1、3/162018年新人教版初一數(shù)學(xué)下學(xué)期輔導(dǎo)講義第六章實數(shù)一、知識總結(jié)（一）平方根與立方根1、平方根（1）定義：一般地，如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根，也叫做二次方根。（2）表示：非負數(shù)a的平方根記作±76，讀作“正負根號a”，（a叫做被開方數(shù)）（3）性質(zhì)：正數(shù)的平方根有兩個，且互為相反數(shù)；。的平方根為0；負數(shù)的沒有平方根。（4）開平方：求平方根的運算叫做開平方。I、平方根是開平方的結(jié)果；II、開平方與平方互為逆運算。2、算術(shù)平方根（1）定義：正數(shù)a的正的平方根、，公叫做a的算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根是6（2）性質(zhì)：（1） 一個數(shù)a的算術(shù)平方根具有非負性；即：4 2

2、0恒成立，（2）正數(shù)的算術(shù)平方根只有1個，且為正數(shù)：0的算術(shù)平方根是0： 負數(shù)的沒有算術(shù)平方根。3、立方根：（1）定義：一般地，如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)叫做a的立方根，也叫做三次方根。（2）表示：a的立方根記作,，讀作“三次根號a”（a叫做被開方數(shù)，3叫根指數(shù)）（3）性質(zhì)：正數(shù)的立方根是1個正數(shù)；負數(shù)的立方根是1個負數(shù)；。的立方根是0。（二）實數(shù)1、無理數(shù)：無限不循環(huán)的小數(shù)。（一個無理數(shù)與若干有理數(shù)之間的運算結(jié)果還是無理數(shù)）2、實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。3、實數(shù)分類：（1）按定義分（略）（2）按正負性分（略）4、實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).5、實數(shù)的相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)：（與有理

3、數(shù)的相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)意義類似）6、實數(shù)的運算：實數(shù)與有理數(shù)一樣，可以進行加、減、乘、除、乘方運算，正數(shù)及零可以進行開平方運算，任 意一個實數(shù)可以進行開立方運算，而且有理數(shù)的運算法則和運算律對于實數(shù)仍然適用。7、實數(shù)大?。海?）正數(shù)0 負數(shù)； （2）兩個負數(shù)相比，絕對值大的反而?。唤^對值小的反而大。（3）數(shù) 軸上不同的點表示的數(shù)，右邊點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大。實數(shù)比較大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒數(shù)法、估值法二、解題實用1、V2« 1.414211.732(Va)2 =aV5« 2.236=(V«)=（b，0）3、a-y/b =4ab三、典題練習(xí)

4、1、質(zhì)的平方根是： （-3）2的算術(shù)平方根是 : -3?的立方根是。2、如果一個有理數(shù)的算術(shù)平方根與立方根相同，那么這個數(shù)是 ：如果一個有理數(shù)的平方根與立方根相 同，那么這個數(shù)是 。3、一個自然數(shù)的算術(shù)平方根是x,則與他相鄰的下一個自然數(shù)的算術(shù)平方根是。4、下列各數(shù)中一定為正數(shù)的是（填序號）X Jx + 1X? Vx+1 Vx+15、當(dāng)x<-l時，x2 , -x,-X，和的大小關(guān)系 o X6、比較下列各組數(shù)的大?。?）2-75與2-及與夕（3）3后與2而與二52汗 77、J7-、歷的絕對值為，相反數(shù)為 ,倒數(shù)為。8、已知|x| = 3, y為4的平方根，xy<0,求x+y的值。9、

5、已知Jx + 3 + Jy-2 = 0,求x:+y的平方根。10、如果一個非負數(shù)的平方根為2a-l和a-5,則這個數(shù)是。11、a為、后的整數(shù)部分，b為、后的小數(shù)部分，則a+2b的值為。12、若|2011-a| + Ja2012=L,試求a-201的值。（提示：找出題中的隱含條件）第七章一元一次不等式與不等式組一、知識總結(jié)（-）不等式及其性質(zhì)1 V不等式：（1）定義用“V"（或"W”），“>”（或“2”）等不等號表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式.用“W”表示 不 等 關(guān) 系 的 式 子 也 是 不 等 式.（2 ）不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.（

6、3）不等式的解集：一般地，一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。求不等式的解集 的過程叫做解不等式。不等式的解集與不等式的解的區(qū)別：解集是能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，是所有解的集合，而不等式 的解是使不等式成立的未知數(shù)的值。二者的關(guān)系是：解集包括解，所有的解組成了解集。（4 ） 解不等式：求不等式解的過程叫做解不等式。、不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1:不等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，不等號的方向不變。即： 如 果 a>b , 那 么 a±c>b±c .性質(zhì)2 ：不等式的兩邊都乘上（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。a /7即：如果并且c

7、>0, 那么ac>bc；->-.C C性質(zhì)3 ：不等式的兩邊都乘上（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。o b即：如果并且cvO,那么acvbc；性質(zhì)4：如果a>，那么b< （對稱性）傳遞性）性質(zhì) 5： 如果 a >Z?. b>c , 那么 a>c（二）一 元 一 次 不 等 式1、定義：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等號兩邊都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。2. 一 元 一 次 不 等 式 的 解 法：根據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：一般步驟為：（1）去分母；（2）去括號；（3）移項；合并同類項；系數(shù)化為 1.解不等式應(yīng)注意：去分母時，每

8、一項都要乘同一個數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項；移項時不要忘記變號； 去括號時，若括號前面是負號，括號里的每一項都要變號；在不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)時，不等號 的方向要改變。3. 不 等 式 的 解 集 在 數(shù) 軸 上 表 示：（1）邊界：有等號的是實心圓圈，無等號的是空心圓圈：（2）方向：大向右，小向左（三）一元一次不等式組1、定義：有幾個含有同一個未知數(shù)的一元一次不等式組成的不等式組，叫做一元一次不等式組2、（一元一次）不等式組的解集：這幾個不等式解集的公共部分，叫做這個（一元一次）不等式組的解集。3、解不等式組：求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。4、一元一次不等式組的解法1）分別求

9、出不等式組中各個不等式的解集2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集可歸納為下而四種情況:不等式組（a <。）解集口訣記憶f X >6/x>b同大取大lxx <a同小取小X >4 IxvZ?a <x<b大小小大中間找(X <67無解大大小小則無解（四）一元一次不等式（組）解決實際問題解題的步驟：審題，找出不等關(guān)系T設(shè)未知數(shù)T列出不等式（組）T求出不等式的解集T找出符合題意的值T作答。二、解題技巧 一、有解無解問題：Jx>n J有解：a<h p>a 一，有解：a&l

10、t;b （1）x<b -I無解：a>b （2） （x<b 無解：a>b（有解：a<b（3） x<b ' l無解：2、特征解問題：解題步驟：把原式中的要求的量（以下簡記為m）當(dāng)作已知數(shù)，去解原式得到原式的解（含m）一根據(jù)解的特征列出式子（關(guān)于m的式子）解出m的值o例：已知a + xN2x+l的解集為xKl,求a的值。解：解不等式a + xN2x + l得 X 44-1則 a-l = l解得a = 2把a當(dāng)作已知數(shù)，去解原式 得到原式的解（含a）根據(jù)解的特征列出式子，解出a的值三、典題練習(xí)x</h+1，侖2l1有解，則m的取值范圍是？若無解呢?）2

11、x+y=lr2、已知關(guān)于x, y的方程組U+2產(chǎn)2的解滿足x +）0,求m的取值范圍°3、適當(dāng)選擇a的取值范圍，使l.7Vx<a的整數(shù)解：（1） x只有一個整數(shù)解：（2） x一個整數(shù)解也沒有。4、解不等式（組）2x-5<3x,(1)x-2 x>-23(2)2 + 4x> 3x - 7,6x - 3 > 5x - 4,3x 7 < 2x 3.(3)3x 3 2x+1 ZZ(x -2(x + 3) < 1.(4) 5<62x<3，'W "華%5、若m、n為有理數(shù)，解關(guān)于x的不等式（一波一1卜>兒6、已知關(guān)于x,

12、 y的方程組尸"+ 2）' = + 1，的解滿足心>外求p的取值范圍。 4x + 3y = /7-1fx-b<07、已知關(guān)于x的不等式組425的整數(shù)解共有3個，求b的取值范圍。8、已知A=2H+3x+2, B=2x2-4x-5,試比較A與B的大小。3 x 4 > a9、已知a是自然數(shù)，關(guān)于x的不等式組 一的解集是x>2,求a的值.工一2 > 010、某種商品進價為150元，出售時標(biāo)價為225元，由于銷售情況不好，商品準(zhǔn)備降價出售，但要保證利潤不 低于10%,那么商店最多降價多少元出售商品？11、某零件制造車間有20名工人，已知每名工人每天可制造甲

13、種零件6個或乙種零件5個，且每制造一個甲種 零件可獲利150元，每制造一個乙種零件可獲利260元。在這20名工人中，車間每天安排x名工人制造甲種零 件，其余工人制造乙種零件。(1)若此車間每天所獲利潤為y(元)，用X的代數(shù)式表示y。(2)若要使每天所獲利潤不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙種零件？12、某學(xué)校計劃組織385名師生租車旅游，現(xiàn)知道出租公司有42座和60座客車，42座客車的租金為每輛 320元，60座客車的租金為每輛460元。(1)若學(xué)校單獨租用這兩種客車各需多少錢？(2)若學(xué)校同時租用這兩種客車8輛(可以坐不滿)，而且比單獨租用一種車輛節(jié)省租金，請選擇最節(jié)省的租車方案

14、。第八章整式乘除與因式分解一、知識總結(jié)(一)塞的運算：1、同底數(shù)塞乘法：同底數(shù)耗相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。2、同底數(shù)塞除法：同底數(shù)寤相除,底數(shù)不變，指數(shù)相減。aman=am-n3、幕的乘方：塞的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。(/'="""4、積的乘方：積的乘方等于各因式乘方的積。(ab = ambm注：(1)任何一個不等于零的數(shù)的零指數(shù)解都等于1;。° = 1(2)任何一個不等于零的數(shù)的-p (p為正整數(shù))指數(shù)寐，等于這個數(shù)的P指數(shù)底的倒數(shù)。ap= ap(3)科學(xué)記數(shù)法：c = ±4xl0"或c = ±4xl(r (l&

15、lt;a<10)絕對值小于1的數(shù)可記成土axl(T的形式，其中l(wèi)VavlO, n是正整數(shù)，n等于原 數(shù)中第一個有效數(shù)字前而的零的個數(shù)(包括小數(shù)點前而的一個零)。(-)整式乘法：1、單項式的乘法法則：單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)事分別相乘，作為積的因式：對于 只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。7/162、單項式與多項式的乘法法則：單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別 相乘，再把所得的積相加。3、多項式與多項式的乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一 個多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加。(= )完全平方公式與平法差公式1、完全平

16、方公式：(a+Z?)2=a2+2ab+(a-b =a2-2(ib+b2兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于這兩個數(shù)的平方和加(或戒)這兩個數(shù)乘積的兩倍。2、平法差公式：a2-b2=(i+ba-b)兩個數(shù)的平方之差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差之積。(四)整式除法(1)單項式的除法法則：單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)案分別相除，作為商的因式；對于只在被除式里含有的 字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。(2)多項式除以單項式的除法法則：單項式與多項式相除，先把多項式的每一項除以這 個單項式再把所得的商相加。(五)因式分解1、定義：把一個多項式化為幾個因式的乘積的形式，叫做因式分解，也叫做把這個多項 式分解

17、因式。2、分解因式的基本方法：(1)提公因式法(2)公式法：運用完全平方公式和平法差公式(3)對于二次三項式的因式分解的方法：1)配方法，2)十字相乘法：公式x1 -k-(a + b)x + ab = (x + ax + b)例：將Y+4X + 3因式分解。方法一：配方法：原式二 J+4x + 4-4+3 =(x + 2)2 -l = (x + lX- + 3)方法二：十字相乘法：x2+4x+3 = (x+lX-r + 3)(4)分組分解法3、分解因式的技巧：(1)因式分解時，有公因式要先提公因式，然后考慮其他方法：(2)因式分解時，有時項數(shù)較多時，看看分組分解法是否更簡潔符號變形【、x-)，

18、= -(y-x)II、當(dāng)n為奇數(shù)時，(x-yf=-(y-xyIlk 當(dāng) n 為偶數(shù)時，(x-y)”=()，-xy增項變形：例：4x4 +1 ->4x4 + l+4x2 -4x2 ->(4x4 +4x2 +1)-4/拆項變形：例 x' + 2r-1 > a,3 + 廠 +-1 >+ r)+-1)>+1)+ (x-1 )(.v +1)>.二、典題練習(xí)1、計算題(a-2b)2 (25-療 Qx)3 (3) (a" 2/(4) a5 心 *仃丫 xlO3(6) (x + 2y)4 + (- x - 2y)3 x (x + 2y)22、快速計算：(1

19、) 103x97(2) 1022(3) 9923、2m =4, 4n =16,求2如"的值。4、如果 2mnX2"=64 成立，那么 m= , n=。5、在括號內(nèi)填上指數(shù)和底數(shù)(1)(87=20(2) (93/=( )26、化簡求值：已知x"2x = 3,求(x-l)2+(x + 3)(x-3)+(x-3)(x-l)的值。7、已知2x + 5y = 4,再求4匕32,的值。8、已知 a + b = 3, ab = -5 ,求代數(shù)式的值：(1) a2+Z?2(2) (a - b)29、四式分解：1)x5 + 2x2 -5x-6 2) x2 -y2 +ax + ay

20、3) a4 + 4/?410、比較9999 x 9993與9996 2的大小。J 2m+n=611、不解不等式組（加-3=1 ,求-2（3-7）的值。第九章分式一、知識總結(jié)（-分式及其性質(zhì)1、分式（1）定義：一般的，如果a, b表示兩個整式，并且b中含有字母，那么式子？叫做分式；其中a叫做分式的 b分子，b叫做分式的分母。（2）有理式：整式和分式統(tǒng)稱為有理式。（3）分式=0 =分子=0,且分母W0 （分式有意義，則分母W0）（4）最簡分式：分子和分母沒有公因式的分式。2、分式的性質(zhì)分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變即：3 =色也=絲" （a, b, m

21、都是整式，且m,0） b b m b + m分式的性質(zhì)是分式化簡和運算的依據(jù)。3、約分：把一個式子的分子分母的公因式約去叫做約分。注：約分的結(jié)果應(yīng)為最簡分式或整式。約分的方法：1）若分子、分母均為單項式：先找分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，再找相同字母最低次暴；2）若分子、分母有多項式：先把多項式因式分解，再找分子、分母的公因式。（二）分式運算1、分式的乘除工）分式乘法法則：兩分式相乘，用分子的枳做分子，分母的積做分母：即：；、二=二b d hd2）分式除法法則：兩分式相除，將除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘：nn a c a d adHP ： = = - x -=b d b c be3）

22、分式乘方法則：分式的乘方就是分子分母分別乘方。即: 2、分式的加減1）同分母分式加減：分母不變分子相加減；即：-±- = （bWO） b b b2）異分母分式加減：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质较嗉訙p，a c ad be ad ± be,小即：-±- =± =（b”工 0）b d bd bd bd（三）分式方程9/161、定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。2、解法：1）基本思路：分式方程一今整式方程2）轉(zhuǎn)化方法：方程兩邊都乘以各個分式最簡公分母，約去分母。3） 一般步驟：分式方程一“然化法'整式方程> 解整式方程一> 檢驗注：檢驗的

23、是必不可缺的關(guān)鍵步驟，檢驗的目的是看是否有增根存在。（四）分式應(yīng)用列分式方程解決實際問題的一般步驟：審題設(shè)未知數(shù)，找等量關(guān)系一列方程 一檢驗（是否有增根，是否符合題意）一得出答案二、分式解題中常用的數(shù)學(xué)思想和技巧1、已知1 + ' = 5,求2' - 3c的值。（整體思想、構(gòu)造法）x y x+2xy + y2、已知£ = 3,求3八二、'v +21的值。（整體思想、構(gòu)造法）y 32F+3JQ，-5y 23、已知abc = l,求一-一 + - + -一的值。l + d + ab + b +be +c + ca“111111111- abc4、 aII F -

24、= - 9 - + = - 9 -4 ， 習(xí) < Oa b 6 b c 9 c a 15ab + be+ ac（先得到的值，然后按第1題方法做） abc5、己知=4, 求x +r的值。（提?。?= x + ）XrXX1 - b + C c + a a + b 十a(chǎn)bc/+Q_0她、+、6、已知=,求:；的值。（提不：參數(shù)法abc （a + blb + cci + c）Xr-7、已知-=H求丁一的值。（倒數(shù)求值法） x -x + 1X +X +8、已知/_5.（+1=0,求工4+二的值。（提示：由工2一5工+ 1 = 0得x + L = 5）XX9、已知4x-3y-6z = 0, x +

25、2y-7z = 0,求.八二+2丫二二的值。2x2-3y2-102（提示：消元代入法，把其中一個未知數(shù)看成常數(shù)，用它表示其它的未知數(shù)）20023-2x20022 + 110、計算:（提示：用字母代替數(shù)）1）；20023 + 2002-3x2002 -2八 11241-x + X 1 + r 1 + X八 x + 2 x + 3 x-4 x-53)+ x+1 x + 2 x-3 x-4（提示：局部通分）x + 21（提示：假分式可先變形L = i +，）x+1x+1三、典題練習(xí)1x1-51、如果分式粵一的值為0,那么x的值是o廠+5x2、在比例式9:5=4:3x中，x=,3、計算:二,1+x l

26、-x4、當(dāng)分式土史與分式x；+,3x + 2的值相等時,x須滿足 。1x2-l5、把分式2：幺中的x, y都擴大2倍，則分式的值 o （填擴大或縮小的倍數(shù)）工一丁6、下列分式中，最簡分式有 個。/ x-y m2 +n2 m +1 a2 - 2ab + b23x2 * x1 + y2，/一2' nr - ' a1 - lab-b21147、分式方程，的解是ox 3 x + 39228、若2x+y=0,則三+山二的值為.2 xy 一廠x2-l9、當(dāng)x為何值時，分式匚有意義？-x-2%2 110、當(dāng)工為何值時，分式一二的值為零？ x2-x-22x +111.已知分式士LJ.Hx=時，

27、分式?jīng)]有意義；當(dāng)"時，分式的值為0：當(dāng)x=-2時，分式的值x-2為 O12、當(dāng)&=時，關(guān)于x的方程出口 = *的解是x=La-x 413、一輛汽車往返于相距a km的甲、乙兩地，去時每小時行m km,返回時每小時行n km,則往返一次所用的時間是o14、某班a名同學(xué)參加植樹活動，其中男生b名（ba）.若只由男生完成，每人需植樹15棵：若只由女生完成， 則每人需植樹 棵。15、當(dāng)時，分式上的值與分式”二？的值互為倒數(shù)。x + 1x + 515/16- H。2 EI 2。+ /?弘正 T17、若一=一,則fl'J (i ?uob 3 b28、已知。2-3。+ 1 = 0,

28、求=?_的值。 a4+l19、已知x+4=3,則x2+= ° X廠_,1 1c ei 八-u 2x + 3q 2V20、已知 _ 二3,則分式-=x yx _ 2xy - y21、化簡求值.（1） （i+）小（1-!），其中x=-L： x-lx-12（2） =-(x - 2d), 其中 x二一。x2-2 + xx + 2222、解方程:(1)10512x 1 1 2x=2：(2)23 _x + 323、已知方程2 ？ = l + -L,是否存在?的值使得方程無解？若存在，求出滿X 廠一工 X-足條件的機的值：若不存在，請說明理由。24、若±=上=三，且3x + 2y-z =

29、 14 ,求x、y . z的值。 2 3 525、小亮在購物中心用12.5元買了若干盒餅干，但他在一分利超市.發(fā)現(xiàn)，同樣的餅干，這里要比購物中心每盒便宜0.5元.因此當(dāng)他第二次買餅干時，便到一分利超市.去買，如果用去14元，買的餅干盒數(shù)比第一次買的盒2數(shù)多-，問他第一次在購物中心買了幾盒餅干?5第十章 相交線、平行線與平移一、知識總結(jié)()相交線1、對頂角：兩條直線相交，有公共頂點且兩邊互為反向延長線的角叫對頂角。對頂角性質(zhì)：對頂角相等2、垂直：(1)定義：兩條直線相交所成的四個角中，如果有一個角是直角，就說明兩條直線相互垂直。記作 ABYCD；垂直的兩條直線其中一條直線叫做另一條直線的垂線；它

30、們的交點叫做垂足；連接直線外一點與垂足形成的線段叫做垂線段.注：1)垂直是相交的一種特殊的情況；2)兩條線段垂直，垂足可時在線段上，也可能在延長線上。（2）性質(zhì)：在同一平面內(nèi),過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直。3、點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段長度，叫做點到直線的距離。在連接直線外一點與直線上各點的線段中，垂線段最短。2、垂線的畫法：略（二）平行線1、定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線。記作ABCD。在同一平面內(nèi)，兩條直線的關(guān)系不是相交就是平行，沒有其他。2、相關(guān)概念：同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角。3、性質(zhì)：基本性質(zhì)：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線平行于這條直線。其他

31、性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等； 兩直線位置關(guān)系 n'l； 角的關(guān)系兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。4、平行判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；角的關(guān)系判定 兩直線位置關(guān)系同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。5、平行線的畫法：略（=）平移1、定義：在平面內(nèi)，一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這個圖形的變換叫做平移。2、性質(zhì)：1） 一個圖形和它經(jīng)過平移后所得到的圖形中，兩組對應(yīng)點連接的線段平行（或在同一直線上）且相等；2）平移只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀。3、確定平移的要素：1）方向；2）距離。二、典題練習(xí)1、如圖所示，下列判斷正確的是（）A、圖中N1和N2是一組對頂角C、圖（3）中N1和N2是一對鄰補角 2、下列說法中正確的是（）B、圖中N1和N2是一組對頂角D