1、會(huì)計(jì)學(xué)1矩陣矩陣(j zhn)的初等變換與線性方程的初等變換與線性方程第一頁(yè)，共23頁(yè)。第1頁(yè)/共23頁(yè)第二頁(yè)，共23頁(yè)。習(xí)題課習(xí)題課（1）交換）交換行行次序；次序；（2）以不等于的數(shù)乘某個(gè)行；）以不等于的數(shù)乘某個(gè)行；（3）一個(gè)行加上另一個(gè)行的）一個(gè)行加上另一個(gè)行的k倍倍 同理可定義同理可定義矩陣矩陣(j zhn)的初的初等列變換等列變換(所所用記號(hào)是把用記號(hào)是把“r”換成換成“c”)說(shuō)明說(shuō)明(shumng):1.由單位矩陣由單位矩陣 E 經(jīng)一次經(jīng)一次初等變換初等變換，得到的矩陣稱為，得到的矩陣稱為初等初等矩陣矩陣。2.初等變換的逆變換仍為初等變換初等變換的逆變換仍為初等變換, , 且變換類型

2、相同且變換類型相同3.3.4.行階梯形矩陣行階梯形矩陣( (行最簡(jiǎn)形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣) )A初等變換初等變換B. BA標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形總總可可經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)初初等等變變換換化化為為矩矩陣陣 Anm nmrOOOEF 5.5.第2頁(yè)/共23頁(yè)第三頁(yè)，共23頁(yè)。習(xí)題課習(xí)題課矩陣矩陣(j zhn)秩的概念秩的概念矩陣矩陣(j zhn)秩的求法秩的求法(1)(1)利用利用(lyng)(lyng)定義定義(即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù)即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù));(2)(2)初等變換法初等變換法(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的

3、行數(shù)就是矩陣的秩非零行的行數(shù)就是矩陣的秩).( )( )A BR AR B 不等于零的子式的最高階數(shù)不等于零的子式的最高階數(shù)第3頁(yè)/共23頁(yè)第四頁(yè)，共23頁(yè)。習(xí)題課習(xí)題課有有解解的的判判定定(pndng)條條件件有無(wú)窮有無(wú)窮(wqing)(wqing)多解多解. .非齊次線性方程組非齊次線性方程組bAx 齊次線性方程組齊次線性方程組0 Ax nAR ;0只只有有零零解解 Ax nAR .0有有非非零零解解 Ax;有有唯唯一一解解bAx ( )( )R AR Bn ( )( )R AR Bn Axb 解法解法(ji f)系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)形矩陣，便可寫出其形矩陣，便可寫出其通解

4、；通解；增廣矩陣化成行階梯增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其形矩陣，便可判斷其是否有解若有解，是否有解若有解，化成行最簡(jiǎn)形矩陣，化成行最簡(jiǎn)形矩陣，便可寫出其通解；便可寫出其通解；11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xa xa xb 線性方程組線性方程組第4頁(yè)/共23頁(yè)第五頁(yè)，共23頁(yè)。習(xí)題課習(xí)題課 AE 1EA 初等行變換初等行變換AE 初等列變初等列變換換1EA 把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩行數(shù)就是矩陣的秩.(即尋找

5、矩陣中非零子式的最高階數(shù)即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù))注意注意用初等行變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用行變換，其間不能作任何列用初等行變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用行變換，其間不能作任何列變換同樣地，用初等列變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用列變換，其間不能變換同樣地，用初等列變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用列變換，其間不能作任何行變換作任何行變換注意注意在求矩陣的秩時(shí)，初等行、列變換可以同時(shí)兼用，但一般多用初等行變?cè)谇缶仃嚨闹葧r(shí)，初等行、列變換可以同時(shí)兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形換把矩陣化成階梯形第5頁(yè)/共23頁(yè)第六頁(yè)，共23頁(yè)。習(xí)題課習(xí)題課一、求矩陣一、求矩陣(j zhn)的秩的秩二、求解二、求解

6、(qi ji)線性方程組線性方程組三、求逆矩陣三、求逆矩陣(j zhn)的初等變換法的初等變換法四、解矩陣方程的初等變換法四、解矩陣方程的初等變換法第6頁(yè)/共23頁(yè)第七頁(yè)，共23頁(yè)。習(xí)題課習(xí)題課一、求矩陣一、求矩陣(j zhn)的秩的秩求矩陣求矩陣(j zhn)的秩有下列基本方法的秩有下列基本方法（）計(jì)算矩陣的各階子式，從階數(shù)最高的子式開(kāi)始，找到不（）計(jì)算矩陣的各階子式，從階數(shù)最高的子式開(kāi)始，找到不等于零的子式中階數(shù)最大的一個(gè)子式，則這個(gè)等于零的子式中階數(shù)最大的一個(gè)子式，則這個(gè)(zh ge)子式的子式的階數(shù)就是矩陣的秩階數(shù)就是矩陣的秩（）用初等變換即用矩陣的初等行（或列）變換，把所給矩（）用初

7、等變換即用矩陣的初等行（或列）變換，把所給矩陣化為階梯形矩陣，由于階梯形矩陣的秩就是其非零行（或列）陣化為階梯形矩陣，由于階梯形矩陣的秩就是其非零行（或列）的個(gè)數(shù)，而初等變換不改變矩陣的秩，所以化得的階梯形矩陣中的個(gè)數(shù)，而初等變換不改變矩陣的秩，所以化得的階梯形矩陣中非零行（或列）的個(gè)數(shù)就是原矩陣的秩非零行（或列）的個(gè)數(shù)就是原矩陣的秩第一種方法當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時(shí)，計(jì)算量很大，第二種第一種方法當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)較高時(shí)，計(jì)算量很大，第二種方法則較為簡(jiǎn)單實(shí)用方法則較為簡(jiǎn)單實(shí)用第7頁(yè)/共23頁(yè)第八頁(yè)，共23頁(yè)。習(xí)題課習(xí)題課例求下列例求下列(xili)矩陣的秩矩陣的秩.34147191166311

8、110426010021 A解解對(duì)對(duì) 施行初等行變換化為階梯形矩陣施行初等行變換化為階梯形矩陣A 34147191166311110426010021A 3514721015639010426010021,00000000005213010021B . 2)()(, BRAR因此因此注意注意(zh y)在求矩陣的秩時(shí)，初等行、列變換可以同時(shí)兼用，但一般多用在求矩陣的秩時(shí)，初等行、列變換可以同時(shí)兼用，但一般多用初等行變換把矩陣化成階梯形初等行變換把矩陣化成階梯形第8頁(yè)/共23頁(yè)第九頁(yè)，共23頁(yè)。習(xí)題課習(xí)題課二、求解二、求解(qi ji)線性方程組線性方程組當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不相同時(shí)，一般

9、當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不相同時(shí)，一般用初等用初等(chdng)行變換求方程的解行變換求方程的解當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同時(shí)，求線性方程組的解，一般都有兩種方法：當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同時(shí)，求線性方程組的解，一般都有兩種方法：初等初等(chdng)行變換法和克萊姆法則行變換法和克萊姆法則第9頁(yè)/共23頁(yè)第十頁(yè)，共23頁(yè)。習(xí)題課習(xí)題課例求非齊次線性方程組的通解例求非齊次線性方程組的通解(tngji)1(.2255,1222,132,123,1323214321432143214321 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解對(duì)方程組的增廣矩陣對(duì)方程組的增廣矩陣 進(jìn)行初等行變換，使其

10、成為行最簡(jiǎn)單形進(jìn)行初等行變換，使其成為行最簡(jiǎn)單形B 2025511222111321112311321B1323433540255202231114530200000r rrrr r1242522020055202231111010000000r rr rr r12341221010011020231110000000000rrrr r 00000000001560002110001011221332rrrrr 00000000006165100616701061650016)1(6)1(631323rrrrr第10頁(yè)/共23頁(yè)第十一頁(yè)，共23頁(yè)。習(xí)題課習(xí)題課解解對(duì)方程組的增廣矩陣對(duì)方程組的增

11、廣矩陣 進(jìn)行初等行變換，使其成為行最簡(jiǎn)單形進(jìn)行初等行變換，使其成為行最簡(jiǎn)單形B 2025511222111321112311321B 000002035411132202552045331323425rrrrrrrr 00000001011113220255002022124rrrr 00000000001113202011001012213214rrrrr 00000000001560002110001011221332rrrrr 00000000006165100616701061650016)1(6)1(631323rrrrr.,16567650616161 )1(,43214取任意常數(shù)

12、取任意常數(shù)的通解是的通解是可得方程組可得方程組令自由未知量令自由未知量kkxxxxxkx 由此可知，而方程組由此可知，而方程組(1)中未知量的個(gè)數(shù)是，故有一中未知量的個(gè)數(shù)是，故有一個(gè)自由未知量個(gè)自由未知量.3)()( BRAR4 n第11頁(yè)/共23頁(yè)第十二頁(yè)，共23頁(yè)。習(xí)題課習(xí)題課 . 0323, 0, 022, 04321432143214321xaxxxxxaxxxxxxxxxx例例 當(dāng)取何值時(shí)，下述齊次線性方程組有非零解，并且求出它的通解當(dāng)取何值時(shí)，下述齊次線性方程組有非零解，并且求出它的通解a解法一解法一系數(shù)矩陣的行列式為系數(shù)矩陣的行列式為AaaA32311121211111 3050

13、212010101111 aa2000010010101111 aa)2)(1( aa., 0,21方方程程組組有有非非零零解解時(shí)時(shí)或或者者當(dāng)當(dāng) Aaa:,1化成最簡(jiǎn)形化成最簡(jiǎn)形把系數(shù)矩陣把系數(shù)矩陣時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Aa 10000000001001011323111121211111.,01014321為任意常數(shù)為任意常數(shù)kkxxxxx 從而從而(cng r)得到方得到方程組的通解程組的通解 00000300101011112323121121211111,2化為化為之變換可把之變換可把由計(jì)算由計(jì)算時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)AAa 0000010010100001.,1010 4321為為任任意意常常數(shù)數(shù)為為從從而而得

14、得到到方方程程組組的的通通解解kkxxxxx 第12頁(yè)/共23頁(yè)第十三頁(yè)，共23頁(yè)。習(xí)題課習(xí)題課 . 0323, 0, 022, 04321432143214321xaxxxxxaxxxxxxxxxx例例 當(dāng)取何值時(shí)，下述齊次線性方程組有非零解，并且求出它的通解當(dāng)取何值時(shí)，下述齊次線性方程組有非零解，并且求出它的通解a aaA32311121211111 3050212010101111aa解法二解法二用初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形用初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形A., 4)(,21解解可可仿仿照照解解法法一一求求出出它它的的非非零零解解此此時(shí)時(shí)方方程程組組有有時(shí)時(shí)或或者者當(dāng)當(dāng) ARaa 2

15、000010010101111aa第13頁(yè)/共23頁(yè)第十四頁(yè)，共23頁(yè)。習(xí)題課習(xí)題課三、求逆矩陣三、求逆矩陣(j zhn)的初等變換法的初等變換法.,)(,1AEEAEAA 變變成成了了就就原原來(lái)來(lái)的的時(shí)時(shí)變變成成當(dāng)當(dāng)把把施施行行初初等等行行變變換換只只需需對(duì)對(duì)分分塊塊矩矩陣陣的的逆逆矩矩陣陣要要求求可可逆逆矩矩陣陣.,1AEEAEA 就就變變成成了了原原來(lái)來(lái)的的時(shí)時(shí)變變成成當(dāng)當(dāng)把把施施行行初初等等列列變變換換或或者者對(duì)對(duì)分分塊塊矩矩陣陣第14頁(yè)/共23頁(yè)第十五頁(yè)，共23頁(yè)。習(xí)題課習(xí)題課例求下述矩陣?yán)笙率鼍仃?j zhn)的逆矩陣的逆矩陣(j zhn) 111211120A解解.),(施行初

16、等行變換施行初等行變換作分塊矩陣作分塊矩陣EA 100111010211001120 10011100112001021121rr 11010000112001021113rr 11010011102001021132rr 11010011102021001131)2(rr 110100212121010210011212r 11010021212101025232100121) 1(rr.1102121212523211 A注意用初等行變換注意用初等行變換(binhun)求逆矩陣時(shí)，必須始終用行變換求逆矩陣時(shí)，必須始終用行變換(binhun)，其，其間不能作任何列變換間不能作任何列變換(bi

17、nhun)同樣地，用初等列變換同樣地，用初等列變換(binhun)求逆矩陣時(shí)，求逆矩陣時(shí)，必須始終用列變換必須始終用列變換(binhun)，其間不能作任何行變換，其間不能作任何行變換(binhun)第15頁(yè)/共23頁(yè)第十六頁(yè)，共23頁(yè)。習(xí)題課習(xí)題課四、解矩陣四、解矩陣(j zhn)方程的初等變換法方程的初等變換法BAX )1()(BA)(1BAE 初初等等行行變變換換BAX1 BABXA )2( ABE1初初等等列列變變換換BAX1 )(BATT)(1BAETT 初初等等行行變變換換ABX1 BAXTTT)(1 或者或者(huzh)第16頁(yè)/共23頁(yè)第十七頁(yè)，共23頁(yè)。習(xí)題課習(xí)題課例例.,2,

18、410011103 XXAAXA求矩陣求矩陣且且設(shè)設(shè) 解解,2XAAX ,2100111012 EA又又,)2(AXEA 1002100100110011012AEA由于由于,322100234010225001 初等行變換初等行變換.322234225 X第17頁(yè)/共23頁(yè)第十八頁(yè)，共23頁(yè)。習(xí)題課習(xí)題課一、填空題一、填空題1 1若元線性方程組有解，且其系數(shù)若元線性方程組有解，且其系數(shù)(xsh)(xsh)矩陣的秩為，則當(dāng)時(shí)，方程組矩陣的秩為，則當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解有唯一解；當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解2 2齊次線性方程組齊次線性方程組 0302032321321xkxxxx

19、xkxx只有零解，則應(yīng)滿足只有零解，則應(yīng)滿足(mnz)(mnz)的條件是的條件是nrk的通解為的通解為則則設(shè)設(shè)0,111111111 . 3 AXA4 4線性方程組線性方程組 515454343232121axxaxxaxxaxxaxx有解的充要條件是有解的充要條件是第18頁(yè)/共23頁(yè)第十九頁(yè)，共23頁(yè)。習(xí)題課習(xí)題課000111015.22011100A矩陣的秩是二、計(jì)算題二、計(jì)算題.,. 1確定矩陣的秩確定矩陣的秩值的范圍值的范圍討論討論 06865035322024631543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx2 2求解求解(qi ji)(qi ji)下列線性方程組下列線性方程組 342231771110441132161015122111 第19頁(yè)/共23頁(yè)第二十頁(yè)，共23頁(yè)。習(xí)題課習(xí)題課 4423321321321bxxxxaxxxax