1、考點(diǎn)01:基本方法和結(jié)論 3考點(diǎn)02：直角三角形 7考點(diǎn)03：點(diǎn)到直線的距離 10考點(diǎn)04：等腰三角形 12考點(diǎn)05：多邊形的面積 17考點(diǎn)06：相似三角形 23考點(diǎn)07：梯形 28考點(diǎn)08：平行四邊形 35考點(diǎn)09：交點(diǎn)坐標(biāo) 40考點(diǎn)10：旋轉(zhuǎn) 42考點(diǎn)11：翻折 47考點(diǎn)12：平移 51考點(diǎn)13：對(duì)稱(chēng) 53考點(diǎn)14：角平分線性質(zhì) 60考點(diǎn)01:基本方法和結(jié)論1、若要在平面直角坐標(biāo)系中求某一點(diǎn)的坐標(biāo):求一般的點(diǎn)的坐標(biāo)：過(guò)該點(diǎn)作 求函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)： 求函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：令 求函數(shù)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：令x軸或y軸的垂線。y 0;x 0；求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)：求函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo):2、

2、拋物線y ax2 bx將函數(shù)解析式聯(lián)立成方程組， 方程組的一組解就是一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo);設(shè)其坐標(biāo)為 c的性質(zhì)：x,該函數(shù)的解析式）；配方為：y ax2 bxb2ab2 4ac4a開(kāi)口方向及最值:當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)圖象開(kāi)口向上，函數(shù)有最低點(diǎn)b2a,2b_ac),當(dāng) x4a79 / 59函數(shù)有最小值為yb一4ac;4a當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)圖象開(kāi)口向下，函數(shù)有最高點(diǎn)b2ab2 4ac .),當(dāng) x4a函數(shù)有最大值為y2 b 4ac ;對(duì)稱(chēng)軸是：直線頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（拋物線y ax22abx平移個(gè)單位，向下平移2a4a拋物線y ax2 bx c與x軸的交點(diǎn)情況:4a b 2a '2b 4acc與拋物線y ax

3、2的形狀相同，是由拋物線 b一4ac個(gè)單位得到的；2 .ax的圖象向左當(dāng)>時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)分別為:b2 4ac ，0)、2a/ bb2 4ac c、(,0);2a當(dāng)=（）時(shí)，拋物線與 x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為（2a0);當(dāng) v 0時(shí)，拋物線與 x軸沒(méi)有交點(diǎn)；3、求二次函數(shù)解析式的方法：當(dāng)已知二次函數(shù)圖象上的一般三點(diǎn)時(shí)，設(shè)其解析式為一般式:2ax bx c ；當(dāng)已知二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（xi , 0)、( x20)時(shí)，設(shè)其解析式為交點(diǎn)式:y a x x1 x x2 ;點(diǎn) B 作S ABC S ACMy 軸S BCM的 垂 線）1-CM ? xA xB,

4、交 AB 于點(diǎn) M , 則1. ，一 |yC yM ?|xA xB ,其中,要求自M的當(dāng)已知二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸或最值或頂點(diǎn)坐標(biāo)為（k, h）時(shí)，設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式：2y ax k h;4、由拋物線y ax2 bx c的大致圖象確定a、b、c符號(hào)的方法：a看方向：開(kāi)口向上，a>0,開(kāi)口向下，a<0。b看左右：左同右異中為0。因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱(chēng)軸是 ，所以若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左邊，則a、b,所以若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在 y軸的右邊，則a、b；若拋物線 的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，貝U c=0;c看上下：上正下負(fù)中為 0。拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 ,所以當(dāng)拋物線與 y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上時(shí)，則c 0,

5、當(dāng)拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，則c 0;當(dāng)拋物線與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，則 c=0;交點(diǎn)個(gè)數(shù)看：因?yàn)閽佄锞€y= ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)由一元二次方程ax2+bx + c=0的解的個(gè)數(shù)確定， 所以若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則b2 4ac 0,所以若拋物線與x 軸有一個(gè)交點(diǎn)，則 b2-4ac 0,所以若拋物線與 x軸有0個(gè)交點(diǎn)，則b2- 4ac 0。當(dāng) x=1 時(shí)，y=a+b+c,當(dāng) x= 1 時(shí)，y=a b+c;當(dāng) x=2 時(shí), y=4a+2b+c,當(dāng) x= 2 時(shí)，y=4a 2b+c；所以觀察 x=1、1、 2、一2時(shí)所對(duì)應(yīng)的圖像上的點(diǎn)在軸的上方或下方，就可以 判斷 a+ b

6、+c、a b+c、4a+2b+c、4a2b+ c的正負(fù)。5、在平面直角坐標(biāo)系中求多邊形面積時(shí)，應(yīng)首先求出（或表示出）多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)將多邊形分割成直角三角形與直角梯形的面積的和或差。如圖：若要求 ABC的面積，則先過(guò)處于中間位置的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則需先求直線 AB的解析式，然后將點(diǎn) C的橫坐標(biāo)代入即可求出點(diǎn) M的縱坐標(biāo)。若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)未知，則設(shè)點(diǎn) M坐標(biāo)為（x,直線AB的解析式）；226、平面內(nèi)兩點(diǎn)A （x1,y1）、B（x2,y2）之間的距離公式為：AB xx1x2y1y2,線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為 2x22,江，2 。227、平面內(nèi)點(diǎn)P （xo, y。）到直線l: Ax+By+C= 0的距離為：

7、d 1Ax0 By0 C.A2 B28、若直線yk1xb1與直線yk2xb2互相平行，則k1k2;若直線yk1xb1與直線y k2x b2互相垂直，則k1 ?k21。9、求最大值或最小值時(shí)，首先建立一個(gè)函數(shù)關(guān)系式：若建立的函數(shù)關(guān)系式是一次函數(shù)：y有最大值，當(dāng)x取最小y有最小值，當(dāng)x取最小當(dāng)k 0時(shí)，由于y隨x的增大而增大，所以當(dāng) x取最大值時(shí), 值時(shí)，y有最小值；當(dāng)k 0時(shí)，由于y隨x的增大而減小，所以當(dāng) x取最大值時(shí), 值時(shí)，y有最大值；若建立的函數(shù)關(guān)系式是二次函數(shù)，首先將解析式配方為:b2 4aca x 一 2a4ab當(dāng)a 0時(shí)，由于函數(shù)圖象開(kāi)口向上，當(dāng) x 時(shí)，函數(shù)有最小值為 y 2a2

8、b 4ac4a '當(dāng)a 0時(shí)，由于函數(shù)圖象開(kāi)口向下，當(dāng) x10、在一次函數(shù)的一般式或二次函數(shù)的頂點(diǎn)式中，時(shí)，函數(shù)有最大值為 y2a平移后的解析式的規(guī)律為：b 4ac ;4a左加右減自變量，上加下減常數(shù)項(xiàng)。211、將拋物線y a x 2a,2. 2b b 4acy a x2a 4ab2 4ac a的圖象繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)4a180o后的拋物線解析式為12、如果點(diǎn)(xi,y)>( X2,y),即縱坐標(biāo)相等的兩點(diǎn)關(guān)于直線已知點(diǎn)A、D的坐標(biāo)與直線EF的解析式，在直線EF上求點(diǎn) 的方法：過(guò)點(diǎn)A作AC ± EF ,并延長(zhǎng)AC至U B ,使AC BC ,則點(diǎn)A和 點(diǎn)B關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)，連結(jié)

9、BD ,交EF于點(diǎn)P ,則 PA PD PB PD BD,若直線EF上另選取一點(diǎn)P,則PA PD PB P D BD PA PD PB PDP ,使 ADP的周長(zhǎng)最小直線EF上的所有點(diǎn)中，存在點(diǎn) P到點(diǎn)A和點(diǎn)D的距離之和最小，而 AD是定值，故所 求作的點(diǎn)P滿足 ADP的周長(zhǎng)最小。作點(diǎn)A關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)的又稱(chēng)點(diǎn)B,利用直線 ABL直線EF及點(diǎn)A的坐標(biāo)求直線 AB 的解析式；利用方程組求直線 AB與直線EF的交點(diǎn)C的坐標(biāo)；利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求點(diǎn) B的坐標(biāo)；利用B、 D坐標(biāo)求直線BD的解析式；利用方程組求直線 BD與直線EF的交點(diǎn)P的坐標(biāo)；13、如圖：已知點(diǎn)A、D的坐標(biāo)與直線 EF的解析式，在直線E

10、F上求點(diǎn)P,使|DP AP | 的值最大的方法： 作點(diǎn)A關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)B,作直線DB交直線EF于點(diǎn)P 連結(jié)AP。;點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)，.PA=PB,要使|DP AP|最大，即是使|DP BP |最大，由三角形兩邊之差小于第三邊得，當(dāng)D、B、P在同一直線上時(shí)| DP BP|的值最大.點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)。作點(diǎn)A關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)的又稱(chēng)點(diǎn)B,利用直線ABL直線EF 及點(diǎn)的A坐標(biāo)求直線 AB的解析式；利用方程組求直線 AB與直線EF的交點(diǎn)C的坐標(biāo)；利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求點(diǎn) B的坐標(biāo)；利用B、 D坐標(biāo)求直線BD的解析式；利用方程組求直線 BD與直線EF的交點(diǎn)P的坐標(biāo)；如圖：若AD平分/ BAC則有

11、:AB BDAC CD15、三角形相似的分類(lèi)方法:若/ A=/ D時(shí)，要使 ABS ADEF7,則分為兩種情況空DEDFAC DFAC DE14、角平分線的性質(zhì)：16、已知梯形三點(diǎn)坐標(biāo)，求第四點(diǎn)位置的分類(lèi)方法：當(dāng)AD/ BC時(shí)，在直線 AD上；當(dāng)BE/ AC時(shí)，在直線 BE上；當(dāng)CF/ AB時(shí)，在直線 CF上；17、已知平行四邊形 ABCDH個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A XA, yA )、B( Xb, Yb)、C (Xc, yc)、D( Xd , Yd),則它們的坐標(biāo) 分別滿足以下關(guān)系： 當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)：則 AB的中點(diǎn)和CD的中點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知XaXbXcXYaYbYcYdXaX

12、bXcXd22,即YaYbYeYd22當(dāng)以AC為對(duì)角線時(shí)：則 AC的中點(diǎn)和BD的中點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知XA % Xb xd22 即 XAxeXBxD .yA yeYb Yd YaYcYbYd22當(dāng)以AD為對(duì)角線時(shí)：則 AD的中點(diǎn)和BC的中點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知Xa Xd Xb Xc22XaXdXb%,即；Ya YdYb YcYaYdYbYc2218、若拋物線y ax2 bx c與x軸交于A B兩點(diǎn)，則 OA?OB |x1?x2;兩交點(diǎn)間的距離為： AB Xi X2I / 為 x2 2 4x1x2 b 4ac a2219、以點(diǎn)P (a, b)為圓心，以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)萬(wàn)程

13、為x a y br2考點(diǎn)02:直角三角形1、(2010湖北荊門(mén))如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，有一張矩形紙片OABC已知0(0, 0),A (4, 0), C (0, 3),點(diǎn)P是0A邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn) O A不重合).現(xiàn)將 PABgPB翻折， 得到 PDB再在0Ca上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn) E,將 P0的PE翻折，彳#到4 PFE并使直線PD PF重合.(1)設(shè) P (x, 0), E (0, y),求 y 關(guān)于 x 的 函數(shù)關(guān)系式，并求 y的最大值；(2)如圖2,若翻折后點(diǎn) D落在BC邊上，求 過(guò)點(diǎn)P、B E的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(3)在(2)的情況下，在該拋物線上是否存在點(diǎn)Q使 PE德以PE為直角邊的

14、直角三角形？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo).解：(1)由已知 PB平分/ APD PE平分/ OPF且PD PF重合，則/ZAPB=90 ,又/ APBF / AB=90 , ./ OPE/PBABPE=90 .OPEF RtAPOE" RtABP/A,PO BAx 3,即-OE APy 4 x一， ,，一，一 1且當(dāng)x 2時(shí)，y有最大值-.3,y 1x4 x31x2 4x0 x 433(2)由已知， PAB POE勻?yàn)榈妊切?，可得P (1, 0), E (0, 1), B (4, 3).設(shè)過(guò)c 1,此三點(diǎn)的拋物線為 y ax2 bx c,則a b c 0, 16

15、a 4b c 3.1 23y -x-x22(3)由(2)知/ EPB=90 ,即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)滿足條件.直線PB為y x 1 ,與y軸交于點(diǎn)(0, - 1).將PB向上平移2個(gè)單位則過(guò)點(diǎn)E (0, 1), ，該直線為y x 1 .J x 1， /口 x 5,由1 2 3 得，Q(5, 6).y xx 1,y 6.22故該拋物線上存在兩點(diǎn)Q (4, 3)、(5, 6)滿足條件.2ax bx 4 都經(jīng)過(guò)點(diǎn) a (-1, 0)、C2、（廣安2010）如圖，直線y x 1與拋物線y（3,-4）.求拋物線的解析式；動(dòng)點(diǎn)P在線段AC上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與拋物線 相交于點(diǎn)E,求線段PE長(zhǎng)度的最大值；當(dāng)線

16、段PE的長(zhǎng)度取得最大值時(shí)，在拋物線上是否存 在點(diǎn)Q,使4PCQ是以PC為直角邊的直角三角形？若 存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由.解：.A （-1,0）、C （3,-4）在拋物線 y ax2 bx上，2.0 a 1 b 144 a 32 b 3 4a 1 , b 3, y x2 3x 4 .設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m, m 1）,則E點(diǎn)的坐標(biāo)為2221 PE= m 1 m 3m 4=m 2m 3= m 14,當(dāng)m=1時(shí)，線段PE最大且為4.假設(shè)存在符合條件的 Q點(diǎn)；當(dāng)線段PE最大時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1 , -2）,當(dāng)PQLPC時(shí)，設(shè)直線PQ的解析式為：y = x+b,則有：2= 1 + b

17、, b = 3;y x 3直線PQ的方程為y=x-3，聯(lián)立 2y x 3x 4得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（2 J5, 屈 1）,（2 疾，忌1）.當(dāng)CQ XPC時(shí)，同理可求得直線 CQ的解析式為y=x-7 ;y x 7x 1 x 3聯(lián)立拋物線的解析式得：2,解得，（舍去），y x 3x 4 y6 y 4 Q （1, -6）;綜上所述，符合條件的Q點(diǎn)共有3個(gè)，坐標(biāo)為：Q1 （2 V5, 括1） , Q2(2 5V5 1) , Q3 (1, -6)232 ,3、（廣東肇慶20ii）已知拋物線y x mx -m （m 0）與x軸交干A、B兩點(diǎn)。4（i）求證：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)：i i 2（i 2）右K

18、T? KT W （°為坐標(biāo)原點(diǎn)），求拋物線的解析OB OA 3（3）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)C,若 ABC是直角三角形. ABC的面積.解：（I）證：: m> 0 , x=bm=一 < 0 。2a2，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在 y軸的左側(cè)。（2）設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為x2= m< 0 ,XiX2 =xi,(3 2 -m40), B由（1）XiX2又QOBi 2 c -> 0OA 3知，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在0。 OA XiOA>OB 。y軸的左側(cè),Xi , OBX2。XiXiX2XiX2拋物線的解析式為2xm3 2 m43。(3)當(dāng) X=0 時(shí)，y=求(X 2, 0)。

19、Xi, X2 異節(jié)"。代入OB解得miOA2。拋物線與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為Q ABC是直角三角形且只能有 AC BC ,又 OC AB,CAB 90° ABC , BCD 90° ABC。CAB BCD 。 Rt AOB s Rt cob。OC AOOB OC即 OC2 OA OB。2m2= xi x2 , IP m4 = -m2o 解之得 m V3。4I6 432此時(shí) 3m2- 273i。點(diǎn)C的坐標(biāo)為0, i 。44 3OC I。又x22XiXi2X24xi x2Q m > 0 ,x2 xi2m 4石,即AB 4百33考點(diǎn)03:點(diǎn)到直線的距離1、（甘肅隴南）

20、如圖，拋物線y 2x2 點(diǎn)P是它的頂點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是mx n交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,3,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是(1)(2)(3)1 .求m、n的值；求直線PC的解析式；請(qǐng)?zhí)骄恳渣c(diǎn)A為圓心、直徑為5的圓與直線PC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.（參考數(shù)1.413 1.7355 2.24)解：（1） 兩點(diǎn).由已知條件可知： 拋物線mxn經(jīng)過(guò)A (-30)、B (1,0)92123mn,n.解得m1,n(2) y1-x 2 P (-1C(0,設(shè)直線PC的解析式是yb,解得k 直線PC的解析式是y（3）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE,PG垂足為E.設(shè)直線PC與x軸交于點(diǎn)D,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為在 RtzMCD中，CD(2)

21、2323QC=_ , OD 3 ,2 ''3而.= OA=3, OD 3 . AD=6. /OCD=/ AED=90°, /CDO公用,CCD AAEDOC CDAE AD '6V5 ； 2.688 533 -5即2 2_AE 6AE以點(diǎn)A為圓心、直徑為5的圓與直線PC相離.22、(廣西玉林2011)已知拋物線y ax 2ax 3a (a 0)與x軸父于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).求A、B的坐標(biāo)；過(guò)點(diǎn)D作DH，y軸于點(diǎn)H,若DH=HC ,求a的值和直線CD的解析式；在第小題的條件下，直線 CD與x軸交于點(diǎn) 巳 過(guò)線段OB

22、的中點(diǎn)N作NF，x軸，并 交直線CD于點(diǎn)F,則直線NF上是否存在點(diǎn) M，使得點(diǎn)M到直線CD的距離等于點(diǎn) M到 原點(diǎn)O的距離？若存在，求出點(diǎn) M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)由 y=0得，ax2 2ax 3a 0 ,.aWQx2 2x 30,解得 xi = 1, x2=3, 點(diǎn)A的坐標(biāo)(一1, 0),點(diǎn)B的坐標(biāo)(3, 0)。(2)由 y ax2 2ax 3a ,令 x=0,得 y = 3a,C (0, 3a)。又y ax2 2ax 3a =a x 1 ? 4a ,得 D (1, 4 a )。 .DH=1, CH = - 4a (3a) = a, . a = 1, . . a = 1。a

23、 C (0, 3) , D (1, 4)。設(shè)直線CD的解析式為y kxb,把C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得,k b 4,解得 bk 1。;直線CD的解析式為y x(3)存在由(2)得,3E ( 3, 0), N ( 320)''F( r92)，EN =作 MQXCD 于 Q,設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M ( Im)則 FM= 9 m,2EF=9 2-土，MQ=OM =29,24由題意得,RtAFQMRtAFNE,.MQEN整理得4m2 + 36m63= 0,解得m1 =點(diǎn)M的坐標(biāo)為Mi (3), M2220a xo2FMEF2m2 =212，2J2O是坐標(biāo)原點(diǎn).將4OAB考點(diǎn)04:等腰三角形1

24、、12007雅安】如圖，已知ZXOAB的頂點(diǎn)A (3, 0)、B (0, 1), 繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AODC ；寫(xiě)出C, D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；求過(guò)C, D, A三點(diǎn)的拋物線的解析式，并求此拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；在線段AB上是否存在點(diǎn)N使彳導(dǎo)NA NM ?若存在，請(qǐng)求出 點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1) C( 1,0), D(0,3) 2 分(2)設(shè)所求拋物線的解析式為2y ax bx c (a 0)c 3,a b c 0,5 分Q A, C, D在拋物線上9a 3b c 0a b 3 0,3a b 1 0a 1, b 2即 yx2 2x 3 .又 y (x 1)2 4M (1,

25、4)(3)解：(法一)連接MB ,作ME y軸于E ,則 ME 1, BE 4 1 3 9分MB JME2 BE2 BA ,BO2 OA2 而 MB 11分即在線段AB上存在點(diǎn)N(01)(即點(diǎn)B)使得NA NM .12分(法二)設(shè)在AB上存在點(diǎn)N(a, b) (00b&1)使得NA NM (即NA2 NM2) 作NP OA于P, NQ 對(duì)稱(chēng)軸x 1于Q. 8分b 3 a 則 3 a 3b 1 32 2_22NA b (3 a) 10b , 2222_NM (1 a) (4 b) 10b20b 20,則 10b2 10b2 20b 20 b 1 故在線段AB上存在點(diǎn)N(01)(即點(diǎn)B)使

26、得NA NM .12分2、【2007廣安】如圖，已知拋物線 與y軸交于點(diǎn)C。求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)。若點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，連接求 BCM的面積。 連接AC ,在x 腰三角形，若存在, 請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）二拋物線 占八、一 x2+2x+3=0軸上是否存在點(diǎn)請(qǐng)求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在,y=-x2+2x+3 交 x 軸于 A、B 兩P使4 ACP為等BC、CM、BM ,y= x2+2x+3交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），（1分）2分）解之得：x1=3, x2=- 1點(diǎn) A ( 1, 0), B (3, 0)又.拋物線y= - x2+2x+3交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)（2）C (0, 3);拋物線b

27、y=-x2+2x+3的頂點(diǎn)為M3分)2a4ac b2 y2 ( 1)4 3 22，444分) .M (1, 4) 過(guò)點(diǎn) M作M曰AB于E,貝U ME=4 OE=1 . BE=OB OE=3- 1=2, OC=3 BC后S 四邊形 COB上 SABO(=S 梯形 COE+SaBE SaBOC= 3一-22 4 3 3 =322(7分)（3）存在點(diǎn)P。1）以AC為腰：當(dāng)以點(diǎn) A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交x軸于點(diǎn)P1, P2（P1在P2的右側(cè)）AC /32 a/15 ，P1O=廂+1, P2O= <10 - 1 ，點(diǎn) P1（ Vic -1,0）,點(diǎn) p （ Vic -1,0）以點(diǎn)C為圓心，AC

28、為半徑畫(huà)弧交x軸于點(diǎn)AP3點(diǎn)P3與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)P3坐標(biāo)為（1, 0）9分)10分)2）以AC為底邊：作AC的垂直平分線交J10x軸于點(diǎn)P4,垂足為F,則AF=2/ AFP4= / AOC=90 °, C CAO= / P4AFAOCA AFP410AFAOAP44 ,即:ACap41.10AP 4=5-1 P4 (4,OP4=5 1=40)A：，點(diǎn)P的坐標(biāo)為:Pl ( <10 - 1,0) , P2 ( v'10-1,0), P3 (1,0), P4 (4, 0)3、(2010福建龍巖)如圖，拋物線y ax2 5ax 4經(jīng)過(guò) ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，已知BC / x

29、軸，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，且 AC BC .(1)求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；(2)寫(xiě)出A B, C三點(diǎn)的坐標(biāo)并求拋物線的解析式；(3)探究：若點(diǎn) P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上且在 x軸下方的動(dòng) 點(diǎn)，是否存在 4PAB是等腰三角形.若存在，求出所有 符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x 生 -2分2a 2(2) A( 3,0)B(5,4)C(0,4) 5 分把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y ax2 5ax 4中，解得1 八a 6 分61 25y x x 4 7 分66(3)存在符合條件的點(diǎn) P共有3個(gè).以下分三類(lèi)情形探索. 設(shè)拋物線對(duì)稱(chēng)軸與 x軸交于N ,與CB交于M .55.5, BM 一2

30、過(guò)點(diǎn)B作BQ x軸于Q ,易得BQ 4, AQ 8, AN以AB為腰且頂角為角 A的4PAB有1個(gè)：zP1AB.AB2 AQ2 BQ282 4280 在 RtzXANR 中，PN:AR2 AN2.AB2 AN210分11分以AB為腰，且頂角為/ B的4PAB有1個(gè)：zF2 AB.在 RtzBMP2 中，MP2 7BP22BM 2 VAB1 BM75 8,295一,22以AB為底，頂角為角 P的4PAB有1個(gè)，即zEAB .畫(huà)AB的垂直平分線交拋物線對(duì)稱(chēng)軸于F3,此時(shí)平分線必過(guò)等腰 ABC的頂點(diǎn)C .過(guò)點(diǎn)P3作P3K垂直y軸，垂足為 K ,顯然RtA PCK s RtA BAQ .RK BQ 1

31、CK AQ 2QP3K 2.5 CK 5 于是 OK 1 13分E(2.5, 1) 14 分94、(湖南邵陽(yáng)2011)如圖所小，在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知點(diǎn)A ( 4, 0), 點(diǎn)C (0, 3),點(diǎn)B是x軸上一點(diǎn)(位于點(diǎn)A的右側(cè))，以AB為直徑的圓恰.好經(jīng).過(guò)點(diǎn)C.求/ ACB的度數(shù)；已知拋物線y ax2 bx 3經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，求拋物線的解析式；線段BC上是否存在點(diǎn)D,使ABOD為等腰三角形.若存在，則求出所有符 合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：以AB為直徑的圓恰女子經(jīng)過(guò).點(diǎn)C , ./ACB=900。. AOCsABC, . OC2=AO OB。- A ( 9, 0),

32、點(diǎn) C (0, 3), 32=4OB, ； OB=40B (4_ 9 “a0=9, OC=30)。設(shè)拋物線的解析式為拋物線的解析式為y1,9-x 4 x 一 ，即 y347x 3 o12存在。分兩種情況討論：OD=OB , 口在。3的中垂線上，過(guò)D作DHLOB,垂足是H ,則 H 是 OB 中點(diǎn)。DH=1OC, OH=1OB22 -D (2, 3)。2BD=BO,過(guò)D作DGOB,垂足是G,WJ OC=3, OB=BD=4, BC=5, CD=1, v DG / CO .OG:OB=CD:CB,即 OG:4=1:5, .OG=4;5v DG:CO=BD:BC ,即 DG:3=4:5,-12DG=

33、125.D (4,5把C點(diǎn)坐標(biāo)代入得3綜上所述，線段BC上存在點(diǎn)D,使ABOD為等腰三角形，滿足條件的點(diǎn)兩個(gè)，分別為 Di (2, 3), D2 (4, 12) 2555、（2009龍巖）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（10, 0）, （2, 4）. 若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求經(jīng)過(guò) Q C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式； 若P為拋物線上異于C的點(diǎn)，且4OA皿直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo); 若拋物線頂點(diǎn)為D,對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)M,探究：拋物線對(duì)稱(chēng)軸上是否存在異于 D的點(diǎn)Q,使4AQ此等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō) 明理由.解：點(diǎn)B （2, 4）與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

34、 C （2,-4）設(shè)過(guò)O G A三點(diǎn)的拋物線的解析式為y axx 10 ,將C（2,-4）代入，得a -:拋物線的解析式為y 1x2 5x 42存在。點(diǎn)P坐標(biāo)為（8,-4）存在點(diǎn)Q使得DQM等腰三角形。1 c 525由拋物線的解析式為y 1x2 5x,可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5,）,424則由兩點(diǎn)間的距離公式可得：AD g41若QA DA則由對(duì)稱(chēng)性可知：滿足條件的 Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（5,空），記為Qi （5,空） 44若QD |DA則結(jié)合圖形，可求得滿足條件的 Q點(diǎn)坐標(biāo)為（5, 5歷 25）,（5, 5. 25 ）若QD QA則設(shè)Q （5,y）,由y空 Jy2 25解得y= 9, 48所以滿足條件的

35、Q點(diǎn)坐標(biāo)為（5,9）,記為Q （5,9）88所以，滿足條件的點(diǎn)Q有四個(gè)，分別為Q （5,竺），Q2（5,5"-25）Q3(5,-5.41+25),Q4 (5考點(diǎn)05:多邊形的面積1、(2008宜賓)已知：如圖，拋物線yx2 bx c與x軸、y軸分別相交于點(diǎn) A (-1, 0)、B (0, 3)兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為 D.求該拋物線的解析式；若該拋物線與 x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E.求四邊形ABDE的面積；4AOB與4BDE是否相似？如果相似，請(qǐng)予以證 明；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由 .(注：拋物線y=ax2+bx+c (aw0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為b 4ac b2 )2a， 4a解：(1)由已知得:2xD拋物

36、線的線的解析式為如圖，BD=2 x、BG2 DG2.12 12BE= .BO2 OE2,32 32 3.2DE= . DF2 EF2. 22 42 2 5所以BD2 BE2 20, DE2 20即：BD2 BE2 DE2,所以 BDE是直角三角形所以 AOB DBE 90 MAO BO ,BD BE 2所以 AOB: DBE.2、（2010達(dá)州）如圖，對(duì)稱(chēng)軸為 x 3的拋物線求拋物線的解析式，并求出頂點(diǎn) A的坐標(biāo)； 連結(jié)AB ,把AB所在的直線平移，使它經(jīng)過(guò) 原點(diǎn)O,得到直線l.，點(diǎn)P是l上一動(dòng)點(diǎn)。設(shè)以 點(diǎn)A、B、0、P為頂點(diǎn)的四邊形面積為 S,點(diǎn)P 的橫坐標(biāo)為t ,當(dāng)0 v SW 18時(shí)，求

37、t的取值范圍；在的條件下，當(dāng) t取最大值時(shí)，拋物線上 是否存在點(diǎn)Q,使 OPQ為直角三角形且 0P 為直角邊.若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存 在，說(shuō)明理由.r解：（1）二點(diǎn)B與0 （0, 0）關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6, 0）.2將點(diǎn)B坐標(biāo)代入y ax 2x得：36 a+12=0, 1. a 一 .32y ax2x與x軸相父于點(diǎn)B、O.，拋物線解析式為 y1x2 2x.31當(dāng) x=3 時(shí)，y - 32 2 3 3,.頂點(diǎn) A 坐標(biāo)為（3, 3）.3b（說(shuō)明：可用對(duì)稱(chēng)軸為 x ，求a值，用頂點(diǎn)式求頂點(diǎn) A坐標(biāo).） 2a（2）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b.-A （3, 3）, B （6,

38、 0）,6k b 0k 13kb 3解得直線l / AB且過(guò)點(diǎn)0, 直線l解析式為y x.點(diǎn)p是l上一動(dòng)點(diǎn)且木It坐標(biāo)為t,.點(diǎn)p坐標(biāo)為（t, t）11當(dāng) p在第四象限時(shí)（BO）, SSVAOB SVOBP = ><6X3+ X6A t22=9+3 t.,0<S< 18,，0<9+3t <18,.,-3< t W3.又 t>0,.0< t < 3.當(dāng)p在第二象限時(shí)（t<0）,作PMx軸于M,設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交點(diǎn)為N.則S S弟形 ANMP +SVANB -SVPMO111=2 3+(-t)愛(ài) t) 1 3 3 1( t)( t)2

39、t22(t 3)2 =-3t +9. -0<S< 18,.0<-3t +9< 18, .-3< t <3.又 t V0,，-3W t <0.，t的取值范圍是-3< t < 0或0Vt <3.（3）存在，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（3, 3）或（6, 0）或（-3, -9）3、（2009樂(lè)山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， 開(kāi)口向上的拋物線與 x軸交于A、B兩點(diǎn)，D 為拋物線的頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若OA、OB（OA OB）的長(zhǎng)分別是方程x2 4x 3 0的 兩根，且 DAB 45°.（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式；（2）過(guò)點(diǎn)A作AC AD交拋

40、物線于點(diǎn)C ,求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)A任作直線l交線段CD于點(diǎn)P, 求C、D到直線l的距離分別為dd2，試求d1+d2的最大 值.2解：（1）解萬(wàn)程x 4x 3 0得x 1 或x 3,而 OA OB,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0）1分過(guò)點(diǎn)D作DD x軸于D1，則D為AB的中點(diǎn).D的坐標(biāo)為（1,0）又因?yàn)?DAB 45°, AD1 DD1 2.D的坐標(biāo)為 （1, 2）. 2分令拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式為y a（x 1）2 2.Q拋物線過(guò)點(diǎn)A（ 1,0）,1 則 0 4a 2,得 a2121 23222(2) QCA AD, DAC 90°

41、;. 5分又 Q DAB 45°,CAD1 45°.令點(diǎn) C的坐標(biāo)為(m, n),則有 m 1 n. 6分故拋物線對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)斛析式為y （x 1） 2.（或?qū)懗蓎 x x ）4分12Q點(diǎn)C在拋物線上，n （m 1）2 2. 7分2化簡(jiǎn)得m2 4m 5 0.解得m 5, m 1 （舍去）.故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5,6）. 8分(3)由(2)知 AC 6。,而 AD 272, DC ,AD2 AC2 4<5. 9分過(guò)A作AM CD.1Q - AC AD 2AM244 51一 DC AM , 26 5510分SA APDSA APC '1-AC AD21-AP d12

42、1-AP d 2' 211分d1 d224APAM4 5.即此時(shí)d1 d2的最大值為45.13分4、（2008重慶）已知：如圖，拋物線 y與x軸交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4 求該拋物線的解析式；點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) Q作 點(diǎn)E,連接CQ。當(dāng) CQE的面積最大時(shí),2ax 2ax c(a 0)與 y 軸父于點(diǎn) C (0, 4),0)。QE / AC,交 BC 于 求點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn) P,與直線 交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2, 0）。問(wèn)：是否存在這樣的直線使得 ODF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) 不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。的坐標(biāo);解：（1）由題意，得

43、0416a8a c,解得所求拋物線的解析式為:(2)設(shè)點(diǎn)1 2 由 一x2c.1一,24.(3分)(2 )ACl, 若4.Q的坐標(biāo)為（m,0）,過(guò)點(diǎn)E作EG x軸于點(diǎn)G .點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,0）.AB 6,Q QE / AC , BQE BAC .BQ mEG2 .BQ(4分)COBA，即 EG TSA CQESACBQSAEBQ11BQgCO1-(m31 - 一1BQgEG41(m 2) 4262m 4EG2m 41)2 3.(6分)2由 1x2 x 4 3,得x1 1 J3, x2 1 J3 .此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（1 73,3）或 2P（1 再3） . （9 分）（iii）若 OD O

44、F , QOA OC 4,且 AOC 90°, AC 472 ,點(diǎn)O到AC的距離為2 J2，而OF OD 2 272 ,此時(shí)，不存在這樣的直線l ,使得 ODF是等腰三角形. （10分）綜上所述，存在這樣的直線l ,使得AODF是等腰三角形.所求點(diǎn) P的坐標(biāo)為：P（1 娓,2）或 P（1 我,2）或 P（1 也,3）或 P（1,3）(7分)當(dāng)m 1時(shí)，Szxcqe有最大值3,此時(shí)Q（1,0）.(3)存在.在zODF中.(i)若 DO DF , QA(4,0), D(2,0), AD OD DF 2.又在 RtzXAOC 中，OA OC 4, OAC 45°.DFA OAC

45、450.ADF 900 .此時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,2).由 1x2 x 4 2,得 x1 1 屈，X2 1 75.2 此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P(1 75,2)或P(1 J5,2). (8分)(ii )若FO FD ,過(guò)點(diǎn)F作FM x軸于點(diǎn)M ,由等腰三角形的性質(zhì)得：1OM -OD 1, AM 3, 在等腰直角 ZXAMF 中，MF AM 3.F(1,3).2.5、（2008瀘州）如圖，已知二次函數(shù) y ax bxC 0,3 ,它的頂點(diǎn)為 M,又正比例函數(shù) y kx 的圖像與二次函數(shù)相交于兩點(diǎn) D、E,且P是線 段DE的中點(diǎn)。求該二次函數(shù)的解析式，并求函數(shù)頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；已知點(diǎn)E 2,3 ,且二次函

46、數(shù)的函數(shù)值大于正 比例函數(shù)時(shí)，試根據(jù)函數(shù)圖像求出符合條件的自 變量x的取值范圍；當(dāng)0 k最小值。2時(shí)，求四邊形PCMB的面積S的解:(1)由2.ax bx9a3b c故函數(shù)解析式是:2x由點(diǎn)解得:2xE (2,3,故2y33)由解得D點(diǎn)坐標(biāo)為由圖象可知,解得，點(diǎn)2x1 23。4知，點(diǎn)M （14）。在正比例函數(shù)y kx的圖像上得，3 2k3x232'當(dāng)二次函數(shù)的函數(shù)值大于正比例函數(shù)時(shí),-3自變量或的取值范圍是-2kx2x2 2x 32 k k2 4k 16D、E坐標(biāo)為D (2 k k2 4k 16E(2222 k ,k2 4k 1622 k "2 4k 16 ?k)、2?k )

47、2 k則點(diǎn)P坐標(biāo)為P （2k??？k)22,知點(diǎn)P在第一象限。由點(diǎn)B （30) , C (0,3)，M (1,場(chǎng)邊形COBM則S3邊形PCMB2152SVOPC整理，配方得S四邊形PCMB15SVOPB21522c 2 k73求21故當(dāng)k 一時(shí)，四邊形PCMB293o16的面積值最小，最小值是93o16圖121k6、(2010福州)如圖12,已知直線y x與雙曲線y (k 0)交于A, B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A2x的橫坐標(biāo)為4.(1)求k的值；k ,(2)若雙曲線y (k 0)上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8,求4AOC x的面積；k(3)過(guò)原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線y k(k 0)于P, Q兩 x點(diǎn)(P點(diǎn)在第一象

48、限)，若由點(diǎn)A, B, P, Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24,求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：(1)二.點(diǎn)A橫坐標(biāo)為4 ,，當(dāng)x = 4時(shí)，y = 2 .點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,2)., 一，1k點(diǎn)A是直線y -x與雙曲線y (k 0)的交點(diǎn)， 2xk = 4 X2 = 8 .(2)過(guò)點(diǎn)C、A分別做x軸的垂線，垂足為E、F,丁點(diǎn)C在雙曲線y色上，當(dāng)y = 8時(shí)，x = 1 . x.點(diǎn)C的坐標(biāo)為 (1, 8).8點(diǎn) C、A都在雙曲線 y 上,S a COE= S AAOF = 4 S acoe+ S 梯形 CEFA= S COA+ S AAOF .二 S COA= S 梯形 CEFA S 梯形 CEFA= - X

49、(2+8) X3 = 15 , 二 Sacoa= 15 .(3) .反比例函數(shù)圖象是關(guān)于原點(diǎn)O的中心對(duì)稱(chēng)圖形OP=OQOA=OB .四邊形APBO平行四邊形.二 S APOA = S 平行四邊形 APBQ = X 24 = 6 .44設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 m ( m > 0且m 4),得P ( m,a). m過(guò)點(diǎn)P、A分別做x軸的垂線，垂足為E、F,點(diǎn) P、A在雙曲線上，Sapoe= Saaof = 4 .若 0V m <4,如圖 12-3 ,S APOE+S 梯形 PEFA=S POA+S AAOF''' S梯形PEFA=SAPOA = 6 .1 _8、，、 一人，一(2) (4 m) 6. 解得 m= 2, m = - 8 (舍去).2 m P (2, 4).若m > 4