1、圖形與證明（二）教學(xué)案（§ 1.1等腰三角形的性質(zhì)和判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1、進(jìn)一步掌握證明的基本步驟和書寫格 式。能用“基本事實(shí)”和“已經(jīng)證明的定理”為依據(jù)，證明 等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理。重點(diǎn)、難點(diǎn)等腰三角形的性質(zhì)及其證明。學(xué)習(xí)過程一、知識(shí)回顧：在初中數(shù)學(xué)八的第十一章中，我們學(xué)習(xí)了證明的相關(guān)知 識(shí)，你還記得嗎？不妨回憶一下。用的過程，叫做證明。經(jīng)過稱為定理。證明與圖形有關(guān)的命題，一般步驟有哪些？推理和證明的依據(jù)有哪幾類?我們初中數(shù)學(xué)中，選用了哪些真命題作為基本事實(shí):此外，還有和也都看作是基本事實(shí)。在八的第十一章中，我們依據(jù)上述的基本事實(shí)，證明了 哪些定理？你能列出來嗎？O二、情景創(chuàng)設(shè)

2、：以前，我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過等腰三角形，你還記得嗎？不妨我們來回憶一下下列幾個(gè)問題：什么叫做等腰三角形？等腰三角形有哪些性質(zhì)？上述性質(zhì)你是怎么得到的?這些性質(zhì)都是真命題嗎？你能否用從基本事實(shí)出發(fā)，對(duì) 它們進(jìn)行證明？三、探索活動(dòng)：合作與討論證明：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。思考與討論怎樣證明：等腰三角形的頂角平分線、底邊 上的中線、底邊上的高互相重合。通過上面兩個(gè)問題的證明，我們得到了等腰三角形的性質(zhì)定理定理：,定理：,你能寫出上面兩個(gè)定理的符號(hào)語言嗎？文學(xué)語言圖形符號(hào)語言等邊對(duì)等角在 ABc中 , O三線合一在 ABc中，AB= Ac/ BAD=Z cAD., 。T BD= cD ：, o AD丄 B

3、c., o思考與探索如何證明“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆命題是正 確的？要求：寫出它的逆命題：o畫出圖形，寫出已知、求證，并進(jìn)行證明。通過上面的證明，我們又得到了等腰三角形的判定定 理：四、體會(huì)與交流在本節(jié)課中，我們用基本事實(shí)又證明了哪些定理。實(shí)際上，我們以前曾學(xué)習(xí)過很多圖形的知識(shí)，。對(duì)于這 些圖形，我們通過動(dòng)手操作也得到了它們的性質(zhì)和判定，在 今后的學(xué)習(xí)中，我們將進(jìn)一步證明它們的正確性。課題：§ 1.1等腰三角形的性質(zhì)和判定學(xué)習(xí)目標(biāo)在掌握了等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定 理的基礎(chǔ)上，探索等邊三角形和其它相關(guān)知識(shí)的證明方法。學(xué)習(xí)過程一、知識(shí)回顧上節(jié)課中，我們對(duì)等腰三角形的性質(zhì)定理和

4、判定定理進(jìn) 行了證明，請(qǐng)你寫出這些定理。等腰三角形性質(zhì)定理：等腰三角形判定定理：二、典例分析已知：如圖/ EAc是厶ABc的外角，AD平分/ EAc,且AD/ Be。求證：AB= Ac嗎？在上圖中，如果 AB= Ac, AD/ Be,那么 AD平分/ EAe 如果結(jié)論成立，你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？在上圖中，你還能得到其他的結(jié)論嗎？與同學(xué)交流。三、思考與交流等。證明：兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全證明：等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都等于60 °。個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形。等。證明：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。四

5、、體會(huì)與交流本節(jié)課，我們又證明了哪些定理？你掌握了嗎？課題：§ 1.2直角三角形的全等判定學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握了直角三角形的全等判定定理和其它相關(guān)知識(shí)的證明方法。重點(diǎn)、難點(diǎn)1、直角三角形的判定定理。 2、直角三 角形和其它相關(guān)知識(shí)的證明方法。學(xué)習(xí)過程一、知識(shí)回顧O我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過有關(guān)直角三角形的相關(guān)知識(shí)和全等三 角形的判定方法，請(qǐng)你寫出這些定理。直角三角形的定義:全等三角形判定定理：。簡(jiǎn)寫O簡(jiǎn)寫O簡(jiǎn)寫簡(jiǎn)寫二、情景創(chuàng)設(shè)：.請(qǐng)大家要求作圖：畫/ PcQ 在射線cP上取線斷cA= 4厘米，畫弧交射線cQ于B使AB= 5厘米。連接AB.請(qǐng)同桌之間所畫直角三角形是否全等？由此得到什么結(jié)論？三、典例分析證

6、明：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全已知，在 ABc 和厶 Ax Bx c /中，/ AcB=/ Ax c / Bx=90°, AB=AX Bx, Ac=Ax c /,求證： ABZA Ax Bx c /如圖，在 ABc中，AB=Ac, DE是過點(diǎn) A的直線，BD丄DE于 D, cE丄 DE于 E.若Bc在DE的同側(cè)且 AD=cE 說明：BA! Ac.若Bc在DE的兩側(cè)其他條件不變，問 AB與Ac仍垂直嗎？若是請(qǐng)予證明，若不是請(qǐng)說明理由.三、思考與交流在上面的圖中，如果/ BAc=30°,那么Bc=AB嗎？并用 文字語言敘述出來。四、隨堂練習(xí)如圖，在厶ABc和厶A

7、BD中, / c= / D=90°,若利用“ AAS 證明 ABcA ABD則需要加條件 或；若利用“ HL”證明 ABZA ABD則需要加條件或如圖在 ABc中，D是Bc的中點(diǎn)，DEI AB, DF丄Ac,垂 足分別為E、F,且DE= DF求證 ABc是等腰三角形。.如圖 ADL DB Be丄cA, Ac、BD相交于點(diǎn) o,如果 AD =Bc,那么圖中還有哪些相等的線斷，請(qǐng)證明。五、體會(huì)與交流本節(jié)課，我們又證明了哪些定理？你掌握了嗎？分解組合將困難問題轉(zhuǎn)化為可行性問題課題：§ 1.2直角三角形的全等判定學(xué)習(xí)目標(biāo)運(yùn)用直角三角形的全等判定定理和其它相 關(guān)知識(shí)的證明角平分線的性

8、質(zhì)和判定。重點(diǎn)、難點(diǎn)1、角平分線的性質(zhì)和判定。2、角平分線的性質(zhì)和判定的證明和運(yùn)用。學(xué)習(xí)過程一、知識(shí)回顧我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過有關(guān)直角三角形全等的判定方法，請(qǐng)你寫出這些定理。直角三角形全等的判定定理：定義：簡(jiǎn)寫O簡(jiǎn)寫O簡(jiǎn)寫簡(jiǎn)寫O簡(jiǎn)寫二、典例分析證明：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等。已知，0C是/ AoB的平分線，點(diǎn) P在0C上PD丄oA, PE丄oB,垂足分別為 D、E,求證：PD=PE證明：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。已知，如圖，PDL oA, PE±oB,垂足分別為 D E,且 PD=PE求證：點(diǎn) P在/ AoB的平分線上。三、思考與交流“如果一個(gè)

9、點(diǎn)到角的兩邊的距離不相等，那么這個(gè)點(diǎn)不 在這個(gè)角的平分線上?！蹦阏J(rèn)為這個(gè)結(jié)論正確嗎？如果正確，你能證明嗎？如圖， ABc的角平分線 AD BE相交于點(diǎn)0,點(diǎn)o到厶ABc各邊的距離相等嗎？點(diǎn) o在/ c的平分線上嗎？定理：三角形的3條角平分線交于一點(diǎn)。四、隨堂練習(xí)如圖在 ABc中，/ c=90度，點(diǎn) D在Bc上，DE垂直平 分AB,且DE=Dc求/ B的度數(shù)。如圖，已知點(diǎn) c是/ AoB平分線上一點(diǎn)，點(diǎn) P、P'分別 在邊oA、oB上。如果要得到 Po=oP'，需要添加以下條件中 的某一個(gè)即可，請(qǐng)你寫出所有可能結(jié)果的序號(hào)。/ ocP=/ ocP'/ oPc=/ oP

10、9;c : Pc=Pc': PP'丄oc如圖，已知 ABc的外角/ cBD和/ BcE的平分線相交于 點(diǎn)F,求證：點(diǎn)F在/ DAE的平分線上.五、體會(huì)與交流本節(jié)課，我們又證明了哪些定理？你掌握了嗎？課題：§ 1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì) 與判定總課時(shí)第5課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、會(huì)證明平行四邊形的性質(zhì)定理及其相關(guān) 結(jié)論能運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)定理進(jìn)行計(jì)算與證明在進(jìn)行探索、猜想、證明的過程中，進(jìn)一步發(fā)展推理論 證的能力教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)證明表達(dá)格式 的邏輯性完整性精煉性難點(diǎn)：分析綜合思考的方法教學(xué)過程一、情境創(chuàng)設(shè)根據(jù)我們?cè)?jīng)探索得到的平行四邊形、矩形、

11、菱形、正方形的性質(zhì)，填寫下表:平行四邊形矩形菱形正方形對(duì)邊平行對(duì)邊相等四邊相等對(duì)角相等個(gè)角是直角對(duì)角線互相平分對(duì)角線相等對(duì)角線互相垂直兩條對(duì)角線平分兩組對(duì)角從上面的幾種特殊四邊形的性質(zhì)中，你能說說它們之間 有什么聯(lián)系與區(qū)別嗎？如圖，圖中有個(gè)平行四邊形。二、合作交流活動(dòng)1、上表中平行四邊形的性質(zhì)中，你能證明哪些性 質(zhì)？活動(dòng)2、你認(rèn)為平行四邊形性質(zhì)中， 可以先證明哪一個(gè)？ 為什么？活動(dòng)3、證明定理“平行四邊形對(duì)角線互相平分”。已知，如圖，在平行四邊形 ABcD中，對(duì)角線 Ac、BD相 交于點(diǎn)o，求證： Ao=co， Bo=Do 由此證明過程，同時(shí)也證明了定理“平行四邊形對(duì)邊相等”、“平行四邊形對(duì)角

12、相等”，這樣我們可得平行四邊形 的三條性質(zhì)定理：平行四邊形對(duì)邊相等；平行四邊形對(duì)角相 等；平行四邊形對(duì)角線互相平分。三. 典型例題：例1:已知：如圖，口 ABcD中，E、F分別是 De、AB的 中點(diǎn)。求證：AE=cF若將例1中的“E、F分別是AD Be的中點(diǎn)”改為“AE=AD cF=Bc”，是否還能得到同樣的結(jié)論？例2、證明“夾在兩條平行線之間的平行線段相等”分析：根據(jù)命題先畫出相應(yīng)圖形，再由命題與所畫圖形寫出已知、求證，最后根據(jù)已知條件寫出證明過程。例3如圖，四邊形 ABcD是平行四邊形，點(diǎn) F在BA的延 長(zhǎng)線上，連結(jié)cF交于AD點(diǎn)E.求證： cDE FAE當(dāng)E是AD的中點(diǎn)，且 Bc=2cD

13、時(shí)，求證：/ F=Z BcF點(diǎn)評(píng)：平行四邊形能帶來平行線、等角，從而為得到比 例線段、相似三角形創(chuàng)造了條件，也就為利用相似解決問題 帶來了方便.四、小結(jié)：平行四邊形對(duì)邊相等，對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)，對(duì)角線互相平分 是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心。平行線之間的距離處處相等。課題：§ 1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì) 與判定總課時(shí)第6課時(shí)教學(xué)目標(biāo)：1.使學(xué)生能應(yīng)用矩形定義、性質(zhì)等知識(shí)，解 決有關(guān)問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。2.能將矩形的判定定理和性質(zhì)定理綜合應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的探索精神教學(xué)重點(diǎn)：矩形的本質(zhì)屬性教學(xué)難點(diǎn)：矩形性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用教學(xué)過程：一、知識(shí)回顧：叫

14、矩形，由此可見矩形是特殊的因而它且有上節(jié)課我們證明過的平行四邊形性質(zhì) ? 這三個(gè)性質(zhì)。證明：矩形的四個(gè)角都是直角如圖求證：圖形：畫在下面方框內(nèi)證明：矩形對(duì)角線相等女口圖：已知求證：圖形：畫在下面方框內(nèi)二、探索活動(dòng)：如圖矩形ABcD,對(duì)角線相交于E，圖中全等三角形有哪 些？準(zhǔn)備說說看。將目光鎖定在Rt ABc中，你能看到并想到它有什么特 殊的性質(zhì)嗎？現(xiàn)在我們借助于矩形來證明“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半?！崩?、已知：如圖，矩形ABcD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn) o， 且Ac=2AB.求證： AoB是等邊三角形本題若將“ Ac=2AB”改為“/ Boc=120°”，你能獲得 有關(guān)這個(gè)

15、矩形的哪些結(jié)論？例2、如圖在矩形 ABcD中，BE平分/ ABc,交cD于點(diǎn)E, 點(diǎn)F在邊Bc上， 如果FE丄AE,求證FE=AE 如果FE=AE你能證明FE丄AE嗎？練習(xí)：1、已知：如圖，矩形 ABcD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)o,/ AoD= 120°, AB= 4c,求矩形對(duì)角線的長(zhǎng)？如圖BD, cE是厶ABc的兩條高，是Bc的中點(diǎn)，求證E=D四、小結(jié)從位置、形狀、大小等不同的角度，觀察和比較平行四 邊形、矩形的對(duì)角線把它們分成的三角形的異同，發(fā)現(xiàn)并應(yīng) 用直角三角形的判定證明矩形的特殊性質(zhì)；反過來，我們又 利用矩形的性質(zhì)證明“直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊 的一半”。課題：

16、7; 1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì) 與判定總課時(shí)第7課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1、會(huì)歸納菱形的特性并進(jìn)行證明；2、能運(yùn)用菱形的性質(zhì)定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算與證明在進(jìn)行探索、猜想、證明的過程中，進(jìn)一步發(fā)展推理論 證的能力，進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：菱形的性質(zhì)定理證明難點(diǎn)：性質(zhì)定理的運(yùn)用生活數(shù)學(xué)與理論數(shù)學(xué)的相互轉(zhuǎn)化教學(xué)過程：、情境創(chuàng)設(shè).將一張矩形的紙對(duì)折再對(duì)折，然后沿著圖中的虛線剪下，打開，你發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)什么樣的圖形？.探索。請(qǐng)你作該菱形的對(duì)角線， 探索菱形有哪些特征，并填空 邊：都相等；對(duì)角線：互相垂直。問題：你怎樣發(fā)現(xiàn)的 又是怎樣驗(yàn)證的？.概括。菱形特征1:菱形的四條邊都相等。菱形特征

17、2:菱形的對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條 對(duì)角線平分一組對(duì)角。矩形與菱形的區(qū)別：矩形的對(duì)邊平行且相等，四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等 且互相平分；菱形的四條邊都相等，對(duì)邊平行，對(duì)角相等， 對(duì)角線互相垂直平分，每條對(duì)角線平分它的一組對(duì)角。.請(qǐng)你折一折，觀察并填空。菱形是不是中心對(duì)稱圖形 ？對(duì)稱中心是 。是不是軸對(duì)稱圖形？對(duì)稱軸有幾條?。二、合作交流問題一觀察平行四邊形和菱形的對(duì)角線把它們所分成的三角形，你有何發(fā)現(xiàn)？問題二證明：菱形的 4條邊都相等。問題三證明：菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。練習(xí)：已知菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8，由此你能獲得有關(guān)這個(gè)菱形的哪些結(jié)論？你認(rèn)為菱形的

18、面積與菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)有關(guān)嗎？如果有關(guān)，怎樣根據(jù)菱形的對(duì)角線的計(jì)算它的面積？由此可得：菱形的面積等于它的兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的面 積。三、典例分析例1、如圖3個(gè)全等的菱形構(gòu)成的活動(dòng)衣帽架，頂點(diǎn)A、E、F、c、G H是上、下兩排掛鉤，根據(jù)需要可以改變掛鉤 之間的距離，若菱形的邊長(zhǎng)為13厘米，要使兩排掛鉤之間的距離為24厘米，并在點(diǎn)B、處固定，貝U B、之間的距離是 多少？例2、已知：如圖，四邊形 ABcD是菱形，G是AB上 任一點(diǎn)，DF交Ac于點(diǎn)E。求證：/ AGD=/ cBE四、體會(huì)與交流：菱形的對(duì)角線把菱形分成等腰三角形和直角三角形，所 以解決菱形問題，常?？梢赞D(zhuǎn)化為等腰三角形或直角三角形

19、問題。課題：§ 1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì) 與判定總課時(shí)第8課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1、會(huì)歸納正方形的特性并進(jìn)行證明；2、能運(yùn)用正方形的性質(zhì)定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算與證明；3、在進(jìn)行探索、猜想、證明的過程中，進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性以及計(jì) 算與證明在解決問題中的作用；4、在比較、歸納、總結(jié)的過程中，進(jìn)一步體會(huì)特殊與一般之間的辯證關(guān)系教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等活動(dòng)，發(fā)展合情 推理能力和初步的演繹推理能力難點(diǎn)：有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)教學(xué)過程：一、情境創(chuàng)設(shè)這是一個(gè)流傳在世界各地的故事，三姐妹的父親是一位 慈祥的阿拉伯老人。一天，老人不幸去世，臨終，老人留給 三個(gè)女兒

20、一件珍貴的傳家寶一一一塊五色斑斕的正方形地 毯，深愛父親的女兒們都想得這塊地毯，以作紀(jì)念。大姐想 出了一個(gè)好辦法：“把它裁成三個(gè)小正方形地毯，為了不使 地毯剪得過于零碎，最好只剪成 4塊，其中兩塊是正方形， 另外兩塊可以拼成一個(gè)正方形?！甭斆鞯哪隳芟氤鲆粋€(gè)巧妙 的剪法，符合大姐的設(shè)想嗎？二、合作交流 探索正方形的性質(zhì)邊的性質(zhì)：；角的性質(zhì)：；對(duì)角線的性質(zhì)：；對(duì)稱性：。三、典例分析例1、已知：如圖，正方形 ABcD的對(duì)角線 Ac、BD相交 于點(diǎn)o；正方形A' B' c' D的頂點(diǎn)A'與點(diǎn)o重合，A' B' 交Bc于點(diǎn)E，A' D 交cD于點(diǎn)F，E是Bc的中點(diǎn)。求證：F是cD的中點(diǎn)若正方形A' B c' D繞點(diǎn)