1、線性代數(shù)綜合練習(xí)題（一）一、單項(xiàng)選擇題 1. 對(duì)于階可逆矩陣，則下列等式中（ ）不成立.(a) (b) (c) (d) 2. 若為階矩陣，且，則矩陣（ ）. （a） （b） （c） （d） 3. 設(shè)是上（下）三角矩陣，那么可逆的充分必要條件是的主對(duì)角線元素為（ ）. (a) 全都非負(fù) （b） 不全為零 （c）全不為零 （d）沒(méi)有限制4. 設(shè) ，那么（ ）. （a） （b） （c） （d） 5. 若向量組線性相關(guān)，則向量組內(nèi)（ ）可由向量組其余向量線性表示. （a）至少有一個(gè)向量 （b）沒(méi)有一個(gè)向量 （c）至多有一個(gè)向量 （d）任何一個(gè)向量 6. 若，其秩（ ）. （a）1 （b）2 （c）3

2、（d）4 7. 若方程中，方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)，則有（ ）. （a）必有無(wú)窮多解 （a）必有非零解 （c）僅有零解 （d）一定無(wú)解8. 若為正交陣，則下列矩陣中不是正交陣的是（ ）. （a） （b） （c） （d） 9. 若滿足條件（ ），則階方陣與相似. （a） （b） （c）與有相同特征多項(xiàng)式 （d）與有相同的特征值且個(gè)特征值各不相同二、填空題1. 若向量組線性無(wú)關(guān)，則向量組是線性 .2. 設(shè)為4階方陣，且，是的伴隨陣，則的基礎(chǔ)解系所含的解向量的個(gè)數(shù)是 .3. 設(shè)為階正交陣，且，則 .4. 設(shè)，線性相關(guān)，則 .5. 設(shè)，則 .6. 設(shè)三階方陣有特征值4，5，6，則 ，的特征值為 ，的

3、特征值為 .三、計(jì)算題1. 計(jì)算行列式 2. 已知矩陣，求.3. 設(shè)三階方陣滿足 ，其中，求.4. 取何值時(shí)，非齊次線性方程組（1）有惟一解；（2）無(wú)解； （3）有無(wú)窮多解，并求其通解.四、證明題1. 設(shè)為階可逆陣，.證明的伴隨陣.2. 若，都是階非零矩陣，且.證明和都是不可逆的.線性代數(shù)綜合練習(xí)題（一）參考答案一、單項(xiàng)選擇題1. b 2. b 3. c 4. c 5. a 6. b 7. b 8. b 9. d二、填空題1. 無(wú)關(guān)； 2. 3 ； 3. 1 ； 4. 3 ；5. ； 6. 120 ， 4，5，6 ， .三、計(jì)算題1. 解： . 2. 解：先求的特征值，= ， 當(dāng)時(shí)，由得，的對(duì)

4、應(yīng)于2的特征向量是， 當(dāng)時(shí)，有得，的對(duì)應(yīng)于的特征向量是，當(dāng)時(shí)，有得，的對(duì)應(yīng)于的特征向量是， 取. . 令 ，則，所以. 3. 解：因?yàn)?，所以?因此 . 又，所以， 故 . 4. 解：， （1）當(dāng)，即且時(shí)，方程組有惟一解. （2）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程組無(wú)解， （3）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程組有無(wú)限多個(gè)解.，并且通解為 . 四、證明題1. 證：根據(jù)伴隨矩陣的性質(zhì)有又，所以，再由于可逆，便有.2. 證：假設(shè)可逆，即存在，以左乘的兩邊得，這與是階非零矩陣矛盾；類似的，若可逆，即存在，以右乘的兩邊得，這與是階非零矩陣矛盾，因此，和都是不可逆的.線性代數(shù)綜合練習(xí)題（二）一、選擇題1. 設(shè)是四維列向量，且，則（ ）。

5、（a） （b） （c） （d） 2. 如果為三階方陣，且，則（ ）。（a） 4 （b） 8 （c） 2 （d） 16 3. 設(shè)為階方陣，且，則（ ）。（a）中必有兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例 ，（b）中至少有一行（列）的元素全為0 ， （c）中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的線性組合， （d）中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的線性組合。4. 設(shè)矩陣、的秩分別為，則分塊矩陣的秩滿足（ ）。（a） （b） （c） （d） 5. 設(shè)為階方陣，是階正交陣，且，則下列結(jié)論不成立的是（ ）。（a）與相似 （b）與等價(jià)（c）與有相同的特征值 （d）與有相同的特征向量二、填空題1. 階行列式 。

6、2. 設(shè)，則 。3. 設(shè)三階矩陣，滿足，且，則 。4. 設(shè)四階方陣，則 。5. 設(shè)向量組，線性相關(guān)，則 。6. 設(shè)三階方陣的特征值為1，2，3，則 ，的特征值為 ，的特征值為 。7. 設(shè)二次型為正定二次型，則的范圍是 。三、計(jì)算題1. 求向量組，的秩與一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把其他向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示。2. 為何值時(shí)，方程組有惟一解，無(wú)解或有無(wú)窮多解？并在有無(wú)窮多解時(shí)求出方程組的通解。3. 三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為，對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為, 求。4. 已知二次型，（1）寫(xiě)出二次型的矩陣表達(dá)式，（2）用正交變換把化為標(biāo)準(zhǔn)形并寫(xiě)出相應(yīng)的正交變換。四、證明題1. 設(shè)為階方陣，如果存在正整數(shù)，使得，證

7、明可逆，并求逆。2. 設(shè)是階方陣的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，證明不是的特征向量。線性代數(shù)綜合練習(xí)題（二）參考答案一、選擇題1. c 2. a 3. c 4. a 5. d二、填空題（每空3分）1. ； 2. ； 3. ；4. ； 5. 6. ， ，6，3，2 ；7. .三、計(jì)算題1. 解： ， 所以，是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并且有 ，. 2. 解： ， 當(dāng)，即且時(shí)，方程組有惟一解. 當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程組有無(wú)限多個(gè)解.，并且通解為 ， 當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程組無(wú)解. 3. 解：先求對(duì)應(yīng)于特征值1的特征向量，設(shè)是對(duì)應(yīng)于1的特征向量，則有，因而，為不等于0的任意常數(shù). 取，令，則有 ， 因此，. 4. 解：（

8、1） （2） ，所以的特征值為， 當(dāng)時(shí)，由得對(duì)應(yīng)于5的特征向量，當(dāng)時(shí)，由得對(duì)應(yīng)于的特征向量，. 取，令，則為正交矩陣，且 ， 因此，所求的正交變換為，并且 四、證明題1. 證： 所以，可逆，并且.2. 證：假設(shè)是的對(duì)應(yīng)于的特征向量，則因?yàn)? 所以， 由于是對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量，所以它們線性無(wú)關(guān)，從而，矛盾！線性代數(shù)綜合練習(xí)題（三）一、 選擇題1. 設(shè)是矩陣，是階可逆矩陣，矩陣的秩為，矩陣的秩為，則 （a） （b） （c） （d）的關(guān)系依而定2. 若為正交陣，則下列矩陣中不是正交陣的是（ ）. （a） （b） （c） （d） 3. 值不為零的階行列式，經(jīng)過(guò)若干次矩陣的初等變換，則行列式的值

9、（ ）. （a） 保持不變 （b） 保持不為零 （c） 保持有相同的正負(fù)號(hào) （d） 可以變?yōu)槿魏沃?. 設(shè)和都是階方陣，下列各項(xiàng)中，只有（ ）正確.（a） 若和都是對(duì)稱陣，則也是對(duì)稱陣（b） 若，且，則（c） 若是奇異陣，則和都是奇異陣（d） 若是可逆陣，則和都是可逆陣5. 向量組線性相關(guān)的充要條件是（ ）. （a）中有一個(gè)零向量 （b）中任意向量的分量成比例 （c）中有一個(gè)向量是其余向量的線性組合 （d）中任意一個(gè)向量是其余向量的線性組合6. 設(shè)方陣的秩分別為，則分塊矩陣的秩與的關(guān)系是（ ）. （a） （b） （c） （d）不能確定二、 填空題1. 設(shè)三階方陣的特征值為1，2，3，則 .2.

10、 設(shè)為正定二次型，則的取值范圍為 .3. 設(shè)，則 .4. 階行列式 .5. 設(shè)階方陣的元素全為1，則的個(gè)特征值為 .6. 設(shè)是非齊次線性方程組的個(gè)解，若也是它的解，則 .三、計(jì)算題1. 解矩陣方程，其中，.2. 求下列矩陣的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把其他向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示：3. 已知矩陣，求.4. 向量組討論取何值時(shí)，（1）能由線性表示，且表示式唯一，（2）能由線性表示，且表示式不唯一，（3）不能由線性表示.四、證明題1. 設(shè)是階方陣的兩個(gè)特征值，是對(duì)應(yīng)的特征向量，證明不是的特征向量.2. 設(shè)是階方陣，若存在正整數(shù)，使線性方程組有解向量，且，證明向量組是線性無(wú)關(guān)的.線性代數(shù)綜合練習(xí)題

11、（三）參考答案一、選擇題1. c 2. b 3. b 4. d 5. c 6. a二、填空題1. 6 ； 2. ； 3. ； 4. ；5. （個(gè)），； 6. 1 .三、 計(jì)算題1. 解：由，得 ， 為此對(duì)矩陣施行初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣， 所以 . 2. 解：對(duì)施行初等行變換變成行最簡(jiǎn)形， 所以，的前三列是的列向量組的最大無(wú)關(guān)組，且， . 3. 解：先求的特征值，= ， 當(dāng)時(shí)，由得，的對(duì)應(yīng)于2的特征向量是， 當(dāng)時(shí)，有得，的對(duì)應(yīng)于的特征向量是，當(dāng)時(shí)，有得，的對(duì)應(yīng)于的特征向量是， 取. 令 ，則，所以. 4. 解： （1）當(dāng)時(shí)，可由線性表示，且表示式不唯一； （2）當(dāng)，且，即時(shí)，不能由線性表示；

12、 （3）當(dāng)且時(shí)，能由線性表示，但表示式唯一. 四、證明題1. 證：假設(shè)是的對(duì)應(yīng)于的特征向量，則因?yàn)? 所以， 由于是對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量，所以它們線性無(wú)關(guān)，從而，矛盾！2. 證：因?yàn)槭蔷€性方程組的解向量，所以.從而（），又由知（）.設(shè)， （1）以左乘上式兩邊，得，因而必有，以左乘（1）式兩邊，得，因而必有，類似地，可以證明必有，故是線性無(wú)關(guān)的線性代數(shù)綜合練習(xí)題（四）一、選擇題1. 設(shè)均為階方陣，若由能推出，則應(yīng)滿足下列條件中的 （a） （b） （c） （d） 2. 設(shè)為階方陣，且，則（ ）。 （a）中必有兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例 （b）中至少有一行（列）的元素全為零 （c）中必有一行（

13、列）的向量是其余各行（列）的向量的線性組合 （d）中任意一行（列）的向量是其余各行（列）的向量的線性組合3. 設(shè)方陣，的秩分別為，則分塊矩陣的秩與的關(guān)系是（ ）。 （a） （b） （c） （d）不能確定4. 設(shè)，那么（ ）。 （a） （b） （c） （d） 5. 設(shè)都是階非零矩陣，且，則和的秩（ ）。 （a）必有一個(gè)等于零 （b）都小于 （c）一個(gè)小于，一個(gè)等于 （d）都等于6. 設(shè)、為階方陣，且與相似，為階單位陣，則（ ）。 （a） （b）與有相同的特征值和特征向量 （c）與相似于一個(gè)對(duì)角矩陣 （d）對(duì)任意常數(shù)，相似二、填空題1. 已知，則 。2. 若對(duì)，有，則 。3. 向量組（）：，（）：

14、，（）：，如果r()=r（）=3, r（）=4, 則的秩= 。4. 設(shè)為非齊次線性方程組的個(gè)解，若也是該線性方程組的一個(gè)解，則 .5. 已知階可逆矩陣的每行元素之和均為，則數(shù) 一定是的特征值。6. 設(shè) 為正定二次型， 則的取值范圍為 。三、計(jì)算題1. 設(shè)，且 ，求。2. 求向量組，的秩和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把其他向量用該最大無(wú)關(guān)組線性表示。3. 對(duì)于線性方程組 討論取何值時(shí)，方程組無(wú)解、有惟一解和有無(wú)窮多解？并在方程組有無(wú)窮多解時(shí)，求其通解。4. 設(shè)二次型，（1）求一個(gè)正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，（2）設(shè)為上述二次型的矩陣，求四、證明題1. 設(shè)是階方陣的兩個(gè)特征值，是對(duì)應(yīng)的特征向量，證明不是的特征

15、向量.2. 設(shè)為個(gè)線性無(wú)關(guān)的維列向量，是和均正交的維列向量，證明線性相關(guān)。線性代數(shù)綜合練習(xí)題（四）參考答案一、選擇題1. b 2. c 3. a 4. c 5. b 6. d二、填空題1. 2. 9 3. 4 4. 1 5. 6. 三、計(jì)算題1. 解：由得，即 因?yàn)椋?所以 . 2. 解： 所以，是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并且 ， 3. 解： ， 當(dāng)，即且時(shí)，方程組有惟一解. 當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程組有無(wú)限多個(gè)解.，并且通解為 ， 當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程組無(wú)解. 4. 解：， （1） 所以的特征值為， 由得對(duì)應(yīng)于的特征向量，由得對(duì)應(yīng)于的特征向量，由得對(duì)應(yīng)于的特征向量，取，令， 則得 所求的正交變換 即 且 （2）

16、 根據(jù)（1）知， 所以 . 四、證明題1. 證：假設(shè)是的對(duì)應(yīng)于的特征向量，則因?yàn)? 所以， 由于是對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量，所以它們線性無(wú)關(guān)，從而，矛盾！2. 證：設(shè)，則是一個(gè)矩陣，因?yàn)榫€性相關(guān)，所以，故元線性方程組的解空間的維數(shù)為1.又是和均正交的，所以是的解，因此必線性相關(guān).線性代數(shù)綜合練習(xí)題（五）一、填空題1. 已知，則 。2. 設(shè)四階矩陣與相似，矩陣的特征值為，則行列式 。3. 方程的規(guī)范正交解為 。4. 設(shè)矩陣的秩為2，則 。5. 設(shè)，是的一個(gè)正交基，則在此基下可線性表示為 。二、選擇題1. 關(guān)于矩陣，下列命題正確的是（ ）。 （a）若，則或（b）可經(jīng)過(guò)一系列的初等行變換把矩陣化為

17、標(biāo)準(zhǔn)形 （c）矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形不惟一 （d）若為初等矩陣，則2. 下列命題正確的是（ ） （a）維列向量組可以線性無(wú)關(guān) （b）矩陣的初等變換可能改變矩陣的秩 （c）維列向量組必線性相關(guān) （d）若方陣，則可逆。3. 設(shè)為階方陣，是階正交陣，且，則下列結(jié)論不成立的是（ ）。 （a）與相似 （b）與有相同的特征向量 （c）與有相同的特征值 （d）與等價(jià)4. 已知三階矩陣的特征值為其對(duì)應(yīng)的特征向量分別是，取，則（ ） （a） （b） （c） （d） 5. 二次型（是對(duì)稱矩陣）正定的充要條件是（ ）。 （a）對(duì)任何，有 （b）的特征值為非負(fù)數(shù) （c）對(duì)任何，有 （d）對(duì)任意，有三、計(jì)算題1. 設(shè)非齊次線性方

18、程組，（1）取何值時(shí)，方程組（a）有唯一解；（b）無(wú)解；(c) 有無(wú)數(shù)多個(gè)解。并且方程組有無(wú)數(shù)多個(gè)解時(shí)，用該方程組的一個(gè)特解及對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系表示其通解。（2）設(shè)該方程組的系數(shù)矩陣為，試問(wèn)取何值時(shí)，存在三階非零矩陣，使得。2. 設(shè)，（1） 求一正交相似變換矩陣，使，其中為對(duì)角矩陣；（2） 求。3. 設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為對(duì)應(yīng)的特征向量為，（1） 求對(duì)應(yīng)的特征向量；（2） 求矩陣。4. 判斷下面向量組的線性相關(guān)性，求它的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用這個(gè)極大無(wú)關(guān)組線性表示。，四、證明題1. 設(shè)與為階矩陣，則與相似。2. 設(shè)為正定矩陣，證明：。線性代數(shù)綜合練習(xí)題（五）參考答案一

19、、填空題1. ， 2. ， 3. 4. 3 ， 5. .二、選擇題1. d 2. c 3. b 4. b 5. d三、計(jì)算題1. 解：， （1）當(dāng)且時(shí)，此時(shí)方程組有惟一解. 當(dāng)時(shí)，增廣矩陣，顯然系數(shù)矩陣的秩為2，增廣矩陣的秩為，此時(shí)方程組無(wú)解. 當(dāng)時(shí)，增廣矩陣 ，所以 ,令，得，此為時(shí)對(duì)應(yīng)方程組的通解. （2）系數(shù)矩陣的秩小于3時(shí)，線性方程組有非零解，此時(shí)存在三階矩陣，使得.由得或. 2. 解：（1）特征多項(xiàng)式的特征值為，. 當(dāng)時(shí)，解方程組，得基礎(chǔ)解系，于是得到對(duì)應(yīng)的單位特征向量. 當(dāng)時(shí)，解方程組，得基礎(chǔ)解系，于是得到對(duì)應(yīng)的單位特征向量. 令，此時(shí). （2）先求，所以， 故 . 3. 解：（1

20、）設(shè)對(duì)應(yīng)于2的一個(gè)特征向量為，則與正交，即，其基礎(chǔ)解系為，這是對(duì)應(yīng)于2的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量. （2）令，令，則. 所以， . 4.解：， 所以，向量組線性相關(guān)，為最大無(wú)關(guān)組，并且 四、證明題1. 證：因?yàn)?，所以可逆?因而 ，即，所以與相似. 2. 證：為正定矩陣，則特征值全為正數(shù). 設(shè)的全部特征值為，則，由于為正定矩陣，所以存在正交矩陣，使得，即 所以線性代數(shù)綜合練習(xí)題（六）一、選擇題1. 設(shè)是矩陣，齊次線性方程組僅有零解的充要條件是（ ）。（a）的列向量組線性相關(guān) （b）的列向量組線性無(wú)關(guān) （c）的行向量組線性相關(guān) （d）的行向量組線性無(wú)關(guān) 2. 線性無(wú)關(guān)的充要條件是（ ）（a） 都不

21、是零向量（b） 任意兩個(gè)向量的分量不成比例（c） 至少有一個(gè)向量不可由其余向量線性表示（d） 每個(gè)向量均不可由其余向量線性表示3. 設(shè)矩陣其中且，則為（ ）。 （a）正定矩陣 （b）負(fù)定矩陣 （c）初等矩陣 （d）正交矩陣 4. 為階方陣，是的特征值，則必有（ ）。 （a）互異 （b）不等于零 （c） （d）5. 若存在一組數(shù)使得成立，則向量組（ ） （a）線性相關(guān) （b）線性無(wú)關(guān) （c）可能線性相關(guān)也可能線性無(wú)關(guān) （d）部分線性相關(guān)二、填空題1. 設(shè)，為非零矩陣，則 。2. 設(shè)階方陣的個(gè)特征值為1，2，則 。3. 設(shè)列向量組，線性相關(guān)，則 。4. 已知正交矩陣的兩個(gè)列向量，則。5. 若，則。

22、三、計(jì)算行列式1. 2. 四、確定下列方程組是否有解，若有解，求其通解。五、解矩陣方程求，其中 ， 六、求向量組，的最大線性無(wú)關(guān)組，并把其他向量用最大線性無(wú)關(guān)組線性表示。七、設(shè)階矩陣滿足，為階單位矩陣，求證：。八、設(shè)矩陣，問(wèn)當(dāng)為何值時(shí)，存在可逆矩陣使得，其中為對(duì)角矩陣？并求出相應(yīng)的對(duì)角矩陣。線性代數(shù)綜合練習(xí)題（六）參考答案一、選擇題1. b 2. d 3. d 4. d 5. c二、填空題1. ， 2. ， 3. ， 4. ， 5. .三、計(jì)算題行列式1. 解：原式 2. 解：原式 四（10分）、解：此方程組的增廣矩陣為 所以系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，方程組有解.特解為，對(duì)應(yīng)的齊次線性方程

23、組的基礎(chǔ)解系為，. 所以通解為，. 五、解：所以. 六、解： 所以是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并且 ， 七、證：由得 ，所以 的列向量為方程組的解， 設(shè)，則有所以 又，所以即 ，故 . 八、解：得， 所以，的特征值有重根，因此對(duì)于而言，當(dāng)方程組有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解時(shí)，可以對(duì)角化.若，則，方程組只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的解. 當(dāng)時(shí)，所以對(duì)應(yīng)于的特征向量為：， 對(duì)應(yīng)于的特征向量為，令，且有. 線性代數(shù)綜合練習(xí)題（七）一、選擇題1. 設(shè)、為階矩陣，則下面必成立的是（ ）。 （a） （b） （c） （d）2. 設(shè)為階矩陣，且，則（ ）。 （a） （b） （c） （d）3. 設(shè)向量組的秩為3，則（ ）。 （a）任意三個(gè)向量

24、線性無(wú)關(guān) （b）中無(wú)零向量 （c）任意四個(gè)向量線性相關(guān) （d）任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)4. 線性方程組，有解的充要條件是（ ）。 （a） （b） （c） （d）5. 階矩陣與對(duì)角矩陣相似的充要條件是（ ）。 （a）的個(gè)特征值互不相同 （b）可逆 （c）無(wú)零特征值 （d）有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量二、填空題1. 各列元素之和為0的階行列式的值等于 。2. 設(shè)三階矩陣，則 。3. 設(shè)矩陣，則 ， ， （為正整數(shù)）。4. 設(shè)，則 。5. 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，則向量組，線性 。6. 設(shè)三階可逆矩陣的特征值分別為2、3、5，則 ，的伴隨矩陣的特征值為 。7. 設(shè)實(shí)二次型為正定二次型，則參數(shù)的取值范圍是 。三、計(jì)算

25、題1. 設(shè)，求矩陣。2. 當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組有（1）惟一解；（2）無(wú)解；（3）無(wú)窮多解，并求通解。3. 設(shè)四維向量組，求該向量組的秩及一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并把其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表示。4. 求一個(gè)正交變換，將實(shí)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并判斷該二次型是否正定。四、證明題1. 設(shè)為階矩陣，如果，則。2. 設(shè)階矩陣，（為正整數(shù)），則不能與對(duì)角矩陣相似。線性代數(shù)綜合練習(xí)題（七）參考答案一、選擇題1. d 2. b 3. c 4. a 5. d二、填空題1. 2. 3. , , 4. 2 5. 無(wú)關(guān) 6. 30 ， 15，10，6 7. 三、計(jì)算題1. 解：2. 解：線性方程組的系數(shù)行列式，（1

26、）當(dāng)，即且時(shí)，方程組有惟一解； （2）當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解； （3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋苑匠探M有無(wú)窮多解，且通解為，為任意實(shí)數(shù). 3. 解：， 所以 ， 為向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且 ， 4. 解：二次型的矩陣 ， 的特征多項(xiàng)式，所以的特征值為，. 對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為，單位化得；對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為，單位化得；對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為，單位化得. 所求正交變換為 ，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為 ， 因?yàn)?，所以該二次型不是正定二次? 四、證明題1. 證：由，得，則；又 ， 所以 . 2. 證：反證法，假設(shè)與對(duì)角矩陣相似，則存在可你矩陣，使得， 則 ，從而 ， 所以 ，因而 ，這與矛盾，故不能與

27、對(duì)角矩陣相似. 線性代數(shù)綜合練習(xí)題（八）一、填空題1. 設(shè)，則a的伴隨矩陣 。2. 若向量組線性無(wú)關(guān)，則向量組是線性 。3. 設(shè)二次型為正定二次型，則取值范圍為 。4. 設(shè)矩陣的秩為2，則= 。5. 元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是 ； 元非齊次線性方程組有解的充分必要條件是 。二、選擇題1. 設(shè)與為階非零矩陣，且= 0 ，則與的秩（ ） （a）必有一個(gè)等于零 （b）都小于 （c）一個(gè)小于，一個(gè)等于 （d）都等于2. 設(shè)為階實(shí)矩陣，是的轉(zhuǎn)置矩陣，則對(duì)于線性方程組（）： 和（）： ，必有（ ） （a）（）的解是（）的解，（）的解也是（）的解；（b）（）的解是（）的解，但（）的解不是（）的

28、解；（c）（）的解不是（）的解，（）的解也不是（）的解；（d）（）的解是（）的解，但（）的解不是（）的解。3. 設(shè)為階矩陣，且，則必有（ ） （a） （b） （c） （d）4. 設(shè)向量組則該向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為（ ） （a） （b） （c） （d）5. 若滿足條件（ ），則階方陣與相似。 （a） (b) （c）與有相同的特征多項(xiàng)式 （d）與有相同的特征值且個(gè)特征值各不相同三、計(jì)算階行列式。四、求下面齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系： 五、設(shè)，求。六、 設(shè)3階對(duì)稱矩陣的特征值為6，3，3，與特征值6對(duì)應(yīng)的特征向量為，求。七、求一個(gè)正交變換使化下列二次型成標(biāo)準(zhǔn)形：。八、設(shè)是一組維向量，證明：線性無(wú)關(guān)的

29、充分必要條件是任一維向量都可由它們線性表示。線性代數(shù)綜合練習(xí)題（八）參考答案一、填空題 1. ， 2. 無(wú)關(guān)， 3. ，4. ，5. 系數(shù)矩陣的秩；系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩。二、選擇題1. b 2. a 3.d 4. b 5. d 三、 解：= 四、 解： 因此，所求的基礎(chǔ)解系為，。五、 解：， 因?yàn)?，所?于是，。 六、 解：將單位化得，設(shè)正交變換矩陣為，使。因此是方程的解，于是，。并且。七、 解： 所以a的特征值為，。 當(dāng)時(shí)，由得,當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，由得。 于是，所求的正交變換為，的標(biāo)準(zhǔn)形為。八、證明：（必要性）設(shè)線性無(wú)關(guān)，并設(shè)是一個(gè)任意的維向量，于是由個(gè)向量構(gòu)成的向量組：，線性相關(guān)，

30、由根據(jù)假設(shè)線性無(wú)關(guān)，得知必能由線性表示。（充分性）設(shè)任一維向量都可以由線性表示，則單位坐標(biāo)向量組能由向量組線性表示，因此又，從而，因此線性無(wú)關(guān)。線性代數(shù)綜合練習(xí)題（十）一、選擇題1. 如果行列式，則（ ）。（a）可能為1 （b）不可能為1 （c）必為1 （d）不可能為22. 設(shè)、為階矩陣，則（ ）成立。 （a） （b） （c） （d）3. 設(shè)均為維向量，則下面結(jié)論正確的是（ ）。 （a）如果，則線性相關(guān) （b）若線性相關(guān)，則對(duì)任意一組不全為零的數(shù)，有 （c）若對(duì)任意一組不全為零的數(shù)，有，則 線性無(wú)關(guān) （d）如果，則 線性無(wú)關(guān)4. 齊次線性方程組有非零解的充要條件是（ ）。 （a） （b） （c

31、） （d） 5. 設(shè)可逆矩陣有一個(gè)特征值為2，則有一個(gè)特征值為（ ）。 （a） （b） （c） （d） 二、填空題1. 行列式 2. 設(shè)，則 。3. 設(shè)，則 。4. 已知向量組，線性相關(guān)，則 。5. 向量組，的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為 。6. 如果線性方程組有解，則常數(shù)滿足條件 。7. 二次型的秩為 。三、計(jì)算題1. 設(shè)，且，求。2. 設(shè)，問(wèn)：（1）是否線性相關(guān)；（2）可否由線性表示，如能則求其表示式。3. 設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，為它的三個(gè)解向量，且， 求該方程組的通解。4. 設(shè)，求一個(gè)正交矩陣使得，其中為對(duì)角矩陣。四、證明題1. 設(shè)階矩陣滿足，證明：。2. 設(shè)階實(shí)對(duì)稱矩陣滿足，證明。線性代數(shù)綜合練習(xí)題（十）參考答案一、選擇題1. a 2. b 3. c 4. d 5. d二、填空題1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 三、計(jì)算題1. 解：由，得 又，所以 2. 解： （1）因?yàn)?，所以線性相關(guān)； （2）因?yàn)椋钥捎删€性表示，且 3. 解：方程組對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含個(gè)解向量，則所求方程組的通解為 其中為任意常數(shù)， 因此，方程組的通解為 。4. 解：的特征多項(xiàng)式 的特征值為 ，所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為，正交單位化得；所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為，單位化得，令正交矩陣，則。四、證明題1.證：由，得，所