1、第三節(jié)第三節(jié)極限的運算法則極限的運算法則一、極限的四則運算法則一、極限的四則運算法則二、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則二、復(fù)合函數(shù)的極限運算法則一、極限四則運算法則一、極限四則運算法則定理定理1.0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其其中中則則設(shè)設(shè)推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果常數(shù)因子可以提到極限記號外面常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論推論2 2.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是是正正整整數(shù)數(shù)而

2、而存存在在如如果果（3 3）對有限個函數(shù)或數(shù)列的情形也成立對有限個函數(shù)或數(shù)列的情形也成立. . 說明說明：（1）在自變量的同一變化過程中，若）在自變量的同一變化過程中，若兩個函數(shù)的兩個函數(shù)的極限都存在極限都存在,則它們的和、差、積、商的極限分別則它們的和、差、積、商的極限分別等于其極限的和、差、積、商等于其極限的和、差、積、商(要求作分母時函數(shù)要求作分母時函數(shù)的極限不為零的極限不為零).（2）該法則也適用于數(shù)列的極限）該法則也適用于數(shù)列的極限.求極限方法舉例求極限方法舉例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5lim

3、lim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 例例2 293lim23xxx)3)(3(3lim3xxxx31lim3xx.61531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx3123 .37 例例3 3* *.3214lim21 xxxx求求解解)32(lim21 xxx, 0 )14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 故故.3214lim21 xxxx（3 3）分子分母均趨于零時，先約去它們的公因子，分子分母均趨于零時，先約去它們的公因子，即可歸結(jié)為前兩種情形之一即可歸結(jié)為前兩種情形之一。 在自變量趨于某個常數(shù)

4、時，有理函數(shù)的極限可在自變量趨于某個常數(shù)時，有理函數(shù)的極限可分為分為以下以下3種情形種情形：結(jié)論結(jié)論（1）分母不趨于零時，極限值等于函數(shù)值；）分母不趨于零時，極限值等于函數(shù)值；（2）分母趨于零，但分子不趨于零時，極限為）分母趨于零，但分子不趨于零時，極限為 ；例例5 5.321lim221 xxxx求求解解)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 .147532lim2323 xxxxx求求解解332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 小結(jié)小結(jié): :為為非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)時時有有和和當(dāng)當(dāng)nmba, 0,

5、000 00,0,anmbnmnm 101101limmmmnnxna xa xab xb xb 大則抓大頭大則抓大頭 次數(shù)最高次數(shù)最高例例6 6).21(lim222nnnnn 求求解解222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 2523 lim22xxx 求求22523( 523)( 523)( 22)limlim22( 523)( 22)( 22)xxxxxxxxxx 2(24)( 22)lim( 523)(24)xxxxx 2222lim . 3523xxx 例例7 7解：解：注意一些基本公式注意一些基本公式遇到根式，可

6、適當(dāng)使用有理化遇到根式，可適當(dāng)使用有理化例例8 求求. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令令,1xt tttt1111lim2021則則原式原式 =22011limttt111lim20tt 0t定理定理2 （復(fù)合函數(shù)極限運算法則復(fù)合函數(shù)極限運算法則變量代換法則變量代換法則）AufxfAufaxxaxauxxauxx )(lim)(lim,)(lim,)(,)(lim000 則則又又的的某某去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)但但在在設(shè)設(shè)極限過程的轉(zhuǎn)化極限過程的轉(zhuǎn)化例例9 求求解解: 令令233lim.9xxx 239xux 已知已知3limxu 16故故 原式原式 =16limuu16 66 二、復(fù)合函數(shù)極限二、復(fù)合函數(shù)極限例例10 10 求極限求極限0limln(cos )xx解解: : 令令 ，由于，由于 ，所以，所以cosux0limcoscos01xx01limln(cos )limlnln10 xuxu例例11 11 求極限求極限解解: : 令令 ，當(dāng)，當(dāng) 時，時， ，所以，所以arctanuxx 2u2lim ln(arctan )limlnln2xuxu)ln(arctanlimxx例例12 試確定常數(shù)試確定常數(shù) a 使使.0)1(lim33x