1、第第4 4章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)及剛體的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)及剛體的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng) rr t運(yùn)動(dòng)方程 描畫(huà)點(diǎn)的空間位置隨時(shí)間變化規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱(chēng)為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。 點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)所經(jīng)過(guò)的道路稱(chēng)為軌跡，軌跡可以是直線，也可以是曲線。假設(shè)點(diǎn)的軌跡是直線那么稱(chēng)該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)；假設(shè)點(diǎn)的軌跡是曲線那么稱(chēng)該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為曲線運(yùn)動(dòng)。 4.1.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程單位 m/s速度ddrvrt4.1.2 點(diǎn)的速度 點(diǎn)的速度是矢量，其速度矢等于它的矢徑r對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，即：加速度單位2m/s22ddddvravrtt4.1.3 點(diǎn)的加速度 點(diǎn)的速度矢對(duì)時(shí)間的變化率稱(chēng)為加速度。點(diǎn)的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的變化。動(dòng)點(diǎn)的

2、加速度矢等于該點(diǎn)的速度矢對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，或等于矢徑對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，即：矢端曲線 速度速度矢徑矢端曲線切線矢徑矢端曲線切線 加速度加速度速度矢端曲線切線速度矢端曲線切線直角坐標(biāo)與矢徑坐標(biāo)之間的關(guān)系 ( )( )( )r tx tiy tjz t k4.2.1 運(yùn)動(dòng)方程( )( )( )xx tyy tzz tddxxvtddyyvtddzzvtddddddddxyzrxyzvijkv iv jv ktttt4.2.2 點(diǎn)的速度22yyvyattdddd22zzvzattdddd22xxvxattdddd4.2.3 點(diǎn)的加速度ddddddddyxzxyzvvvvaijka ia ja kttt

3、t 例例 4-2 橢圓規(guī)的曲柄橢圓規(guī)的曲柄OC 可繞定軸可繞定軸O 轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)，其端點(diǎn)其端點(diǎn)C 與規(guī)尺與規(guī)尺AB 的中點(diǎn)以鉸鏈相銜接，而規(guī)尺的中點(diǎn)以鉸鏈相銜接，而規(guī)尺A，B 兩端分別在相互垂直的滑槽中運(yùn)動(dòng)。兩端分別在相互垂直的滑槽中運(yùn)動(dòng)。,OCACBCl MCat已知：。求： M 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程； 軌跡； 速度； 加速度。解：點(diǎn)M作曲線運(yùn)動(dòng)，取坐標(biāo)系Oxy如下圖。運(yùn)動(dòng)方程()cos()cosxOCCMlattalAMysin)(sin消去t, 得軌跡1)(2222alyalx）求：運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度。,OCACBCl MCat。知：速度talxvxsin talyvycos)( 22(

4、)sincos( , )2cos2xvlatv ivlaalt 22()coscos( , )2cos2yvlatv jvlaalt2222222222()sin()cos2 cos2xyvvvl atl atlaalt 求：運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度。,OCACBCl MCat。知：加速度talxvaxxcos2 talyvayysin2 taltalaaayx24224222sin(cos）2222cos2laalt22()coscos( , )2cos2xalata ialaalt 22()sincos( , )2cos2yalata jalaalt 求：運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度。

5、,OCACBCl MCat。知：例例4-3 如下圖，當(dāng)液壓減振器任務(wù)時(shí)，它的活塞如下圖，當(dāng)液壓減振器任務(wù)時(shí)，它的活塞在套筒內(nèi)作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)。設(shè)活塞的加速度在套筒內(nèi)作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)。設(shè)活塞的加速度 為活塞的速度，為活塞的速度，k為比例常數(shù)為比例常數(shù))，初速度為，初速度為 。求。求活塞的運(yùn)動(dòng)規(guī)律?；钊倪\(yùn)動(dòng)規(guī)律。akv v0v 00,takv vvx t 已知：。求：。解：活塞作直線運(yùn)動(dòng)，取坐標(biāo)軸Ox如下圖ddvakvt 由00ddvtvvktv 得00ln,ktvkt vv ev 0ddktxvv et由tevxktxxtdd000得ktekvxx100( )sf t4.3.1 弧坐標(biāo)副法線單位矢

6、量bn切向單位矢量n主法線單位矢量4.3.2自然軸系 自然坐標(biāo)軸的幾何性質(zhì)dddd1ddddsss由于方向同nddns所以4.3.3曲率ddddddddrrssvvtstt4.3.4點(diǎn)的速度ddddddvvavttt4.3.5點(diǎn)的加速度ddddddsvntst代入2ddtnvvanaa nt那么22tnaaa22ddddtvsatt切向加速度：反映速度大小變化221ddnvsat法向加速度：反映速度方向變化曲線勻速運(yùn)動(dòng)0000,tavvssv t常數(shù)曲線勻變速運(yùn)動(dòng)20001,2tttavvatssv tat常數(shù)例例4-4 列車(chē)沿半徑為列車(chē)沿半徑為R=800m的圓弧軌道作勻的圓弧軌道作勻加速運(yùn)動(dòng)

7、。如初速度為零，經(jīng)過(guò)加速運(yùn)動(dòng)。如初速度為零，經(jīng)過(guò)2min后，速度到后，速度到達(dá)達(dá)54km/h。求列車(chē)起點(diǎn)和未點(diǎn)的加速度。求列車(chē)起點(diǎn)和未點(diǎn)的加速度。解：列車(chē)作曲線加速運(yùn)動(dòng)，取弧坐標(biāo)如上圖。215m s= 0.125m s120stvat2220.308m stnaaa0, 0nat20.125m staa120smin2t222(15m s)= 0.281m s800mnvaR00,0ttavv常數(shù)知：R=800m=常數(shù)，2min54km htv。02min,ttaa求：。0,0tav由常數(shù)tavt有例例4-5 半徑為半徑為r的輪子沿直線軌道無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)的輪子沿直線軌道無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)稱(chēng)為純滾動(dòng)，設(shè)

8、輪子轉(zhuǎn)角稱(chēng)為純滾動(dòng)，設(shè)輪子轉(zhuǎn)角 為常值，為常值，如下圖。求用直角坐標(biāo)和弧坐標(biāo)表示的輪緣上任一點(diǎn)如下圖。求用直角坐標(biāo)和弧坐標(biāo)表示的輪緣上任一點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程，并求該點(diǎn)的速度、切向加速度及法向的運(yùn)動(dòng)方程，并求該點(diǎn)的速度、切向加速度及法向加速度。加速度。( t 解：M點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，取直角坐標(biāo)系如下圖。OCMCrr tttrMOOCxsinsin1從而trMOCOycos1cos11,rt已知：常數(shù)。求：M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、速度、切向和法向加速度。由純滾動(dòng)條件1 cos,sinxyvxrtvyrt)202sin2)cos1 (222ttrtrvvvyx（22sin,cosxyaxrtayrt222raaay

9、x,rt已知：常數(shù)。求：M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、速度、切向和法向加速度。又點(diǎn)M的切向加速度為2cos2ttavr那么有222sin2nttaaar,rt已知：常數(shù)。求：M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、速度、切向和法向加速度。4.4 剛體的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)4.4.1 剛體的平動(dòng) 剛體內(nèi)任不斷線在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中一直平行于初始 位置，這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為平行挪動(dòng)，簡(jiǎn)稱(chēng)平移。速度和加速度分布ddddBABArrvvttddddBABAvvaatt剛體平移點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程BArrAB d0dABt 由于所以運(yùn)動(dòng)方程 tf轉(zhuǎn)軸 ：兩點(diǎn)連線 4.4.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體上(或其擴(kuò)展部分)兩點(diǎn)堅(jiān)持不動(dòng)，那么這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱(chēng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)

10、。轉(zhuǎn)角：?jiǎn)挝?弧度(rad)角速度和角加速度角速度ddddtt：大大小小方方向向：逆逆時(shí)時(shí)針針為為正正22ddddtt角加速度d0dt0t勻速轉(zhuǎn)動(dòng)0200dcontd12tttt勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)4.4.3 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度和加速度2、速度vsRR3、加速度2221RRRvaRstvant dd1、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程sR4、速度與加速度分布圖vR2tantnaa2224tnaaaR04例例4-6 機(jī)構(gòu)如下圖，假定桿機(jī)構(gòu)如下圖，假定桿AB以勻速以勻速v運(yùn)動(dòng)，開(kāi)場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)，開(kāi)場(chǎng)時(shí)求當(dāng)時(shí)，搖桿OC的角速度和角加速度。tanvtl2dsecdvtl2222dcosddd2cossinsin2 cosddvtl

11、vvtltl 42222222()sincos2242vvvlll 解：由圖所示的幾何關(guān)系可得到：解：由圖所示的幾何關(guān)系可得到：將上式兩邊對(duì)時(shí)間t取一階導(dǎo)數(shù)，得：搖桿OC的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度和角加速度分別為：當(dāng)時(shí)，搖桿OC的角速度和角加速度分別為：12ABOO12O AO Blsinbt2t例例4-7 如下圖機(jī)構(gòu)中，齒輪如下圖機(jī)構(gòu)中，齒輪1緊固在桿緊固在桿AC上，上，齒輪1和節(jié)圓半徑為r2的齒輪2嚙合，齒輪2可繞O2軸轉(zhuǎn)動(dòng)，且和曲柄O2B沒(méi)有聯(lián)絡(luò)。設(shè)試確定s時(shí)，齒輪的角速度和角加速度。 dcosdDAvvlbltt222dsindttDAaallbt 解：解：(1)桿桿AC和齒輪和齒輪是一個(gè)整體，作平動(dòng)，故點(diǎn)是一個(gè)整體，作平動(dòng)，故點(diǎn)A和嚙合點(diǎn)和嚙合點(diǎn)D有一樣速度：有一樣速度：加速度：2t22222t2222222coscos20sinsin2DDblvbltrrrlbalbtlbrrrr (2)當(dāng)s時(shí)，齒輪的角速度和角加速度分別為：4.5.1 齒輪傳動(dòng)嚙合條件1122ABRvvR傳動(dòng)比12212211RziRz 4.