1、13.1.4 3.1.4 空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算2空間向量基本定理空間向量基本定理 如果三個(gè)向量如果三個(gè)向量a、b、c不共面，不共面，那么對(duì)空間任一向量那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使使p=xa +yb+zc 3思思 考考: :空間向量的基本定理是由什么類比空間向量的基本定理是由什么類比推廣而得到的呢？推廣而得到的呢？平面向量平面向量基本定理基本定理空間向量空間向量基本定理基本定理類類 比比推推 廣廣4在平面直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示向量呢？向量呢？思思 考考: :平面向量平面向量坐標(biāo)表示

2、坐標(biāo)表示空間向量空間向量坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示類類 比比推推 廣廣5墻墻墻墻地面地面z z134x x4y y15O一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系6空間直角坐標(biāo)系的畫法空間直角坐標(biāo)系的畫法: :oxyz1. 1.x x軸與軸與y y軸、軸、x x軸與軸與z z軸均成軸均成1351350 0, ,而而z z軸垂直于軸垂直于y y軸軸1351350 01351350 02.2.y y軸和軸和z z軸的單位長(zhǎng)度相同，軸的單位長(zhǎng)度相同，x x軸上的單位長(zhǎng)度為軸上的單位長(zhǎng)度為y y軸（或軸（或z z軸）的單位長(zhǎng)度的一半軸）的單位長(zhǎng)度的一半7 這三個(gè)互相垂直的單位向量構(gòu)成空間向量的這三個(gè)互相垂直的單位向量

3、構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底一個(gè)基底i, j, k這個(gè)基底叫做這個(gè)基底叫做單位正交基底單位正交基底,單位向量單位向量i, j, k都叫做坐標(biāo)向量都叫做坐標(biāo)向量. 建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,分別沿分別沿x軸軸,y軸軸,z軸的正方向引單位向量軸的正方向引單位向量i, j, k. 空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算8a=xi+yj+zk 在空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中中,已知任一向量已知任一向量a,根據(jù)根據(jù)空間向量分解定理空間向量分解定理,存在唯一數(shù)組存在唯一數(shù)組(x,y,z),使使xi,yj,zk 分別為向量分別為向量a在在i,j,k方向上的分向量方向上的分向量

4、,有序數(shù)組有序數(shù)組(x,y,z)，叫作向量，叫作向量a在此直角坐標(biāo)在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)系中的坐標(biāo).記作記作 a=(x,y,z) 空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算9思思 考考: :平面向量用坐標(biāo)表示后，平面向量平面向量用坐標(biāo)表示后，平面向量有哪些線性運(yùn)算法則？如何類比推有哪些線性運(yùn)算法則？如何類比推廣到空間呢？廣到空間呢？10平面向量坐標(biāo)運(yùn)算平面向量坐標(biāo)運(yùn)算12121122( ,),( ,), ( , ), (,)aa abb bA a bB a b設(shè)則1122(+,+)abab+a b 1122(-,-)abab-a b )(,(21Raaaa b 1122a ba b11211

5、221222 1,0,aaab abbbabab=AB 2121aabb（，）ab 1 12 20abab0ba/a b ab)0(b利用學(xué)過(guò)的知識(shí)，你能類比猜想出空利用學(xué)過(guò)的知識(shí)，你能類比猜想出空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示嗎？間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示嗎？動(dòng)動(dòng)腦，動(dòng)動(dòng)手，你會(huì)得到意想不到的收動(dòng)動(dòng)腦，動(dòng)動(dòng)手，你會(huì)得到意想不到的收獲獲 AOBO11平面向量坐標(biāo)運(yùn)算平面向量坐標(biāo)運(yùn)算空間向量坐標(biāo)運(yùn)算空間向量坐標(biāo)運(yùn)算12121122( ,),( ,), ( , ), (,)aa abb bA a bB a b設(shè)則331121211222( , ),( , , ), ( , , ), ( , , )abcaa ab

6、b bAa bB acb設(shè)則1122(+,+)abab+a b 331122(+ ,+,)abb aba+a b 1122(-,-)abab-a b 331122(-,-,)abb aba-a b )(,(21Raaa123(,)()aaaRaa b 1122a ba ba b 331 122a ba ba b312112233123,aaaab ab abbbb11211221222 1,0,aaab abbbababab 1 12 23 30aaba bb212121aa bcb c（，,）ab 1 12 20abab0ba0baab/a b )0(b/a b ab)0(b2121aabb

7、（，）=AB AOBO=AB AOBO12o例例1已知已知a=(1,-4,8),b=(3,10,-4),求a+b,ab,3a-2b. a+b=(1,-4,8)+ (3,10,-4) =(1+3,-4+10,8-4) =(4,6,4) ab = (1,-4,8) (3,10,-4)=3-40-32=-69 3a-2b =3 (1,-4,8)-2 (3,10,-4) =(-3,-32,32)13變式變式已知a+b=(1,-4,8),a-b=(3,10,-4),求3a-2b法一：法一：由a+b=(1,-4,8),a-b=(3,10,-4),得2a=(a+b)+(a-b)=(4,6,4);2b=(a+

8、b)-(a-b)=(-2,-14,12);即a=(2,3,2);b=(-1,-7,6);所以所以3a-2b=(8,23,-6)法二：法二：設(shè)3a-2b=m(a+b)+n(a-b) =(m+n)a+(m-n)b則m+n=3,m-n=-2;m=1/2,n=5/2;所以所以3a-2b=1/2(a+b)+5/2(a-b) =(8,23,-6)14(-2,3,1)(2,-4,1)(4,-8,2)(10,1,8)(12,-3,9)15變式訓(xùn)練，提高能力變式訓(xùn)練，提高能力變1:已知空間四點(diǎn)A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10), D(8,4,9),求證四邊形ABCD是梯形。B C= (

9、8,5,7)16變式訓(xùn)練，提高能力變式訓(xùn)練，提高能力 變2.已知空間四點(diǎn)A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,n,10), D(8,4,m),又四邊形ABCD是梯形，且ABCD, 求實(shí)數(shù)m,n的值。 17例3:已知向量a=(-2,2,0),b=(-2,0,2) ，求向量n 使na ，且nb .18已知A(1,0,1)、B(4,4,6)、C(2,2,3)、D(10,14,17)，且ADxAByAC，則xy_.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算5坐標(biāo)形式下平行與垂直問(wèn)題坐標(biāo)形式下平行與垂直問(wèn)題 已知a(1,5，1)，b(2,3,5)(1)若(kab)(a3b)，求k.(2)若(kab)(a3b)，求k.-1/3106/3思思考考19坐標(biāo)形式下平行與垂直問(wèn)題坐標(biāo)形式下平行與垂直問(wèn)題 已知a(1,5，1)，b(2,3,5)(1)若(kab)(a3b)，求k.(2)若(kab)(a3b)，求k.-1/3106