獨(dú)立，有PABPAPB，故PADPAPD11甲、乙、丙三人同時(shí)向一架飛機(jī)射擊，他們擊中目標(biāo)的概率分別為04,05,07假設(shè)飛機(jī)只有一人擊中時(shí)，墜毀的概率為02，若2人擊中，飛機(jī)墜毀的概率為06，而飛機(jī)被3人擊中時(shí)一定墜毀現(xiàn)在如果發(fā)現(xiàn)飛機(jī)已被擊中墜毀，計(jì)算它是由三人同時(shí)擊中的概率解結(jié)果設(shè)B表示目標(biāo)被擊毀，原因設(shè)A0,A1,A2,A3分別表示無人、1人、2人、3人擊中目標(biāo)，則|332211003333ABPAPABPAPABPAPABPAPABPAPBPBAPBAP，且有PB|A00，PB|A102，PB|A206，PB|A31，又設(shè)C1,C2,C3分別表示甲、乙、丙擊中目標(biāo)，則0903050603213210CPCPCPCCCPAP，3213213211CCCCCCCCCPAPUU321321321CPCPCPCPCPCPCPCPCP040503060503060507036，3213213212CCCCCCCCCPAPUU321321321CPCPCPCPCPCPCPCPCP040503040507060507041，PA3PC1C2C3PC1PC2PC3040507014，故3057045801401140604102036000901140|3BAP12已知某種疾病患者的痊愈率為25，為試驗(yàn)一種新藥是否有效，把它給10個(gè)病人服用，且規(guī)定若10個(gè)病人中至少有4人治好則認(rèn)為這種藥有效，反之則認(rèn)為無效試求（1）雖然新藥有效，且把痊愈率提高到35，但通過試驗(yàn)被否定的概率；（2）新藥完全無效，但通過試驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率解將每人服藥看作一次試驗(yàn)，痊愈A，沒有痊愈A；獨(dú)立；（1）新藥有效，痊愈率為035，即PA035，伯努利概型，N10，P035，故概率為P100P101P102P10351380650350650350650350650350733108221091110100010CCCC（2）新藥完全無效，痊愈率為025，即PA025，伯努利概型，N10，P025，故所求概率為1P100P101P102P103224107502507502507502507502501733108221091110100010CCCC1概率論第二章習(xí)題解答習(xí)題211試分別給出可能取值為有限、可列的隨機(jī)變量的實(shí)例解如擲一枚骰子，X表示擲出的點(diǎn)數(shù)，X的全部可能取值為1,2,3,4,5,6，即可能取值為有限個(gè)；觀察某商店一小時(shí)內(nèi)的進(jìn)店人數(shù)X，X的全部可能取值為0,1,2,，即可能取值為可列個(gè)2試給出可能取值至少充滿一個(gè)區(qū)間的隨機(jī)變量的實(shí)例解電池的使用壽命X小時(shí)，X的全部可能取值為0,，即可能取值充滿區(qū)間0,習(xí)題221一箱產(chǎn)品20件，其中5件優(yōu)質(zhì)品，不放回地抽取，每次一件，共抽取兩次。求取到的優(yōu)質(zhì)品件數(shù)X的分布律解X的全部可能取值為0,1,2，X0表示沒有取得優(yōu)質(zhì)品，即2個(gè)全為非優(yōu)質(zhì)品，38211901050220215CCXP，X1表示取得1個(gè)優(yōu)質(zhì)品1個(gè)非優(yōu)質(zhì)品，381519075122011515CCCXP，X2表示取得2個(gè)優(yōu)質(zhì)品沒有非優(yōu)質(zhì)品，19119010222025CCXP，故X的分布列為19138153821210X2上題若采取放回抽取，其它條件不變，求隨機(jī)變量X的分布律解X的全部可能取值為0,1,2，有XB2,025，5625075025002002CXP，375075025011112CXP，0625075025020222CXP，故X的分布列為06250375056250210X3從分別標(biāo)有號(hào)碼1,2,3,7的7張卡片中任意取出2張，求余下的卡片中最大號(hào)碼的分布律解設(shè)X表示余下卡片中的最大號(hào)碼，X的全部可能取值為5,6,7，X5表示取出了6,7號(hào)卡片，21152722CCXP，X6表示取出了7號(hào)卡片，并且另一張不超過5號(hào)，21562715CCXP，X7表示沒有取出7號(hào)卡片，75211552726CCXP，2故X的分布列為75215211210X4某人有N把外形相似的鑰匙，其中只有1把能打開房門，但他不知道是哪一把，只好逐把試開。求此人直至將門打開所需的試開次數(shù)的分布律解設(shè)X表示將門打開所需的試開次數(shù)，X的全部可能取值為1,2,N，X1表示第一次就打開門，NXP11，X2表示第一次沒有打開門，第二次才打開，NNNNXP11112，X3表示前兩次沒有打開門，第三次才打開，NNNNNNXP1211213，XN表示前N1次沒有打開門，第N次才打開，NNNNNNNNXP1112123121L，故X的分布列為NNNNNX1111321LL5設(shè)X的分布律PXNCN，N1,2,10，求C之值解根據(jù)概率函數(shù)規(guī)范性知C2C10C55C，故551C6某書店開設(shè)新書征訂業(yè)務(wù)，每位顧客在一周內(nèi)收到書店回單的概率為02，有4位顧客預(yù)定新書求一周內(nèi)收到回單的顧客數(shù)X的分布律解伯努利概型，N4，P02，40960802004004CXP，40960802013114CXP，15360802022224CXP，02560802031334CXP，00160802040444CXP，故X的分布列為001600256015360409604096043210X7某學(xué)生參加一項(xiàng)測(cè)試，對(duì)其中的20道是非題，純粹是隨機(jī)地選擇“是”與“非”計(jì)算該生至少做正確14道題目的概率解設(shè)X表示該生做正確的題目個(gè)數(shù)，伯努利概型，N20，P05，故概率為05770505014201420202014KKKKKCKXPXP8設(shè)收到一批100個(gè)零件的訂貨，每一零件是次品的概率為001，該批零件驗(yàn)收合格的標(biāo)準(zhǔn)是次品數(shù)不超過3個(gè)試求這批訂貨合格的概率解設(shè)X表示這批訂貨的次品數(shù)，伯努利概型，N100，P001，故概率為9816099001033010010030KKKKKCKXPXP3注此題N100很大，P001很小，NP1較小，可用泊松分布近似計(jì)算，取NP1，1PX0,0,0,11ZZEZZFZZ密度函數(shù)為0,0,0,ZZZEZFZZ16設(shè)X,Y在矩形區(qū)域DX,Y|0X1,0Y2上服從均勻分布，求下列隨機(jī)變量的密度函數(shù)（1）Z1XY；（2）Z2MINX,Y解因D的面積SD2，有X,Y的聯(lián)合密度函數(shù),0,20,10,21,其他YXYXF（1）對(duì)于Z1XY，作曲線簇XYZ，得Z的分段點(diǎn)0,2，當(dāng)Z0時(shí)，F(xiàn)1Z0，則011ZFZF，當(dāng)0其它,01,1,1,22YXYXYXF，求下列隨機(jī)變量的密度函數(shù)（1）Z1XY；（2）YXZ2解（1）對(duì)于Z1XY，作曲線簇XYZ，得Z的分段點(diǎn)1，當(dāng)Z0，又知EX075，求K和A的值解由規(guī)范性知，111D10110AKAXKXKXDXXFAA，又知75022DDE10210AKAXKXKXXXXXFXAA，故K3,A26設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為51KXP，K1,2,3,4,5求EX,EX2及EX22解3515514513512511EX，11515514513512511E222222X，275175165155145132E222222X7設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,0,0,0,EXXXFX求EX,E2X,EE2X解1E0DEEDEDEDE00000XXXXXXXXXXXXXFX，2DE2D22E0XXXXXFXX，31E31DEDEEDEEE03030222XXXXXXXXXXF8球的直徑測(cè)量值X在A,B上均勻分布，求球體積V的數(shù)學(xué)期望解XUA,B，有X的密度函數(shù)為,0,0,0,E44YYYFYY則0404204204222D2EEDEDE4DEYYYYYYYYFYYYYYYY81E21D21DE4210004YYYYFYYYY，（1）85813212E3E232EE22YXYXZ；（2）因X與Y獨(dú)立，有8341213EE33EEYXXYW12設(shè)X,Y的聯(lián)合分布律為151156151115315200210XY求E3X2Y及E2XY解321510153115611513153415220023EYX；58152415341562151015301520002EXY13一學(xué)徒用機(jī)床接連加工10個(gè)零件，設(shè)第I個(gè)零件報(bào)廢的概率為I11,（I1,2,3,10），求報(bào)廢零件個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望解設(shè)X表示報(bào)廢零件個(gè)數(shù)，有X的全部可能取值為1,2,3,10，令,0,1個(gè)零件沒有報(bào)廢第個(gè)零件報(bào)廢第IIXI0XY2YX/2X2GG0X2,0YX/24有111IXPI，1110IXPI，11EIXI，I1,2,3,10，又因101IIXX，故01992277205599111141312111EE101101LIIIIXX習(xí)題421求習(xí)題41中第1,6,7題所給隨機(jī)變量的方差解第1題中X的分布列為19138153821210X，且21EX，382319143815138210E2X，故7627413823EED22XXX；第6題中X的分布為51KXP，K1,2,3,4,5，且EX3，則11515514513512511E222222X，故DXEX2EX21192；第7題中X的分布為,0,0,0,EXXXFX即XE1，故DX12地鐵的運(yùn)行間隔時(shí)間為兩分鐘，一旅客在任意時(shí)刻進(jìn)入月臺(tái)，求候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望和方差解設(shè)X表示旅客的候車時(shí)間，有XU0,2，故12EBAX，3112D2ABX3某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績X（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?2分，96分以上的考生總數(shù)的23，試求考生的外語成績?cè)?0分84分之間的概率解設(shè)XN,2，有EX72，且02307296196196FXP，則977024，224，12，故682601121112726012728460848460FFXP4公共汽車車門的高度是按成年男子與車門頂碰頭的機(jī)會(huì)在1以下設(shè)計(jì)的，設(shè)男子身高服從均值為175CM，方差為36CM2的正態(tài)分布問車門高度應(yīng)設(shè)計(jì)為多少解設(shè)XN,2，有EX175，2DX36，又設(shè)車門高度是XCM，則010617511XXFXXP，有9906175X，3326175X，故X18898CM5隨機(jī)變量X的分布律為501040210PX，又Y3X1，求EY,DY解EX00410120511，EX202041201220521，DXEX2EX221112089，5故EY3EX143，DY9DX8016在習(xí)題41第7題中，求D2X和DE2X解習(xí)題41第7題中X的分布為,0,0,0,EXXXFX即XE1，有DX1，故D2X4DX4；因31E31DEDEEDEEE03030222XXXXXXXXXXF，51E51DEDEEDEEEEE0505044422XXXXXXXXXXXF，故4543151EEEEED222222XXX7設(shè)X的方差為25，利用切比雪夫不等式估計(jì)以下概率P|XEX|75解由切比雪夫不等式得04440452575257D57|E|22XXXP8隨機(jī)地?cái)S10顆骰子，用切比雪夫不等式估計(jì)點(diǎn)數(shù)總和在20和50之間的概率解設(shè)XI表示第I顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，有616161616161654321IX，則27616615614613612611EIX，且691616615614613612611E2222222IX，則1235449691DIX；設(shè)10顆骰子點(diǎn)數(shù)總和為101IIXX，有352710EE101IIXX，12350DD101IIXX，由切比雪夫不等式得2212350D|35|XXP，故870405447270023501512350115|35|50202M9YGAMMANM/2/GAMMAN/2/GAMMAM/2N/MN/2XN/211N/MXNM/2F分布密度命令窗口輸入P1QUADLFDIS,0,354設(shè)總體XN,2，X1,XN為X的樣本如果利用樣本討論與總體期望有關(guān)的概率問題，應(yīng)選取哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量選用哪個(gè)抽樣分布解討論總體期望，應(yīng)選取樣本均值X，當(dāng)2已知時(shí)，選用1,0NNXU，當(dāng)2未知時(shí)，選用1,0NNSXT5設(shè)X1,XN與Y1,YM分別為來自正態(tài)總體,211NX與,222NY的樣本，且兩樣本相互獨(dú)立如果利用樣本討論與兩總體樣本均值差12有關(guān)的概率問題，應(yīng)選取哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量選用哪個(gè)抽樣分布如果利用樣本討論與兩總體樣本方差比2221有關(guān)的概率問題，應(yīng)選取哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量選用哪個(gè)抽樣分布解討論兩總體均值差12，應(yīng)選取樣本均值差YX，當(dāng)21和22已知時(shí)，選用1,0222121NMNYX，當(dāng)21和22未知但2221時(shí)，選用211211222121MNTMNMNSMSNYX復(fù)習(xí)題五1設(shè)X1,XN為來自總體X的樣本，下列樣本函數(shù)何時(shí)是統(tǒng)計(jì)量，何時(shí)不是統(tǒng)計(jì)量（1）XXNNII211；（2）NIIBAXN121；（3）NIIIXXN12E1；（4）MINMAX11INIINIXX；（5）DMINMAX11XXXINIINI解（1）不含未知參數(shù)，是統(tǒng)計(jì)量；（2）含參數(shù)A,B，當(dāng)參數(shù)A,B已知時(shí)，是統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)A,B未知時(shí)，不是統(tǒng)計(jì)量；6（3）含EXIEX，當(dāng)總體期望EX已知時(shí)，是統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)EX未知時(shí)，不是統(tǒng)計(jì)量；（4）不含未知參數(shù)，是統(tǒng)計(jì)量；（5）含D1DXNX，當(dāng)總體方差DX已知時(shí)，是統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)DX未知時(shí)，不是統(tǒng)計(jì)量2設(shè)X1,XN為總體X的樣本，NIIXNX1221，在下列情形下求E2X（1）X服從參數(shù)為P06的兩點(diǎn)分布，；（2）X服從參數(shù)7的泊松分布；（3）XN3,16解因222EDEDEXXXXXIII，有2122EDE1EXXXNXNII，（1）因X01，有EXP06，DXPQ024，故6060240E22X；（2）因XP7，有EX7，DX7，故5677E22X；（3）因XN3,16，有EX3，DX216，故25316E22X3設(shè)XN,4，X為樣本均值，試求樣本容量N為多少時(shí)，才能使9010|BSSPBSSPYXYX，即9737,5938050FB，故B094037設(shè)X1,X5為來自總體N20,9的樣本，求（1）PMAXX1,X5215；（2）PMINX1,X5215解（1）PMAXX1,X52151PMAXX1,X52151PX1215,X52151PX1215PX52151F21551055106915508419；（2）PMINX1,X5215PX1215,X5215PX1215PX52151F215510551069155000288設(shè)X1,XN,XN1是來自正態(tài)總體N,2的樣本，11NIIXXN，22111NIISXXN，試證明統(tǒng)計(jì)量111NXXNTTSN解因211,NIIXXNNN，XN1N,2，且X與XN1相互獨(dú)立，即1NXX服從正態(tài)分布，且11EEE0NNXXXX，222111DDDNNNXXXXNN，則2110,NNXXNN，即10,11NXXNNN，因22212211NIIXXNSN，8故根據(jù)T分布的定義得112211111NNXXNXXNTNNNSSNN9設(shè)X1,X2為來自正態(tài)總體N0,2的樣本，求221221XXXXY的分布解因X1N0,2，X2N0,2，且相互獨(dú)立，有EX1EX20，DX1DX22，COVX1,X20，則EX1X2EX1EX20，DX1X2DX1DX222，EX1X2EX1EX20，DX1X2DX1DX222，COVX1X2,X1X2COVX1,X1COVX1,X2COVX2,X1COVX2,X2DX1DX20，因X1,X2服從二維正態(tài)分布，X1X2與X1X2都是X1與X2的線性組合，有X1X2,X1X2也服從二維正態(tài)分布，即X1X2N0,22，X2X2N0,22，且相互獨(dú)立，則1,0221NXX，1,0221NXX，即1222221XX，1222221XX，且相互獨(dú)立，故1,1121222212221221221FXXXXXXXXY10設(shè)X1,X6是來自正態(tài)總體N0,3的樣本，試確定常數(shù)A和B，使得隨機(jī)變量YAX1X22BX3X4X5X62服從自由度為2的2分布解因XIN0,3，I1,6，且相互獨(dú)立，有EXI0，DXI3，則X1X2和X3X4X5X6都服從正態(tài)分布，且EX1X2EX1EX20，DX1X2DX1DX26，EX3X4X5X6EX3EX4EX5EX60，DX3X4X5X6DX3DX4DX5DX612，即X1X2N0,6，X3X4X5X6N0,12，且相互獨(dú)立，得1,0621NXX，1,0126543NXXXX，2126226543221XXXXXX，故61A，121B1概率論第六章習(xí)題解答習(xí)題611求下列總體分布中參數(shù)的矩估計(jì)（1）21,01,0,XXFX其他其中0解（1）因11320021211E21D323226XXXXXX，有6EX3，故的矩估計(jì)為63X；（2）因1121111DDD11E1DDD11XXXXXXXQXXPPPXQPQPQPPQQQQPQ，故1EPX，P的矩估計(jì)為1PX；（3）因121121121121DEEDE1DE1E2XXXXXXXXXX212121121EEXXX，且121121121121D2EEDE1DE1E22222XXXXXXXXXXX22212122122222E2DE12E121121XXXXXX，則222212221212222EEDXXX，即D2X，DE1XX，故1和2的矩估計(jì)為NSX1，NS22求下列總體分布中參數(shù)的極大似然估計(jì)2（1）FX1X1，X1,2,；其中00；（3）222LN2E21,XXXF，X0；其中0解（1）NXNXXXNNIINXFXFXFL121111111121“，即1LNLNLN1NXNLNII，令0111DLND1NXNLNII，得XXNNII11，故的極大似然估計(jì)為X1；（2）NNXNXXXNXXXXXXXFXFXFLNIINEEEE212121121“，即NXXXXLNNIILNLNLN211“，令01DLND1NXLNII，得XXNNII11，故的極大似然估計(jì)為X；（3）,222212NXFXFXFL“212222222212LN212LN2LN22LN1E21E21E21E21NIINXNNXNXXXXXXXX“，即21221222LNLNLN2LN2,LNNIINXXXXNL“，令0LN21LN2,LN21212NXXLNIINII，得NIIXN1LN1，再令02LN12,LN412222NIIXNL，得NIIXN122LN1，故和2的極大似然估計(jì)為NIIXN1LN1，NINIIIXNXN1212LN1LN13設(shè)總體X的密度函數(shù)為0）的總體X中分別抽取容量為N1,N2的兩個(gè)獨(dú)立樣本，樣本均值分別為1X和2X試證對(duì)于任意滿足條件AB1的常數(shù)A和B，12AXBX都是的無偏估計(jì)，并確定A、B使方差D達(dá)到最小解因12EEXX，211DXN，222DXN，有12EEEAXBXABAB，故當(dāng)AB1時(shí)，E，12AXBX都是的無偏估計(jì)；又2222222222212111212121221DDD1NNANANAAAXBXAANNNNN，令21211222DD0DNNANANN，得112NANN，且22122122DD0DNNNNA，5故當(dāng)112NANN，2121NBANN時(shí)，方差D達(dá)到最小4設(shè)X1,X2,X3,X4是來自均值為的指數(shù)分布的樣本，其中未知證明下列三個(gè)估計(jì)量1123436TXXXX，212341654310TXXXX，T32X1X23X33X4，均為的無偏估計(jì)量，并說明上述估計(jì)量中哪個(gè)最有效證因總體X服從均值為的指數(shù)分布，即XE1/，有EX，DX2，則1123411EEEEE3636TXXXX，21234E6E5E4E3E65431010TXXXX，ET32EX1EX23EX33EX4233，故T1,T2,T3均為的無偏估計(jì)量；又2222211234115DDDDD93693618TXXXX，222222123443D36D25D16D9D362516910010050TXXXX，DT34DX1DX29DX39DX44229292232，顯然DT1，試證2不是2的無偏估計(jì)量證因是參數(shù)的無偏估計(jì)量，即E，有222EEDD，故2不是2的無偏估計(jì)量習(xí)題631隨機(jī)地從一批零件中抽取10個(gè)，測(cè)得其長度（單位CM）為213,214,212,213,211,215,214,213,212,213假設(shè)該批零件的長度服從正態(tài)分布N,2，試求總體均值的置信系數(shù)為95的置信區(qū)間（1）若已知001；（2）若未知解（1）單個(gè)正態(tài)總體，已知，估計(jì)，總體均值的點(diǎn)估計(jì)為X，樞軸量為0,1XUNN，置信系數(shù)1095，置信區(qū)間為/2/2,XUXUNN，因121321421321310X“，001，N10，U0025196，故的置信系數(shù)95的置信區(qū)間為001001213196,21319621238,213621010；（2）單個(gè)正態(tài)總體，未知，估計(jì)，總體均值的點(diǎn)估計(jì)為X，樞軸量為1XTTNSN，置信系數(shù)1095，置信區(qū)間為/2/21,1SSXTNXTNNN，6因121321421321310X“，222221213213214213213213001159S“，N10，T0025922622，故的95置信區(qū)間為001150011521322622,2132262221217,2138310102為估計(jì)制造某件產(chǎn)品所需的單件平均工時(shí)（單位小時(shí)），現(xiàn)制造了五件，記錄所需工時(shí)為105,11,112,125,128設(shè)制造單件產(chǎn)品所需工時(shí)服從正態(tài)分布，試求單件平均工時(shí)的置信系數(shù)95的置信區(qū)間解單個(gè)正態(tài)總體，未知，估計(jì)，總體均值的點(diǎn)估計(jì)為X，樞軸量為1XTTNSN，置信系數(shù)1095，置信區(qū)間為/2/21,1SSXTNXTNNN，因1105111281165X“，22222110511611116128116099754S“，N5，T0025427764，故的95置信區(qū)間為099750997511627764,11627764103615,128385553設(shè)有兩臺(tái)機(jī)床用來生產(chǎn)規(guī)格相同的鋁合金薄板隨機(jī)選取每臺(tái)機(jī)床軋制的產(chǎn)品若干張，測(cè)得它們的厚度（單位CM）如下機(jī)器I0243,0238,0248,0245,0236,0241,0239，機(jī)器II0261,0254,0255,0257,0253,0250，設(shè)兩臺(tái)機(jī)床所生產(chǎn)的薄板的厚度服從方差相等的正態(tài)分布試給出兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的鋁合金薄板平均厚度差的置信系數(shù)為95的置信區(qū)間解兩個(gè)正態(tài)總體，未知22,XY（但22XY），估計(jì)XY，均值差XY的點(diǎn)估計(jì)為XY，樞軸量為22211112XYXYXYTTNMNSMSNMNM，置信系數(shù)1095，置信區(qū)間為22/2111122XYNSMSXYTNMNMNM，因1024302380239024147X“，102610254025002556Y“，222221024302414023802414023902414000426XS“，222221026102550254025502500255000375YS“，N7，M6，T00251122010，故的95置信區(qū)間為22600042500037110241402552201000185,00087117674由容量為15，取自正態(tài)總體N,2的隨機(jī)樣本算得232,424XS，確定2和的置信系數(shù)90的置信區(qū)間解單個(gè)正態(tài)總體，估計(jì)2，總體方差2的點(diǎn)估計(jì)為S2，樞軸量為222211NSN，置信系數(shù)1090，置信區(qū)間為2222/21/211,11NSNSNN，因S2424，N15，20051423685，2095146571，故2的90置信區(qū)間為1442414424,25062,90336236856571；的90置信區(qū)間為25062,9033615831,30056