1、幾種常見的一維離散型隨機(jī)變量的分布律,(I)二點分布 (0-1分布),定義： 若隨機(jī)變量X的分布律為:,則稱X服從參數(shù)為p 的二點分布或(0-1)分布,背景：樣本空間只有兩個樣本點的情況 ,都可以用兩點分布來計算。如：拋硬幣一次。,200件產(chǎn)品中,有196件是正品,4件是次品,今從中隨機(jī)地抽取一件,若規(guī)定,例 1,故 X服從參數(shù)為0.98的兩點分布,則 PX=1=196/200=0.98, PX=0=4/200=0.02,例2 設(shè)生男孩的概率為p，生女孩的概率為 q=1-p，令X表示隨機(jī)抽查出生的4個嬰兒中“男孩”的個數(shù).,(II),求X的概率分布.,X的概率分布是：,男,女,X表示隨機(jī)抽查的

2、4個嬰兒中男孩的個數(shù)， 生男孩的概率為 p.,X可取值0, 1, 2, 3, 4.,例3 將一枚均勻骰子拋擲3次，令X 表示3次中出現(xiàn)“4”點的次數(shù),X的概率分布是：,不難求得，,擲骰子：“擲出4點”，“未擲出4點”,一般地，設(shè)在一次試驗中我們只考慮兩個 互逆的結(jié)果：A或 ， 或者形象地把兩個互逆結(jié)果叫做“成功”和“失敗”.,新生兒：“是男孩”，“是女孩”,抽驗產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”,再設(shè)我們重復(fù)地進(jìn)行n次獨立試驗 ( “重復(fù)”是指這次試驗中各次試驗條件相同 ),這樣的n次獨立重復(fù)試驗稱作n重貝努里試驗，簡稱貝努里試驗或貝努里概型.,每次試驗成功的概率都是 p，失敗的概率 都是,用 X

3、表示 n 重貝努里試驗中事件A（成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則,稱r.v.X服從參數(shù)為n和p的二項分布，記作,XB(n, p),注: 貝努里概型對試驗結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：,（1）每次試驗條件相同；,二項分布描述的是n重貝努里試驗中出現(xiàn) “成功”次數(shù)X的概率分布.,（2）每次試驗只考慮兩個互逆結(jié)果A或 ，,且P(A)=p ， ；,（3）各次試驗相互獨立.,例4 某類燈泡使用時數(shù)在2000小時以上視為正品.已知有一大批這類的燈泡,其次品率是0.2.隨機(jī)抽出20只燈泡做壽命試驗,求這20只燈泡中恰有3只是次品的概率.,解: 設(shè)X為20只燈泡中次品的個數(shù) ,則.,X B (20, 0.2)，,下

4、面我們研究二項分布B(n,p)和兩點分布之間的一個重要關(guān)系.,說明,設(shè)試驗E只有兩個結(jié)果:A 和 . 記p =P(A),則P( )= 1- p ,0p1,我們把試驗E在相同條件下,相互獨立地進(jìn)行n次,且記X為n次獨立試驗中結(jié)果A出現(xiàn)的次數(shù). 把描述第i次實驗的隨機(jī)變量記作Xi，則 Xi B(1,p), 且X1,X2 , ,Xn也是相互獨立的(隨機(jī)變量相互獨立的嚴(yán)格定義第三章再講)。則有,X= X1+X2+Xn,一、泊松分布的定義,設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0 , 1 , 2 , , 且概率分布為：,其中 0 是常數(shù),則稱 X 服從參數(shù)為 的 泊松分布,記作XP( ).,(III) 泊松分布,

5、易見,例5,某一無線尋呼臺,每分鐘收到尋呼的次數(shù)X服從參數(shù)=3的泊松分布. 求:(1)一分鐘內(nèi)恰好收到3次尋呼的概率。 (2)一分鐘內(nèi)收到2至5次尋呼的概率。,解:,(1) PX=3=(33/3!)e-30.2240 (2) P2X5=PX=2+PX=3+PX=4+PX=5 =(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)e-3 0.7169,解:,例 6,某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)為0.8的泊松分布. 求:該城市一天內(nèi)發(fā)生3次以上火災(zāi)的概率.,或 PX3=1- PX3 =1-PX=0+ PX=1+PX=2 =1-(0.8 0/0!)+(0.81/1!)+(0.82/

6、2!)e-0.8 0.0474,查表得到：PX3為0.047423,歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的 .,二、二項分布與泊松分布,命題,對于二項分布B(n,p),當(dāng)n充分大,p又很小時,則對任意固定的非負(fù)整數(shù)k,有近似公式,在實際計算中，當(dāng)n20，p0.05時，記=np；當(dāng)n100，np10時，效果更好。,由泊松定理，n重貝努里試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.,我們把在每次試驗中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件. 如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等,解 X的分布律為,例7 某商店出售某種貴重商品，根據(jù)以往經(jīng)驗，每月銷售量X服從參數(shù)為=3的

7、泊松分布。問在月初進(jìn)貨時，要庫存多少件此種商品，才能以99%的概率滿足顧客的需要？,設(shè)月初庫存k件，則由題意知,查表得k+1=9，則k=8，即月初進(jìn)貨時，庫存8件此種商品，才能以99%的概率滿足顧客的需要。,解：400次上街 400重Bernoulii實驗,記X為出事故的次數(shù)，則,P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1),=1-0.98 400-400（0.02)(0.98 399) 0.9972,=1- e-8 - 8e-8,0.9970,泊松定理,結(jié)果表明，隨著實驗次數(shù)的增多，小概率事件總會發(fā)生的！,例8：某人騎摩托車上街,出事故率為0.02，獨立重復(fù)上街400次，求出事故至少兩次的概率。,若某人做某事的成功率為1%，他重復(fù)努力400次， 則至少成功一次的概率為,成功次數(shù)服從二項概率,有百分之一的希望，就要做百分之百的努力,對于離散型隨機(jī)變量，如果知道了它的概率分布，也就知道了該隨機(jī)變