1、第1章誤差分析與數(shù)值計算2§1.1 引言2§1.2 絕對誤差與相對誤差、有效數(shù)字6§1.3 近似數(shù)的簡單算術(shù)運算9§1.4數(shù)值計算中誤差分析的一些原則9第2章非線性方程（組）的近似解法11次.1引言11次.2根的隔離12衛(wèi).3對分法12衛(wèi).3對分法12次.4迭代法13.6弦截法15.6弦截法15§1.7用牛頓法解方程組15本章小結(jié)17第3章線性方程組的解法17§3.1 引言17§3.2 高斯消去法19§3.3 矩陣的LU分解21§3.4 對稱矩陣的LDL 1分解21§3.5 線性方程組解的可靠性

2、22§3.6 簡單迭代法22本章小結(jié)29第4章矩陣特征值與特征向量的計算3041引言3042哥法和反哥法3043雅可比方法3144 QR 方法 *35本章小結(jié)36第5章插值與擬合365.1 引言365.2 插值多項式的存在和唯一性 375.3 拉格朗日插值多項式 375.4 均差插值公式395.5 差分等距結(jié)點插值公式405.6 愛爾米特插值公式 415.7 分段低次插值425.8 三次樣條函數(shù)425.9 曲線擬合的最小二乘法45本章小結(jié)48第6章數(shù)值積分和數(shù)值微分 49S.1引言495.10 頓科特斯型積分公式495.11 合求積公式516.4 4 龍貝格求積公式536.5 5 高

3、斯求積公式546.6 6 二重積分的數(shù)值積分法556.7 7 數(shù)值微分56本章小結(jié) 57第 7 章常微分方程的數(shù)值解法 58§7.1 引言 58§7.2 歐拉法和改進(jìn)的歐拉法59§7.3 龍格-庫塔方法60§7.4 線性多步法63§7.5 算法的穩(wěn)定性與收斂性65§7.6 微分方程組和高階微分方程解法65本章小結(jié) 66第 1 章 誤差分析與數(shù)值計算§1.1 引言1、課程任務(wù)和目的：在第七屆國際軟件工程學(xué)術(shù)會議上， “計算方法”被列入應(yīng)用方法學(xué)的研究領(lǐng)域，強(qiáng)調(diào)了計算方法的研究 應(yīng)用與軟件方法學(xué)的研究密切結(jié)合。這就說明了計算方法

4、與軟件之間的聯(lián)系以及在應(yīng)用軟件研制中的地位 與作用，計算方法是研究各種數(shù)學(xué)問題求解的數(shù)值計算方法。在計算機(jī)成為數(shù)值計算的主要工具的今天，則要求研究適合于計算機(jī)使用的數(shù)值計算方法。計算方法就是研究用計算機(jī)解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及其理論，它的內(nèi)容包括函數(shù)的數(shù)值逼近、數(shù)值微分與數(shù)值積分、非線性方程值解、線性方程組數(shù)值解、常微和偏微數(shù)值解等，即都是以數(shù)學(xué)問題為研究對象的。因此，計算方法是數(shù)學(xué)的一個分支，只是它不象純數(shù)學(xué)那樣只研究數(shù)學(xué)本身的理論，是把理論與計算緊密結(jié)合，著重研究數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及其理論，計算 方法是計算機(jī)應(yīng)用和軟件研制開發(fā)的重要組成部分，通過本課程的學(xué)習(xí)和上機(jī)實習(xí)，使學(xué)生掌握利用計算機(jī)

5、進(jìn)行科學(xué)計算的基本理論和基本方法，并且學(xué)會將基本理論和基本方法應(yīng)用于軟件開發(fā)以及軟件研制。2、本課程基本要求（ 1）掌握方法的基本原理和思想。（ 2）掌握方法處理的技巧及與計算機(jī)的結(jié)合。（ 3）掌握誤差分析，收斂性及穩(wěn)定性的基本理論。（ 4）學(xué)會進(jìn)行可靠的理論分析，對近似計算要確保精度要求，要進(jìn)行誤差分析。（ 5）通過例子，學(xué)習(xí)使用各種計算方法解決實際計算問題。（ 6）通過上機(jī)實踐，能編寫算法和實現(xiàn)算法。（ 7）掌握數(shù)值計算中一些最基本、最常用的計算方法和算法。3、本課程與各課程的關(guān)系：由于本課內(nèi)容包括了微積分、代數(shù)、常微分方程的數(shù)值方法，學(xué)生必須掌握這幾門課的基本內(nèi)容才能學(xué)好BASIC 、這

6、一課程， 同時， 學(xué)習(xí)此課程還必須具備計算機(jī)系統(tǒng)的初步知識， 掌握一門常用的高級語言， 如：PASCAL 、 C 語言等，并須具備一定的編程能力。4、本課程的特點：（ 1）面向計算機(jī)，要根據(jù)計算機(jī)特點提供實際可行的有效算法。即算法只能包括加、減、乘、除運算和 邏輯運算，是計算機(jī)能直接處理的。（ 2）有可靠的理論分析，能任意逼近并達(dá)到精度要求，對近似算法要保證收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性，還要對 誤差進(jìn)行分析，而且都是建立在相應(yīng)數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上的。（ 3）有好的計算復(fù)雜性。時間復(fù)雜性好是指節(jié)省時間；空間復(fù)雜性好是指節(jié)省存儲量。這也是建立算法 時要研究的問題，因為它關(guān)系到算法能否在計算機(jī)上完成。（ 4）要有數(shù)

7、值實驗。即任何一種算法除了從理論上要滿足上述三點外，還要通過數(shù)值實驗證明是行之有 效的。計算方法最基本的立足點是容許誤差，在誤差容許的范圍內(nèi)對某一數(shù)學(xué)問題進(jìn)行近似計算，得到能滿足要求的近似結(jié)果?，F(xiàn)實世界中誤差是普遍存在的，由于世界上沒有絕對精確的量具（絕對精確的量具是沒有刻度的）人類通過量具采集的數(shù)據(jù)都是近似值，另一方面，我們的生產(chǎn)、實驗工具都不是絕對精確的，這就使得人類在生產(chǎn)和科學(xué)實驗中必需容許誤差。計算機(jī)的應(yīng)用可以分為二個方面，即數(shù)值計算和非數(shù)值計算。利用計算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計算的過程如下圖所示:實際問題 -數(shù)學(xué)模型|一,計算方法I_程序設(shè)計 一.上機(jī)求解在上圖中，計算方法的任務(wù)是：由建立的數(shù)學(xué)

8、模型給出可編程并由計算機(jī)能完成的計算方法，然后編程和 上機(jī)求解。由于計算方法是編程后可由計算機(jī)求解的近似計算方法，如何確保近似解的精度顯得尤為重要，必須深入討論有關(guān)誤差的基本概念和基本理論，為近似計算的精度分析打下基礎(chǔ)。1、誤差的來源(種類)誤差的來源主要有以下四種(1)模型誤差：建立數(shù)學(xué)模型時的誤差。例如：在求重量的數(shù)學(xué)模型 G=m*g中，重量G不是僅與質(zhì)量和重力加速度有關(guān)，它還與溫度、測量地點 的海拔、地層結(jié)構(gòu)等眾多因素有關(guān)，為了使模型較為簡單和實用，采用抓住主要矛盾的方法，去掉了大量 對重量影響不大的次要因素，建立了上述重量的近似模型，由此產(chǎn)生了模型誤差。(2)觀測誤差：采集數(shù)據(jù)時的誤差

9、。采集數(shù)據(jù)時，通常是依靠儀器和量具，由于沒有絕對精確的儀器和量具，因此采集的數(shù)據(jù)有誤差，此誤差稱為觀測誤差。(3)舍入誤差：由于計算機(jī)字長有限而產(chǎn)生的誤差。硬件再發(fā)展，計算機(jī)的字長總是有限的，在計算過程中，當(dāng)數(shù)據(jù)的長度超過了計算機(jī)的字長時，計算機(jī)就會進(jìn)行四舍五入，由此產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差。(4)截斷誤差：無限形式的有限化而產(chǎn)生的誤差。在計算中有時會運用無限形式的計算公式，例如臺勞公式：f(x) f(X0)?(x X0)(x X0)n1!n!顯然此公式無法進(jìn)行計算，因此必需根據(jù)實際需要，從某一項起將后面的各項截斷，即f(x) f(xo)牛(X X0)B(x X0)n1!n!由此產(chǎn)生的誤差稱為截

10、斷誤差。§1.2 絕對誤差與相對誤差、有效數(shù)字為描述方便，首先約定 x*是精確值x的近似值。引入誤差的概念，其目的是為了衡量近似值x*的好壞。(1)絕對誤差：x* xx 通常無法確定，因此絕對誤差無法計算，由此引入絕對誤差限的概念。絕對誤差限：絕對誤差的一個上界。即：若 | x* x | e,則稱e為X*的絕對誤差限。絕對誤差限的性質(zhì)是：A.不唯一這是因為| x* x |的上界是不唯一的。B.可確定只要我們對 x*的實際背景有一定的了解，就不難確定| x* x |的上界。例如，x*表示身高，則| x* x |的上界可為3米。當(dāng)x*是你求出的，那么為了說明你的工作認(rèn)真，你一定會將| x

11、* x | 的上界估計得盡量小，因此在這種意義上絕對誤差限可用來衡量x* 的好壞。由于絕對誤差限沒有考慮問題的規(guī)模，因此有時它也不能衡量x*的好壞。例如：x是地球與太陽的距離，y 是分子中二個原子間的距離，若 | x* x | 1 公里， | y* y | 1 厘米，則并不能說y* 比 x* 精確。由此引入相由誤差和相由誤差限的概念。（ 2）相由誤差：（x* x ） / x* 相由誤差限：相由誤差絕由值的一個上界。3、有效數(shù)字這里我們必須搞清楚什么是有效數(shù)字以及如何確定x*有幾位有效數(shù)字。（ 1）有效數(shù)字的定義若 |x*-x|<x* 的某一位的半個單位，則稱x* 精確到這一位，并從這一位

12、開始，一直到前面第一個不為零的數(shù)都是 x* 的有效數(shù)字。此定義實際上定義了什么叫精確到某一位和什么叫有效數(shù)字。 例如： 若 x* 精確到小數(shù)點后第 3位， 即指 | x* x | 0.5 10-3。（ 2）有效數(shù)字的判定方法方法一：四舍五入此方法首先確定 x* 是由 x 的哪一位四舍五入產(chǎn)生的， 然后從這一位的前一位開始一直到前面第一個不為零的數(shù)都是 x* 的有效數(shù)字。例 1 若 x=0.872596, x*=0.87 ，求 x* 的有效位數(shù)。解： x*是由x的小數(shù)點后第三位四舍五入產(chǎn)生的，所以X*有二位有效數(shù)字。注意，方法一判定有效數(shù)字很簡單，但有時會失效。例如，若 x=0.272987 x

13、*=0.273102 ，此時無法用方法一確定X*的有效位數(shù)，原因是 X*不是由X四舍五入產(chǎn)生的，在這種情況下，必須用有效數(shù)字的定義來確定 x* 的有效位數(shù)。即方法二：用定義此方法首先計算| X* X |，再判斷它小于等于X* 的哪一位的半個單位，然后從近一位開始，一直到第一個不為零的數(shù)都是有效數(shù)字。例 2 若 x=0.62073 ， x*=0.6207 ，確定 x* 的有效位數(shù)。解：因為| x* x | 0.0003 0.5 10 4, x*精確到小數(shù)點后第 4位，所以x*有四位有效數(shù)字。例 3 若 x=0.080199 ， x*=0.802 ，確定x* 的有效位數(shù)。解：因為| x* x |=

14、0.00001 0.5 10 5,所以 0.5 10 3,推出x*有三位有效數(shù)字。例 4 若 x=6.28936 ， x*=7.3132 ，確定x* 的有效位數(shù)。解：| x* x |=0.02357 0.5 10 1,所以x*有二位有效數(shù)字。§1.3 近似數(shù)的簡單算術(shù)運算§1.4 數(shù)值計算中誤差分析的一些原則為保證計算結(jié)果的高精度，在進(jìn)行數(shù)值計算時應(yīng)遵循下述幾個原則。（ 1）在進(jìn)行除法時，要避免除數(shù)的絕對值 <<被除數(shù)的絕對值。為什么要“避免”？若不“避免” ，則除出的結(jié)果很大，由于計算機(jī)字長有限，它裝不下，因此會進(jìn)行四舍五入，一個很大的數(shù)進(jìn)行四舍五入時舍去的部

15、分也會很大，這會使舍入誤差變大。怎樣“避免”？因為用戶只關(guān)心最后的計算結(jié)果，當(dāng)中間計算過程中出現(xiàn)了除數(shù)的絕對值 <<被除數(shù)的絕對值時， 就應(yīng)該換一種計算方法，以避免這種情況的發(fā)生，以后我們將會針對具體的計算問題來討論“避免”的方法。（ 2）在進(jìn)行減法時，要避免二個相近的數(shù)相減。為什么要“避免”？若不“避免” ，就可能失去大量的有效數(shù)字，例如：若a=30001 和 b=30000 都有五位有效數(shù)字，因為 a-b=1 ，所以結(jié)果至多有1 位有效數(shù)字。怎么“避免”？“避免”的思路與第1 個原則中“避免”的思路相同，須針對具體計算問題來討論。（ 3）要防止“大數(shù)吃小數(shù)”什么是“大數(shù)吃小數(shù)”

16、？我們用一個例子為說明。n計算 8756294874 ai ，其中 n=10 20， 0< ai<10 6。i1此題是一個很大的數(shù)與很多很小的數(shù)相加，若采用將大數(shù)依次與ai,a2,an相加，由于計算機(jī)字長有限，因此在與ai相加時會進(jìn)行四舍五入將 a舍去，這樣，最后的結(jié)果仍是大數(shù)，這就是大數(shù)將ai,a2, ,an吃掉了。為什么要“避免”？盡管每個小數(shù)都很小，但它們很多，可能它們的和比大數(shù)還大，而最后計算工結(jié)果為大數(shù)，顯然誤差可能很大。怎樣“避免”？有的同學(xué)提出先將小數(shù)相加，然后再與大數(shù)相加，這個思路是對的，但有一個漏洞，因為小數(shù)相加到一定程度也會變成大數(shù)，它也開始吃小數(shù)了?？梢圆扇》?/p>

17、部相加的方法解決。第 2 章 非線性方程（組）的近似解法§2.1 引言方程 f（x）=0 的解稱為 方程的根 。也叫做函數(shù)f（x） 的 零點 。方程求根大致包括三個問題（ 1）方程有沒有根？如果有根，有幾個根？（ 2 ）哪里有根？求有根的區(qū)間，區(qū)間內(nèi)的任意一點作為根的近似值。 （ 3）根的精確化，已知一個根的近似值后設(shè)法逐步把根精確化，直到足夠精確為止。本課程主要研究問題(2)和(3)。22根的隔離求方程f(x)=0的解的近似值時，首先要確定若干個區(qū)間，使每個區(qū)間內(nèi)只有的一個根，這個步驟稱為根的隔離。對一般的方程，根的隔離有兩種方法(1)試值法。求出f(x)在若干點上的函數(shù)值，觀察函

18、數(shù)值符號變化的情況，從而確定隔根區(qū)間。(2)作圖法。畫出y=f(x)的草圖，觀察曲線 y=f(x)與x軸交點的大致位置，從而確定隔根區(qū)間。例1.2.1討論方程f(x)=2x 3-4x2+4x+2= 0的根的位置。例1.2.2將方程xlog(x)= 1的根進(jìn)行隔離。箔3)0.5設(shè)有萬程f(x) =0在(a b)內(nèi)有且僅與，b根5(1)這時有f(a) f(b)<0可用對分法求X*1丘似值,方法如下準(zhǔn)備：計算平時(a b)兩個端點的函數(shù)值 0f(a)f(b) (2)對分：取 c=a+b)/2 為a b)的中點，計(35-0.51,否刖檢驗:.當(dāng)扁：如果f=0 ,則c為f(x) = 0的1 f(

19、c)f(a)<0 ,則方程的根位于a c內(nèi)，用c代替i0-1若f(c)f(b)<0一則方程的根位于c b內(nèi)用(小-1211.5(4)檢驗：若|b-a|<e (e為精度要求)此時計算結(jié)束x*=c ,否則轉(zhuǎn)(2)。例1.3.1用對分法求方程f(x)=x 3+2x-5= 0在1 2內(nèi)的根，e=10-5。有根區(qū)間f=inline('xA3+2*x-5')f(1)，f(2)fplot(f,1 2),grid on1.00002.00001.00001.50001.25001.50001.25001.37501.31251.37501.31251.34381.32811.

20、34381.32811.33591.32811.33201.32811.33011.32811.3291方程的解x= 1.3286§2.4迭代法設(shè)有方程f(x)=0在a b上有且僅有一個根 x*,可用迭代法求x*的近似值，方法如下(1)將方程f(x) = 0寫成迭代形式x= (x)(2)在a b上任取一個初始值 xo0(3)計算 xi= (xo)(4)若1 xi xo|<e (e為精度要求)，此時計算結(jié)束x*= x 1,否則令xo=xi轉(zhuǎn)(3)。例1.4.1用迭代法解方程 x= 10x-2 , xo=1分別采用迭代格式x= 10x-2和x=log(x+2),觀察兩個計算過程的區(qū)

21、別。e=1e-3迭代過程：1.0000 0.47710.39390.37910.37640.3759 迭代 6 次 x= 0.3759f=inline('log10(x+2)')x=1x=f(x)例 1.4.2 用迭代法求方程f(x)=x 3+2x-5= 0 的根，xo=1 xn 13-'52xn 。迭代過程:1.0000 1.44221.28371.3449 1.3220 1.3306 1.3274 1.3286 1.3281迭彳弋9次*= 1.3281 §2.5牛頓迭代法什頓法是解方程f(x) =0的窄要方法，它也是一種迭代法。設(shè)有方程f(x) = 0在a

22、 b上有且僅有一個根x*,f=inline('(5-2*x)A(1/3)')x=1x=f(x)可用牛屯法求x*的近似值，方法如下(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x),牛頓法迭代公式為x=x f(x)/ f (x)(2)在a b上任取一個初始值 xo0(3)計算 xi= xo f(xo)/ f ( xo)(4)若1 xi xo|<e (e為精度要求)，此時計算結(jié)束x*= x i,否則令xo=xi轉(zhuǎn)(3)。例1.5.1用牛頓法解方程f(x)=x 3-2x2-4x-7= 0在34內(nèi)的根xo=4。迭代過程：4.00003.67863.63293.6320 迭代 4 次 x= 3

23、.6320猾湍鰥3-2*xA2-4*x-7,)I:眥酬敦翔絕解方程f(x)= 0的迭代法，它的特點是不需要計算f(x)的函數(shù)f (x),且收斂速度也相當(dāng)快，x=4Sxffx產(chǎn)用的算法之一。設(shè)有方程f(x) = 0在a b上有且僅有一個根 x*,可用弦截法求x*的近似值，方法如下(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間a b的兩個端點的函數(shù)值 f(x 0) ,f(xi),其中a= x0 ,b= xi (2)計算x2= xi f(xi) x 1 x0/ f(x i) f(x0)(3)若1 x2 xi|<e (e為精度要求),此時計算結(jié)束x*= x 2,否則令x0=xi xi=x2轉(zhuǎn)(2)。§1.

24、7用牛頓法解方程組設(shè)有非線性方程組u (x,y)=0, v (x,y)=0 ,在(xn, yn)按臺勞級數(shù)展開，取展開式的第1, 2項得到u(xn,yn)u(xn,yn).、u(xn,yn) (x xn)( Yn)/、 v(xn,yn)/、v(x n ,y n ) (x xn)xyv(xn, yn),、(y yn)0Jn0u(xn,yn) u(xn ,yn)xyv(xn,yn) v(xn,yn)其中(xn, yn)是根的第n次近似值，如果Jn1xn 1 xnJnu(xn,yn)/、u(xn,yn)yv(xn,yn)/、v(xn,yn)y0方程組的第n+1次近似值(x n+1, yn+1 )可用

25、以下公式計算1Jnu(xn,yn) u(xn,yn) x/ v(x n ,y n )v(x n,yn)x例1.7.1用牛頓法解方程組u (x,y)=x 3+y3 4= 03x2 u/ y= 3y2 v/ x=4x3 v/ y=2y)v (x,y)=x 4+y2 3= 0迭代初值 xo=1, yo=1.4o ( u/ x=例1.7.2用牛頓法解方程組u (x,y)=2x 3 y2 1= 06x2 u/ y= 2x v/ x=6y3 v/ y=2xy2 1)v (x,y)=xy 3 y 4= 0迭代初值 xo=1.2, y 0=1.7。( u/ x=例1.7.3用牛頓法解方程組 u (x,y)=x

26、 cos(y尸0 u/ y= sin(y) v/ x= cos(x) v/ y=1)v (x,y)=y sin(x)= 0迭代初值xo=0, yo=0o ( u/ x= 1本章小結(jié)為了比較各種迭代方法的收斂速度，我們弓I入收斂階的概念。設(shè)迭代過程 Xn+1= (xn)收斂于方程X= (X)的一 .“ en 1 一 根X*,令en= Xn X* , e n稱為迭代誤差，如果存在實數(shù)P 1和非零常數(shù)K,使得lim 丁丁 K ,則稱該迭n en代過程為P階收斂的。P=1稱為線性收斂，P>1稱為超線性收斂，P=2稱為平方收斂，顯然 P越大，迭代過程收斂的越快?？梢宰C明當(dāng)X*是方程f(X)=0的單

27、根時，牛頓法是平方收斂的。當(dāng) X*是方程f(X)=0的重根時，牛頓法僅為線性收斂。弦截法的收斂階P=1.618。對分法的收斂速度與公比為1/2的等比級數(shù)相同。牛頓法：收斂速度最快，但要計算f(X)的導(dǎo)函數(shù)，計算量大，有發(fā)散問題。弦截法：收斂速度次之，不需要計算f(X)的導(dǎo)函數(shù)計算量比牛頓法小，有發(fā)散問題。法分法：收斂速度最慢，但簡單有效，不存在發(fā)散問題。它一定收斂到有根區(qū)間a b內(nèi)的某個根。第3章線性方程組的解法§3.1 引言在科學(xué)實驗和工程設(shè)計中，經(jīng)常用到解線性方程組的問題。本章討論用計算機(jī)求解線性方程組的兩類主要方法：直接法和迭代法。解線性方程組的一般表達(dá)式a11x1a12x2a

28、1nxnb1a11a12a1nx1b1a21x1a22 x2a2n xnb2根據(jù)矩陣的性質(zhì)可以寫成a21a22a2nx2b2an1x1an2 x2annxnbnan1an2annxnbna11a12a1nx1簡記為 Ax=b 其中 Aa21a22a2nx2 xb1b2方程組 Ax=b 有唯一解的充分必要條件是解線性方程組的方法可以分為兩類：一類是 直接法 ，它只包含有限次的四則運算，在每次運算都無舍入誤差的情況下，所得到的是方程組的準(zhǔn)確解。由于實際計算中總是有舍入誤差，所以實際得到的也是近似解。令一類是 迭代法 ，它首先選擇一組初始值，再運用同樣的計算步驟，重復(fù)計算，得到近似解。由于這類方法中

29、出現(xiàn)了極限過程，必須研究迭代過程的收斂性。本章主要介紹：直接法 中的高斯消去法和主元高斯消去法。an1an2annxnbn|A | 0。我們只討論這種情況下的解法。迭代法 中的簡單迭代法和塞德爾單迭代法。§3.2 高斯消去法以 n=4 為例說明高斯消去法的計算過程，設(shè)有線性方程組a11x1a12x2a13x 3a14x4b1a11x1a12x2a13x3a14X 4b1a21x1a22x2a23x3a24x 4b2(1)(1)a22 x2a22x3(1) a22X4b(21)a31 x1a32x2a33x3a34x4b3(1)(1)a32 x2a33 x3(1) a34 X4b(31

30、)a41x1a42x2a43x3a44x 4b4(1)(1)a42 x2 a43x3(1)a44 X4b(41)a11x1a12x2a13x3a14x4b1a11x1a12x2a13x3a14x4b1(1) a22 x2a(212) x3(1) a22 x4b(21)(1) a22x2(1)(1)(1)a22 x3 a22 x4b2a(323)x3a(324) x4b(32)a(323)x3a(324) x4b(32)a(423)x3a(424) x4b(42)a(434)x4b(43)經(jīng)過 3 次消元步驟，得到以上形式。從最后一個方程中解出從取后個方程中解出X4，依此回代得到方程組的全部解。

31、6x 1+3x2+2x3=6例 2.2.3 用高斯消去法解方程組10x1+5x2+6x3=08x 1+5x 2+3x 3=0方程組的增廣矩陣A|b6310585消元2660306.000003.00002.00006.000002.6667 -10.000001.00000.3333-8.0000方程組系數(shù)矩陣主對角線元素為零，消元過程無法進(jìn)行例 2.2.4 用列主元高斯消去法解例 2.2.3 中的方程組。方程組的增廣矩陣 A|b6326105608530選主元1056063268530消元10.00005.00006.0000000-1.60006.000001.0000-1.80000選主

32、元10.00005.00006.0000001.0000-1.8000000-1.60006.0000%10.00005.00006.0000001.0000-1.8000000-1.60006.0000回代得到方程組的解5.6250-6.7500-3.7500§3.3 矩陣的LU分解§3.4 對稱矩陣的LDI_t分解3.5 線性方程組解的可靠性3.6 6 簡單迭代法設(shè)有方程組 Ax=b ， 變?yōu)榈问剑?x=Mx+f ， 或 x(k+1) =Mx (k)+f ， 任取初始值x(0) 程迭代得到x(0)， x(1)， x(2) ， x(k) ， 若極限lim x(k) x

33、* k存在，則x*就是原方程組的解。以 n=4 為例(k 1) x1m11m12 m13m14x1(k)f1(k 1) x2m 21m22 m23m24(k) x2f2(k 1) x3m 31m 32 m 3233m34x(3k)f3(k 1) x4m 41m 42 m43m44x(4k)f4x(k+1)Mx(k)f寫成分量形式(k 1) x1(k) m11x1(k) m12x2(k) m13x3(k) m14x4f1(k 1) x2(k) m 21x 1(k) m 22 x2m(k) 23x3m 24(k) x4f2(k 1) x3(k) m 31x1(k) m 32x2mx(k) 33x3

34、m 34x(4k)f3(k 1) x4(k) m 41x 1(k) m42 x2m(k) 43x3m 44(k) x4f4n定理1若 max|mj | 1 ,則簡單迭代法對任意初始值x和f都收斂。i j1n定理2若max | mj | 1,則簡單迭代法對任意初始值x和f都收斂。j i1定理3迭代公式x(k+1)=Mx (k)+f,對任意初始值x和f都收斂的充分必要條件是矩陣M的各個特征值的模都小于 1 。§2.6 雅可比迭代法與高斯- 塞德爾迭代法在簡單迭代法的基礎(chǔ)上作改進(jìn) x(k+1)=M1x(k+1)+ M2x(k)+f ，以 n=4 為例x1(k1)0000x1(k1)m11m

35、12m13m14x1(k)f1x2(k1)m21000x2(k1)0m22m23m24x2(k)f2x3(k1)m31m 3200x3(k1)00m33m34x3(k)f3x(kx4(k1)m41m 42m210x4(k1)000m44x4(k)f4+1)M1 x(k+1)M2x(k)f寫成分量形式x1(k 1)x2(k 1)x3(k 1)x4(k 1)m11x1(k) m21x1(k m31x1(k m41x1(km12x2 (k) m13x3(k) m14x4(k) f11) m22x2(k) m23x3(k) m24x4(k) f21)m32x2(k1)m33x3(k)m34x4(k)

36、f31)m42x1(k1)m43x3(k1) m44x4(k)f4n定理1若max |mj | 1 ,則塞德爾迭代法對任意初始值x和f都收斂。i j1n定理2若max |mj| 1,則塞德爾迭代法對任意初始值 x和f都收斂。定理3迭代公式x(k+1)=M1x(k+1)+ M2x(k)+f,對任意初始值x和f都收斂的充分必要條件是矩陣(I- M i)-1M 2j i1的各個特征值的模都小于1 。松弛法( Successive Over Relaxation Method ) x(k+1) =x(k)+( b-A x (k) )稱為松弛因子， >1 超松弛法， >1 超松弛法， >

37、;1 低松弛法。定理3松弛法對任意初始值x和f都收斂的必要條件是 0< <2。例2.6.1分別用雅可比迭代法和塞德爾5x1 2x2 x312迭代法解方程組x, 4x2 2x3 20 誤差 e<10-32x1 3x2 10x33xjk1)0.4x2(k)0.2x3(k)2.4雅可比迭代法迭代公式x(k+1)=Mx(k)+f,寫成分量形式x2(k1)0.25x1(k)0.5x3(k)5 初始值x3(k1)0.2x1(k)0.3x2(k)0.3k=0 (0 0 0)，迭代過程x1 (k)x2(k)x3(k)x1(k)x2(k)x3(k)-2.40005.00000.3000-4.0

38、0023.00311.9999-4.46124.24952.2802-4.00123.00002.0010-4.55582.74462.4671-4.00022.99922.0002-3.99132.62752.0345-3.99972.99981.9998-3.85792.98491.8865-3.97133.09231.9671-4.03033.02372.0219M=0 -0.4 -0.2;0.25 0 -0.5;-0.2 0.3 0-4.01382.98152.0132f=-2.4;5;0.3-3.99522.99001.9972x=0;0;0 x=M*x+f-3.99543.0026

39、1.9960塞德爾迭代法迭代公式x(k+1)=M1x(k+1)+ M2x(k)+fxi(k 1)0.4x2(k) 0.2x3(k) 2.4寫成分量形式x2(k1)0.25x1(k1)0.5x3(k) 5x3(k1)-0.2x1(k1)0.3x2(k 1)0.3x1(k)x2(k)x3(k)-2.40005.00000.3000-4.40004.85000.3000-4.00403.07661.8667-3.99962.98712.0238-4.00003.00211.9961-4.00002.99972.0006-4.00003.00002.0000 例取初始值k=0 (0 0 0)，迭代過程

40、122x11111x20221x32誤差e<10-3clearM1=0 -0.4 -0.2;0 0 -0.5;0 0 0M2=0 0 0;0.25 0 0;-0.2 0.3 0f=-2.4;5;0.3x=0;0;0B= inv(eye(3)-M1)x=B*M2*x+B*f2.6.2分別用雅可比I失代法和塞德爾I失代去解方程組(1)雅可比迭代法迭代公式x(k+1)=Mx(k)+f0 22M 101f2 20取初始值k=0 (0 0 0)，迭代過程x1(k)x2(k)x3(k)1.00000-2.00005.0000-0.99600.0080-1.00805.00806.0080-1.000

41、05.00006.0000-1.00005.00006.0000分析，M的特征方程M I3 00 0 0022M1 1 0 0 M2 001 f2 2 0000分析，B = (I- M1) -1 M2的特征方程B I塞德爾迭代法迭代公式x(k+1)=M1x(k+1)+ M2x(k)+f10 ,不收斂2(2 44) 0例2.6.3分別用雅可比代法和塞德爾迭代法解方程組2 11x11 2 1 x21 1 2 x342 誤差 e<10-300 22(1)雅可比迭代法迭代公式x(k+1)=Mx(k)+fM 101f2 20分析，M的特征方程MI (21)2(1) 0 ,所以簡單迭代法不收斂。塞德

42、爾迭代法迭代公式x(k+1)=M1x(k+1)+ M2x(k)+f00 M200 0M1 1 0(2 51) 0,收斂2 2分析，B = (I- M1) -1 M2的特征方程 B I取初始值k=0 (0 0 0)，迭代過程x1 (k)x2(k) x3(k)2.00001.000001.49800.2500-0.74802.24900.2495-1.43702.59380.4216-1.59392.58610.5039-1.54312.51960.5117-1.49902.49370.5027-1.49172.49450.4986-1.49682.49910.4988-1.50012.50060

43、.4997-1.50062.50040.5001-1.5002本章小結(jié)本章討論了解線性方程組的直接解法和迭代解法。直接解法比較適用與系數(shù)矩陣稠密（既零元素較少）的中、小型線性方程組，但對系數(shù)矩陣是帶狀或近似帶狀的大型線性方程組也適用。直接解法中的 列主元高斯消去法 具有精度較高和省時的優(yōu)點，是計算機(jī)中常用的算法。迭代解法中主要介紹了 雅可比迭代法、 高斯 -塞德爾迭代法和 松弛法 。 迭代法具有計算公式簡單、 程序設(shè)計容易、占用計算機(jī)內(nèi)存較少的優(yōu)點。適用于解大型稀疏矩陣（既零元素較多）線性方程組。高斯 - 塞德爾迭代法是在雅可比迭代法的基礎(chǔ)上改進(jìn)得到，在很多情況下可以加快收斂速度，但它的收斂域

44、與雅可比迭代法不同，因此不能互相取代。松弛法可以加速迭代過程的收斂速度，但要適當(dāng)選擇松弛因子（ 0< <2 ） 。在 選擇迭代法時，要特別注意檢驗方法的收斂性問題。第 4 章 矩陣特征值與特征向量的計算§4.1 引言求矩陣的特征值和特征向量， 是代數(shù)計算中的重要問題。 在自然科學(xué)和工程中的許多問題， 例如電磁振蕩、橋梁的振動，機(jī)械振動等都可以歸結(jié)為求矩陣的特征值和特征向量問題。矩B$ A的特征值和特征向量是指，如果數(shù)和非零列向量x滿足關(guān)系式Ax= x,則數(shù)稱為A的特征值非零列向量 x 稱為 A 的與特征值對應(yīng)的特征向量。計算n 階矩陣 A 的特征值，就是求特征方程|A I

45、 |=0的根i (i=1,2,n)。齊次線性方程組(A iI)x=0的非零解Xi,是i對應(yīng)的特征向量。本章討論一些在計算機(jī)上計算矩陣的特征值和特征向量的較為穩(wěn)定的數(shù)值算法。§4.2 冪法和反冪法1、冪法：計算 n 階矩陣 A 的模最大的特征值(主特征值)及對應(yīng)的特征向量。任取 n 維列向量x( 0) ，用迭代公式x( k+1)=A x(k) 計算得到 x(0)， x(1)， x(2)，設(shè) x(0) =a1v1+ a2v2+anvn ，因為Avj= ivj 所以x(1) =Ax(0) =a11v1+a22 v2+ann vnx(2) =Ax(1) =a112 v1+a222v2+ann

46、2 vn一般地有X(k+1) =Ax (k) =a11 kV1 +322 k V2+an n kVn=1ka1V1+a2(2/1) k V2+an(n/1)kVn當(dāng) k 充分大時x(k+1) a1 1 k+1 V11x(k)向量x(k+1)與x(k)向近似地只差一個倍數(shù)，這個倍數(shù)就是模最大的特征值1、反哥法：Ax= x, A-1Ax = A-1 x, A-1x=-1x,即A的特征值的倒數(shù)-1是A的逆矩陣A-1的特征值。用哥法求A-1的模最大的特征值，它的倒數(shù)就是A的模最小的特征值。§4.3雅可比方法對于2階方陣a11A 11a21a21a22U()cossinsincosUT( )U

47、()UT( )AU()2a11 cosa22 sina21 sin 22(a22a11)sin2a21 cos22(a22a11 sin2a11)sin2a21 cos22a22 cosa21 sin 2人 1 ，令 一 (a22 a11)sin22a21 cos20 tan22a21UT ( )A U (a11a22)01對于n階方陣（以n=3為例）a11a21a31a21a22a32a31a32a33A“2a令tan 2作變換矩陣aiia 222a 3i令tan 2匚作變換矩陣aiia 332a 32令tan 2匚作變換矩陣a22 a33cos U ( ) sin 0cosU( )0sin

48、10U( )0 cos0sinsin0cos 0 則有010 sin10 則有0 cos0sin 則有cosUT ( )A U (UT( )AU(UT( )AU(x0x)0xxxxxxx0)xxx0xxx xx)x x0x0x般地說，令tan22ajaii ajj,可以將A中的元素的aj和aji變?yōu)?。在實際計算中采用以下公式aaij1sin 鼻 a.)2(1、12).2cos ,1 sinsign( ) 2 2例4.3.1用雅可比求對稱矩陣A210121的特征值和特征向量。消去第i行第j列的元素i j=1 2012A->1.00000.0000-0.70710.00003.0000-0

49、.7071-0.7071-0.70712.0000消去第i行第j列的元素i j=1 3A->0.6340-0.32510.0000-0.32513.0000-0.62800.0000-0.62802.3660消去第i行第j列的兀素ij=1 2A->0.59010.0000-0.08390.00003.0438-0.6223-0.0839-0.62232.3660消去第i行第j列的元素ij=1 3A->0.5862-0.02930.00000.02933.0438-0.62160.0000-0.62162.3700消去第i行第j列的元素i j=2 3A->0.5862-0.0252-0.0150-0.02523.41400.0000-0.01500.00001.9998消去第 i 行第 j 列的元素 i j=1 2A->0.58590.0000-0.01500.00003.41420.0001-0.01500.00011.9998§4.4 QR 方法 *QR 方法是求一般矩陣A 的全部特征值和特征向量的一種迭代方法。 其基本思路是利用矩陣A 的 QR 分解，A(k) QkRk通過迭代格式k k 將 A 化為相似的上三角矩陣(或分塊上三角矩陣) ，從而求出 A 的全部A(k 1) RkQk特征值和特征向量。例