1、33 MHz第二章第二章 邏輯代數(shù)和邏輯函數(shù)邏輯代數(shù)和邏輯函數(shù)2.1 基本邏輯運(yùn)算基本邏輯運(yùn)算2.2 邏輯函數(shù)的變換和化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的變換和化簡(jiǎn)2.3 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法本章要求：本章要求： 掌握邏輯代數(shù)的基本公式、運(yùn)算定掌握邏輯代數(shù)的基本公式、運(yùn)算定律、規(guī)則。熟悉邏輯函數(shù)的表示方法以及邏輯律、規(guī)則。熟悉邏輯函數(shù)的表示方法以及邏輯函數(shù)的公式法化簡(jiǎn)。掌握卡諾圖及用卡諾圖化函數(shù)的公式法化簡(jiǎn)。掌握卡諾圖及用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的方法。簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的方法。33 MHz 2.1 基本邏輯運(yùn)算數(shù)字電路研究的是電路的輸入輸出之間的邏數(shù)字電路研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關(guān)系，邏輯關(guān)系一

2、般用邏輯函數(shù)來(lái)描述，所以輯關(guān)系，邏輯關(guān)系一般用邏輯函數(shù)來(lái)描述，所以數(shù)字電路又稱(chēng)邏輯電路，相應(yīng)的研究工具是邏輯數(shù)字電路又稱(chēng)邏輯電路，相應(yīng)的研究工具是邏輯代數(shù)布爾代數(shù)）。代數(shù)布爾代數(shù)）。在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)是由邏輯變量和基在邏輯代數(shù)中，邏輯函數(shù)是由邏輯變量和基本的邏輯運(yùn)算符構(gòu)成的表達(dá)式，其變量只能取兩本的邏輯運(yùn)算符構(gòu)成的表達(dá)式，其變量只能取兩個(gè)值二值變量），即個(gè)值二值變量），即0和和1，中間值沒(méi)有意義。，中間值沒(méi)有意義。0和和1表示兩個(gè)對(duì)立的邏輯狀態(tài)。表示兩個(gè)對(duì)立的邏輯狀態(tài)。例如：電位的低高例如：電位的低高0表示低電位，表示低電位，1表示表示高電位）、開(kāi)關(guān)的開(kāi)合等。高電位）、開(kāi)關(guān)的開(kāi)合等。A 為

3、原變量，為原變量， 為反變量為反變量 A33 MHz 1. 基本運(yùn)算公式基本運(yùn)算公式(0-1律，還原律律，還原律) 與乘）與乘） 或加）或加） 非非0 AA00 AAA 1AAA1 AAAA 011 AAAAAA 33 MHz 2. 基本運(yùn)算定律基本運(yùn)算定律ABBACBACBACABACBAABBA CBACBA)()(CABACBA普通代數(shù)普通代數(shù)不適用不適用!33 MHz證明證明:右邊右邊 =(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC ; 分配律分配律=A +A(B+C)+BC ; 結(jié)合律結(jié)合律 , AA=A=A(1+B+C)+BC ; 結(jié)合律結(jié)合律=A 1+BC ; 1+B+C=1=A

4、+BC ; A 1=1=左邊左邊)()(CABACBA33 MHz吸收律吸收律: 吸收多余冗余項(xiàng)，多余冗吸收多余冗余項(xiàng)，多余冗余因子被取消、去掉余因子被取消、去掉 被消化了。被消化了。AABABABAA（1原變量的吸收：原變量的吸收：證明：證明：A+AB=A(1+B)=A1=A長(zhǎng)中含短，長(zhǎng)中含短，留下短。留下短。（2反變量的吸收：反變量的吸收：證明：證明：BAABABAABAAABA)(長(zhǎng)中含反，長(zhǎng)中含反，去掉反。去掉反。想一想：想一想： ?ABAA)(33 MHz（3混合變量的吸收：混合變量的吸收：CAABBCCAAB證明：證明：BCAACAABBCCAAB)(CAABBCAABCCAAB1

5、吸收吸收正負(fù)相對(duì)，正負(fù)相對(duì)，余全完。余全完。33 MHzBABABABA可以用列真值表的方法證明：可以用列真值表的方法證明：ABAB0001111010110110010111110000BA ABBA 33 MHz 3. 基本運(yùn)算規(guī)則CAZ,BABA 則得到則得到CBABCACBA33 MHz + 變量與常數(shù)均取反變量與常數(shù)均取反 （求反運(yùn)算）（求反運(yùn)算）互補(bǔ)運(yùn)算互補(bǔ)運(yùn)算2.不是一個(gè)變量上的反號(hào)不動(dòng)。不是一個(gè)變量上的反號(hào)不動(dòng)。留意留意:用途：實(shí)現(xiàn)互補(bǔ)運(yùn)算求反運(yùn)算）。用途：實(shí)現(xiàn)互補(bǔ)運(yùn)算求反運(yùn)算）。新表達(dá)式：新表達(dá)式：F顯然：顯然：FF 1. 變換時(shí)，原函數(shù)運(yùn)算的先后順序不變變換時(shí)，原函數(shù)運(yùn)算的

6、先后順序不變33 MHz例例1：1)()(1 DCBAF01 DCBAF與或式與或式注意括號(hào)注意括號(hào)留意留意括號(hào)括號(hào)01 DCBAFDBDACBCAF 133 MHz)(EDCBA 例例2：EDCBAF2EDCBAF 2與或式與或式反號(hào)不動(dòng)反號(hào)不動(dòng)反號(hào)不動(dòng)反號(hào)不動(dòng)EDCBAF 2EDACABAF 233 MHz對(duì)偶式對(duì)偶式AABACDABYABAA)()(DCBAY33 MHz2.2 邏輯函數(shù)的變換和化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的變換和化簡(jiǎn)四種表示方法四種表示方法邏輯代數(shù)式邏輯代數(shù)式 (邏輯表示式邏輯表示式, 邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式)11&1ABY 邏輯電路圖邏輯電路圖:卡諾圖卡諾圖n2n個(gè)輸入變量個(gè)輸

7、入變量 種組合。種組合。真值表：將邏輯函數(shù)輸入變量取值的不同組合真值表：將邏輯函數(shù)輸入變量取值的不同組合與所對(duì)應(yīng)的輸出變量值用列表的方式與所對(duì)應(yīng)的輸出變量值用列表的方式一一對(duì)應(yīng)列出的表格。一一對(duì)應(yīng)列出的表格。BABAF 2.2.1 邏輯函數(shù)表示方法：四種，并可相互轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)表示方法：四種，并可相互轉(zhuǎn)換33 MHz不同表示方法之間的相互轉(zhuǎn)換：不同表示方法之間的相互轉(zhuǎn)換：33 MHzA B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBACBACBABCACBACBACABABC例如：由左圖所示三例如：

8、由左圖所示三變量邏輯函數(shù)的真值變量邏輯函數(shù)的真值表，可寫(xiě)出其邏輯函表，可寫(xiě)出其邏輯函數(shù)式：數(shù)式：ABCCABCBAF 驗(yàn)證：將八種輸入狀態(tài)驗(yàn)證：將八種輸入狀態(tài)代入該表示式，均滿(mǎn)代入該表示式，均滿(mǎn)足真值表中所列出的足真值表中所列出的對(duì)應(yīng)的輸出狀態(tài)。對(duì)應(yīng)的輸出狀態(tài)。33 MHzA B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 方法：一般按二進(jìn)制的方法：一般按二進(jìn)制的順序，輸出與輸入狀順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)，列出所態(tài)一一對(duì)應(yīng)，列出所有可能的狀態(tài)。有可能的狀態(tài)。例如：例如：ABCCABCBAF 33 M

9、Hz方法：圖形符號(hào)代替式中的運(yùn)算符號(hào)即可方法：圖形符號(hào)代替式中的運(yùn)算符號(hào)即可BCACBABYABCBBCA&C1A1 1 1B&1 1 YCBAB33 MHz邏輯代數(shù)式是把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)邏輯代數(shù)式是把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)系寫(xiě)成與、或、非等邏輯運(yùn)算的組合系寫(xiě)成與、或、非等邏輯運(yùn)算的組合式。也稱(chēng)為邏輯函數(shù)式，通常采用式。也稱(chēng)為邏輯函數(shù)式，通常采用“與或的形式。與或的形式。例：例：ABCCBACBACBACBAF 一個(gè)邏輯函數(shù)可以表示為不同的表達(dá)式。一個(gè)邏輯函數(shù)可以表示為不同的表達(dá)式。對(duì)應(yīng)的邏輯圖也不同。實(shí)際應(yīng)用中，電路越簡(jiǎn)對(duì)應(yīng)的邏輯圖也不同。實(shí)際應(yīng)用中，電路越簡(jiǎn)單，可靠性

10、越高，成本越低，故常需對(duì)函數(shù)式單，可靠性越高，成本越低，故常需對(duì)函數(shù)式進(jìn)行變換和化簡(jiǎn)。進(jìn)行變換和化簡(jiǎn)。33 MHz2.2.2 2.2.2 邏輯函數(shù)的變換和化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的變換和化簡(jiǎn)33 MHz2.2.2 邏輯函數(shù)的變換和化簡(jiǎn)公式法）例例1：CAABBCCAABBCDBCCAABBCDCAAB (1)(1)吸收法吸收法: :利用利用BABAAAABA,33 MHz例例2：ABACBCABCBAABCBACCABCBAABCCABCBAF)()()(反變量吸收反變量吸收提出提出AB=1，并項(xiàng)，并項(xiàng)提出提出A (2) 并項(xiàng)法并項(xiàng)法: 33 MHz例例3 3： 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)CABCBACBAABCY)()(

11、BBCABBACCAAC A)(AACBCAABCBACACABABCAAB化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)CBCAABY例例4 4：33 MHz化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)CBACBAABCY（4加項(xiàng)法加項(xiàng)法ABCCBACBAABCACBC 例例5 5：再看一例題再看一例題33 MHz例例5 5： 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)DBCDCBADABABCYDBABCDCBAABCDBCDCBAABDBCDCBAB)(DCBCDABCDBCDAB)(DADBCDCBAABCBCDABCDB33 MHz 利用公式法進(jìn)行化簡(jiǎn)的問(wèn)題：利用公式法進(jìn)行化簡(jiǎn)的問(wèn)題： 復(fù)雜復(fù)雜 技巧性強(qiáng)技巧性強(qiáng) 是否最簡(jiǎn)尚不得而知是否最簡(jiǎn)尚不得而知 33 MHz 2.3 邏輯函數(shù)的卡諾圖

12、化簡(jiǎn)法邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法 2.3.1. 2.3.1. 最小項(xiàng)和最大項(xiàng)最小項(xiàng)和最大項(xiàng)33 MHz33 MHz 以三變量的邏輯函數(shù)為例分析最小項(xiàng)表示及特點(diǎn)以三變量的邏輯函數(shù)為例分析最小項(xiàng)表示及特點(diǎn)CBACBACBABCACBACBACABABC變量變量賦值賦值為為1 1時(shí)時(shí)用該用該變量變量表示；表示；賦賦0 0時(shí)時(shí)用該用該變量變量的反的反來(lái)表來(lái)表示。示?？梢?jiàn)可見(jiàn)輸入輸入變量變量的八的八種狀種狀態(tài)分態(tài)分別唯別唯一地一地對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)著八著八個(gè)最個(gè)最小項(xiàng)。小項(xiàng)。33 MHzA B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1

13、1 1 1 CBACBACBABCACBACBACABABC 當(dāng)輸入變量的賦值當(dāng)輸入變量的賦值使某一個(gè)最小項(xiàng)等使某一個(gè)最小項(xiàng)等于于1時(shí)，其他的最時(shí)，其他的最小項(xiàng)均等于小項(xiàng)均等于0。33 MHz之所以稱(chēng)之為最小項(xiàng)，是因?yàn)樵擁?xiàng)已包含了所之所以稱(chēng)之為最小項(xiàng)，是因?yàn)樵擁?xiàng)已包含了所有的輸入變量，不可能再分解。有的輸入變量，不可能再分解。A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBACBACBABCACBACBACABABC例如：對(duì)于三變量的例如：對(duì)于三變量的邏輯函數(shù)，如果某邏輯函數(shù)，如果某一項(xiàng)的變量數(shù)

14、少于一項(xiàng)的變量數(shù)少于3個(gè)，則該項(xiàng)可繼續(xù)個(gè)，則該項(xiàng)可繼續(xù)分解；若變量數(shù)等分解；若變量數(shù)等于于3個(gè)，則該項(xiàng)不能個(gè)，則該項(xiàng)不能繼續(xù)分解。繼續(xù)分解。不能分解不能分解CBACBACABCBAABCCCBBAA )(33 MHz相鄰相鄰 最小項(xiàng)的合并：若兩個(gè)最小項(xiàng)邏輯相鄰則可以最小項(xiàng)的合并：若兩個(gè)最小項(xiàng)邏輯相鄰則可以消去一對(duì)互反的因子合并成一項(xiàng)。消去一對(duì)互反的因子合并成一項(xiàng)。 邏邏輯輯相相鄰鄰；與與例例：BCACBAA B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 CBACBACBABCACBACBACABABC

15、不不是是邏邏輯輯相相鄰鄰。與與CBACBA33 MHzABCCBACBACBACBAF 邏輯相鄰邏輯相鄰CBCBACBA 邏輯相鄰的項(xiàng)可以邏輯相鄰的項(xiàng)可以合并，消去一個(gè)因子合并，消去一個(gè)因子33 MHz33 MHz33 MHzCBACBACBACBACBACBACBACBA33 MHziimM CBAm 222MCBACBAm33 MHz2.3.2 邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式1 AA33 MHzCAABYCBBACCABY)()(CBABCACABABC7631mmmm)7 , 6 , 3 , 1( imii33 MHzACDBAYCBBADCCBAY)()(15141110

16、9mmmmm)15,14,11,10, 9( imiiCBAABCDCBACDBA)(DDABCDCBACDBA)(DDCBADCBADABCABCDDCBACDBA33 MHzimYikkmYikkikkikkMmmY33 MHzCAABY)7 , 6 , 3 , 1( imYii5420MMMMMYikk)()()(CBACBACBACBA33 MHz2.3.3 卡諾圖卡諾圖 卡諾圖：將卡諾圖：將n個(gè)輸入變量的全部最小項(xiàng)用小方塊個(gè)輸入變量的全部最小項(xiàng)用小方塊陣列圖表示，并且將邏輯相鄰的最小項(xiàng)放在陣列圖表示，并且將邏輯相鄰的最小項(xiàng)放在相鄰的幾何位置上，所得到的陣列圖就是相鄰的幾何位置上，所得

17、到的陣列圖就是n變變量的卡諾圖。量的卡諾圖。33 MHz闡明：闡明：一格一個(gè)最小項(xiàng)一格一個(gè)最小項(xiàng)相鄰兩格為邏輯相鄰兩格為邏輯相鄰項(xiàng)相鄰項(xiàng)33 MHz有時(shí)為了方便，用二進(jìn)制對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制表示單有時(shí)為了方便，用二進(jìn)制對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制表示單元格的編號(hào)。單元格的值用函數(shù)式表示。元格的編號(hào)。單元格的值用函數(shù)式表示。ABC00011110010 1 3 2 4 5 7 7 6 F( A , B , C )=( 1 , 2 , 4 , 7 )1,2,4,7單元取單元取1，其它取，其它取0 A B C 編號(hào) 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 2 0 1 1 3 1 0 0 4 1 0 1 5 1 1 0

18、6 1 1 1 733 MHz0 1 3 2 4 5 7 7 6 12 1 13 3 1 15 5 14 8 9 1 11 1 10 ABCD0001111000011110四變量卡諾圖單元格的編號(hào)四變量卡諾圖單元格的編號(hào):33 MHz 從真值表到卡諾圖：對(duì)應(yīng)填寫(xiě)從真值表到卡諾圖：對(duì)應(yīng)填寫(xiě)2.3.4 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示邏輯函數(shù)的卡諾圖表示 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0AB01010111輸出變量輸出變量Y的值的值輸入變量輸入變量例例1：二輸入變量卡諾圖：二輸入變量卡諾圖33 MHz邏輯相鄰：相鄰單邏輯相鄰：相鄰單元輸入變量的取值元輸入變量的取值只能有一位不同。只

19、能有一位不同。0100011110 ABC00000111輸入變量輸入變量輸出變量輸出變量Y Y的值的值A(chǔ) B C Y0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1例例2：三輸入變量卡諾圖：三輸入變量卡諾圖留意：留意：00與與10邏輯相鄰。邏輯相鄰。33 MHzABCD000111100001110110100 01110 011110四變量卡諾圖四變量卡諾圖編號(hào)為編號(hào)為0010單單元對(duì)應(yīng)于最元對(duì)應(yīng)于最小項(xiàng)：小項(xiàng)：DCBAABCD=0100時(shí)函時(shí)函數(shù)取值數(shù)取值函數(shù)取函數(shù)取0、1均可，稱(chēng)為均可，稱(chēng)為無(wú)關(guān)項(xiàng)。無(wú)關(guān)項(xiàng)。只有一只有一項(xiàng)

20、不同項(xiàng)不同例例3：四輸入變量卡諾圖：四輸入變量卡諾圖33 MHz2.3.4 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示邏輯函數(shù)的卡諾圖表示 從函數(shù)式到卡諾圖：從函數(shù)式到卡諾圖：33 MHzACDDBADCBAYCDBBADCCBADCBAY)()(CDBAABCDDCBADCBADCBA15111085mmmmm33 MHz15111085mmmmmY33 MHzDCBADABCCDBADCBAY33 MHz2.3.5 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)n2n=1，合并一對(duì)因子，合并一對(duì)因子n=2，合并兩對(duì)因子，合并兩對(duì)因子33 MHzACABC33 MHzDBCBD33 MHz33 MHz合并圈的選?。喝簩幋笪鹦。缓喜⑷Φ倪x?。喝簩幋笪鹦?； 圈數(shù)寧少勿多；圈數(shù)寧少勿多； 圈圈含新圈圈含新33 MHz例例1：化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15)ABCD0001 11 1000011011010 0111